Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem. Teorema privind modificarea energiei cinetice. În sarcina de a accepta

Dacă luăm în considerare orice punct al sistemului cu masă , având viteză , atunci pentru acest punct va fi

unde si - munca elementară a forțelor externe și interne care acționează asupra unui punct. Compilând astfel de ecuații pentru fiecare dintre punctele sistemului și adunându-le termen cu termen, obținem

. (2)

Egalitatea exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a sistemului în formă diferențială.

Dacă expresia rezultată este legată de intervalul elementar de timp în care s-a produs mișcarea în cauză, putem obține a doua formulare pentru forma diferențială a teoremei: derivată în timp a energiei cinetice. sistem mecanic egal cu suma puterilor tuturor forțelor externe () și interne (), adică

Formele diferențiale ale teoremei privind modificarea energiei cinetice pot fi utilizate pentru a compila ecuatii diferentiale mișcări, dar acest lucru se face destul de rar, deoarece există tehnici mai convenabile.

Având integrat ambele părți ale egalității (2) în limitele corespunzătoare mișcării sistemului dintr-o poziție inițială, unde energia cinetică este egală cu , până la o poziție în care valoarea energiei cinetice devine egală , vom avea

Ecuația rezultată exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice în formă finală: modificarea energiei cinetice a sistemului în timpul unei mișcări este egală cu suma muncii efectuate asupra acestei mișcări a tuturor forțelor externe și interne aplicate sistemului.

Spre deosebire de teoremele anterioare, forțe interne nu sunt excluse din ecuații. De fapt, dacă și sunt forțele de interacțiune dintre puncte și sistem (vezi Fig. 51), atunci . Dar, în același timp, punctul , se poate deplasa spre , iar punctul - spre . Lucrul efectuat de fiecare forță va fi apoi pozitiv și suma muncii nu va fi zero. Un exemplu este fenomenul de rollback. Forțele interne (forțele de presiune), care acționează atât asupra proiectilului, cât și asupra pieselor de rulare, fac o activitate pozitivă aici. Suma acestor lucrări, care nu este egală cu zero, modifică energia cinetică a sistemului de la valoarea de la începutul fotografiei la valoarea de la sfârșit.

Un alt exemplu: două puncte legate printr-un arc. Când se schimbă distanța dintre puncte, forțele elastice aplicate punctelor vor funcționa. Dar dacă sistemul constă în absolut solide iar conexiunile dintre ele sunt neschimbabile, neelastice, ideale, atunci munca forțelor interne va fi egală cu zero și pot fi ignorate și deloc afișate pe diagrama de proiectare.

Să luăm în considerare două cazuri speciale importante.

1) Sistem imuabil. Imuabil vom numi un sistem în care distanțele dintre punctele de aplicare a forțelor interne nu se modifică atunci când sistemul se mișcă. În special, un astfel de sistem este un corp absolut rigid sau un fir inextensibil.

Fig.51

Fie două puncte ale unui sistem neschimbabil (Fig. 51), care acționează unul asupra celuilalt cu forțe și () au în în acest moment viteza si . Apoi, pe o perioadă de timp dt aceste puncte vor face mişcări elementare şi , direcţionat de-a lungul vectorilor şi . Dar întrucât segmentul este imuabil, atunci, conform binecunoscutei teoreme a cinematicii, proiecția vectorilor și , și, prin urmare, atât deplasările cât și direcția segmentului vor fi egale între ele, adică. . Atunci munca elementară a forțelor va fi egală ca mărime și opusă ca semn și se va aduna până la zero. Acest rezultat este valabil pentru toate forțele interne pentru orice mișcare a sistemului.

De aici tragem concluzia că pentru un sistem neschimbabil, suma muncii efectuate de toate forțele interne este zero iar ecuațiile iau forma

2) Sistem cu conexiuni ideale. Să luăm în considerare un sistem asupra căruia se impun conexiuni care nu se modifică în timp. Să împărțim toate forțele externe și interne care acționează asupra punctelor sistemului în activŞi reacții de conexiune. Apoi

unde acţionează opera elementară k- al-lea punct al sistemului de forțe active externe și interne, a este lucrarea elementară a reacțiilor impuse în același punct de conexiunile externe și interne.

