Математические методы в экономике являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, которые позволяют отобразить имеющиеся связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется поведение субъектов хозяйствования и динамика экономических показателей в стране.

Более подробно хотелось бы остановиться на прогнозировании показателей экономических объектов, которое является инструментом теории принятия решений. Прогнозы социально-экономического развития любой страны основываются на определенных показателей (динамика инфляции, валовый внутренний продукт и т.д.). Формирование ожидаемых показателей осуществляется с применением таких методов прикладной статистики и эконометрики, как регрессионный и корреляционный анализ.

Отрасль исследования «Экономика и математические методы» всегда являлась достаточно интересной для ученых этой сферы. Так, академиком Немчиновым было выделено пять математических при планировании и прогнозировании:

Метод математического моделирования;

Векторно-матричный метод;

Метод последовательного приближения;

Метод оптимальных общественных оценок.

Другой же академик, Канторович, математические методы распределил на четыре группы:

Модели взаимодействия экономических подразделений;

Макроэкономические модели, включающие модели спроса и балансовый метод;

Модели оптимизации;

Линейное моделирование.

Систем применяется с целью принятия эффективного и правильного решения в экономической сфере. При этом в основном используется современная вычислительная техника.

Сам процесс моделирования должен осуществляться в таком порядке:

1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать задачу, определить объекты, относящиеся к решаемой задаче, и ситуацию, реализуемую в результате ее решения. Именно на этом этапе производится количественный и субъектов, объектов и имеющих отношение к ним ситуаций.

2. Системный анализ задачи. Все объекты необходимо разбить на элементы с определением связи между ними. Именно на этом этапе лучше всего использовать математические методы в экономике, с помощью которых проводится количественный и качественный анализ свойств вновь образованных элементов и в результате которых выводятся определенные неравенства и уравнения. Другими словами, получается система показателей.

3. Системный синтез представляет собой математическую постановку задачи, во время организации которой формируется математическая модель объекта и определяются алгоритмы решения задачи. На этом этапе существует вероятность того, что принятые модели предыдущих этапов могут оказаться неверными, и для получения верного результата придется вернуться на один, а то и два шага назад.

Как только математическая модель сформирована, можно переходить к разработке программы для решения поставленной задачи на ЭВМ. При наличии достаточно сложного объекта, который состоит из большого количества элементов, потребуется создание базы данных и подручных средств для работы с ней.

Если же задача принимает стандартный вид, то используются любые подходящие математические методы в экономике и готовый программный продукт.

Заключительным этапом является непосредственная эксплуатация сформированной модели и получение правильных результатов.

Математические методы в экономике должны использоваться именно в определенной последовательности и с применением современных информационно-вычислительных технологий. Только в таком порядке появляется возможность исключить субъективные волевые решения, основанные на личной заинтересованности и эмоциях.

Математическая экономика. Колемаев В.А.

2-е изд., перераб. и доп. - М.: 2002. - 399 с.

Дано системное представление об экономике с помощью математических моделей как макро- и микроэкономики, так и производственной и финансово-кредитной подсистем экономики.

Учебник состоит из разделов: "Математические модели макроэкономики", "Математические модели микроэкономики" и "Модели анализа, прогнозирования и регулирования экономики". Функциональная структура экономики отражена моделированием ценообразования, налогообложения и др. Отражены наиболее важные результаты, полученные отечественной и зарубежной школами математической экономики в XX в., а также новые результаты, полученные автором (1-е изд. - ЮНИТИ, 1998).

Приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Для студентов, аспирантов и преподавателей экономических вузов, а также научных работников.

