Exercita
Calculați probabilitatea de funcționare fără defecțiuni P c sisteme cu structura și parametrii specificați în clauza 6.4, folosind metoda logico-probabilistă. Comparați primit rezultat cu estimările limită obținute la paragraful 6.
Elemente de teorie
Fie x=(x 1 ,..., x n) un vector n-dimensional care caracterizează starea sistemului, unde x i- variabilă booleană: x i= 1 dacă i--lea subsistem este operațional, iar x i =0 în caz contrar.
Introducând criteriul de eroare adecvat pentru sistem, puteți specifica o funcție booleană care descrie starea de sănătate sau starea de defecțiune a sistemului:
R(x)=1, dacă sistemul este operațional. R(x)=0 dacă sistemul eșuează.
Dacă sistemul este într-o stare de defecțiune. daca sistemul este operational.
Aici R(x) este funcția de performanță, este funcția de defecțiune în stare X.
Să trecem la funcțiile probabilistice:
Aici R- probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului Şi Q- probabilitatea defecțiunii sistemului determinată pentru cazul în care x i corespunde stării de lucru i al-lea element (subsistem). RŞi Q aici sunt definite pentru același moment în timp ca r(x i) și q(x i) - probabilitatea de funcționare fără defecțiuni și defectarea elementelor.
Structura sistemului se numește monotonă dacă pentru funcție R(x) sunt îndeplinite următoarele condiţii:
a) R(1)= 1, unde 1 =(1,...,1);
b) R(0) = 0, unde 0 = (0,...,0);
V) R(X) ≥R(y), Dacă x ≥y,
unde condiția (c) este înțeleasă ca o mulțime n conditii x i ≥у i.
Pentru a evalua fiabilitatea unor astfel de sisteme, se utilizează metoda căilor minime și secțiunilor minime, metoda logic-interstițială și altele.
Structurile monotone includ structuri seriale-paralele și paralele-seriale, precum și cele ireductibile la acestea , cum ar fi, de exemplu, „pod”.
Exemplu de soluție
Să luăm în considerare utilizarea metodei logico-probabilistice, care ne permite să obținem valoarea exactă a probabilității de funcționare fără defecțiuni, folosind exemplul structurii punții prezentate în Fig. 6.1.
Funcţie R (X) reprezentați-o în formă normală disjunctivă (DNF) printr-un set de căi minime (vezi secțiunea 6.2)
R(x) = x 1 x 4 V x 1 x 3 x 5 V x 2 x 5 V x 2 x 3 x 4,
Unde x i - Variabila booleană care definește starea de sănătate i-a element. Forma matriceală a funcției booleene R(x) prezentat în Fig. 7.1.
Pentru a calcula R s necesar R(x) reprezentați în formă ortogonală R ort, aceste. sub forma unui set de intervale care nu se suprapun.
Și în conformitate cu matricea din Fig. 7.1 avem:
Pentru calcul este suficient în (7.1) x iînlocuiți cu p i , prin 1 -p i , conjuncție - prin produs și disjuncție - prin sumă. Făcând acest lucru, obținem:
Lasă p i = p=0,8 atunci,
Comparație cu rezultatul obținut în secțiunea 6.3. ofera:
0,9069<0,9611<0,9692
Bibliografie
1. Kozlov B.A., Ushakov I.A. Manual pentru calcularea fiabilității electronicelor radio și echipamentelor de automatizare. – M.: Sov.radio, 1975. – 472 p.
2. Iyudu K.A. Fiabilitatea, controlul și diagnosticarea calculatoarelor și sistemelor. – M.: Şcoala superioară, 1989. – 216 p.
3. Fiabilitatea sistemelor tehnice: Director / Yu.K. Belyaev, V.A. Bogatyrev etc.; Ed. I.A. Ushakova. – M.: Radio și Comunicații, 1985. – 608 p.
4. Druzhinin G.V. Fiabilitatea sistemelor automate de producție. – Ed. a IV-a. – M.: Energoatom-izdat, 1986. – 480 p.
5. Kagan B.M., Mkrtumyan I.B. Bazele funcționării computerului. – M.: Energoatomizdat, 1988. – 432 p.
Metoda se bazează pe aparatul matematic al algebrei logice. Calcularea fiabilității unui sistem de control presupune determinarea relației dintre un eveniment complex (defecțiunea sistemului) și evenimentele de care depinde acesta (eșecuri ale elementelor sistemului). În consecință, calculele de fiabilitate se bazează pe operațiuni cu evenimente și declarații, care sunt considerate declarații despre operabilitatea sau defecțiunea unui element (sistem). Fiecare element al sistemului este reprezentat de o variabilă logică care ia valoarea 1 sau 0.
