Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei trasate de la punct la linie. ÎN geometrie descriptivă se determină grafic folosind algoritmul de mai jos.
Algoritm
- Linia dreaptă este mutată într-o poziție în care va fi paralelă cu orice plan de proiecție. În acest scop, se folosesc metode de transformare a proiecțiilor ortogonale.
- Dintr-un punct este trasată o perpendiculară pe o dreaptă. Această construcție se bazează pe teorema despre proiecția unui unghi drept.
- Lungimea unei perpendiculare este determinată prin transformarea proiecțiilor acesteia sau folosind metoda triunghiului dreptunghic.
Figura următoare prezintă un desen complex al punctului M și al dreptei b, definite de segmentul CD. Trebuie să găsiți distanța dintre ele.
Conform algoritmului nostru, primul lucru de făcut este să mutați linia într-o poziție paralelă cu planul de proiecție. Este important de înțeles că, după ce transformările au fost efectuate, distanța reală dintre punct și linie nu ar trebui să se schimbe. De aceea, aici este convenabil să folosiți metoda de înlocuire a avionului, care nu implică mutarea figurilor în spațiu.
Rezultatele primei etape de construcție sunt prezentate mai jos. Figura arată cum este introdus un plan frontal suplimentar P4 paralel cu b. ÎN sistem nou(P 1, P 4) punctele C"" 1, D"" 1, M"" 1 sunt la aceeași distanță de axa X 1 ca C"", D"", M"" de axa X.
Efectuând a doua parte a algoritmului, de la M"" 1 coborâm perpendiculara M"" 1 N"" 1 la dreapta b"" 1, deoarece unghiul drept MND între b și MN este proiectat pe planul P 4 la dimensiune completă. Folosind linia de comunicație, determinăm poziția punctului N" și efectuăm proiecția M"N" a segmentului MN.
În etapa finală, trebuie să determinați dimensiunea segmentului MN din proiecțiile sale M"N" și M"" 1 N"" 1. Pentru asta construim triunghi dreptunghic M"" 1 N"" 1 N 0, al cărui picior N"" 1 N 0 este egal cu diferența (Y M 1 – Y N 1) a distanței punctelor M" și N" față de axa X 1. Lungimea ipotenuzei M"" 1 N 0 a triunghiului M"" 1 N"" 1 N 0 corespunde distanței dorite de la M la b.
A doua soluție
- Paralel cu CD, introducem un nou plan frontal P 4. El intersectează P 1 de-a lungul axei X 1 și X 1 ∥C"D". În conformitate cu metoda de înlocuire a planurilor, determinăm proiecțiile punctelor C"" 1, D"" 1 și M"" 1, așa cum se arată în figură.
- Perpendicular pe C"" 1 D"" 1 construim un plan orizontal suplimentar P 5, pe care linia dreaptă b este proiectată în punctul C" 2 = b" 2.
- Distanța dintre punctul M și linia b este determinată de lungimea segmentului M" 2 C" 2, indicat cu roșu.
Sarcini similare:
Acest articol vorbește despre subiect « distanta de la un punct la o dreapta », Discută definiția distanței de la un punct la o linie cu exemple ilustrate folosind metoda coordonatelor. Fiecare bloc de teorie de la sfârșit a arătat exemple de rezolvare a unor probleme similare.
Distanța de la un punct la o linie se găsește prin determinarea distanței de la punct la punct. Să aruncăm o privire mai atentă.
Să fie o dreaptă a și un punct M 1 care nu aparține dreptei date. Prin ea trasăm o dreaptă b, situată perpendicular pe dreapta a. Să luăm punctul de intersecție al dreptelor ca H 1. Obținem că M 1 H 1 este o perpendiculară care a fost coborâtă din punctul M 1 la dreapta a.
Definiția 1
Distanța de la punctul M 1 la dreapta a se numește distanța dintre punctele M 1 și H 1.
Există definiții care includ lungimea perpendicularei.
