Găsirea coordonatelor unui vector este o condiție destul de comună pentru multe probleme de matematică. Abilitatea de a găsi coordonate vectoriale vă va ajuta în altele, mai mult sarcini complexe cu subiecte similare. În acest articol ne vom uita la formula pentru găsirea coordonatelor vectoriale și la câteva probleme.
Aflarea coordonatelor unui vector într-un plan
Ce este un avion? Un plan este considerat a fi un spațiu bidimensional, un spațiu cu două dimensiuni (dimensiunea x și dimensiunea y). De exemplu, hârtia este plată. Suprafața mesei este plană. Orice figură nevolumică (pătrat, triunghi, trapez) este, de asemenea, un plan. Astfel, dacă în enunțul problemei trebuie să găsiți coordonatele unui vector care se află pe un plan, ne amintim imediat despre x și y. Puteți găsi coordonatele unui astfel de vector după cum urmează: Coordonatele AB ale vectorului = (xB – xA; yB – xA). Din formulă este clar că din coordonatele punctului final trebuie să scazi coordonatele punct de plecare.
Exemplu:
- Vector CD are coordonatele inițiale (5; 6) și finale (7; 8).
- Găsiți coordonatele vectorului însuși.
- Folosind formula de mai sus, obținem următoarea expresie: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Astfel, coordonatele vectorului CD = (2; 2).
- În consecință, coordonata x este egală cu doi, coordonata y este, de asemenea, două.
Aflarea coordonatelor unui vector în spațiu
Ce este spațiul? Spațiul este deja o dimensiune tridimensională, unde sunt date 3 coordonate: x, y, z. Dacă trebuie să găsiți un vector care se află în spațiu, formula practic nu se schimbă. Se adaugă o singură coordonată. Pentru a găsi un vector, trebuie să scădeți coordonatele de la început de la coordonatele de sfârșit. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
Exemplu:
- Vectorul DF are inițial (2; 3; 1) și final (1; 5; 2).
- Aplicând formula de mai sus, obținem: Coordonate vectoriale DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Amintiți-vă, valoarea coordonatei poate fi negativă, nu există nicio problemă.
Cum să găsiți coordonatele vectoriale online?
Dacă dintr-un motiv oarecare nu doriți să găsiți singur coordonatele, puteți utiliza un calculator online. Pentru a începe, selectați dimensiunea vectorială. Dimensiunea unui vector este responsabilă pentru dimensiunile acestuia. Dimensiunea 3 înseamnă că vectorul este în spațiu, dimensiunea 2 înseamnă că este în plan. Apoi, introduceți coordonatele punctelor în câmpurile corespunzătoare și programul va determina pentru dvs. coordonatele vectorului însuși. Este foarte simplu.
Făcând clic pe butonul, pagina va derula automat în jos și vă va oferi răspunsul corect împreună cu pașii de soluție.
Este recomandat să studiezi bine acest subiect, deoarece conceptul de vector se găsește nu numai în matematică, ci și în fizică. Facultăţi Tehnologia de informație Ei studiază și tema vectorilor, dar la un nivel mai complex.
În primul rând, trebuie să înțelegem conceptul de vector în sine. Pentru a introduce definiția unui vector geometric, să ne amintim ce este un segment. Să introducem următoarea definiție.
Definiția 1
Un segment este o parte a unei linii care are două limite sub formă de puncte.
Un segment poate avea 2 direcții. Pentru a desemna direcția, una dintre limitele segmentului o vom numi începutul, iar cealaltă limită sfârșitul. Direcția este indicată de la începutul până la sfârșitul segmentului.
Definiția 2
Un vector sau un segment direcționat va fi un segment pentru care se știe care dintre limitele segmentului este considerat început și care este sfârșitul acestuia.
Denumire: În două litere: $\overline(AB)$ – (unde $A$ este începutul și $B$ este sfârșitul).
Într-o literă mică: $\overline(a)$ (Fig. 1).
Să introducem acum în mod direct conceptul de lungimi vectoriale.
Definiția 3
Lungimea vectorului $\overline(a)$ va fi lungimea segmentului $a$.
Notație: $|\overline(a)|$
Conceptul de lungime a vectorului este asociat, de exemplu, cu un concept precum egalitatea a doi vectori.
Definiția 4
Vom numi doi vectori egali daca indeplinesc doua conditii: 1. Sunt codirectionali; 1. Lungimile lor sunt egale (Fig. 2).
Pentru a defini vectorii, introduceți un sistem de coordonate și determinați coordonatele vectorului din sistemul introdus. După cum știm, orice vector poate fi descompus sub forma $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, unde $m$ și $n$ sunt numere reale, și $\overline(i)$ și $\overline(j)$ sunt vectori unitari pe axa $Ox$ și, respectiv, $Oy$.