Формат: djvu

Размер: 26 ,1 Мб

Скачать: yandex.disk

Содержание
Предисловие 3
Введение. Экономика как объект математического моделирования 4
ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ 14
Глава 1. Статические модели макроэкономики 15
1.1. Макроэкономические производственные функции 16
1.2. Модель Леонтьева 28
Глава 2. Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем 35
2.1. Экономика как динамическая система 36
Динамическая модель Кейнса 38
Модель Самуэльсона - Хикса 40
2.2. Динамическая модель Леонтьева 44
2.3. Модель Неймана 46
Глава 3. Линейные динамические модели макроэкономики с непрерывным временем 52
3.1. Математические методы исследования экономических динамических систем 53
3.1.1. Линейный динамический элемент 54
3.1.2. Мультипликатор 55
3.1.3. Акселератор 56
3.1.4. Инерционное звено 57
3.1.5. Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено 59
3.1.6. Передаточная функция 60
3.1. 7. Колебательное звено 62
3.1.8. Экономика в форме модели Самуэлъсона-Хикса как линейное динамическое звено второго порядка 67
3.1.9. Характеристики динамического звена 68
3.2. Анализ и синтез динамических систем, переходные процессы в них 72
3.2.1. Передаточная функция последовательного соединения 74
3.2.2. Передаточная функция параллельного соединения 75
3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью 76
3.2.4. Введение мультипликатора в контур обратной связи с динамической моделью Кейнса 77
3.2.5. Введение акселератора в контур положительной обратной связи с динамической моделью Кейнса 80
3.2.5. Устойчивость линейных динамических систем 82
3.2. 7. Условия устойчивости экономики в форме модели Самуэльсона-Хикса 84
3.3. Линейные многосвязные динамические системы 85
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная динамическая система 88
3.4. Нелинейные динамические системы. Конъюнктурные циклы в экономике 90
3.4.1. Нелинейная динамическая модель Кейнса 92
3.4.2. Конъюнктурные циклы в экономике 94
3.5. Оптимальное управление динамическими системами 98
3.5.1. Принцип максимума Понтрягина 99
3.5.2. Необходимые условия оптимальности (принцип максимума) 101
Глава 4. Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики 103
4.1. Модель Солоу 105
4.1.1. Переходный режим в модели Солоу 108
4.1.2. Золотое правило накопления ПО
4.1.3. Выигрыш, в текущем потреблении - проигрыш, в ближайшей перспективе 111
4.2. Учет запаздывания при вводе фондов 112
4.3. Односекторная модель оптимального экономического роста 116
4.4. Трехсекторная модель экономики 122
4.5. Производственные функции секторов экономики РФ 126
4.6. Моделирование стагнации и сбалансированного экономического роста 130
4.6.1. Стагнация 131
4.6.2. Сбалансированный экономический рост 134
4.7. Исследование сбалансированных стационарных состояний 147
4.7.1. Золотое правило распределения труда и инвестиций между секторами 149
4.7.3. Альтернативный способ определения технологического оптимума 157
ЧАСТЬ II . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОЭКОНОМИКИ 163
Глава 5. Модели поведения потребителей 164
5.1. Предпочтения потребителя и его функция полезности 165
Модель поведения потребителя 167
5.2. Уравнение Слуцкого 168
5.2.1. Изменение спроса при увеличении цены с компенсацией 169
5.2.2. Изменение спроса при изменении дохода 170
Глава 6. Модели поведения производителей 173
6.1. Модель фирмы 174
6.1. 1 Реакция производителя на изменение цены выпуска 180
6.1.2. Реакция производителя на изменение цен ресурсов 181
6.2. Поведение фирм на конкурентных рынках 185
6.2.1. Равновесие Курно 187
Глава 7. Модели взаимодействия потребителей и производителей 191
7.1. Модели установления равновесной цены 192
7.1.1. Паутинообразная модель 193
7.1. 2. Модель Эванса 195
7.2. Модель Вальраса 197
ЧАСТЬ III. МОДЕЛИ АНАЛИЗА, ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ 201
Глава 8. Математические модели рыночной экономики 202
8.1. Классическая модель рыночной экономики 203
8.1.1. Рынок рабочей силы 204
8.1.2. Рынок денег 206
8.2. Модель Кейнса 208
8.3. Математические модели финансового рынка 212
8.3.1. Финансовые операции 213
8.3.2. Финансовый риск 217
8.3.3. Равновесие на рынке ценных бумаг 230
8.4. Прогнозирование валютных кризисов и финансовых рисков 232
8.4.1. Модель прогнозирования финансовых рисков 233
8.4.2. Прогнозирование валютных кризисов 236
Глава 9. Моделирование инфляции 239
9.1. Сущность инфляции 240
9.2. Исследование инфляции с помощью трехсекторной модели экономики 244
9.2.1. Первый полувиток инфляции 246
9.2.2. Второй полувиток инфляции 247
9.3. Условия возникновения и самоподдержания инфляции 249
9.4. Влияние инфляции на производство 250
Глава 10. Математические модели государственного регулирования экономики 260
10.1. Роль и функции налогов в обществе 261
10.2. Налоги в трехсекторной экономике 266
10.3. Влияние повышения налогов на производство и потребление 274
Глава 11. Моделирование внешней торговли 280
11.1. Модель открытой трехсекторной экономики 281
11.2. Условия возможности и целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок 285
11.2.1. Вхождение в мировой рынок при фиксации долей ресурсов, поступающих в фондосоздающий сектор 287
11.3. Золотое правило внешней торговли 292
11.3.1. Золотое правило распределения ресурсов 295
11.4. Влияние внешней торговли на национальную экономику 300
11.4.1. Перераспределение ресурсов между материальным и потребительским секторами 301
11.4.2. Перераспределение ресурсов между материальным и фондосоздающим секторами 305
Глава 12. Моделирование цели общественного развития 308
12.1. Математическая теория общественного выбора 311
12.2. Модели сотрудничества и конкуренции 327
12.2.1. Кооперативные игры 328
12.2.2. Сотрудничество и конкуренция в трехсекторной экономике* 332
12.3. Моделирование научно-технического прогресса 337
12.3.1. Эволюторные модели научно-технического прогресса 338
12.3.2. Модель смены технологического уклада 339
12.3.3. Модель перевооружения трехсекторной экономики 344
Приложения 349
Приложение 1. Свойства неразложимой матрицы прямых затрат 350
Приложение 2. Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 353
Приложение 3. Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики в стационарном состоянии 358
Приложение 4. Оптимальный сбалансированный рост в трехсекторной экономике 364
Приложение 5. Условия Куна-Таккера 382
Литература 386

Магнитогорск 2005

Сборник задач по курсу «Математическая экономика». - Магнитогорск: МаГУ, 2005. – 184 с.