Definiția 2
Distanța de la punct la linie este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la o dreaptă dată.
Definițiile sunt echivalente. Luați în considerare figura de mai jos.
Se știe că distanța de la un punct la o linie este cea mai mică dintre toate posibile. Să ne uităm la asta cu un exemplu.
Dacă luăm un punct Q situat pe o dreaptă a, care nu coincide cu punctul M 1, atunci aflăm că segmentul M 1 Q se numește segment înclinat, coborât de la M 1 la o dreaptă a. Este necesar să se indice că perpendiculara din punctul M 1 este mai mică decât orice altă linie înclinată trasată de la punct la linia dreaptă.
Pentru a demonstra acest lucru, considerăm triunghiul M 1 Q 1 H 1, unde M 1 Q 1 este ipotenuza. Se știe că lungimea sa este întotdeauna mai mare decât lungimea oricăruia dintre picioare. Aceasta înseamnă că avem că M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Datele inițiale pentru găsirea de la un punct la o dreaptă vă permit să utilizați mai multe metode de rezolvare: prin teorema lui Pitagora, determinarea sinusului, cosinusului, tangentei unui unghi și altele. Majoritatea sarcinilor de acest tip sunt rezolvate la școală în timpul orelor de geometrie.
Când, la găsirea distanței de la un punct la o linie, se poate introduce un sistem de coordonate dreptunghiulare, atunci se folosește metoda coordonatelor. În acest paragraf, vom lua în considerare principalele două metode de a găsi distanța necesară de la un punct dat.
Prima metodă implică căutarea distanței ca o perpendiculară trasată de la M 1 la dreapta a. A doua metodă folosește ecuația normală a dreptei a pentru a găsi distanța necesară.
Dacă există un punct pe plan cu coordonatele M 1 (x 1, y 1), situat la sistem dreptunghiular coordonate, linie dreaptă a, și este necesar să se găsească distanța M 1 H 1, calculul se poate face în două moduri. Să ne uităm la ele.
Prima cale
Dacă există coordonatele punctului H 1 egale cu x 2, y 2, atunci distanța de la punct la linie se calculează folosind coordonatele din formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) - y 1) 2.
Acum să trecem la găsirea coordonatele punctului H 1.
Se știe că o dreaptă în O x y corespunde ecuației unei drepte pe plan. Să luăm metoda definirii unei drepte a prin scrierea unei ecuații generale a unei drepte sau a unei ecuații cu un coeficient unghiular. Compunem ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 perpendicular pe o dreaptă dată a. Să notăm linia dreaptă cu litera b. H 1 este punctul de intersecție al liniilor a și b, ceea ce înseamnă că pentru a determina coordonatele de care aveți nevoie pentru a utiliza articolul în care despre care vorbim despre coordonatele punctelor de intersecție a două drepte.
Se poate observa că algoritmul de găsire a distanței de la un punct dat M 1 (x 1, y 1) la dreapta a se realizează conform punctelor:
Definiția 3
- aflarea ecuației generale a unei drepte a, având forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, sau a unei ecuații cu coeficient de unghi, având forma y = k 1 x + b 1;
- obținând o ecuație generală a dreptei b, având forma A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sau o ecuație cu coeficient unghiular y = k 2 x + b 2, dacă dreapta b intersectează punctul M 1 și este perpendiculară pe o linie dată a;
- determinarea coordonatelor x 2, y 2 ale punctului H 1, care este punctul de intersecție al lui a și b, în acest scop se rezolvă sistemul ecuații liniare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
- calcularea distanței necesare de la un punct la o dreaptă folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
A doua cale
Teorema poate ajuta să răspundă la întrebarea de a găsi distanța de la un punct dat la o dreaptă dată pe un plan.