Definiția 5
Vom numi coeficienții de expansiune ai vectorului $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ coordonatele acestui vector în sistemul de coordonate introdus. Din punct de vedere matematic:
$\overline(c)=(m,n)$
Cum se află lungimea unui vector?
Pentru a obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector arbitrar având în vedere coordonatele sale, luați în considerare următoarea problemă:
Exemplul 1
Dat: vector $\overline(α)$ cu coordonatele $(x,y)$. Găsiți: lungimea acestui vector.
Să introducem un sistem de coordonate carteziene $xOy$ în plan. Să lăsăm deoparte $\overline(OA)=\overline(a)$ de la originile sistemului de coordonate introdus. Să construim proiecțiile $OA_1$ și $OA_2$ ale vectorului construit pe axele $Ox$ și, respectiv, $Oy$ (Fig. 3).
Vectorul $\overline(OA)$ pe care l-am construit va fi vectorul rază pentru punctul $A$, prin urmare, va avea coordonatele $(x,y)$, ceea ce înseamnă
$=x$, $[OA_2]=y$
Acum putem găsi cu ușurință lungimea necesară folosind teorema lui Pitagora, obținem
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Răspuns: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Concluzie: Pentru a afla lungimea unui vector ale cărui coordonate sunt date, este necesar să găsim rădăcina pătratului sumei acestor coordonate.
Exemple de sarcini
Exemplul 2
Aflați distanța dintre punctele $X$ și $Y$, care au următoarele coordonate: $(-1,5)$ și, respectiv, $(7,3)$.
Oricare două puncte pot fi ușor asociate cu conceptul de vector. Luați în considerare, de exemplu, vectorul $\overline(XY)$. După cum știm deja, coordonatele unui astfel de vector pot fi găsite scăzând din coordonatele punctului final ($Y$) coordonatele corespunzătoare punctul de plecare ($X$). Înțelegem asta
1. Definirea unui vector. Lungimea vectorului. Coliniaritatea, coplanaritatea vectorilor.
Un vector este un segment direcționat.
Lungimea sau modulul unui vector este lungimea segmentului direcționat corespunzător. Modul vectorial o Modul vectorial se numeste unitate daca . Vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt paraleli cu aceeași dreaptă. Vectorii sunt numiți coplanari dacă sunt paraleli cu același plan.
2. Înmulțirea unui vector cu un număr. Proprietăți de funcționare.
Înmulțirea unui vector cu un număr dă un vector direcționat opus, care este de două ori mai lung. Înmulțirea unui vector cu un număr sub formă de coordonate se face prin înmulțirea tuturor coordonatelor cu acest număr:
Pe baza definiției, obținem o expresie pentru modulul vectorului înmulțit cu numărul:
Similar numerelor, operația de adăugare a unui vector la sine poate fi scrisă prin înmulțire cu un număr:
Și scăderea vectorilor poate fi rescrisă prin adunare și înmulțire:
Pe baza faptului că înmulțirea cu nu modifică lungimea vectorului, ci doar direcția și ținând cont de definiția unui vector, obținem:
3. Adunarea vectorilor, scăderea vectorilor.
În reprezentarea în coordonate, vectorul sumă se obține prin însumarea coordonatelor corespunzătoare ale termenilor:
Pentru a construi geometric un vector sumă, se folosesc diverse reguli (metode), dar toate dau același rezultat. Folosirea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată.
Regula triunghiului
Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea unui vector ca transfer. Este clar că rezultatul aplicării secvenţiale a două transferuri la un anumit punct va fi acelaşi cu aplicarea unui transfer simultan, care corespunde acestei reguli. Pentru a adăuga doi vectori conform regulii triunghi ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei coincide cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul său cu sfârșitul celui de-al doilea vector.
Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în regula liniei întrerupte:
Regula poligonului
Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma vectorilor este un vector, începutul coincide cu începutul primului, iar sfârșitul coincide cu sfârșitul al-lea (adică este reprezentat de un segment direcționat care închide linia întreruptă) . Denumită și regula liniei întrerupte.
Regula paralelogramului
Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii paralelogram ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, pornind de la originea lor comună. (Este ușor de observat că această diagonală coincide cu a treia latură a triunghiului când se folosește regula triunghiului).
Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumă ca fiind aplicat imediat în același punct la care sunt aplicați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori ca având o origine comună.
Modulul sumei vectoriale
Modulul sumei a doi vectori poate fi calculat folosind teorema cosinusului:
Unde este cosinusul unghiului dintre vectori.