В сборнике дан обзор ключевых категорий и положений, используемых в курсе «Математическая экономика». Представлены примеры решения типовых задач, приведены вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся в области управления финансами и инвестиционными проектами, применения математических методов и моделей в исследования экономических систем и явлений.

Составители. Г.Н. Чусавитина,

В.Б. Лапшина.

 Чусавитина Г.Н., Лапшина В.Б. 2005

 Магнитогорский государственный университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ 5

Глава 1 простые проценты 7

1.1. Определение ставок и вычисление процентов 7

1.2. Простая процентная ставка 10

1.3. Простая учетная ставка 21

1.4. Погашение кредита и амортизационные отчисления 32

1.5. Вычисление средних значений 41

1.6. Валютные расчеты 48

1.7. Налог на прибыль 53

1.8. Инфляция 56

1.9. Замена и консолидация платежей 64

Глава 2 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 73

2.1. Сложная процентная ставка 73

2.2. Сложная учетная ставка 91

2.3. Непрерывная ставка 101

2.4. Эквивалентность ставок 107

2.5. Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов 112

2.6. Замена платежей и сроков их выплат 125

Глава 3 АННУИТЕТЫ 132

3.1. Постоянный аннуитет 132

3.2. Непрерывный и переменный аннуитеты 148

3.3. Оценка аннуитета с периодом больше года 157

ВВЕДЕНИЕ

«Математическая экономика» - это название дисциплины, придуманное математиками. Экономистам больше нравится другое название –«Экономико-математические модели и методы». В учебных программах и стандартах экономических факультетов часто встречается именно такое название. На наш взгляд, эти два названия одинаково точно передают внутреннее содержание предмета, где гармонично сочетаются экономические и математические аспекты. К сожалению, на практике часто программа курса ЭММиМ целиком составляется из отдельных разделов "Исследования операций и математического программирования", которые, во-первых, уже были пройдены до этого курса, во-вторых, содержат математические модели принятия решений и оптимизации, а не экономико-математические модели как таковые.

Математическая экономика - это наука, которая использует математический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений.

Таким образом, объектом изучения (или предметной областью) математической экономики является экономика - как часть бытия или часть обширной области человеческой деятельности.

Как и другие науки, изучающие экономику в целом или ее составные части, математическая экономика пользуется определенной методологией и имеет свою специфику. Специфика математической экономики, ее методологическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономические объекты и явления как таковые, а их математические модели. Ее цель- получение объективной экономической информации и выработка имеющих важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую экономику можно отнести как к экономической, так и к математической наукам. В первом случае ее следует понимать как тот раздел экономики, который изучает количественные и качественные категории, а также поведенческие аспекты экономических субъектов. Считая же математическую экономику одним из направлений математики, можно отнести ее к тем разделам прикладной математики, которые занимаются оптимизационными задачами и задачами принятия решения

По своей природе экономика - самая близкая к математике социальная наука. Уже в определении самого понятия экономики, ее главных задач можно увидеть математические понятия и терминологию.

Действительно, экономика - это общественная наука об использовании ограниченных ресурсов с целью максимального удовлетворения неограниченных материальных потребностей населения. Центральные проблемы экономической науки - рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ограниченных ресурсов, изучение экономических механизмов управления, разработка методов экономических расчетов - по существу являются задачами, решаемыми в рамках математических наук. Количественные и качественные методы математики являются наилучшим вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные вопросы экономики:

что должно производиться (т. е. какие товары и услуги и в каком количестве надо производить)?

как будут производиться товары (т. е. кем и с помощью каких ресурсов и какой технологии)?

для кого предназначены эти товары (т.е. кем и как будут потребляться эти товары)?

Наконец, задача экономической теории, связанная с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства, обмена и потребления, восходит к математическим проблемам оптимизации и принятия решения.

С учетом сказанного выше можно говорить о следующих основных задачах, стоящих перед математической экономикой:

разработка математических моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных уровнях);

изучение поведения участников экономики (условий существования оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

изучение описательных моделей экономики (модели планирования, "затраты - выпуск", расширяющейся экономики, экономики благосостояния и роста и др.);

анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и прогнозирование экономических факторов и показателей).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Математическая дисциплина, предметом к-рой являются модели экономич. объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономич. происхождением, интерпретацией и практич. приложениями. Особенно существенна связь с экономич. наукой и практикой.