Teorema
Sistemul de coordonate dreptunghiular are O x y are un punct M 1 (x 1, y 1), din care se trasează o dreaptă în plan, dată de ecuația normală a planului, având forma cos α x + cos β y - p = 0, egal cu Valoarea absolută obținută în partea stângă a ecuației normale a dreptei, calculată la x = x 1, y = y 1, înseamnă că M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.
Dovada
Linia a corespunde ecuației normale a planului, având forma cos α x + cos β y - p = 0, atunci n → = (cos α, cos β) este considerat vectorul normal al dreptei a la distanță de origine pentru a linia a cu p unități . Este necesar să afișați toate datele din figură, adăugați un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1), unde vectorul rază a punctului M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Este necesar să trasăm o linie dreaptă de la un punct la o dreaptă, pe care o notăm M 1 H 1 . Este necesar să se arate proiecțiile M 2 și H 2 ale punctelor M 1 și H 2 pe o dreaptă care trece prin punctul O cu un vector de direcție de forma n → = (cos α, cos β) și se notează proiecția numerică a vectorului ca O M 1 → = (x 1, y 1) pe direcția n → = (cos α , cos β) ca n p n → O M 1 → .
Variațiile depind de locația punctului M1 în sine. Să ne uităm la figura de mai jos.
Fixăm rezultatele folosind formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Apoi aducem egalitatea la această formă M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p pentru a obține n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Produs punctual vectori ca rezultat dă o formulă transformată de forma n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , care este un produs sub formă de coordonate al forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Aceasta înseamnă că obținem că n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Rezultă că M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorema a fost demonstrată.
Constatăm că pentru a găsi distanța de la punctul M 1 (x 1 , y 1) la linia dreaptă a pe plan, trebuie să efectuați mai multe acțiuni:
Definiția 4
- obţinerea ecuaţiei normale a dreptei a cos α · x + cos β · y - p = 0, cu condiţia să nu fie în sarcină;
- calculul expresiei cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, unde valoarea rezultată ia M 1 H 1.
Să aplicăm aceste metode pentru a rezolva problemele legate de găsirea distanței de la un punct la un plan.
Exemplul 1
Aflați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (- 1, 2) la linia dreaptă 4 x - 3 y + 35 = 0.
Soluţie
Să folosim prima metodă de rezolvare.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți ecuație generală linia b, care trece printr-un punct dat M 1 (- 1, 2), perpendicular pe dreapta 4 x - 3 y + 35 = 0. Din condiție este clar că dreapta b este perpendiculară pe dreapta a, atunci vectorul său de direcție are coordonatele egale cu (4, - 3). Astfel, avem ocazia să notăm ecuația canonică a dreptei b pe plan, deoarece există coordonatele punctului M 1, care aparține dreptei b. Să determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei b. Obținem că x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Ecuația canonică rezultată trebuie convertită într-una generală. Atunci obținem asta
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Să găsim coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor, pe care le vom lua ca denumire H 1. Transformările arată astfel:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Din cele scrise mai sus, avem că coordonatele punctului H 1 sunt egale cu (- 5; 5).
Este necesar să se calculeze distanța de la punctul M 1 la dreapta a. Avem că coordonatele punctelor M 1 (- 1, 2) și H 1 (- 5, 5), apoi le înlocuim în formula pentru a găsi distanța și obținem că
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
A doua soluție.
Pentru a rezolva în alt mod, este necesar să se obțină ecuația normală a dreptei. Calculăm valoarea factorului de normalizare și înmulțim ambele părți ale ecuației 4 x - 3 y + 35 = 0. De aici rezultă că factorul de normalizare este egal cu - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, iar ecuația normală va fi de forma - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Conform algoritmului de calcul, este necesar să obțineți ecuația normală a dreptei și să o calculați cu valorile x = - 1, y = 2. Atunci obținem asta
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Din aceasta obținem că distanța de la punctul M 1 (- 1, 2) la dreapta dată 4 x - 3 y + 35 = 0 are valoarea - 5 = 5.
Răspuns: 5 .
