Teorema. Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente.
Dovada. Se consideră triunghiul ABC (Fig. 259) și bisectoarea unghiului său B. Desenați prin vârful C o dreaptă CM, paralelă cu bisectoarea BC, până când se intersectează în punctul M cu continuarea laturii AB. Deoarece BK este bisectoarea unghiului ABC, atunci . Mai mult, ca unghiuri corespunzătoare pentru liniile paralele și ca unghiuri transversale pentru liniile paralele. Prin urmare și prin urmare - isoscel, de unde . Prin teorema despre drepte paralele care intersectează laturile unui unghi, avem și în vedere obținem , ceea ce trebuia să demonstrăm.
Bisectoarea unghiului extern B al triunghiului ABC (Fig. 260) are o proprietate similară: segmentele AL și CL de la vârfurile A și C până la punctul L de intersecție a bisectoarei cu continuarea laturii AC sunt proporționale cu laturile triunghiului:
Această proprietate este dovedită în același mod ca și precedenta: în Fig. 260 o dreaptă auxiliară SM este trasată paralelă cu bisectoarea BL. Cititorul însuși se va convinge de egalitatea unghiurilor VMS și VSM, și deci a laturilor VM și BC ale triunghiului VMS, după care se va obține imediat proporția necesară.
Putem spune că bisectoarea unui unghi extern împarte și latura opusă în părți proporționale cu laturile adiacente; trebuie doar să fiți de acord să permiteți „diviziunea externă” a segmentului.
Punctul L, situat în afara segmentului AC (pe continuarea acestuia), îl împarte exterior în relația dacă. Astfel, bisectoarele unghiului unui triunghi (intern și extern) împart latura opusă (internă și externă) în părți proporționale cu laturile adiacente.
Problema 1. Laturile trapezului sunt egale cu 12 și 15, bazele sunt egale cu 24 și 16. Aflați laturile triunghiului format din baza mare a trapezului și laturile sale extinse.
Soluţie. În notația din Fig. 261 avem o proporție pentru segmentul care servește drept continuare a laturii, din care găsim cu ușurință În mod similar, determinăm a doua latură a triunghiului.
Problema 2. Bazele trapezului sunt 6 și 15. Care este lungimea segmentului paralel cu bazele și împărțind laturile în raport 1:2, numărând de la vârfurile bazei mici?
Soluţie. Să ne întoarcem la Fig. 262, înfățișând un trapez. Prin vârful C al bazei mici trasăm o linie paralelă cu latura AB, tăind paralelogramul din trapez. De când , atunci de aici găsim . Prin urmare, întregul segment necunoscut KL este egal cu Rețineți că pentru a rezolva această problemă nu este nevoie să cunoaștem laturile laterale ale trapezului.
Problema 3. Bisectoarea unghiului intern B al triunghiului ABC taie latura AC în segmente la ce distanță de vârfurile A și C va intersecta bisectoarea unghiului extern B prelungirea AC?
Soluţie. Fiecare dintre bisectoarele unghiului B împarte AC în același raport, dar una intern și cealaltă extern. Să notăm cu L punctul de intersecție al continuării AC și bisectoarea unghiului exterior B. Deoarece AK Să notăm până atunci distanța necunoscută AL și vom avea o proporție A cărei soluție ne dă distanța necesară
Completați singur desenul.
Exerciții
1. Un trapez cu bazele 8 și 18 este împărțit prin linii drepte paralele cu bazele în șase benzi de lățime egală. Aflați lungimile segmentelor drepte care împart trapezul în benzi.
2. Perimetrul triunghiului este 32. Bisectoarea unghiului A împarte latura BC în părți egale cu 5 și 3. Aflați lungimile laturilor triunghiului.
3. Baza unui triunghi isoscel este a, latura este b. Aflați lungimea segmentului care leagă punctele de intersecție ale bisectoarelor colțurilor bazei cu laturile.
Astăzi va fi o lecție foarte ușoară. Vom lua în considerare un singur obiect - bisectoarea unghiului - și vom demonstra cea mai importantă proprietate a acestuia, care ne va fi foarte utilă în viitor.
Nu vă relaxați: uneori, studenții care doresc să obțină un scor mare la același examen de stat unificat sau examen de stat unificat nu pot formula nici măcar cu exactitate definiția bisectoarei în prima lecție.
Și în loc să facă cu adevărat sarcini interesante, pierdem timpul cu lucruri atât de simple. Așa că citește, urmărește și adoptă-l.
Pentru început, o întrebare puțin ciudată: ce este un unghi? Așa este: un unghi sunt pur și simplu două raze care emană din același punct. De exemplu:
Exemple de unghiuri: acute, obtuz și drept După cum puteți vedea din imagine, unghiurile pot fi acute, obtuze, drepte - nu contează acum. Adesea, pentru comoditate, pe fiecare rază este marcat un punct suplimentar și se spune că în fața noastră se află unghiul $AOB$ (scris ca $\angle AOB$).
Căpitanul Obviousness pare să sugereze că, pe lângă razele $OA$ și $OB$, este întotdeauna posibil să se deseneze o grămadă de mai multe raze din punctul $O$. Dar printre ei va fi unul special - se numește bisectoare.
Definiţie. Bisectoarea unui unghi este raza care iese din vârful acelui unghi și bisectează unghiul.