Evenimentele și afirmațiile care folosesc operațiile de disjuncție, conjuncție și negație sunt combinate în ecuații logice care corespund condițiilor pentru ca sistemul să funcționeze. Este compilată o funcție logică de performanță. Un calcul bazat pe utilizarea directă a ecuațiilor logice se numește logico-probabilistic și se realizează în șapte etape:
1. Formularea verbală a condițiilor de funcționare a obiectului. Este descrisă dependența performanței unui sistem informațional de starea elementelor sale individuale.
2. Întocmirea unei funcţii de performanţă logică. Reprezintă o ecuație logică corespunzătoare condiției de operabilitate a sistemului de control
care se exprimă într-o formă disjunctivă, de exemplu:
unde x i este condiția de performanță a lui i - al-lea element Fl; X i = 1 – stare operațională, X i = 0 – stare nefuncțională.
3. Aducerea funcției de performanță logică F L la forma ortogonală nerepetitivă F LO. O funcție de performanță logică complexă trebuie redusă la o formă ortogonală fără repetiții.
O funcție de forma (2.2) se numește ortogonală dacă toți termenii săi D i sunt ortogonali pe perechi (adică produsul lor este egal cu zero) și fără repetări dacă fiecare dintre termenii săi D i este format din litere x i cu numere diferite. (adică nu există argumente care se repetă), de exemplu: produsul conjuncțiilor elementare x 1, x 2, x 4 și x 3, x 2 este egal cu zero, deoarece una dintre ele conține x 2, iar celălalt - x 2, prin urmare, sunt ortogonale; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2, unde x 2și x 2 au același număr, deci termenul D 1 nu este repetat.
– formă ortogonală nerepetitivă;
– formă ortogonală, dar nu nerepetitivă.
Funcția F l poate fi convertită într-o formă ortogonală fără repetare F lo folosind legile și regulile pentru transformarea enunțurilor complexe. Cele mai frecvent utilizate reguli pentru calcule sunt:
1) x 1 ×x 2 = x 2 ×x 1;
4. Aritmetizarea lui Flo. Din funcția de performanță logică ortogonală fără repetiție găsită F LO, se determină funcția aritmetică F a (2.3).
unde A i este forma aritmetică a termenilor D i ai funcției F lo.
Aritmetizarea membrilor D i , care cuprind în general operațiile de disjuncție, conjuncție și negație, se realizează prin înlocuirea operațiilor logice cu operații aritmetice conform regulilor:
5. Determinarea probabilității de funcționare fără defecțiuni a sistemului.
Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este stabilită ca probabilitatea adevărului funcției logice de operabilitate, prezentată într-o formă ortogonală nerepetitivă și se calculează ca suma probabilităților adevărului tuturor termenilor ortogonali. a acestei funcţii de algebră logică. Toate evenimentele (instrucțiunile) sunt înlocuite cu probabilitățile lor (probabilitățile de funcționare fără defecțiuni a elementelor corespunzătoare).
În unele cazuri, un obiect sau un sistem nu poate fi imaginat ca fiind constând din conexiuni paralel-seriale. Acest lucru se aplică în special sistemelor informatice electronice digitale, în care sunt introduse conexiuni încrucișate pentru a crește fiabilitatea. În fig. Figura 9.17 prezintă o parte din structura unui sistem cu conexiuni încrucișate (săgețile indică direcțiile posibile de mișcare a informațiilor în sistem). Pentru a evalua fiabilitatea unor astfel de structuri, metoda logico-probabilistă se dovedește a fi eficientă.
Orez. 9.17 Circuitul de alimentare cu combustibil al podului;
1-2 – pompe, 3,4,5 – supape
Orez. 9.18 Circuitul pod al complexului de măsurare și calcul;
1,2 – dispozitiv de stocare; 3,4 – procesoare; 5 – bloc care asigură transmisia bidirecțională a datelor digitale.
În metodă, starea de funcționare a structurii este propusă a fi descrisă folosind aparatul de logică matematică, urmată de o tranziție formală la probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului sau dispozitivului evaluat. Mai mult, printr-o variabilă logică x j denotă evenimentul pe care un dat i Al treilea element este operațional. Formal, starea operațională a unui întreg sistem sau obiect este reflectată de o funcție logică numită funcție de sănătate. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se determine, de la intrarea la ieșirea structurii sistemului, toate căile de mișcare a informațiilor și fluidul de lucru corespunzător stării de funcționare a sistemului. De exemplu, în Fig. 9.17. Există patru astfel de căi: calea 1 – , calea 2 – , calea 3 – , calea 4 – .
