O fracție zecimală diferă de o fracție obișnuită prin faptul că numitorul ei este o unitate de valoare de loc.
De exemplu:
Fracțiile zecimale sunt separate de fracțiile obișnuite într-o formă separată, ceea ce a condus la propriile reguli de comparare, adunare, scădere, înmulțire și împărțire a acestor fracții. În principiu, puteți lucra cu fracții zecimale folosind regulile fracțiilor obișnuite. Regulile proprii pentru conversia fracțiilor zecimale simplifică calculele, iar regulile pentru conversia fracțiilor obișnuite în zecimale și invers, servesc ca o legătură între aceste tipuri de fracții.
Scrierea și citirea fracțiilor zecimale vă permite să le scrieți, să le comparați și să efectuați operații asupra lor conform unor reguli foarte asemănătoare cu regulile pentru operațiile cu numere naturale.
Sistemul de fracții zecimale și operații asupra acestora a fost conturat pentru prima dată în secolul al XV-lea. Matematicianul și astronomul din Samarkand Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi în cartea „Cheia artei numărării”.
Întreaga parte a fracției zecimale este separată de partea fracțională printr-o virgulă în unele țări (SUA) pun punct; Dacă o fracție zecimală nu are o parte întreagă, atunci numărul 0 este plasat înaintea virgulei zecimale.
Puteți adăuga orice număr de zerouri la partea fracțională a zecimalei din dreapta, aceasta nu schimbă valoarea fracției. Partea fracțională a unei zecimale se citește la ultima cifră semnificativă.
De exemplu:
0,3 - trei zecimi
0,75 - șaptezeci și cinci sutimi
0,000005 - cinci milionimi.
Citirea întregii părți a unei zecimale este la fel ca numere naturale.
De exemplu:
27,5 - douăzeci și șapte...;
1,57 - unu...
După întreaga parte a fracției zecimale se pronunță cuvântul „întreg”.
De exemplu:
10,7 - zece virgulă șapte
0,67 - zero virgulă șaizeci și șapte sutimi.
Locurile zecimale sunt cifrele părții fracționale. Partea fracțională nu este citită de cifre (spre deosebire de numerele naturale), ci ca întreg, de aceea partea fracțională a unei fracții zecimale este determinată de ultima cifră semnificativă din dreapta. Sistemul de locuri al părții fracționale a zecimalei este oarecum diferit de cel al numerelor naturale.
- Prima cifră după ocupat - cifra zecimii
- A 2-a zecimală - locul sutimilor
- A treia zecimală - locul miilor
- A 4-a zecimală - locul zece-miile
- A cincea zecimală - sută de miimi
- A 6-a zecimală - milionul de loc
- A 7-a zecimală - locul zece milioane
- A 8-a zecimală este locul sută de milion
Primele trei cifre sunt cel mai des folosite în calcule. Capacitatea de cifre mari a părții fracționale a zecimalelor este utilizată numai în ramuri specifice ale cunoașterii în care se calculează cantități infinitezimale.
Transformarea unei zecimale într-o fracție mixtă constă în următoarele: numărul de dinaintea virgulei zecimale este scris ca o parte întreagă a fracției mixte; numărul de după virgulă este numărătorul părții sale fracționale, iar în numitorul părții fracționale scrieți o unitate cu atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă.
3.4 Ordinea corectă
În secțiunea anterioară, am comparat numerele după poziția lor pe linia numerică. Acest cale bună compara numerele în notație zecimală. Această metodă funcționează întotdeauna, dar este consumatoare de timp și incomod de făcut de fiecare dată când trebuie să comparați două numere. Există o altă modalitate bună de a afla care dintre două numere este mai mare.
Exemplul A.
Să ne uităm la numerele din secțiunea anterioară și să comparăm 0,05 și 0,2.
Pentru a afla care număr este mai mare, comparați mai întâi părțile lor întregi. Ambele numere din exemplul nostru au un număr egal de numere întregi - 0. Să comparăm apoi zecimile lor. Numărul 0,05 are 0 zecimi, iar numărul 0,2 are 2 zecimi. Faptul că numărul 0,05 are 5 sutimi nu contează, deoarece zecimile determină că numărul 0,2 este mai mare. Putem scrie astfel:
Ambele numere au 0 numere întregi și 6 zecimi și încă nu putem determina care dintre ele este mai mare. Cu toate acestea, numărul 0,612 are doar o sutime parte, iar numărul 0,62 are două. Apoi, putem determina asta
0,62 > 0,612
Faptul că numărul 0,612 are 2 miimi nu contează tot mai puțin de 0,62.