М. э. как часть математики начала развиваться только в 20 в. Ранее были лишь эпизодпч. исследования, к-рые.нельзя в строгом смысле отнести к математике.

Особенности экономико-математического моделирования. Особенность экономич. моделирования состоит в исключительном разнообразии и разнородности предмета моделирования. В экономике присутствуют элементы управляемости и стихийности, жесткой определенности и существенной неоднозначности и свободы выбора, процессы технич. характера и социальные процессы, где на первый план выдвигается поведение человека. Разные уровни экономики (напр., цех и народное хозяйство) требуют существенно различного описания. Все это приводит к большой разнородности моделей математич. аппарата. Тонким вопросом является отражения типа социально-экономич. системы, к-рая моделируется, учет общественного строя. Нередко оказывается, что абстрактная математич. того или иного экономич. объекта или процесса с успехом применима и к капиталистической, и к социалистической экономике. Все дело в способе использования, интерпретации результатов анализа.

Производство, эффективное производство. Экономика имеет дело с благами, или продуктами, к-рые понимаются в М. э. чрезвычайно широко. Для них применяется общий термин ингредиенты. Ингредиентами являются услуги, природные ресурсы, отрицательно воздействующие на человека факторы окружающей среды, комфортности от имеющейся системы безопасности и т. д. Обычно считается, что ингредиентов конечно и продуктов есть - евклидово пространство, где l - число ингредиентов. Точка z из при надлежащих условиях может рассматриваться как "производственный" способ, положительные компоненты указывают объемы выпуска соответствующих ингредиентов, а отрицательные - затраты. Слово "производственный" взято в кавычки, поскольку производство понимается в самом широком смысле. Множество наличных (заданных, существующих) производственных возможностей есть Способ производства эффективен, если не существует такой, что и хотя бы для одной компоненты выполняется строгое . Задача выявления эффективных способов - одна из важнейших в экономике. Обычно предполагается, и это во многих случаях хорошо согласуется с действительностью, что Z - выпуклый . С помощью расширения пространства продуктов задача анализа эффективных способов при этом может быть сведена к случаю, когда Z - выпуклый замкнутый .

Типичной задачей выявления эффективного способа является основная задача произведственного планирования. Задано производственных способов и вектор потребностей и ресурсных ограничений Требуется найти способ такой, что для всех Если Z - выпуклый замкнутый конус, то это есть общая задача выпуклого программирования. Если Zзадан конечным числом образующих (так наз. базисных способов), то это общая задача линейного программирования. Решение лежит на границе Z. Пусть p - коэффициенты опорной гиперплоскости для Z в точке т. е. для всех и Основная выпуклого программирования находит условия, при к-рых p l >0. Напр., достаточно условия: существует вектор (так наз. условие Слейтера). Коэффициенты я, характеризующие эффективный способ имеют важный экономич. смысл. Они интерпретируются как цены, соизмеряющие эффективность затрат и выпуска отдельных ингредиентов. Способ эффективен тогда и только тогда, когда стоимость выпуска, равна стоимости затрат. Данная эффективных способов производства и их характеризации с помощью p оказала революционизирующее влияние на теорию и практику планирования социалистич. экономики. Она легла в основу объективных количественных методов определения цен и общественных оценок ресурсов, дающих возможность выбора наиболее эффективных экономич. решений в условиях социалистич. хозяйства. Теория естественным образом обобщается на бесконечное число ингредиентов. Тогда пространство ингредиентов оказывается подходящим образом выбранным функциональным пространством.

Эффективный рост. Ингредиенты, относящиеся к разным моментам или интервалам времени, формально можно считать различными. Поэтому описание производства в динамике в принципе укладывается в изложенную выше схему, состоящую из объектов {X, Z , b} , где X - пространство ингредиентов, Z - множество производственных возможностей, b - задания требований и ограничений на экономику. Однако изучение собственно динамич. аспекта производства требует более специальных форм описания производственных возможностей.

Производственные возможности достаточно общей модели экономич. динамики задаются с помощью точечно-множественного отображения (многозначной функции) Здесь - (фазовое) пространство экономики, интерпретируется как состояние экономики в тот или иной времени, где х k - количество продукта k, имеющегося в наличии в этот момент. Множество а(х).состоит из всех состояний экономики, в к-рые она может перейти за единичный временной из состояния х. Будем называть

графиком отображения а. Точки ( х, у ).- допустимые производственные процессы.