Cunoscând toate căile corespunzătoare stării de lucru a structurii, putem scrie funcția de capacitate de lucru (X) în simbolurile algebrei logicii în forma disjunctivă - conjunctivă De exemplu, pentru Fig. 9.17 este:
Folosind metode de minimizare cunoscute, funcția de performanță logică este simplificată și trecută de la ea la ecuația de performanță a sistemului în simbolurile algebrei obișnuite. Această tranziție se realizează formal folosind relații cunoscute (notație logică în stânga, algebrică în dreapta):
Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a unui obiect (vezi Fig. 9.16, 9.17) este determinată în general prin înlocuirea formală în expresia algebrică a funcției de performanță în loc de variabile a valorii probabilităților de funcționare fără defecțiuni ale fiecăruia. i al-lea element al sistemului.
Exemplu. Este necesar să se găsească în termeni generali probabilitatea funcționării fără defecțiuni a obiectelor, a cărei structură este prezentată în Fig. 9.16 și 9.17. În ciuda bazelor diferitelor elemente, elementele structurale ale acestor obiecte sunt identice din punct de vedere al logicii formale. În acest sens, pentru claritate, în fig. 9.17 elemente U1, U2 - două pompe identice la fel de fiabile cu probabilități de funcționare fără defecțiuni. Elementele U3, U4 sunt două procesoare la fel de fiabile, cu o probabilitate de funcționare fără defecțiuni. Elementul U5 este o supapă de comutare care asigură alimentarea în două sensuri a fluidului de lucru (de exemplu, combustibil) la ieșirea obiectului.
Structura obiectului din Fig. 1 arată similară. 9.17, unde elementele U1, U2 sunt două dispozitive de stocare identice, la fel de fiabile (dispozitive de stocare), cu o probabilitate de funcționare fără defecțiuni. Elementele U3, U4 sunt două procesoare identice, la fel de fiabile, cu o probabilitate de funcționare fără defecțiuni. Elementul U5 este un bloc care asigură transmisia bidirecțională a datelor digitale. Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a acestei unități.
Ținând cont de (9.36), (9.37), (9.38) se poate face o trecere formală de la notația (9.35) la forma algebrică a notației. Deci, pentru a găsi funcția logică a performanței unui obiect, căile posibile pentru trecerea informațiilor (fluid de lucru) de la intrare la ieșire au forma:
Din punct de vedere al analizei fiabilității, prin sistem complex structural înțelegem un sistem format dintr-un număr arbitrar de legături redundante conectate arbitrar (serie paralelă, punte). În prelegerile anterioare au fost luate în considerare două metode de studiere a fiabilității sistemelor complexe structural: metoda de analiză a structurilor complexe serie-paralele, metoda de descompunere în raport cu un element special. Cu un număr mare de elemente și conexiuni între elemente, efectuarea calculelor de fiabilitate folosind aceste metode este o sarcină extrem de dificilă. Automatizarea calculelor ne permite să rezolvăm problema analizării fiabilității sistemelor complexe structural. Pentru implementarea automatizării, este necesar să existe o descriere formală generală a „comportamentului de fiabilitate” al sistemului analizat. Ca atare descriere a fost aleasă algebra logicii (vezi anexa). Metoda de analiză a fiabilității sistemelor complexe, în care structura lor este descrisă folosind aparatul matematic al algebrei binare a logicii, iar o evaluare cantitativă a fiabilității este efectuată folosind teoria probabilității, se numește metoda logico-probabilistă.