După cum vedem, modificarea energiei cinetice a sistemului depinde de munca și forțele active și reacțiile legăturilor. Cu toate acestea, este posibil să se introducă conceptul de astfel de sisteme mecanice „ideale” în care prezența conexiunilor nu afectează modificarea energiei cinetice a sistemului în timpul mișcării acestuia. Pentru astfel de conexiuni, trebuie să fie în mod evident îndeplinită următoarea condiție:

Dacă pentru conexiunile care nu se modifică în timp, suma muncii efectuate de toate reacțiile în timpul unei deplasări elementare a sistemului este egală cu zero, atunci astfel de conexiuni se numesc ideal. Pentru un sistem mecanic asupra căruia se impun doar conexiuni ideale care nu se modifică în timp, vom avea evident

Astfel, modificarea energiei cinetice a unui sistem cu conexiuni ideale care nu se modifică în timp în timpul oricărei mișcări a acestuia este egală cu suma muncii asupra acestei mișcări aplicate sistemului extern și intern. forte active.

Sistemul mecanic este numit conservator(energia sa este, parcă, conservată și nu se modifică), dacă pentru ea există o integrală energetică

sau (3)

E acolo legea conservării energiei mecanice: atunci când un sistem se mișcă într-un câmp potențial, energia sa mecanică (suma potențialului și cineticului) rămâne neschimbată și constantă tot timpul.

Un sistem mecanic va fi conservator dacă forțele care acționează asupra lui sunt potențiale, de exemplu forțele gravitaționale, elastice. În sistemele mecanice conservatoare, integrala energetică poate fi utilizată pentru a verifica corectitudinea ecuațiilor diferențiale ale mișcării. Dacă sistemul este conservator și condiția (3) nu este îndeplinită, atunci a fost făcută o eroare în compilarea ecuațiilor de mișcare.

Integrala energetică poate fi utilizată pentru a verifica corectitudinea ecuațiilor în alt mod, fără a calcula derivata. Pentru a face acest lucru, după efectuarea integrării numerice a ecuațiilor de mișcare, calculați valoarea energiei mecanice totale pentru două momente diferite de timp, de exemplu, inițial și final. Dacă diferența de valori se dovedește a fi comparabilă cu erorile de calcul, aceasta va indica corectitudinea ecuațiilor utilizate.

Toate teoremele anterioare au făcut posibilă excluderea forțelor interne din ecuațiile de mișcare, dar toate forțele externe, inclusiv reacțiile necunoscute anterior ale conexiunilor externe, au fost reținute în ecuații. Valoarea practică a teoremei privind modificarea energiei cinetice este că, cu conexiunile ideale care nu se schimbă în timp, va permite excluderea din ecuațiile mișcării. Toate reacții necunoscute anterior ale conexiunilor.

Această teoremă stabilește o relație cantitativă între munca unei forțe (cauză) și energia cinetică a unui punct material (efect).

Energia cinetică a unui punct material este o mărime scalară egală cu jumătate din produsul dintre masa unui punct și pătratul vitezei acestuia

. (43)

Energia cinetică caracterizează acțiunea mecanică a forței, care poate fi transformată în alte tipuri de energie, de exemplu, termică.

Munca de forta asupra unei mişcări date se numeşte caracteristica acelei acţiunea forţei, ceea ce duce la o modificare a modulului de viteză.

Munca elementară de forță este definit ca produsul scalar al vectorului forță și vectorului elementar de deplasare în punctul de aplicare a acestuia

, (44)

Unde
- miscare elementara.

Modulul de lucru elementar este determinat de formula

Unde  - unghiul dintre vectorul forță și vectorul elementar de deplasare; - proiecția vectorului forță pe tangentă.

Lucrul total pe o deplasare finită este determinat de integrală

. (46)

Din (46) rezultă că munca totală poate fi calculată în două cazuri, când forța este constantă sau depinde de deplasare.

La F=const obținem
.