Рассматриваются различные варианты задания возможных траекторий развития экономики. В частности, потребление населения учитывается либо в самом отображении я, либо выделяется в явном виде. Напр., во втором случае допустимой траекторией является такая, что

Для всех t. Изучаются различные понятия эффективности траекторий. Траектория эффективна по потреблению, если не существует другой допустимой траектории (X, С ), выходящей из того же начального состояния, для к-рой Траектория внутренне эффективна, если не существует другой допустимой траектории (X, С), выходящей из того же начального состояния, момента времени t 0 и числа l>1, что

Оптимальность траектории обычно определяется в зависимости от функции полезности и коэффициента приведения полезности во времени (о функции полезности см. ниже). Траектория наз. (и, m)-о птпмальной, если

для любой допустимой траектории (X, С ), выходящей из того же начального состояния. Имеется довольно общих теорем существования для соответствующих траекторий.

Эффективные в различных смыслах траектории характеризуются последовательностью цен точно так же, как эффективный способ характеризовался ценами (коэффициентами опорной гиперплоскости) п. Т. е. если для эффективного способа стоимость затрат равна стоимости выпуска в оптимальных ценах, то на эффективной траектории стоимость состояний постоянна и максимальна, а на всех других допустимых траекториях не может возрастать.

Все приведенные определения легко обобщаются на случай, когда производственное а, функция ии m зависят от времени. Само время может быть непрерывным или вообще параметр tможет пробегать множество довольно произвольного вида.

С экономич. точки зрения интерес представляют траектории, на к-рых достигается максимально возможный темп роста экономики, к-рый она может выдержать сколь угодно долго. Оказывается, что при неизменных во времени а и и такие траектории являются стационарными, т. е. имеют

где а - темп роста (расширения) экономики. Стационарные эффективные в том или ином смысле, а также стационарные оптимальные траектории наз. магистралями.

При весьма широких предположениях имеют место теоремы о магистрали, утверждающие, что всякая эффективная , независимо от начального состояния, с течением времени приближается к магистрали. Имеется большое число различных теорем о магистрали, различающихся определением эффективности или оптимальности, способом измерения расстояния до магистрали, типом сходимости, наконец, конечным или бесконечным временным интервалом.

Модель экономич. динамики, у к-рой производственные возможности задаются многогранным выпуклым конусом, наз. моделью Неймана. Частным случаем модели Неймана является замкнутая модель Леонтьева, или (по другой терминологии) замкнутый динамический межотраслевой баланс (термин "замкнутый" используется здесь как характеристика свойства экономики, состоящего в отсутствии невоспроизводимых продуктов), к-рый задается тремя матрицами с неотрицательными элементами Ф, Аи Впорядка Процесс тогда и только тогда, когда найдутся векторы v, такие, что выполнены неравенства:

Модель межотраслевого баланса получила большое распространение из-за удобства получения исходной информации для ее построения.

Модели экономич. динамики рассматриваются также в непрерывном времени. Одними из первых стали изучать как раз модели с непрерывным временем. В частности, ряд работ был посвящен простейшей однопродуктовой модели, задаваемой уравнением

где х - объем фондов, приходящихся на единицу трудовых ресурсов, с - потребление на душу населения, f - производственная функция (возрастающая, вогнутая). Неотрицательные функции удовлетворяющие этому уравнению, характеризуют допустимую траекторию. Для заданной функции полезности ии коэффициента дисконтирования mопределяется . Оптимальные траектории (и только они) удовлетворяют аналогу уравнения Эйлера

где - максимальное число, удовлетворяющее условию f(x) -с=х.

Модель Леонтьева также была сначала сформулирована в непрерывном времени в виде системы дифференциальных уравнений

где X - потоки продуктов, Аи В - матрицы текущих и капитальных затрат соответственно, С - потоки конечного потребления.

Эффективные и оптимальные траектории в моделях с непрерывным временем изучаются с помощью методов вариационного исчисления, оптимального управления, математич. программирования в бесконечномерных пространствах. Рассматриваются также модели, допустимые траектории в к-рых задаются дифференциальными включениями вида (х), где а - производственное отображение.

Рациональное поведение потребителей. Вкусы и цели потребителей, к-рые определяют их рациональное поведение, даются в виде нек-рой системы предпочтений в пространстве продуктов. А именно, для каждого потребителя iопределено точечно-множественное отображение где Z - нек-рое пространство ситуаций, в к-рых может оказаться потребитель в процессе выбора, X - множество векторов, доступных потребителю, В частности, Zможет включать в себя в качестве подпространства Содержательно множество состоит из всех векторов к-рые (строго) предпочитаются вектору хв ситуации z. Напр., отображение Р i может быть задано в виде функции полезности и, где и(х).показывает полезность от потребления набора продуктов х. Тогда

Пусть в описание ситуации z входят цены p. на все продукты и денежный доход потребителя d. Тогда есть множество наборов, к-рые потребитель может приобрести в ситуации z. Это множество наз. бюджетным. Рациональность поведения потребителя заключается в том, что он выбирает такие наборы хиз B i (z), для к-рых Пусть D(z) - множество наборов продуктов, выбираемых истребителем г в ситуации z; D i наз. отображен и-е м (или функцией в случае, когда D i (z) состоит из одной точки) спроса. Имеется ряд исследований, посвященных выяснению свойств отображений Р i , В i , D i . В частности, довольно подробно изучен случай, когда отображения Р i могут быть заданы в виде функций. Определены условия, при к-рых отображения В i и D i являются непрерывными. Особый интерес представляет изучение свойств функции спроса D i . Дело в том, что иногда удобнее считать в качестве первичных именно функции спроса D i , а не предпочтения P i , поскольку их легче построить по имеющейся информации о поведении потребителей. Напр., в экономике (торговая ) могут наблюдаться величины, приближенно оценивающие частные производные

где Яр - цена на продукт р, d - доход.