Este clar că în această metodă Este important să folosiți ecuația normală a unei linii, deoarece această metodă este cea mai scurtă. Dar prima metodă este convenabilă pentru că este consecventă și logică, deși are mai multe puncte de calcul.
Exemplul 2
Pe plan există un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu punctul M 1 (8, 0) și dreapta y = 1 2 x + 1. Aflați distanța de la un punct dat la o linie dreaptă.
Soluţie
Rezolvarea în primul mod implică reducerea unei ecuații date cu o pantă la ecuație vedere generală. Pentru a simplifica, o puteți face diferit.
Dacă produsul coeficienților unghiulari ai dreptelor perpendiculare are valoarea - 1, atunci coeficientul unghiular al unei linii perpendiculare pe o dreaptă y = 1 2 x + 1 are valoarea 2. Acum obținem ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu coordonatele M 1 (8, 0). Avem că y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Se procedează la găsirea coordonatelor punctului H 1, adică a punctelor de intersecție y = - 2 x + 16 și y = 1 2 x + 1. Compunem un sistem de ecuații și obținem:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)
Rezultă că distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (8, 0) la linia dreaptă y = 1 2 x + 1 este egală cu distanța de la punctul de început și punctul final cu coordonatele M 1 (8, 0) și H1 (6, 4). Să calculăm și să aflăm că M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Soluția în al doilea mod este trecerea de la o ecuație cu coeficient la forma sa normală. Adică obținem y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, atunci valoarea factorului de normalizare va fi - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Rezultă că ecuația normală a dreptei ia forma - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Să efectuăm calculul de la punctul M 1 8, 0 la o linie de forma - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Primim:
M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Răspuns: 2 5 .
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (- 2, 4) la liniile 2 x - 3 = 0 și y + 1 = 0.
Soluţie
Obținem ecuația aspect normal linie dreaptă 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Apoi procedăm la calcularea distanței de la punctul M 1 - 2, 4 la linia dreaptă x - 3 2 = 0. Primim:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Ecuația dreptei y + 1 = 0 are un factor de normalizare cu o valoare egală cu -1. Aceasta înseamnă că ecuația va lua forma - y - 1 = 0. Se trece la calcularea distanței de la punctul M 1 (- 2, 4) la linia dreaptă - y - 1 = 0. Constatăm că este egal cu - 4 - 1 = 5.
Răspuns: 3 1 2 și 5.
Să aruncăm o privire mai atentă la găsirea distanței de la un punct dat din plan la axele de coordonate O x și O y.
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, axa O y are o ecuație a unei linii drepte, care este incompletă și are forma x = 0 și O x - y = 0. Ecuațiile sunt normale pentru axele de coordonate, atunci este necesar să se găsească distanța de la punctul cu coordonatele M 1 x 1, y 1 la linii. Acest lucru se realizează pe baza formulelor M 1 H 1 = x 1 și M 1 H 1 = y 1. Să ne uităm la figura de mai jos.
Exemplul 4
Aflați distanța de la punctul M 1 (6, - 7) la liniile de coordonate situate în planul O x y.
Soluţie
Deoarece ecuația y = 0 se referă la linia dreaptă O x, puteți găsi distanța de la M 1 cu coordonatele date la această linie dreaptă folosind formula. Obținem că 6 = 6.
Deoarece ecuația x = 0 se referă la linia dreaptă O y, puteți găsi distanța de la M 1 la această linie dreaptă folosind formula. Atunci obținem că - 7 = 7.
Răspuns: distanța de la M 1 la O x are valoarea 6, iar de la M 1 la O y are valoarea 7.
Când în spațiul tridimensional avem un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1), este necesar să se afle distanța de la punctul A la dreapta a.
Să luăm în considerare două metode care vă permit să calculați distanța de la un punct la o linie dreaptă situată în spațiu. Primul caz are în vedere distanța de la punctul M 1 la o dreaptă, unde un punct de pe linie se numește H 1 și este baza unei perpendiculare trasate din punctul M 1 la dreapta a. Al doilea caz sugerează că punctele acestui plan trebuie căutate ca înălțime a paralelogramului.