Putem ilustra acest lucru în imagine:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Pentru a determina care dintre două numere în notație zecimală este mai mare, trebuie să faceți următoarele:
1. Comparați părți întregi. Numărul a cărui parte întreagă este mai mare va fi mai mare.
2 . Dacă părțile întregi sunt egale, comparați părțile a zecea. Numărul cu mai multe zecimi va fi mai mare.
3 . Dacă zecimile sunt egale, comparați sutimile. Numărul care are mai multe părți sutimi va fi mai mare.
4 . Dacă sutimile sunt egale, comparați miimile. Numărul care are mai multe părți la mie va fi mai mare.
O fracție zecimală trebuie să conțină o virgulă. Partea numerică a fracției care se află în stânga punctului zecimal se numește întreaga parte; la dreapta - fracționar:
5,28 5 - parte întreagă 28 - parte fracțională
Partea fracțională a unei zecimale este formată din zecimale(zecimale):
- zecimi - 0,1 (o zecime);
- sutimi - 0,01 (o sutime);
- miimi - 0,001 (o miime);
- zece miimi - 0,0001 (o zece miimi);
- sută de miimi - 0,00001 (o sută de miimi);
- milionimi - 0,000001 (o milione);
- zece milioane - 0,0000001 (o zece milione);
- sută de milionimi - 0,00000001 (o sută de milionimi);
- miliarde - 0,000000001 (o miliardime), etc.
- citește numărul care alcătuiește întreaga parte a fracției și adaugă cuvântul " întreg";
- citiți numărul care alcătuiește partea fracționară a fracției și adăugați numele cifrei celei mai puțin semnificative.
De exemplu:
- 0,25 - zero virgulă douăzeci și cinci sutimi;
- 9,1 - nouă virgulă o zecime;
- 18.013 - optsprezece virgulă treisprezece miimi;
- 100.2834 - o sută virgulă două mii opt sute treizeci și patru zece miimi.
Scrierea zecimale
Pentru a înregistra zecimal, necesar:
- scrieți întreaga parte a fracției și puneți o virgulă (numărul care înseamnă că întreaga parte a fracției se termină întotdeauna cu cuvântul " întreg");
- scrieți partea fracționară a fracției în așa fel încât ultima cifră să cadă în cifra dorită (dacă nu există cifre semnificative în anumite zecimale, acestea sunt înlocuite cu zerouri).
De exemplu:
- douăzeci virgulă nouă - 20,9 - în acest exemplu totul este simplu;
- cinci virgulă unu o sutime - 5,01 - cuvântul „sute” înseamnă că ar trebui să existe două cifre după virgulă zecimală, dar deoarece numărul 1 nu are un al zecelea loc, este înlocuit cu zero;
- zero virgulă opt sute opt miimi - 0,808;
- trei virgulă cincisprezece zecimi - o astfel de fracție zecimală nu poate fi scrisă, deoarece a existat o eroare în pronunția părții fracționale - numărul 15 conține două cifre, iar cuvântul „zecimi” implică doar una. Corect ar fi trei virgulă cincisprezece sutimi (sau miimi, zece miimi etc.).
Comparația zecimale
Compararea fracțiilor zecimale se realizează în mod similar cu compararea numerelor naturale.
- mai întâi, se compară părțile întregi ale fracțiilor - fracția zecimală a cărei parte întreagă este mai mare va fi mai mare;
- dacă toate părțile fracțiilor sunt egale, comparați părțile fracționale bit cu bit, de la stânga la dreapta, începând cu virgulă zecimală: zecimi, sutimi, miimi etc. Comparația se efectuează până la prima discrepanță - cu atât mai mare va fi fracția zecimală care are o cifră inegală mai mare în cifra corespunzătoare a părții fracționale. De exemplu: 1,2 8 3 > 1,27 9, pentru că pe locul sutimilor prima fracție are 8, iar a doua are 7.