К теории рационального поведения потребителей примыкает теория группового выбора, имеющая дело, как правило, с дискретными вариантами. Обычно предполагается, что имеется конечное число участников группы и конечное число, напр., альтернативных вариантов. Задача состоит в выборе группового решения о выборе одного из вариантов при заданных отношениях предпочтения между вариантами для каждого участника. Групповой выбор обеспечивает различные схемы голосования, рассматриваются также аксиоматический и теоретико-игровой подходы.

Согласование интересов. Носителями интересов являются отдельные части экономич. системы, а также общество в целом. В качестве таких частей выступают потребители (группы потребителей): предприятия, министерства, территориальные органы управления, плановые и финансовые органы и т. п. Различают два взаимно переплетающихся подхода к проблеме согласования интересов - аналитический, или конструктивный, и синтетический, или дескриптивный. Согласно первому подходу в качестве исходного принимается глобальный критерий оптимальности (формализация интересов всего общества в целом). Задача состоит в том, чтобы вывести локальные (частные) критерии из общего, учитывая при этом частные интересы. При втором подходе исходными являются как раз частные интересы и задача заключается в объединении их в единую непротиворечивую систему, функционирование к-рой приводит к результатам, удовлетворительным с точки зрения всего общества в целом.

К первому подходу впрямую относятся декомпозиционные методы математич. программирования. Пусть, напр., в экономике имеется тпроизводителен и каждый производитель j задается множеством производственных возможностей Y j , где и является выпуклым компактом. Задана Vвсего общества в целом, где - вогнутая функция. Экономика должна быть организована таким образом, чтобы решалась задача выпуклого программирования: найти из условий

По теореме о характеристике эффективных способов производства существуют цены такие, что

для всех j,

Величина y (j) pинтерпретируется как прибыль j-го производителя при ценах р. Отсюда следует, что критерий максимизации прибыли у каждого из производителей не противоречит общей цели, если действующие цены определены соответствующим образом. Схемы, относящиеся ко второму подходу, получили большое развитие в рамках моделей экономич. равновесия.

Экономическое равновесие. Предполагается, что экономика состоит из отдельных частей, являющихся носителями собственных интересов: производителей, занумерованных индексами j = 1, ..., т, и потребителей, занумерованных индексами i=1, ..., п. Производитель j описывается множеством производственных возможностей и отображением задающим его систему предпочтений. Здесь Z - множество возможных состояний экономики, конкретизируемое ниже. Потребитель г описывается множеством возможных наборов продуктов, доступных для потребления, начальным запасом продуктов предпочтением и, наконец, функцией распределения доходов, где a i (z) показывает количество денег, поступающих потребителю i в состоянии z. Множество возможных цен в экономике есть Q. Тогда множество возможных состояний есть Бюджетное отображение B i определяется здесь так:

Состояние равновесия описанной экономики есть удовлетворяющее условиям

По существу состояние равновесия экономики совпадает с определением решения бескоалиционной игры многих лиц в смысле Неймана - Нэша с дополнительным условием, чтобы выполнялся баланс по всем продуктам. Существование состояния равновесия доказано при весьма общих условиях для исходной экономики. Гораздо более жесткие условия необходимо накладывать для того, чтобы состояние равновесия было оптимальным, т. е. доставляло нек-рой глобальной оптимизационной задаче с целевой функцией, зависящей от интересов потребителей. Напр., пусть Р i задано вогнутой непрерывной функцией a F j задано функцией

где Y j , Х i - выпуклые компакты,

Любое подмножество S={i 1 , ..., i r } индексов потребителей образует подэкономику исходной экономики, в к-рой каждому потребителю i s из S соответствует (один и только один) производитель, множество производственных возможностей к-рого есть

Функции распределения доходов при этом имеют вид

Состояние наз. сбалансированным, если

Говорят, что сбалансированное состояние z исходной экономики блокируется коалицией потребителей S, если в подэкономике, определяемой коалицией S, существует такое сбалансированное состояние что для s= 1, ..., r и хотя бы для одного индекса имеет место строгое неравенство. Ядром экономики наз. множество всех сбалансированных состояний, к-рые не блокируются никакой коалицией потребителей. Для экономики с описанными свойствами имеет место теорема: всякое состояние равновесия принадлежит ядру. Обратное неверно, однако найден ряд достаточных условий, при к-рых множество состояний равновесия и близки друг к другу или вообще совпадают. В частности, если число потребителей стремится к бесконечности и влияние каждого потребителя на состояние экономики становится все более малым, то множество состояний равновесия стремится к ядру. Совпадение ядра и множества состояний равновесия имеет место в экономике с бесконечным (континуальным) числом потребителей (теорема Аумана).