Prima cale
Din definiție avem că distanța de la punctul M 1 situat pe dreapta a este lungimea perpendicularei M 1 H 1, atunci obținem că cu coordonatele găsite ale punctului H 1, atunci găsim distanța dintre M. 1 (x 1, y 1, z 1 ) și H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , pe baza formulei M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 -z 1 2.
Constatăm că întreaga soluție merge spre găsirea coordonatelor bazei perpendicularei trase de la M 1 la dreapta a. Aceasta se face astfel: H 1 este punctul în care dreapta a se intersectează cu planul care trece prin punctul dat.
Aceasta înseamnă că algoritmul pentru determinarea distanței de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la linia a din spațiu implică mai multe puncte:
Definiția 5
- întocmirea ecuaţiei planului χ ca o ecuaţie a planului care trece printr-un punct dat situat perpendicular pe dreapta;
- determinarea coordonatelor (x 2, y 2, z 2) aparținând punctului H 1, care este punctul de intersecție al dreptei a și planului χ;
- calcularea distanței de la un punct la o dreaptă folosind formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
A doua cale
Din condiția avem o dreaptă a, atunci putem determina vectorul direcție a → = a x, a y, a z cu coordonatele x 3, y 3, z 3 și un anumit punct M 3 aparținând dreptei a. Dacă aveți coordonatele punctelor M 1 (x 1, y 1) și M 3 x 3, y 3, z 3, puteți calcula M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Ar trebui să lăsăm deoparte vectorii a → = a x , a y , a z și M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 din punctul M 3 , să-i conectăm și să obținem un paralelogram figura. M 1 H 1 este înălțimea paralelogramului.
Să ne uităm la figura de mai jos.
Avem că înălțimea M 1 H 1 este distanța necesară, atunci este necesar să o găsim folosind formula. Adică căutăm M 1 H 1.
Să notăm aria paralelogramului cu litera S, găsită prin formula folosind vectorul a → = (a x, a y, a z) și M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula ariei este S = a → × M 3 M 1 → . De asemenea, aria figurii este egală cu produsul dintre lungimile laturilor sale și înălțimea, obținem că S = a → · M 1 H 1 cu a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , care este lungimea vectorului a → = (a x , a y , a z) , care este egală cu latura paralelogramului. Aceasta înseamnă că M 1 H 1 este distanța de la punct la linie. Se găsește folosind formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Pentru a găsi distanța de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la o linie dreaptă a în spațiu, trebuie să efectuați mai mulți pași ai algoritmului:
Definiția 6
- determinarea vectorului de direcție al dreptei a - a → = (a x, a y, a z);
- calcularea lungimii vectorului de direcție a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- obţinerea coordonatelor x 3 , y 3 , z 3 aparţinând punctului M 3 situat pe dreapta a;
- calcularea coordonatelor vectorului M 3 M 1 → ;
- găsirea produs vectorial vectorii a → (a x , a y , a z) și M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 ca a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pentru a obține lungimea folosind formula a → × M 3 M 1 → ;
- calcularea distanţei de la un punct la o dreaptă M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Rezolvarea problemelor de găsire a distanței de la un punct dat la o dreaptă dată în spațiu
Exemplul 5Aflați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 2, - 4, - 1 până la linia x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Soluţie
Prima metodă începe cu scrierea ecuației planului χ care trece prin M 1 și perpendicular pe un punct dat. Obținem o expresie ca:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Este necesar să se găsească coordonatele punctului H 1, care este punctul de intersecție cu planul χ la dreapta specificată de condiție. Ar trebui să treceți de la vederea canonică la cea care se intersectează. Apoi obținem un sistem de ecuații de forma:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Este necesar să se calculeze sistemul x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 prin metoda lui Cramer, atunci obținem că:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z - ∆ 60 = 0
De aici avem că H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
A doua metodă este să începeți prin a căuta coordonatele în ecuație canonică. Pentru a face acest lucru, trebuie să acordați atenție numitorilor fracției. Atunci a → = 2, - 1, 5 este vectorul de direcție al dreptei x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Este necesar să se calculeze lungimea folosind formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Este clar că linia dreaptă x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 intersectează punctul M 3 (- 1 , 0 , - 5), deci avem că vectorul cu originea M 3 (- 1 , 0 , - 5) iar capătul său în punctul M 1 2, - 4, - 1 este M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Aflați produsul vectorial a → = (2, - 1, 5) și M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Obținem o expresie de forma a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
constatăm că lungimea produsului vectorial este egală cu a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Avem toate datele pentru a folosi formula pentru a calcula distanța de la un punct pentru o linie dreaptă, așa că hai să o aplicăm și să obținem:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Răspuns: 11 .