În acest articol ne vom uita la subiectul „ comparând zecimale" Mai întâi să discutăm principiu general compararea fracțiilor zecimale. După aceasta, ne vom da seama ce fracții zecimale sunt egale și care sunt inegale. În continuare, vom învăța să stabilim care fracție zecimală este mai mare și care este mai mică. Pentru a face acest lucru, vom studia regulile de comparare a fracțiilor neperiodice finite, infinite periodice și infinite. Vom oferi întregii teorii exemple cu soluții detaliate. În concluzie, să ne oprim asupra comparației fracțiilor zecimale cu numere naturale, fracții obișnuite și numere mixte.
Să spunem imediat că aici vom vorbi doar despre compararea fracțiilor zecimale pozitive (vezi numere pozitive și negative). Cazurile rămase sunt discutate în articolele compararea numerelor raționale și compararea numerelor reale.
Navigare în pagină.
Principiul general de comparare a fracțiilor zecimale
Pe baza acestui principiu de comparație, se derivă reguli de comparare a fracțiilor zecimale care fac posibil să se facă fără convertirea fracțiilor zecimale comparate în fracții comune. Vom discuta aceste reguli, precum și exemple de aplicare a acestora, în paragrafele următoare.
Un principiu similar este folosit pentru a compara fracții zecimale finite sau fracții zecimale periodice infinite cu numere naturale, fracții ordinare și numere mixte: numerele comparate sunt înlocuite cu fracțiile lor ordinare corespunzătoare, după care se compară fracțiile ordinare.
Referitor la comparații de infinite zecimale neperiodice, atunci de obicei se reduce la compararea fracțiilor zecimale finite. Pentru a face acest lucru, luați în considerare numărul de semne ale fracțiilor zecimale neperiodice infinite comparate care vă permite să obțineți rezultatul comparației.
zecimale egale și inegale
Mai întâi vă prezentăm definițiile fracțiilor zecimale egale și inegale.
Definiţie.
Cele două fracții zecimale finale se numesc egal, dacă fracțiile lor ordinare corespunzătoare sunt egale, în caz contrar se numesc aceste fracții zecimale inegal.
Pe baza acestei definiții, este ușor să justificați următoarea afirmație: dacă adăugați sau eliminați mai multe cifre 0 la sfârșitul unei fracții zecimale date, veți obține o fracție zecimală egală cu aceasta. De exemplu, 0,3=0,30=0,300=… și 140,000=140,00=140,0=140.
Într-adevăr, adăugarea sau eliminarea unui zero la sfârșitul unei fracții zecimale din dreapta corespunde înmulțirii sau împărțirii cu 10 a numărătorului și numitorului fracției ordinare corespunzătoare. Și cunoaștem proprietatea de bază a unei fracții, care afirmă că înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr natural dă o fracție egală cu cea inițială. Acest lucru demonstrează că adăugarea sau eliminarea zerourilor la dreapta în partea fracționară a unei zecimale dă o fracție egală cu cea inițială.
De exemplu, fracția zecimală 0,5 corespunde fracției comune 5/10, după adăugarea unui zero la dreapta, corespunde fracțiunii zecimale 0,50, care corespunde fracției comune 50/100 și. Astfel, 0,5=0,50. Invers, dacă în fracția zecimală 0,50 aruncăm 0 în dreapta, atunci obținem fracția 0,5, deci din fracția obișnuită 50/100 ajungem la fracția 5/10, dar 
. Prin urmare, 0,50=0,5.
Să trecem la determinarea fracțiilor zecimale periodice infinite egale și inegale.
Definiţie.
Două fracții periodice infinite egal, dacă fracțiile ordinare corespunzătoare sunt egale; dacă fracțiile ordinare care le corespund nu sunt egale, atunci sunt și fracțiile periodice comparate nu egali.
Din această definiție Urmează trei concluzii:
- Dacă notațiile fracțiilor zecimale periodice coincid complet, atunci astfel de fracții zecimale periodice infinite sunt egale. De exemplu, zecimale periodice 0,34(2987) și 0,34(2987) sunt egale.
- Dacă perioadele fracțiilor periodice zecimale comparate încep din aceeași poziție, prima fracție are o perioadă de 0, a doua are o perioadă de 9, iar valoarea cifrei care precedă perioada 0 este cu unul mai mare decât valoarea cifrei. perioada precedentă 9, atunci astfel de fracții zecimale periodice infinite sunt egale. De exemplu, fracțiile periodice 8,3(0) și 8,2(9) sunt egale, iar fracțiile 141,(0) și 140,(9) sunt de asemenea egale.