Utilizarea metodelor logico-probabilistice pentru a determina valorile indicatorilor probabilistici de fiabilitate la momentul t pentru un sistem format din n elemente se realizează în mai multe etape:
· construirea unei funcţii logice a performanţei sistemului
Conversia unei funcții logice la forma de tranziție la substituție
· obţinerea unei formule probabilistice calculate
1. Construirea unei funcții logice pentru operabilitatea (inoperabilitatea) sistemului
Se presupune că atât sistemul în sine, cât și elementele sale constitutive pot fi doar în două stări - operabilitate și defecțiune, iar defecțiunile elementelor sunt presupuse a fi independente. Apoi, pe baza condițiilor de operabilitate (inoperabilitate) a sistemului, este posibil să se construiască o funcție logică a operabilității acestuia S( x) (inoperabilitate)
(1)
Argumentul funcției S este un vector rând x variabile logice astfel încât
(2)
De exemplu, dacă luăm diagramele bloc de fiabilitate pe care le-am studiat deja ca descriere inițială a sistemului, atunci pentru un sistem format din două elemente conectate în serie din punct de vedere al fiabilității (defecțiunea fiecăruia este o defecțiune a sistemului ca întreg) (Fig. 1.a), , a . Funcția de operabilitate a unui sistem duplicat, în care defecțiunile unice ale elementelor nu conduc la defectarea acestuia (Fig. 1.b), este egală cu , inoperabilitate - . Pentru structura podului (Fig. 1.c), . Aceste funcții sunt construite destul de formal - ele reflectă prezența a cel puțin unei conexiuni (cale) între intrarea și ieșirea circuitului de fiabilitate al sistemului. O cale este funcțională dacă toate elementele sale sunt funcționale. Prin urmare, fiecare cale corespunde unei conjuncții elementare de variabile corespunzătoare elementelor incluse în cale, iar S(X) este disjuncția tuturor conjuncțiilor elementare corespunzătoare căilor posibile de la intrare la ieșire. Pentru sistemele mici, scrierea unor astfel de expresii logice nu este dificilă pentru sistemele complexe constând dintr-un număr mare de componente, sunt necesari algoritmi speciali pentru trecerea circuitului și formarea căilor.
Esența metodelor logico-probabilistice constă în utilizarea funcțiilor de algebră logică (LPF) pentru a înregistra analitic condițiile de funcționare ale sistemului și trecerea de la FAL la funcțiile probabilistice (PF), care exprimă în mod obiectiv fiabilitatea sistemului. Aceste. Folosind metoda logico-probabilistă, este posibil să se descrie circuite IC pentru calcularea fiabilității folosind aparatul logicii matematice, urmată de utilizarea teoriei probabilităților în determinarea indicatorilor de fiabilitate.
Sistemul poate fi doar în două stări: într-o stare de funcționalitate completă ( la= 1) și în stare de eșec complet ( la= 0). Se presupune că acțiunea sistemului depinde determinist de acțiunea elementelor sale, adică. la este o funcție X 1 , X 2 , … , x i , … , x n. De asemenea, elementele pot fi doar în două stări incompatibile: funcționalitate completă ( x i= 1) și eșec complet ( x i = 0).
Funcție de algebră logică care conectează starea elementelor cu starea sistemului la (X 1 , X 2 ,…, x n) sunt numite functie de performanta sisteme F(y)= 1.
Pentru a evalua stările operaționale ale sistemului, se folosesc două concepte:
1) cea mai scurtă cale către funcționarea cu succes (SPUF), care este o astfel de conjuncție a elementelor sale, niciuna dintre componentele cărora nu poate fi îndepărtată fără a perturba funcționarea sistemului. O astfel de conjuncție este scrisă ca următorul FAL:
Unde i– aparține unui set de numere corespunzătoare unui dat
l- cale.
Cu alte cuvinte, CPUF-ul sistemului descrie una dintre posibilele sale stări operaționale, care este determinată de setul minim de elemente operaționale care sunt absolut necesare pentru a îndeplini funcțiile specificate pentru sistem.
2) secțiunea transversală minimă a defecțiunilor sistemului (MSF), care este o astfel de conjuncție a negațiilor elementelor sale, niciuna dintre componentele cărora nu poate fi îndepărtată fără a încălca condițiile de inoperabilitate a sistemului. O astfel de conjuncție poate fi scrisă ca următorul FAL:
unde înseamnă setul de numere corespunzătoare unei secțiuni date.
Cu alte cuvinte, MCO al unui sistem descrie una dintre modalitățile posibile de a perturba sistemul folosind un set minim de elemente eșuate.
Fiecare sistem redundant are un număr finit de cele mai scurte căi ( l= 1, 2,…, m) și secțiuni minime ( j = 1, 2,…, m).
Folosind aceste concepte, putem nota condițiile de funcționare ale sistemului.
1) sub forma unei disjuncții a tuturor căilor cele mai scurte disponibile către funcționarea cu succes.
;
2) sub forma unei conjuncții de negații ale tuturor MSO-urilor
;
Astfel, condițiile de funcționare ale unui sistem real pot fi reprezentate sub forma condițiilor de funcționare ale unui sistem echivalent (în sensul fiabilității), a cărui structură reprezintă o conexiune paralelă a celor mai scurte căi de funcționare cu succes, sau alt echivalent. sistem a cărui structură reprezintă o legătură de negații de secțiuni minime.