Când rezolvați probleme, este adesea convenabil să folosiți metoda analitică de calcul a forței

Unde F x , F y , F z– proiecții de forță pe axele de coordonate.

Să demonstrăm următoarea teoremă.

Teorema: Modificarea energiei cinetice a unui punct material la o parte din deplasarea sa este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Fie punctul material de masă M m se deplasează sub influența forței F de la poziția M 0 la poziția M 1.

OUD:
. (47)

Să introducem înlocuirea
și proiectați (47) pe tangentă

. (48)

Separăm variabilele din (48) și integrăm

Ca rezultat obținem

. (49)

Ecuația (49) demonstrează teorema formulată mai sus.

Teorema este convenabilă de utilizat atunci când parametrii dați și căutați includ masa unui punct, viteza sa inițială și finală, forțele și deplasarea.

Calculul muncii forțelor caracteristice.

1. Munca gravitatiei se calculează ca produsul dintre modulul de forță și deplasarea verticală a punctului de aplicare a acestuia

. (50)

La deplasarea în sus lucrarea este pozitivă, la deplasarea în jos este negativă.

2. Lucrul forței elastice a unui arc F=-cx egal cu

, (51)

Unde x 0 – alungirea (comprimarea) inițială a arcului;

x 1 – alungirea (comprimarea) finală a arcului.

Munca gravitației și a forței elastice nu depinde de traiectoria de mișcare a punctelor lor de aplicare. Se numesc astfel de forțe, a căror activitate nu depinde de traiectorie forțe potențiale.

3. Munca forței de frecare.

Deoarece forța de frecare este întotdeauna îndreptată în direcția opusă direcției de mișcare, lucrul ei este egal cu

Munca efectuată de forța de frecare este întotdeauna negativă. Sunt numite forțe a căror activitate este întotdeauna negativă.

disipativ

Energia cinetică a unui sistem mecanic este suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sale materiale:

Să calculăm diferența din expresia energiei cinetice și să efectuăm câteva transformări simple:

Deci, diferența de energie cinetică a unui sistem mecanic este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor externe și interne care acționează asupra punctelor sistemului. Acesta este conținutul teoremei privind modificarea energiei cinetice.

Rețineți că suma muncii efectuate de forțele interne ale sistemului nu este egală cu zero în cazul general. Dispare doar în unele cazuri speciale: când sistemul este un corp absolut rigid; un sistem de corpuri absolut rigide care interacționează cu ajutorul unor elemente nedeformabile (balamale ideale, tije absolut rigide, fire inextensibile etc.). Din acest motiv, teorema privind modificarea energiei cinetice este singura teoreme generale dinamică, care ține cont de efectul forțelor interne.

Poate fi interesat de schimbarea energiei cinetice nu pe o perioadă infinitezimală de timp, așa cum s-a făcut mai sus, ci pe o anumită perioadă finită de timp. Apoi, folosind integrarea, putem obține:

Aici - valorile energiei cinetice, respectiv, în momente de timp - suma muncii totale a forțelor externe și interne pentru perioada de timp considerată.

Egalitatea rezultată exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice într-o formă finală (integrală), care poate fi formulată astfel: modificarea energiei cinetice în timpul tranziției unui sistem mecanic de la o poziție la alta este egală cu suma lui munca totală a tuturor forțelor externe și interne.

Energia cinetică a unui sistem mecanic constă din energiile cinetice ale tuturor punctelor sale:

Diferențiând fiecare parte a acestei egalități în funcție de timp, obținem

Folosind legea de bază a dinamicii pentru La al-lea punct al sistemului m k 2i k= Fj., ajungem la egalitate

Produsul scalar al forței F și al vitezei v în punctul de aplicare a acesteia se numește puterea de forță si denota R:

Folosind această nouă notație, reprezentăm (11.6) sub următoarea formă:

Egalitatea rezultată exprimă forma diferențială a teoremei privind modificarea energiei cinetice: viteza de modificare a energiei cinetice a unui sistem mecanic este egală cu suma j a puterilor tuturor cm care acționează asupra sistemului.