Пусть экономика является моделью рынка (т. е. отсутствуют производители), множество участников (потребителей) к-рой является замкнутым единичным отрезком , обозначаемым далее Т. Состояние экономики есть z= (x, p ), где хесть функция, отображающая Тв R + l , каждая компонента к-рой интегрируема по Лебегу на отрезке Т. Начальное продуктов между участниками задано функцией w, . таким образом сбалансированное состояние z таково, что Коалиция участников - это измеримое по Лебегу подмножество множества Т. Если подмножество имеет меру 0, то соответствующая наз. нулевой. Ядро - это множество всех сбалансированных состояний, к-рые не блокируются ни одной ненулевой коалицией. Состояние является равновесием, если для почти каждого участника i

Теорема Аумана утверждает, что в описанной экономике и множество состояний равновесия совпадают. Интерес представляет вопрос о структуре множества состояний равновесия, в частности когда это множество конечно или состоит из одной точки. Здесь имеет место теорема Дебре. Пусть множество моделей рынка где суть начальные запасы продуктов у участника i, вектор является параметром, определяющим конкретную модель из множества Отображение представляет собой функцию спроса для i-гo участника. Функции D 1 , ..., D n заданы (не меняются) для всего множества экономик W. Пусть W 0 , -совокупность экономик, у к-рых множество состояний равновесия бесконечно. Теорема Дебре утверждает, что если функции D 1 , ... , D n непрерывно дифференцируемы и отсутствуют точки насыщения хотя бы для одного из участников, то W 0 имеет (лебегову) меру в пространстве W.

О численных методах. М. э. имеет тесную связь с вычислительной математикой. Линейное , линейные экономич. модели оказали большое влияние на вычислительные методы линейной алгебры. По существу благодаря линейному программированию неравенства в вычислительной математике стали столь же употребительны, как и уравнения.

Трудным и многоплановым вопросом является вычисление экономич. равновесия. Напр., много работ посвящено условиям сходимости к равновесию системы дифференциальных уравнений

где р - вектор цен, F - функция избыточного спроса, т. е. функций спроса и предложения. Равновесные цены по определению, обеспечивают равенство спроса и предложения:

Функция избыточного спроса Fзадается либо непосредственно, либо через более первичные понятия соответствующей модели равновесия. С. Смейлом изучена существенно более общая динамич. система, чем (*), применительно к модели рынка; наряду с изменением во времени цен р рассмотрено изменение состояния х;при этом допустимая траектория удовлетворяет нек-рым дифференциальным включениям вида где К(р).и С(р) - множества возможных направлений изменения ри х, определенные через модель рынка.

Экономич. равновесие, решение игры, решение той или иной экстремальной задачи могут быть определены как неподвижные точки подходящим образом сформулированного точечно-множественного отображения. В рамках исследований по М. э. разрабатываются численные методы поиска неподвижных точек разных классов отображений. Наиболее известен метод Скарфа, к-рый является комбинацией идей леммы Шпернера и симплекс-метода решения задач линейного программирования.

Смежные вопросы. М. э. тесно связана со многими математич. дисциплинами. Иногда трудно определить, где границы между М. э. и математич. статистикой или выпуклым анализом, функциональным анализом, топологией и т. д. Можно указать, напр., на развитие теории положительных матриц, положительных линейных (и однородных) операторов, спектральных свойств суперлинейных точечно-множественных отображений под влиянием потребностей М. э.

Лит. :Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; К а н т о р о в и ч Л. В., Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, М., 1959; Никайдо X., Выпуклые структуры и математическая экономика, пер. с англ., М., 1972; М а к а р о в В. Л., Рубинов А. М., Математическая теория экономической динамики и равновесия, М., 1973; М и р к и н Б. Г., Проблема группового выбора [информации], М., 1974; Scarf H., The Computation of Economic Equilibria, L., 1973; Данциг Д ж., Линейное программирование, его применения и обобщения, пер. с англ., М., 1966; Smale S., "J. math. Economics", 1976, №2, p. 107-20. Л. В. Канторович, В. Л. Макаров.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Экономический словарь

Предмет и методы экономической теории

Хозяйственные отношения пронизывают все сферы жизни человека. Изучение их закономерностей занимало умы философов еще в древности. Постепенное развитие сельского хозяйства, появление частной собственности способствовали усложнению экономических отношений и построению первых хозяйственных систем. Научно – технический прогресс, определивший переход от ручного труда к машинному, дал сильный толчок для укрупнения производства, а значит, для расширения экономических связей и структур. В современном мире экономика все чаще рассматривается в совокупности с другими смежными общественными науками. Именно, на стыке двух направлений находятся различные решения, которые можно применить на практике.