De exemplu, pentru o structură IC punte, funcția de operabilitate a sistemului folosind CPUF va fi scrisă după cum urmează:
;
funcția de performanță a aceluiași sistem prin MSO poate fi scrisă în următoarea formă:
Cu un număr mic de elemente (nu mai mult de 20), poate fi utilizată o metodă tabelară pentru calcularea fiabilității, care se bazează pe utilizarea teoremei pentru adăugarea probabilităților evenimentelor comune.
Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului poate fi calculată folosind formula (prin intermediul unei funcții probabilistice a formei):
Metodele logico-probabilistice (metode: tăiere, tabulară, ortogonalizare) sunt utilizate pe scară largă în proceduri de diagnosticare la construirea arborilor de erori și la determinarea evenimentelor de bază (inițiale) care provoacă defecțiunea sistemului.
Pentru fiabilitatea unui sistem informatic cu o structură de redundanță complexă, se poate folosi o metodă de modelare statistică.
Ideea metodei este de a genera variabile logice x i cu o probabilitate dată pi a apariției unei unități, care sunt substituite în funcția de structură logică a sistemului modelat într-o formă arbitrară și apoi se calculează rezultatul.
Totalitate X 1 , X 2 ,…, x n evenimente aleatoare independente care formează un grup complet, caracterizat prin probabilitățile de apariție a fiecăruia dintre evenimente p(x i), și .
Pentru a modela acest set de evenimente aleatoare, se folosește un generator de numere aleatoare, distribuit uniform în interval
Sens p i este ales egal cu probabilitatea de funcționare fără defecțiuni i subsistemul. În acest caz, procesul de calcul se repetă N 0 ori cu valori ale argumentelor aleatoare noi, independente x i(în acest caz numărul de N(t) valori unice ale funcției de structură logică). Atitudine N(t)/N 0 este o estimare statistică a probabilității de funcționare fără defecțiuni
Unde N(t) – numărul de lucrători fără probleme până la momentul respectiv t obiecte, cu numărul lor original.
Generarea de variabile booleene aleatoare x i cu o probabilitate dată de apariţie a unuia p i se realizează pe baza unor variabile aleatoare distribuite uniform în interval, obținute cu ajutorul programelor standard incluse în software-ul tuturor calculatoarelor moderne.
1. Numiți o metodă de evaluare a fiabilității unui IS, în care probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este definită ca Р n ≤Р с ≤Р în.
2. Pentru a calcula fiabilitatea a căror sisteme este folosită metoda traseului și secțiunii?
3. Utilizând ce metodă puteți evalua fiabilitatea dispozitivelor de tip punte?
4. Ce metode sunt cunoscute pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate ai sistemelor restaurate?
5. Reprezentați structural circuitul podului ca un set de trasee și secțiuni minime.
6. Definiți calea minimă și secțiunea minimă.
7. Notați funcția de sănătate pentru un dispozitiv cu structură ramificată?
8. Care este funcția de performanță?
9. Care este calea cea mai scurtă către o operare de succes (CPF). Notați condițiile de funcționare sub formă de KPUF.
10. Unde se utilizează metoda logico-probabilistă de evaluare a fiabilității?
Literatură: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Subiect: Calculul fiabilității sistemelor restaurate (metoda ecuațiilor diferențiale)
1. Metode generale de calcul al fiabilității sistemelor restaurate.
2. Construirea unui grafic al stărilor posibile ale sistemului pentru a evalua fiabilitatea sistemelor restaurate.
3. Metoda sistemelor de ecuații diferențiale (SDE), regula lui Kolmogorov pentru compilarea SDE
4. Normalizare și condiții inițiale pentru rezolvarea SDE.
Cuvinte cheie
Sistem recuperabil, caracteristici cantitative de fiabilitate, grafic de stare, stare operabilă, sistem de ecuații diferențiale, regula lui Kolmogorov, probabilitate de funcționare fără defecțiuni, rata de recuperare, rata de eșec, condiții de normalizare, condiții inițiale, parametri de fiabilitate, sistem neredundant.
Sarcina principală a calculării fiabilității CI proiectate este de a construi modele matematice adecvate proceselor probabilistice ale funcționării lor. Aceste modele fac posibilă evaluarea gradului în care sunt îndeplinite cerințele de fiabilitate pentru sistemele proiectate sau operate.