Prezentarea derivatului fîn (8.5) sub formă de fracție -- și performanță

apoi separând variabilele, obținem:

Unde dT- diferenţială de energie cinetică, adică schimbarea sa într-o perioadă infinitezimală de timp dr, dr k = k dt - mișcare elementară La- punctele ale sistemului, de ex. mișcare în timp dt.

Produsul scalar al forței F și deplasarea elementară dr punctele sale de aplicare sunt numite munca de baza forţe şi denotă dA:

Utilizarea Proprietăților produs punctual munca elementară a forţei poate fi reprezentată şi sub formă

Aici ds = dr - lungimea arcului a traiectoriei punctului de aplicare a forței, corespunzătoare deplasării sale elementare s/g; A - unghiul dintre direcțiile vectorului forță F și vectorului elementar de deplasare c/r; F„ F y , F,- proiecţii ale vectorului forţă F pe axele carteziene; dx, dy, dz - proiecții pe axele carteziene ale vectorului deplasării elementare s/g.

Ținând cont de notația (11.9), egalitatea (11.8) poate fi reprezentată în următoarea formă:

aceste. diferența energiei cinetice a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra sistemului. Această egalitate, ca și (11.7), exprimă forma diferențială a teoremei privind modificarea energiei cinetice, dar diferă de (11.7) prin faptul că folosește nu derivate, ci incremente infinitezimale - diferențiale.

Efectuând integrarea termen cu termen a egalității (11.12), obținem

unde se folosesc ca limite de integrare următoarele: 7 0 - energia cinetică a sistemului la un moment dat? 0; 7) - energia cinetică a sistemului în momentul de timp tx.

Integrale definite după perioada de timp sau A(F):

Nota 1. Pentru a calcula munca, uneori este mai convenabil să utilizați o parametrizare fără arc a traiectoriei Domnișoară), si coordoneaza M(x(t), y(/), z(f)). În acest caz, pentru lucrul elementar este firesc să se ia reprezentarea (11.11) și să se reprezinte integrala curbilinie sub forma:

Ținând cont de notația (11.14) de lucru pe o deplasare finită, egalitatea (11.13) ia forma

și reprezintă forma finală a teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic.

Teorema 3. Modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic atunci când acesta se deplasează din poziția inițială în poziția finală este egală cu suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra punctelor sistemului în timpul acestei mișcări.

Comentariu 2. Partea dreaptă a egalității (11.16) ia în considerare munca cu toată puterea noastră, acționând asupra sistemului, atât extern cât și intern. Cu toate acestea, există sisteme mecanice pentru care munca totală efectuată de toate forțele interne este zero. Egourile așa numite sisteme imuabile, în care distanțele dintre punctele materiale care interacționează nu se modifică. De exemplu, un sistem de corpuri solide conectate prin balamale fără frecare sau fire flexibile inextensibile. Pentru astfel de sisteme, în egalitate (11.16) este suficient să se țină cont doar de munca forțelor externe, adică. teorema (11.16) ia forma:

Teorema demonstrată în § 89 este valabilă pentru orice punct din sistem. Prin urmare, dacă luăm în considerare orice punct al sistemului cu masă și viteză, atunci pentru acest punct va fi

unde sunt lucrările elementare ale forţelor externe şi interne care acţionează asupra unui punct. Compilând astfel de ecuații pentru fiecare dintre punctele sistemului și adunându-le termen cu termen, aflăm că

Egalitatea (49) exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a sistemului în formă diferențială. După ce am integrat ambele părți ale acestei egalități în limitele corespunzătoare mișcării sistemului dintr-o poziție inițială, unde energia cinetică este egală cu o poziție în care valoarea energiei cinetice devine egală, obținem

Această ecuație exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice într-o altă formă (integrală): modificarea energiei cinetice a unui sistem în timpul unei mișcări este egală cu suma muncii efectuate asupra acestei mișcări a tuturor forțelor externe și interne aplicate la sistemul.