Dacă vectorii sunt reprezentați în conformitate cu regula triunghiului și unghiul este luat conform desenului - între laturile triunghiului - care nu coincide cu definiția obișnuită a unghiului dintre vectori și, prin urmare, cu unghiul din cele de mai sus formula, apoi ultimul termen capătă semnul minus, care corespunde teoremei cosinusului în formularea sa directă.
Pentru suma unui număr arbitrar de vectori se aplică o formulă similară, în care există mai mulți termeni cu cosinus: un astfel de termen există pentru fiecare pereche de vectori din mulțimea însumată. De exemplu, pentru trei vectori formula arată astfel:
Scădere vectorială
Doi vectori și vectorul lor diferență
Pentru a obține diferența în formă de coordonate, trebuie să scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:
Pentru a obține un vector de diferență, începuturile vectorilor sunt conectate și începutul vectorului va fi sfârșitul, iar sfârșitul va fi sfârșitul. Dacă îl scriem folosind puncte vectoriale, atunci.
Modul de diferență vectorială
Trei vectori, ca și în cazul adunării, formează un triunghi, iar expresia pentru modulul de diferență este similară:
unde este cosinusul unghiului dintre vectori
Diferența față de formula pentru modulul sumei este în semnul din fața cosinusului, în acest caz, trebuie să monitorizați cu atenție ce unghi este luat (versiunea formulei pentru modulul sumei cu unghiul dintre; laturile unui triunghi atunci când se însumează conform regulii triunghiului nu diferă ca formă de această formulă pentru modulul diferenței, dar trebuie să aveți Rețineți că aici sunt luate unghiuri diferite: în cazul unei sume, unghiul este luat când vectorul este transferat la capătul vectorului când se caută un model de diferență, se ia expresia pentru modulul sumei dintre vectori; pentru modulul diferenței, diferă prin semnul din fața cosinusului).
| " |
În primul rând, trebuie să înțelegem conceptul de vector în sine. Pentru a introduce definiția unui vector geometric, să ne amintim ce este un segment. Să introducem următoarea definiție.
Definiția 1
Un segment este o parte a unei linii care are două limite sub formă de puncte.
Un segment poate avea 2 direcții. Pentru a desemna direcția, una dintre limitele segmentului o vom numi începutul, iar cealaltă limită sfârșitul. Direcția este indicată de la începutul până la sfârșitul segmentului.
Definiția 2
Un vector sau un segment direcționat va fi un segment pentru care se știe care dintre limitele segmentului este considerat început și care este sfârșitul acestuia.
Denumire: În două litere: $\overline(AB)$ – (unde $A$ este începutul și $B$ este sfârșitul).
Într-o literă mică: $\overline(a)$ (Fig. 1).
Să introducem acum în mod direct conceptul de lungimi vectoriale.
Definiția 3
Lungimea vectorului $\overline(a)$ va fi lungimea segmentului $a$.
Notație: $|\overline(a)|$
Conceptul de lungime a vectorului este asociat, de exemplu, cu un concept precum egalitatea a doi vectori.
Definiția 4
Vom numi doi vectori egali daca indeplinesc doua conditii: 1. Sunt codirectionali; 1. Lungimile lor sunt egale (Fig. 2).
Pentru a defini vectorii, introduceți un sistem de coordonate și determinați coordonatele vectorului din sistemul introdus. După cum știm, orice vector poate fi descompus sub forma $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, unde $m$ și $n$ sunt numere reale și $\overline (i )$ și $\overline(j)$ sunt vectori unitari pe axa $Ox$ și, respectiv, $Oy$.
Definiția 5
Vom numi coeficienții de expansiune ai vectorului $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ coordonatele acestui vector în sistemul de coordonate introdus. Din punct de vedere matematic:
$\overline(c)=(m,n)$
Cum se află lungimea unui vector?
Pentru a obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector arbitrar având în vedere coordonatele sale, luați în considerare următoarea problemă:
Exemplul 1
Dat: vector $\overline(α)$ cu coordonatele $(x,y)$. Găsiți: lungimea acestui vector.
Să introducem un sistem de coordonate carteziene $xOy$ în plan. Să lăsăm deoparte $\overline(OA)=\overline(a)$ de la originile sistemului de coordonate introdus. Să construim proiecțiile $OA_1$ și $OA_2$ ale vectorului construit pe axele $Ox$ și, respectiv, $Oy$ (Fig. 3).