Tipul modelului matematic determină posibilitatea obținerii formulelor de calcul. Pentru a calcula fiabilitatea sistemelor redundante și neredundante restaurate se folosesc următoarele: metoda ecuațiilor integrale, metoda ecuațiilor diferențiale, metoda intensităților de tranziție, metoda de evaluare a fiabilității folosind un grafic al stărilor posibile etc.
Metoda ecuației integrale. Metoda ecuațiilor integrale este cea mai generală, poate fi utilizată pentru a calcula fiabilitatea oricăror sisteme (recuperabile și nerecuperabile) pentru orice distribuție FBG și timpul de recuperare.
În acest caz, pentru a determina indicatorii de fiabilitate ai sistemului, sunt compilate și rezolvate ecuații integrale și integro-diferențiale care raportează caracteristicile distribuției FBG-urilor, iar pentru sistemele restaurate, timpul de recuperare a elementelor.
La compilarea ecuațiilor integrale se identifică de obicei unul sau mai multe intervale de timp infinitezimale, pentru care se iau în considerare evenimente complexe care se manifestă sub acțiunea combinată a mai multor factori.
În general, soluțiile se găsesc prin metode numerice folosind un calculator. Metoda ecuațiilor integrale nu este utilizată pe scară largă din cauza dificultății rezolvării.
Metoda ecuațiilor diferențiale. Metoda este utilizată pentru a evalua fiabilitatea obiectelor restaurate și se bazează pe ipoteza unor distribuții exponențiale de timp între defecțiuni (timp de funcționare) și timpul de restaurare. În acest caz, parametrul debitului de eșec w =λ = 1/t cp . iar intensitatea de recuperare µ = 1/ t in, Unde tcp.– timpul mediu dintre defecțiuni, t in– timpul mediu de recuperare.
Pentru a aplica metoda, este necesar să existe un model matematic pentru multe stări posibile ale sistemului S={S 1 , S 2 ,…, S n), în care poate fi localizat în timpul defecțiunilor sistemului și recuperării. Din când în când sistemul S sare de la o stare la alta sub influența defecțiunilor și restaurărilor elementelor sale individuale.
Când se analizează comportamentul unui sistem în timp în timpul uzurii, este convenabil să se utilizeze un grafic de stare. Un grafic de stare este un grafic direcționat în care stările posibile ale sistemului sunt reprezentate prin cercuri sau dreptunghiuri. Conține atâtea vârfuri câte stări sunt posibile pentru un obiect sau sistem. Marginile graficului reflectă posibile tranziții de la o anumită stare la toate celelalte cu parametri de eșec și rate de recuperare (ratele de tranziție sunt afișate lângă săgeți).
Fiecare combinație de stări de defecțiune și operaționale ale subsistemelor corespunde unei stări de sistem. Numărul de stări ale sistemului n= 2k, Unde k– numărul de subsisteme (elemente).
Legătura dintre probabilitățile de a găsi un sistem în toate stările sale posibile este exprimată printr-un sistem de ecuații diferențiale Kolmogorov (ecuații de ordinul întâi).
Structura ecuațiilor lui Kolmogorov este construită după următoarele reguli: în partea stângă a fiecărei ecuații se scrie derivata probabilității de a găsi un obiect în starea luată în considerare (vârful graficului), iar partea dreaptă conține cât mai multe termeni ca numărul de muchii ale graficului de stare asociat cu acest vârf. Dacă o muchie este direcționată de la un vârf dat, termenul corespunzător are semnul minus dacă este direcționat către un vârf dat, are semnul plus; Fiecare termen este egal cu produsul dintre parametrul de intensitate a defecțiunii (recuperare) asociat cu o muchie dată și probabilitatea de a fi la vârful graficului din care provine muchia.
Sistemul de ecuații Kolmogorov include atâtea ecuații câte vârfuri există în graficul de stare al obiectului.
Sistemul de ecuații diferențiale este completat cu condiția de normalizare:
Unde P j(t j-a condiție;
n– numărul de stări posibile ale sistemului.
Rezolvarea unui sistem de ecuații în condiții specifice dă valoarea probabilităților dorite P j(t).
Întregul set de stări posibile ale sistemului este împărțit în două părți: un subset de stări n 1 în care sistemul este operațional și un subset de stări n 2 în care sistemul este inoperabil.
Funcția System Ready:
LA G 
,
Unde P j(t) – probabilitatea de a găsi sistemul în j in stare de functionare;
n 1 – numărul de stări în care sistemul este operațional.