Spre deosebire de teoremele anterioare, forțele interne din ecuațiile (49) sau (50) nu sunt excluse. De fapt, dacă sunt forțele de interacțiune între punctele sistemului (Fig. 309), atunci

Dar în acest caz, punctul se poate deplasa în direcția lui și punctul se poate deplasa în direcția lui. De exemplu, în timpul unei împușcături (vezi problema 127 din § 112), forțele de presiune ale gazelor pulbere, care sunt interne pentru sistemul de piese de recul proiectilului, lucrează și conferă viteză corpurilor sistemului.

Să luăm în considerare două cazuri speciale importante.

1. Sistem imuabil. Vom numi un sistem mecanic neschimbabil în care distanța dintre fiecare două puncte de interacțiune rămâne constantă pe tot parcursul mișcării.

Să luăm în considerare două puncte ale unui sistem neschimbabil care acționează unul asupra celuilalt cu forțe (vezi Fig. 309). Atunci, deoarece atunci când segmentul se mișcă ar trebui să existe (vezi § 55), atunci și, respectiv, vitezele și deplasările elementare ale punctelor. Ca urmare, pentru suma lucrărilor elementare ale acestor forțe obținem

Același lucru se va întâmpla pentru toate celelalte puncte de interacțiune ale sistemului. Ca urmare, ajungem la concluzia că, în cazul unui sistem neschimbabil, suma muncii tuturor forțelor interne este egală cu zero și ecuațiile (49) sau (50) iau forma

2. Sistem cu conexiuni ideale. Să luăm în considerare un sistem asupra căruia se impun conexiuni care nu se modifică în timp. Să împărțim toate forțele externe și interne care acționează asupra punctelor sistemului în conexiuni active și de reacție. Atunci ecuația (49) poate fi reprezentată ca

unde este munca elementară a forțelor active externe și interne care acționează asupra unui punct din sistem și este munca elementară a reacțiilor impuse în același punct de conexiuni externe și interne.

Dacă pentru conexiunile care nu se modifică în timp, suma muncii tuturor reacțiilor în timpul unei deplasări elementare a sistemului este egală cu zero, atunci astfel de conexiuni sunt ideale Să indicăm un număr de tipuri de conexiuni ideale cunoscute de noi.

În § 89 s-a stabilit că, dacă legătura este o suprafață (sau curbă) staționară, frecarea despre care poate fi neglijată, atunci când corpurile alunecă de-a lungul unei astfel de suprafețe (curbă), lucrul de reacție N este egal cu zero. Apoi, în § 122 se arată că dacă neglijăm deformările, atunci când un corp se rostogolește fără alunecare pe o suprafață aspră, lucrul reacție normală N și forța de frecare (adică componenta tangențială a reacției) este zero. În plus, lucrul de reacție R al balamalei (vezi Fig. 10 și 11), dacă neglijăm frecarea, va fi, de asemenea, egal cu zero, deoarece punctul de aplicare al forței R rămâne staționar pentru orice mișcare a sistemului. În sfârșit, dacă în fig. 309 considerați punctele materiale ca fiind legate printr-o tijă rigidă (inextensibilă), atunci forțele vor fi reacții ale tijei; munca fiecăreia dintre aceste reacții la mutarea sistemului nu este egală cu zero, dar suma acestor lucrări, așa cum s-a dovedit, dă zero. Astfel, toate conexiunile de mai sus pot fi considerate ideale, ținând cont de rezervele făcute.

Pentru un sistem mecanic asupra căruia se impun doar conexiuni ideale care nu se modifică în timp, vor exista

Astfel, modificarea energiei cinetice a unui sistem cu conexiuni ideale care nu se modifică în timp în timpul vreunei mișcări a acestuia este egală cu suma muncii asupra acestei mișcări a forțelor active externe și interne aplicate sistemului.

Toate teoremele anterioare au făcut posibilă excluderea forțelor interne din ecuațiile de mișcare, dar toate forțele externe, inclusiv reacțiile necunoscute anterior ale conexiunilor externe, au fost reținute în ecuații. Valoarea practică a teoremei privind modificarea energiei cinetice este că, cu conexiunile ideale neschimbându-se în timp, permite excluderea din ecuațiile de mișcare a tuturor reacțiilor necunoscute anterior ale conexiunilor.