- Alte două fracții periodice nu sunt egale. Iată exemple de fracții zecimale periodice infinite inegale: 9,0(4) și 7,(21), 0,(12) și 0,(121), 10,(0) și 9,8(9).
Rămâne de rezolvat fracții zecimale neperiodice infinite egale și inegale. După cum se știe, astfel de fracții zecimale nu pot fi convertite în fracții obișnuite (astfel de fracții zecimale reprezintă numere iraționale), prin urmare, compararea fracțiilor zecimale neperiodice infinite nu poate fi redusă la compararea fracțiilor obișnuite.
Definiţie.
Două zecimale infinite neperiodice egal, dacă înregistrările lor se potrivesc complet.
Dar există o avertizare: este imposibil să vezi înregistrarea „terminată” a fracțiilor zecimale neperiodice nesfârșite, prin urmare, este imposibil să fii sigur de coincidența completă a înregistrărilor lor. Cum poate fi asta?
La compararea fracțiilor zecimale neperiodice infinite, se ia în considerare doar un număr finit de semne ale fracțiilor comparate, ceea ce permite să se tragă concluziile necesare. Astfel, compararea fracțiilor zecimale neperiodice infinite se reduce la compararea fracțiilor zecimale finite.
Cu această abordare, putem vorbi despre egalitatea fracțiilor zecimale infinite neperiodice numai până la cifra în cauză. Să dăm exemple. Infinitele zecimale neperiodice 5,45839... și 5,45839... sunt egale cu cea mai apropiată sută de miimi, deoarece zecimale finite 5,45839 și 5,45839 sunt egale; fracțiile zecimale neperiodice 19,54... și 19,54810375... sunt egale cu cea mai apropiată sutime, deoarece sunt egale cu fracțiile 19,54 și 19,54.
Cu această abordare, inegalitatea fracțiilor zecimale neperiodice infinite este stabilită destul de clar. De exemplu, zecimale infinite neperiodice 5,6789... și 5,67732... nu sunt egale, deoarece diferențele în notațiile lor sunt evidente (zecimalele finite 5,6789 și 5,6773 nu sunt egale). De asemenea, zecimale infinite 6,49354... și 7,53789... nu sunt egale.
Reguli pentru compararea fracțiilor zecimale, exemple, soluții
După stabilirea faptului că două fracții zecimale sunt inegale, de multe ori trebuie să aflați care dintre aceste fracții este mai mare și care este mai mică decât cealaltă. Acum ne vom uita la regulile de comparare a fracțiilor zecimale, permițându-ne să răspundem la întrebarea pusă.
În multe cazuri, este suficient să comparați părți întregi ale fracțiilor zecimale comparate. Următoarele sunt adevărate regula pentru compararea zecimalelor: cu cât este mai mare fracția zecimală a cărei parte întreagă este mai mare și cu atât este mai mică fracția zecimală a cărei parte întreagă este mai mică.
Această regulă se aplică atât fracțiilor zecimale finite, cât și infinite. Să ne uităm la soluțiile exemplelor.
Exemplu.
Comparați zecimale 9,43 și 7,983023...
Soluţie.
Evident, aceste zecimale nu sunt egale. Partea întreagă a fracției zecimale finite 9,43 este egală cu 9, iar partea întreagă a fracției neperiodice infinite 7,983023... este egală cu 7. Deoarece 9>7 (vezi comparația numerelor naturale), atunci 9,43>7,983023.
Răspuns:
9,43>7,983023 .
Exemplu.
Care fracție zecimală 49,43(14) și 1045,45029... este mai mică?
Soluţie.
Partea întreagă a fracției periodice 49,43(14) este mai mică decât partea întreagă a fracției zecimale neperiodice infinite 1045,45029..., prin urmare, 49,43(14)<1 045,45029… .
Răspuns:
49,43(14) .
Dacă părțile întregi ale fracțiilor zecimale comparate sunt egale, atunci pentru a afla care dintre ele este mai mare și care este mai mică, trebuie să comparați părțile fracționale. Compararea părților fracționale ale fracțiilor zecimale se realizează bit cu bit- de la categoria zecimii la cele inferioare.
Mai întâi, să ne uităm la un exemplu de comparare a două fracții zecimale finite.
Exemplu.
Comparați zecimale finale 0,87 și 0,8521.
Soluţie.