Când este necesar să se calculeze factorul de disponibilitate a sistemului sau factorul de nefuncționare (întreruperile în funcționarea sistemului sunt acceptabile), luați în considerare modul de funcționare în regim de echilibru la t→∞. În acest caz, toate derivatele și sistemul de ecuații diferențiale se transformă într-un sistem de ecuații algebrice care se rezolvă ușor.
Un exemplu de grafic de stare al unui sistem recuperabil neredundant cu n– elementele sunt prezentate în fig. 1.
Orez. 1. Graficul de stare al sistemului care este restaurat (stările inoperante sunt marcate cu umbrire)
Să luăm în considerare stările posibile în care se poate afla sistemul. Următoarele stări sunt posibile aici:
S 0 – toate elementele sunt operaționale;
S 1 – primul element este inoperant; restul sunt operaționale;
S 2 – al doilea element este inoperant; restul sunt operaționali;
S n – n Al treilea element este inoperant, restul sunt operaționali.
Probabilitatea apariției simultane a două elemente inoperante este neglijabilă. Simboluri λ 1 , λ 2 ,…, λ n sunt indicate ratele de eșec, µ 1 , µ 2 ,…, µ n intensitatea refacerii elementelor corespunzătoare;
Folosind graficul de stare (Fig. 1), este compilat un sistem de ecuații diferențiale (ecuația pentru starea S 0 este omis din cauza greutății):
Cu stare de normalizare: .
Conditii initiale:
În condiții de funcționare în regim stabil (la t→∞) avem:
După rezolvarea sistemului de ecuații algebrice rezultat ținând cont de condiția de normalizare, găsim indicatori de fiabilitate.
Când rezolvați un sistem de ecuații, puteți utiliza transformata Laplace pentru probabilități de stare sau metode numerice.
Testați întrebări și sarcini
1. Ce metode sunt cunoscute pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate ai sistemelor restaurate?
2. Cum se determină stările elementelor și dispozitivelor IC?
3. Cum se determină zonele stărilor operaționale ale sistemului?
4. De ce a devenit larg răspândită metoda ecuațiilor diferențiale în evaluarea fiabilității sistemelor restaurate?
5. Care este o condiție necesară la rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale?
6. Cum sunt compilate ecuațiile diferențiale pentru a determina parametrii de fiabilitate ai unui IS?
7. Ce condiție ar trebui completată cu sistemul de ecuații diferențiale (SDE) pentru o soluție mai eficientă.
8. Notați condițiile de funcționare ale sistemului, format din trei elemente.
9. Care este numărul de stări ale unui dispozitiv format din patru elemente?
10. Ce regulă se folosește la compilarea unui CDS?
Literatură: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Subiect: Modele Markov pentru evaluarea fiabilității sistemelor informaționale redundante, recuperabile
1. Conceptul proprietății Markov, definiția stării sistemului.
2. Metodologie și algoritm pentru construirea unui model Markov.
3. Formule de calcul pentru calcularea indicatorilor de fiabilitate a vehiculelor
4. Matricea intensității tranziției pentru evaluarea indicatorilor de fiabilitate a CI redundante, recuperabile.
Cuvinte cheie
Modelul Markov, starea sistemului, operabilitatea, matricea intensității tranziției, graficul de stare, sistemul restaurat, redundanța, circuitul secvențial, rezervă constantă, sistemul de ecuații diferențiale, regula lui Kolmogorov, schema de calcul a fiabilității, metoda aproximativă, algoritmi pentru construirea SDE, condiții de normalizare, inițială condiții, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni, rata de defecțiuni.
Funcționarea sistemelor informaționale și a componentelor acestora poate fi reprezentată ca un ansamblu de procese de trecere de la o stare la alta sub influența oricăror motive.
Din punctul de vedere al fiabilității CI restaurate, starea acestora în fiecare moment este caracterizată de care dintre elemente sunt operaționale și care sunt în curs de restaurare.
Dacă fiecare set posibil de elemente operaționale (inoperante) este asociat cu un set de stări ale obiectului, atunci eșecurile și restaurările elementelor vor fi reflectate de tranziția obiectului de la o stare la alta:
Să fie, de exemplu, un obiect format din două elemente. Atunci poate fi într-una din cele patru stări: n = 2k = 2 2 = 4.
S 1 – ambele elemente sunt operaționale;
S 2 – doar primul element este inoperant;
S 3 – doar al doilea element este inoperant;
S 4 – ambele elemente sunt inoperante.
Set de stări posibile ale obiectului: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.
Setul complet de stări ale sistemului studiat poate fi discret sau continuu (se completează continuu unul sau mai multe intervale ale axei numerice).