Pentru unghiurile de mai sus, bisectoarele vor arăta astfel:
Exemple de bisectoare pentru unghiuri acute, obtuze și drepte
Deoarece în desenele reale nu este întotdeauna evident că o anumită rază (în cazul nostru este raza $OM$) împarte unghiul original în două egale, în geometrie se obișnuiește să se marcheze unghiuri egale cu același număr de arce ( în desenul nostru, acesta este 1 arc pentru un unghi ascuțit, doi pentru obtuz, trei pentru drept).
Bine, am rezolvat definiția. Acum trebuie să înțelegeți ce proprietăți are bisectoarea.
Proprietatea principală a bisectoarei unghiului
De fapt, bisectoarea are o mulțime de proprietăți. Și cu siguranță ne vom uita la ele în lecția următoare. Dar există un truc pe care trebuie să-l înțelegi chiar acum:
Teorema. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante de laturile unui unghi dat.
Tradus din matematică în rusă, aceasta înseamnă două fapte simultan:
- Orice punct situat pe bisectoarea unui anumit unghi se află la aceeași distanță de laturile acestui unghi.
- Și invers: dacă un punct se află la aceeași distanță de laturile unui unghi dat, atunci este garantat să se afle pe bisectoarea acestui unghi.
Înainte de a demonstra aceste afirmații, să clarificăm un punct: cum se numește, mai exact, distanța de la un punct la latura unui unghi? Aici vechea determinare bună a distanței de la un punct la o linie ne va ajuta:
Definiţie. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la această dreaptă.
De exemplu, luați în considerare o linie $l$ și un punct $A$ care nu se află pe această dreaptă. Să desenăm o perpendiculară pe $AH$, unde $H\în l$. Atunci lungimea acestei perpendiculare va fi distanța de la punctul $A$ la linia dreaptă $l$.
Reprezentarea grafică a distanței de la un punct la o linie Deoarece un unghi este doar două raze și fiecare rază este o bucată de linie dreaptă, este ușor să determinați distanța de la un punct la laturile unui unghi. Acestea sunt doar două perpendiculare:
Determinați distanța de la punct la laturile unghiului Asta este! Acum știm ce este o distanță și ce este o bisectoare. Prin urmare, putem demonstra proprietatea principală.
După cum am promis, vom împărți dovada în două părți:
1. Distanțele de la punctul de pe bisectoare până la laturile unghiului sunt aceleași
Să luăm în considerare unghi arbitrar cu vârf $O$ și bisectoare $OM$:
Să demonstrăm că chiar acest punct $M$ se află la aceeași distanță de laturile unghiului.
Dovada. Să desenăm perpendiculare din punctul $M$ la laturile unghiului. Să le numim $M((H)_(1))$ și $M((H)_(2))$:
Desenați perpendiculare pe laturile unghiului
Am două triunghi dreptunghic: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Au o ipotenuză comună $OM$ și unghiuri egale:
- $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ după condiție (deoarece $OM$ este bisectoare);
- $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ prin construcție;
- $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, deoarece suma Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt întotdeauna de 90 de grade.
În consecință, triunghiurile sunt egale în latură și două unghiuri adiacente (vezi semnele de egalitate a triunghiurilor). Prin urmare, în special, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, adică. distanţele de la punctul $O$ la laturile unghiului sunt într-adevăr egale. Q.E.D.:)
2. Dacă distanțele sunt egale, atunci punctul se află pe bisectoare
Acum situația este inversată. Fie dat un unghi $O$ și un punct $M$ echidistant de laturile acestui unghi:
Să demonstrăm că raza $OM$ este o bisectoare, i.e. $\unghi MO((H)_(1))=\unghi MO((H)_(2))$.
Dovada. Mai întâi, să desenăm chiar această rază $OM$, altfel nu va fi nimic de demonstrat:
Grinda condusă $OM$ în interiorul colțului
Din nou obținem două triunghiuri dreptunghiulare: $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$. Evident, sunt egali pentru că:
- Hipotenuza $OM$ - general;
- Picioare $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ după condiție (la urma urmei, punctul $M$ este echidistant de laturile unghiului);
- Picioarele rămase sunt și ele egale, deoarece prin teorema lui Pitagora $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Prin urmare, triunghiurile $\vartriangle OM((H)_(1))$ și $\vartriangle OM((H)_(2))$ pe trei laturi. În special, unghiurile lor sunt egale: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Și asta înseamnă doar că $OM$ este o bisectoare.
Pentru a încheia demonstrația, marchem unghiurile egale rezultate cu arce roșii:
Bisectoarea împarte unghiul $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ în două egale
După cum puteți vedea, nimic complicat. Am demonstrat că bisectoarea unui unghi este locul punctelor echidistante față de laturile acestui unghi.
Acum că ne-am hotărât mai mult sau mai puțin cu privire la terminologie, este timpul să trecem la următorul nivel. În lecția următoare ne vom uita la mai multe proprietăți complexe bisectoare și învață cum să le folosești pentru a rezolva probleme reale.
Salut din nou! Primul lucru pe care vreau să-ți arăt în acest videoclip este ce este teorema bisectoarei, al doilea lucru este să-ți demonstrez. s-a dovedit a fi două triunghiuri mai mici. Deci, conform teoremei bisectoarei, rapoartele dintre celelalte două laturi ale acestor triunghiuri mai mici (adică, fără să includă latura bisectoarei) vor fi egale. Și segmentul BF în acest caz este o secantă. .. Triunghiul BDA este similar cu triunghiul... Și din nou începem cu colțul marcat cu verde: F (apoi treceți la colțul marcat cu albastru)... Similar cu triunghiul FDC. Deci, avem un triunghi arbitrar, triunghiul ABC.Și voi desena bisectoarea acestui colț de sus.