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Universitatea Tehnică Marină de Stat din Sankt Petersburg
Departamentul de Grafică Computerizată și Suport Informațional
LECȚIA 3
SARCINA PRACTICĂ Nr. 3
Determinarea distanței de la un punct la o linie dreaptă.
Puteți determina distanța dintre un punct și o linie dreaptă efectuând următoarele construcții (vezi Fig. 1):
· din punct CU coborâți perpendiculara pe o linie dreaptă O;
· marca un punct LA intersecția unei perpendiculare cu o dreaptă;
măsurați lungimea segmentului KS, al cărui început este punct de referință, iar capătul este punctul de intersecție marcat.
Fig.1. Distanța de la un punct la o dreaptă.
Baza pentru rezolvarea problemelor de acest tip este regula proiecției în unghi drept: un unghi drept este proiectat fără distorsiuni dacă cel puțin una dintre laturile sale este paralelă cu planul de proiecție(adică ocupă o poziție privată). Să începem doar cu un astfel de caz și să luăm în considerare construcțiile pentru determinarea distanței de la un punct CU la un segment de linie dreaptă AB.
Nu există exemple de testare în această sarcină și sunt oferite opțiuni pentru finalizarea sarcinilor individuale tabelul 1 și tabelul 2. Soluția problemei este descrisă mai jos, iar construcțiile corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 2.
1. Determinarea distanței de la un punct la o anumită dreaptă.
În primul rând, sunt construite proiecțiile unui punct și ale unui segment. Proiecție A1B1 paralel cu axa X. Aceasta înseamnă că segmentul AB paralel cu planul P2. Dacă de la punct CU trage perpendicular pe AB, apoi unghiul drept este proiectat fără distorsiuni pe plan P2. Acest lucru vă permite să desenați o perpendiculară dintr-un punct C2 la proiecție A2B2.
Meniu derulant Segment de desen (Remiză- Linia) . Plasați cursorul într-un punct C2și fixați-l ca prim punct al segmentului. Mutați cursorul în direcția normală la segment A2B2și fixați al doilea punct pe el în momentul în care apare indiciu normal (Perpendicular) . Marcați punctul construit K2. Activați modul ORTHO(ORTHO) , iar din punct de vedere K2 trageți o linie verticală de legătură până când aceasta se intersectează cu proiecția A1 B1. Desemnați punctul de intersecție prin K1. Punct LA, culcat pe segment AB, este punctul de intersecție al perpendicularei trase din punct CU, cu segment AB. Astfel, segmentul KS este distanța necesară de la punct la linie.
Din constructii se vede clar ca segmentul KS ocupă o poziţie generală şi, prin urmare, proiecţiile sale sunt distorsionate. Când vorbim despre distanță, ne referim întotdeauna valoarea adevărată a segmentului, exprimând distanța. Prin urmare, trebuie să găsim adevărata valoare a segmentului KS, prin rotirea acestuia într-o anumită poziție, de exemplu, KS|| P1. Rezultatul construcțiilor este prezentat în Fig. 2.