În cele ce urmează vom considera sisteme cu un spațiu de stări discret. Secvența stărilor unui astfel de sistem și procesul de tranziție de la o stare la alta se numește lanț.
În funcție de timpul în care sistemul rămâne în fiecare stare, se disting procesele cu timp continuu și procesele cu timp discret. În procesele în timp continuu, sistemul trece de la o stare la alta în orice moment. În al doilea caz, timpul în care sistemul rămâne în fiecare stare este fix astfel încât momentele tranzițiilor să fie plasate pe axa timpului la intervale egale.
În prezent, cele mai studiate lanțuri sunt cele cu proprietatea Markov. Probabilitățile de tranziție sunt indicate prin simboluri P ij(t), și procesul P ij tranzițiile se numește lanț Markov sau lanț Markov.
Proprietatea Markov este asociată cu absența efectelor secundare. Aceasta înseamnă că comportamentul sistemului în viitor depinde numai de starea lui la un moment dat în timp și nu depinde de modul în care a ajuns la această stare.
Procesele Markov fac posibilă descrierea secvențelor de defecțiuni și recuperare în sistemele descrise folosind un grafic de stare.
Cel mai adesea, metoda lanțurilor Markov în timp continuu este utilizată pentru a calcula fiabilitatea, pe baza unui sistem de ecuații diferențiale, care sub formă de matrice poate fi scrisă ca:
,
Unde P(t)=P 0 – condiții inițiale;
,
iar Λ este matricea intensității tranziției (matricea coeficienților pentru probabilitățile de stare):
unde λ ij– intensitatea trecerii sistemului de la i-a stare la j-a;
P j este probabilitatea ca sistemul să fie în a j-a stare.
Atunci când se evaluează fiabilitatea sistemelor complexe redundante și recuperabile, metoda lanțului Markov conduce la soluții complexe datorită numărului mare de stări. În cazul subsistemelor de același tip care funcționează în aceleași condiții, pentru reducerea numărului de state se folosește metoda lărgirii. Statele cu același număr de subsisteme sunt combinate. Apoi dimensiunea ecuațiilor scade.
Secvența metodologiei de evaluare a fiabilității sistemelor recuperabile redundante folosind metoda lanțului Markov este următoarea:
1. Se analizează compoziția dispozitivului și se întocmește o diagramă bloc de fiabilitate. Conform schemei, se construiește un grafic care ia în considerare toate stările posibile;
2. Ca urmare a analizei diagramei structurale, toate vârfurile graficului sunt împărțite în două submulți: vârfuri corespunzătoare stării de funcționare a sistemului și vârfuri corespunzătoare stării inoperante a sistemului.
3. Folosind graficul stărilor, se alcătuiește un sistem de ecuații diferențiale (se folosește regula lui Kolmogorov);
4. Se selectează condiţiile iniţiale de rezolvare a problemei;
5. Se determină probabilitățile ca sistemul să fie într-o stare de funcționare la un moment arbitrar în timp;
6. Se determină probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului;
7. Dacă este necesar, se determină alți indicatori.
Testați întrebări și sarcini
1. Ce se înțelege prin lanț Markov?
2. Dați un algoritm pentru evaluarea fiabilității unui IS folosind modele Markov.
3. Cum sunt compilate ecuațiile diferențiale pentru a determina parametrii de fiabilitate ai unui IS?
4. Ce indicatori de fiabilitate pot fi obținuți folosind metoda Markov?
5. Enumerați etapele principale ale construirii unui model Markov al fiabilității unui sistem complex.
6. Care este o condiție necesară la rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale?
7. Cum se determină stările elementelor și dispozitivelor stației de compresoare?
8. Definiți conceptul de sisteme recuperabile.
9. Ce este un lanț Markov?
10. Pentru a evalua ce sisteme sunt utilizate modelele de fiabilitate Markov?
Literatură: 1, 2, 3, 10, 11.
Tema: Metode aproximative de calcul a fiabilității sistemelor informatice tehnice
1. Ipoteze de bază și limitări la evaluarea fiabilității structurilor serie-paralele.
2. Metode aproximative de calcul a fiabilității circuitelor integrate restaurate cu conexiune serială și paralelă a subsistemelor CI.
3. Diagrame bloc pentru calcularea fiabilității IS.
Cuvinte cheie
Fiabilitate, structură serie-paralelă, metode aproximative de calcul a fiabilității, diagramă bloc de calcul a fiabilității, rata de eșec, rata de recuperare, factor de disponibilitate, timp de recuperare, sistem informatic.