Părțile întregi ale acestor fracții zecimale sunt egale (0=0), așa că trecem la compararea părților fracționale. Valorile locului zecimii sunt egale (8=8), iar valoarea locului sutimii al fracției este cu 0,87 mai mare decât valoarea locului zecimii al fracției 0,8521 (7>5). Prin urmare, 0,87>0,8521.
Răspuns:
0,87>0,8521 .
Uneori, pentru a compara fracțiile zecimale care se încheie cu numere diferite de zecimale, fracțiile cu mai puține zecimale trebuie adăugate cu un număr de zerouri la dreapta. Este destul de convenabil să egalezi numărul de zecimale înainte de a începe să compari fracțiile zecimale finale adăugând un anumit număr de zerouri în dreapta uneia dintre ele.
Exemplu.
Comparați zecimale finale 18,00405 și 18,0040532.
Soluţie.
Evident, aceste fracții sunt inegale, deoarece notațiile lor sunt diferite, dar în același timp au părți întregi egale (18 = 18).
Înainte de compararea biți a părților fracționale ale acestor fracții, egalăm numărul de zecimale. Pentru a face acest lucru, adăugăm două cifre 0 la sfârșitul fracției 18,00405 și obținem o fracție zecimală egală 18,0040500.
Valorile zecimale ale fracțiilor 18.0040500 și 18.0040532 sunt egale cu o sută de miimi, iar valoarea locului milion al fracției 18.0040500 este mai mică decât valoarea locului corespunzător al fracției 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Răspuns:
18,00405<18,0040532 .
La compararea unei fracții zecimale finite cu una infinită, fracția finită este înlocuită cu o fracție periodică infinită egală cu o perioadă de 0, după care se face o comparație prin cifră.
Exemplu.
Comparați zecimala finită 5,27 cu zecimalul infinit neperiodic 5,270013... .
Soluţie.
Părțile întregi ale acestor fracții zecimale sunt egale. Valorile cifrelor zecimilor și sutimiilor acestor fracții sunt egale și, pentru a efectua comparații ulterioare, înlocuim fracția zecimală finită cu o fracție periodică infinită egală cu o perioadă de 0 de forma 5,270000.... Până la a cincea zecimală, valorile zecimalei 5,270000... și 5,270013... sunt egale, iar la a cincea zecimală avem 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Răspuns:
5,27<5,270013… .
Compararea fracțiilor zecimale infinite se realizează și la nivel local, și se termină de îndată ce valorile unor cifre se dovedesc a fi diferite.
Exemplu.
Comparați zecimale infinite 6,23(18) și 6,25181815….
Soluţie.
Părțile întregi ale acestor fracții sunt egale, iar valorile locului zecimilor sunt, de asemenea, egale. Iar valoarea sutimiilor unei fracții periodice 6,23(18) este mai mică decât a sutimiilor unei fracții zecimale neperiodice infinite 6,25181815..., prin urmare, 6,23(18)<6,25181815… .
Răspuns:
6,23(18)<6,25181815… .
Exemplu.
Care dintre infinitele zecimale periodice 3,(73) și 3,(737) este mai mare?
Soluţie.
Este clar că 3,(73)=3,73737373... și 3,(737)=3,737737737... . La a patra zecimală se termină comparația pe biți, deoarece acolo avem 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Răspuns:
3,(737) .
Comparați zecimale cu numere naturale, fracții și numere mixte.
Rezultatul comparării unei fracții zecimale cu un număr natural poate fi obținut prin compararea părții întregi a unei fracții date cu un număr natural dat. În acest caz, fracțiile periodice cu perioade de 0 sau 9 trebuie mai întâi înlocuite cu fracții zecimale finite egale cu acestea.
Următoarele sunt adevărate regula pentru compararea fracțiilor zecimale și a numerelor naturale: dacă întreaga parte a unei fracții zecimale este mai mică decât un număr natural dat, atunci întreaga fracție este mai mică decât acest număr natural; dacă partea întreagă a unei fracții este mai mare sau egală cu un număr natural dat, atunci fracția este mai mare decât numărul natural dat.
Să ne uităm la exemple de aplicare a acestei reguli de comparație.
Exemplu.
Comparați numărul natural 7 cu fracția zecimală 8,8329...
Soluţie.
Deoarece un număr natural dat este mai mic decât partea întreagă a unei fracții zecimale date, atunci acest număr este mai mic decât o fracție zecimală dată.
Răspuns:
7<8,8329… .
Exemplu.
Comparați numărul natural 7 și fracția zecimală 7.1.