Само фундаментальное направление к экономике сложилось лишь к середине девятнадцатого века, хотя ученые многих стран на протяжении столетий создавали специальные школы, изучавшие закономерности хозяйственной жизни людей. Только в это время помимо качественной оценки происходящего, ученые стали исследовать и сопоставлять фактические события в экономике. Развитие классической экономики способствовало формированию прикладных дисциплин, которые изучают более узкие области систем хозяйствования.

Основным предметом изучения экономической теории является поиск оптимальных решений для экономик различных уровней организации в части удовлетворения возрастающего спроса при условии ограниченности ресурсов. Экономисты используют различные методы в своих исследованиях. Среди них, наиболее часто, применяются следующие:

Методы, позволяющие оценивать элементы общего, либо обобщать отдельные структуры. Их называют методами анализа и синтеза.
Индукция и дедукция дают возможность рассматривать динамику процессов от частного к общему и наоборот.
Системный подход помогает увидеть отдельный элемент экономики, как структуру, и проанализировать ее.
На практике широко используется метод абстракции. Он позволяет отделить изучаемый объект или явление от его взаимосвязей и внешних факторов.
Как и в других науках, в экономике достаточно часто используется язык математики, помогающий наглядно отобразить исследуемые элементы экономики, а также провести анализ или сформировать необходимый прогноз тенденций.

Сущность математической экономики

Современную экономику отличает сложность изучаемых ею систем. Как правило, один экономический агент вступает сразу во множество отношений, причем ежедневно. Если речь идет о предприятии, то количество его внутренних и внешних взаимодействий увеличивается в тысячи раз. Для облегчения исследовательских и аналитических задач, встающих перед экономистами и учеными, используется язык математики. Развитость математического инструментария позволяет решать такие проблемы, которые не под силу другим методам, применяемым в экономической теории.

Математическая экономика является прикладным направлением экономической теории. Ее основная сущность заключается в применении математических методов, средств и инструментов для описания, изучения и анализа хозяйственных систем. Однако, данная дисциплина обладает своей спецификой. Она не изучает экономические явления как таковые, а занимается расчетами, связанными с математическими моделями.

Замечание 1

Целью математической экономики, как и большинства прикладных направлений, можно назвать формирование объективной информации и поиск решений для практических задач. Она изучает, прежде всего, количественные, качественные показатели, а также поведение экономических агентов в динамике.

Задачи, стоящие перед математической экономикой, заключаются в следующем:

Построение математических моделей, описывающих процессы и явления в экономических системах.
Исследование поведения различных субъектов хозяйственных отношений.
Осуществление помощи в построении и оценке планов, прогнозов, различного рода событий в динамике.
Проведение анализа математических и статистических величин.

Прикладная математика в экономике

Математическая экономика по своему социальному значению находится достаточно близко к математике. Если рассматривать данную дисциплину со стороны математической науки, то для нее она и является прикладным направлением. Прикладная математика дает возможность рассматривать и анализировать отдельные элементы сложнейших экономических систем, так как она обладает широким функционалом, опирающимся на фундаментальное математическое знание. Такие возможности математики способствовали появлению математической экологии, социологии, лингвистики, финансовой математики.

Рассмотрим наиболее важные математические методы, используемые в рамках изучения хозяйственных систем:

Операционное исследование занимается изучением процессов и явлений в системах. Сюда относят аналитическую работу и оптимизацию применения на практике полученных результатов.
Математическое моделирование включает в себя широкий спектр методов и инструментов, дающих возможность решать стоящие перед учеными и экономистами задачи. Наиболее часто используется теория игр, теория обслуживания, теория расписания и теория запасов.
Оптимизация в математике занимается вопросами поиска экстремальных величин, как максимальных, так и минимальных. Для этих целей обычно используются графики функций.

Перечисленные выше методы математики позволяют изучать статистические ситуации в экономике, либо процессы в краткосрочных периодах. Как известно, в настоящее время основная цель экономических субъектов заключается в поиске долгосрочного равновесия. Важным в данных исследованиях является фактор времени, который можно учесть, применяя для расчетов теорию вероятностей, теорию оптимального решения.

Замечание 2

Таким образом, математика и экономика крепко связаны друг с другом. Динамику экономических структур принято облачать в математические модели, которые далее можно разбить на отдельные подзадачи и применить все возможные методы экономического анализа, а также математических расчетов. Принятие решений в экономической сфере является достаточно сложным действием, так как оно связано с несовершенством и неполнотой доступной информации. Использование математического моделирования позволяет снизить рискованность принимаемых управленческих решений.