Din construcțiile prezentate în Fig. 2, putem concluziona: poziția particulară a dreptei (segmentul este paralel P1 sau P2) vă permite să construiți rapid proiecții ale distanței de la un punct la o linie, dar acestea sunt distorsionate.
Fig.2. Determinarea distanței de la un punct la o anumită dreaptă.
2. Determinarea distanței de la un punct la o dreaptă pozitia generala.
Segmentul nu ocupă întotdeauna o anumită poziție în starea inițială. Cu o poziție inițială generală, se realizează următoarele construcții pentru a determina distanța de la un punct la o dreaptă:
a) folosind metoda de transformare a desenului, convertiți un segment dintr-o poziție generală într-una anume - aceasta va permite construirea proiecțiilor la distanță (distorsionate);
b) folosind din nou metoda, traducem segmentul corespunzător distanței necesare într-o anumită poziție - obținem o proiecție a distanței în mărime egală cu cea reală.
Luați în considerare șirul de construcții pentru a determina distanța de la un punct O la un segment în poziţie generală Soare(Fig. 3).
La prima rotire este necesar să se obțină poziția particulară a segmentului ÎNC. Pentru a face acest lucru în strat TMR trebuie să conectați punctele B2, C2Şi A2. Folosind comanda Schimbare-Rotire (Modifica – Roti) triunghi В2С2А2 rotiți în jurul unui punct C2 la poziţia în care noua proiecţie B2*C2 vor fi amplasate strict orizontal (punctul CU este nemișcat și, prin urmare, noua sa proiecție coincide cu cea inițială și cu denumirea C2*Şi C1* este posibil să nu fie afișat pe desen). Ca urmare, se vor obține noi proiecții ale segmentului B2*C2 si puncte: A2*. Urmează din puncte A2*Şi B2* se execută cele verticale, iar din puncte B1Şi A1 linii de comunicare orizontale. Intersecția liniilor corespunzătoare va determina poziția punctelor noii proiecții orizontale: segmentul B1*C1și puncte A1*.
În poziția particulară rezultată, putem construi proiecții de distanță pentru aceasta: din punct A1* normalul să B1*C1. Punctul de intersecție reciprocă a acestora este K1*. Din acest punct se trasează o linie de legătură verticală până când se intersectează cu proiecția B2*C2. Este marcat un punct K2*. Ca urmare, au fost obținute proiecțiile segmentului AK, care este distanța necesară de la punct O la un segment de linie dreaptă Soare.
În continuare, este necesar să construiți proiecții de distanță în starea inițială. Pentru a face acest lucru din punct de vedere K1* este convenabil să trasezi o linie orizontală până când aceasta se intersectează cu proiecția В1С1și marcați punctul de intersecție K1. Apoi se construiește un punct K2 pe proiecția frontală a segmentului și se realizează proiecții A1K1Şi A2K2.În urma construcțiilor s-au obținut proiecții ale distanței, dar atât în poziția inițială, cât și în noua poziție parțială a segmentului. soare, segment AK ocupă o poziție generală, iar acest lucru duce la faptul că toate proiecțiile sale sunt distorsionate.
La a doua rotație este necesară rotirea segmentului AK la o anumită poziție, care ne va permite să determinăm adevărata valoare a distanței - proiecție A2*K2**. Rezultatul tuturor construcțiilor este prezentat în Fig. 3.
SARCINA Nr. 3-1. CU la o linie dreaptă a unei anumite poziții specificate de un segment AB. Dați răspunsul în mm (Tabelul 1).Scoateți lentilele de proiecție
Tabelul 1
SARCINA Nr. 3-2. Găsiți distanța reală de la un punct M la o linie dreaptă în poziţie generală dată de segment ED. Dați răspunsul în mm (Tabelul 2).
Tabelul 2
Verificarea și trecerea SARCINA Nr. 3 finalizată.