Vectorul $\overline(OA)$ pe care l-am construit va fi vectorul rază pentru punctul $A$, prin urmare, va avea coordonatele $(x,y)$, ceea ce înseamnă
$=x$, $[OA_2]=y$
Acum putem găsi cu ușurință lungimea necesară folosind teorema lui Pitagora, obținem
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Răspuns: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Concluzie: Pentru a afla lungimea unui vector ale cărui coordonate sunt date, este necesar să găsim rădăcina pătratului sumei acestor coordonate.
Exemple de sarcini
Exemplul 2
Aflați distanța dintre punctele $X$ și $Y$, care au următoarele coordonate: $(-1,5)$ și, respectiv, $(7,3)$.
Oricare două puncte pot fi ușor asociate cu conceptul de vector. Luați în considerare, de exemplu, vectorul $\overline(XY)$. După cum știm deja, coordonatele unui astfel de vector pot fi găsite scăzând coordonatele corespunzătoare ale punctului de plecare ($X$) din coordonatele punctului final ($Y$). Înțelegem asta
Oxy
DESPRE O OA.
, unde 
OA 
.
Astfel, 
.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Soluţie.
:
Răspuns:
Oxyz in spatiu.
O OA va fi o diagonală.
În acest caz (din moment ce OA 
OA 
.
Astfel, lungimea vectorului 
.
Exemplu.
Calculați lungimea vectorului 
Soluţie.
, prin urmare, 
Răspuns:
Linie dreaptă pe un plan
Ecuația generală
Ax + By + C ( > 0).
Vector = (A; B) este un vector normal.
În formă vectorială: + C = 0, unde este vectorul rază a unui punct arbitrar pe o dreaptă (Fig. 4.11).
Cazuri speciale:
1) Prin + C = 0- linie dreaptă paralelă cu axa Bou;
2) Ax + C = 0- linie dreaptă paralelă cu axa Oi;
3) Ax + By = 0- linia dreaptă trece prin origine;
4) y = 0- axa Bou;
5) x = 0- axa Oi.
Ecuația unei drepte în segmente
Unde a, b- valorile segmentelor tăiate de linie dreaptă pe axele de coordonate.
Ecuația normală a unei linii(Fig. 4.11)
unde este unghiul format normal cu dreapta și cu axa Bou; p- distanta de la origine la linia dreapta.
Aducând ecuație generală direct la aspect normal:
Aici este factorul normalizat al liniei; semnul este ales opus semnului C, dacă și în mod arbitrar, dacă C=0.
Aflarea lungimii unui vector din coordonate.
Vom nota lungimea vectorului cu . Din cauza acestei notații, lungimea unui vector este adesea numită modulul vectorului.
Să începem prin a găsi lungimea unui vector pe un plan folosind coordonatele.
Să introducem un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în plan Oxy. Fie specificat un vector în el și să aibă coordonate. Obținem o formulă care ne permite să aflăm lungimea unui vector prin coordonatele și .
Să amânăm de la originea coordonatelor (de la punctul DESPRE) vector . Să notăm proiecțiile punctului O pe axele de coordonate ca si respectiv si consideram un dreptunghi cu diagonala OA.
În virtutea teoremei lui Pitagora, egalitatea , unde . Din definirea coordonatelor vectoriale într-un sistem de coordonate dreptunghiular, putem afirma că și , iar prin construcție lungimea OA egală cu lungimea vectorului, prin urmare, .
Astfel, formula pentru determinarea lungimii unui vector după coordonatele sale pe plan are forma .
Dacă vectorul este reprezentat ca o descompunere în vectori de coordonate , apoi lungimea sa este calculată folosind aceeași formulă , deoarece în acest caz coeficienții și sunt coordonatele vectorului într-un sistem de coordonate dat.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Aflați lungimea vectorului dat în sistemul de coordonate carteziene.
Soluţie.
Aplicam imediat formula pentru a afla lungimea vectorului din coordonate :
Răspuns:
Acum obținem formula pentru găsirea lungimii vectorului prin coordonatele sale într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz in spatiu.
Să trasăm vectorul de la origine și să notăm proiecțiile punctului O pe axele de coordonate ca și . Apoi putem construi un paralelipiped dreptunghiular pe laturi, în care OA va fi o diagonală.
În acest caz (din moment ce OA– diagonala paralelipiped dreptunghiular), unde . Determinarea coordonatelor unui vector ne permite să scriem egalități și lungimea OA egală cu lungimea vectorului dorită, prin urmare, .
Astfel, lungimea vectorului în spațiu este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, adică găsit prin formula .
Exemplu.
Calculați lungimea vectorului , unde sunt vectorii unitari sistem dreptunghiular coordonate
Soluţie.
Ni se oferă o descompunere vectorială în vectori de coordonate de forma , prin urmare, . Apoi, folosind formula pentru găsirea lungimii unui vector din coordonate, avem .
