Formule ale celor mai simple ecuații. Cum se rezolvă ecuații trigonometrice. Factorizarea

Ecuații trigonometrice .

Cele mai simple ecuații trigonometrice .

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Ecuații trigonometrice. O ecuație care conține o necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numește trigonometric.

Cele mai simple ecuații trigonometrice.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației ca să fie cel mai simplu tip (vezi mai sus) și soluţiecel mai simplu rezultat ecuație trigonometrică. Sunt șapte metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

1. Metoda algebrică. Această metodă ne este bine cunoscută din algebră.

(metoda de înlocuire și înlocuire a variabilelor).

2. Factorizarea. Să ne uităm la această metodă cu exemple.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația: păcat x+cos x = 1 .

Soluție Să mutăm toți termenii ecuației la stânga:

Păcat x+cos x – 1 = 0 ,

Să transformăm și să factorizăm expresia în

Partea stângă a ecuației:

Exemplul 2. Rezolvați ecuația: cos 2 x+ păcat x cos x = 1.

Rezolvare: cos 2 x+ păcat x cos x– păcatul 2 x– cos 2 x = 0 ,

Păcat x cos x– păcatul 2 x = 0 ,

Păcat x· (cos x– păcat x ) = 0 ,

Exemplul 3. Rezolvați ecuația: cos 2 x-cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Rezolvare: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x-cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 păcat 3 x păcat x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). păcatul 3 x= 0, 3). păcat x = 0 ,

3.

Ducând la ecuație omogenă. Ecuaţie numit omogen din referitor la păcatŞi cos , Dacă toate acestea membri de acelaşi grad relativ la păcatŞi cos acelasi unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, aveți nevoie de: O) mutați toți membrii săi în partea stângă; b) scoateți toți factorii comuni dintre paranteze; V) egalează toți factorii și parantezele cu zero; G) parantezele egale cu zero dau ecuație omogenă de grad mai mic, care ar trebui împărțită în cos(sau păcat) în gradul superior; d) rezolvați ecuația algebrică rezultată pentrubronzat . EXEMPLU Rezolvați ecuația: 3 păcat 2 x+ 4 păcat x cos x+ 5cos 2 x = 2. Rezolvare: 3sin 2 x+ 4 păcat x cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Păcatul 2 x+ 4 păcat x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , bronzat 2 x+ 4 bronz x + 3 = 0 , de aici y 2 + 4y +3 = 0 , Rădăcinile acestei ecuații sunt:y 1 = - 1, y 2 = - 3, prin urmare 1) bronzat x= –1, 2) tan x = –3,

4. Trecerea la jumătate de unghi. Să ne uităm la această metodă ca exemplu:

EXEMPLU Rezolvați ecuația: 3 păcat x– 5 cos x = 7.

Rezolvare: 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 sin ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

bronz² ( x/ 2) – 3 bronz ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introducerea unui unghi auxiliar. Luați în considerare o ecuație de formă:

o păcat x + b cos x = c ,

Unde o, b, c– coeficienți;x– necunoscut.

Acum coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și cosinusului, anume: modulul (valoarea absolută) al fiecăruia

Sunt specificate relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să reduceți gradul, al patrulea - exprimă toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice de bază definiți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente a unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule de reducere

Formule de reducere rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea de simetrie, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale acelor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice de dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt culese în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere a gradului

Formule trigonometrice pentru reducerea gradelor sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți puterile funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la o sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Substituție trigonometrică universală

Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi. Acest înlocuitor a fost numit substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.

Referințe.

• Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educație, 1990. - 272 p.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către cleverstudents

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și aspectul, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

• Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică analizarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
• Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
• Răspuns: x = π/4 + πn.
• Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
• Răspuns: x = π/12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere a termenilor omogene etc.) și identități trigonometrice.
• Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Găsirea unghiurilor folosind valori cunoscute ale funcțiilor.

  • Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
  • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.

• Pune deoparte soluția pe cercul unității.

  • Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 de pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.

• Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

  • Dacă o ecuație trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați acea ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
    • Metoda 1.
  • Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
  • Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
  • Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
  • Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.

Exemple:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice:

Orice ecuație trigonometrică ar trebui redusă la unul dintre următoarele tipuri:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

unde \(t\) este o expresie cu un x, \(a\) este un număr. Astfel de ecuații trigonometrice se numesc cel mai simplu. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale:

Vedeți infografice despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple aici: și.

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Soluţie:

Răspuns: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Ce înseamnă fiecare simbol în formula pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice, vezi.

Atenţie! Ecuațiile \(\sin⁡x=a\) și \(\cos⁡x=a\) nu au soluții dacă \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Deoarece sinus și cosinus pentru orice x sunt mai mari sau egale cu \(-1\) și mai mici sau egale cu \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Exemplu . Rezolvați ecuația \(\cos⁡x=-1,1\).
Soluţie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Răspuns : fara solutii.

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică tg\(⁡x=1\).
Soluţie:

Să rezolvăm ecuația folosind cercul numeric. Pentru a face acest lucru: 1) Construiți un cerc) 2) Construiți axele \(x\) și \(y\) și axa tangentei (trece prin punctul \((0;1)\) paralel cu axa \(y\)). 3) Pe axa tangentei, marcați punctul \(1\). 4) Conectați acest punct și originea coordonatelor - o linie dreaptă. 5) Marcați punctele de intersecție ale acestei drepte și cercul numeric. 6) Să semnăm valorile acestor puncte: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Notați toate valorile acestor puncte. Deoarece sunt situate la o distanță de exact \(π\) unele de altele, toate valorile pot fi scrise într-o singură formulă:

Răspuns: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Soluţie:

Să folosim din nou cercul numeric. 1) Construiți un cerc, axele \(x\) și \(y\). 2) Pe axa cosinus (axa \(x\)), marcați \(0\). 3) Desenați o perpendiculară pe axa cosinusului prin acest punct. 4) Marcați punctele de intersecție ale perpendicularei și cercului. 5) Să semnăm valorile acestor puncte: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Notăm întreaga valoare a acestor puncte și le echivalăm cu cosinusul (cu ceea ce este în interiorul cosinusului). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Ca de obicei, vom exprima \(x\) în ecuații. Nu uitați să tratați numerele cu \(π\), precum și cu \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Acestea sunt aceleași numere ca toate celelalte. Fără discriminare numerică! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Răspuns: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Reducerea ecuațiilor trigonometrice la cea mai simplă este o sarcină creativă aici trebuie să utilizați ambele și metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor:
- Metoda (cea mai populară în cadrul examenului unificat de stat).
- Metoda.
- Metoda argumentelor auxiliare.

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a ecuației trigonometrice pătratice

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Soluţie:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Să facem înlocuirea \(t=\cos⁡x\).
	Ecuația noastră a devenit tipică. O poți rezolva folosind .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Facem o înlocuire inversă.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Rezolvăm prima ecuație folosind cercul numeric. A doua ecuație nu are soluții deoarece \(\cos⁡x∈[-1;1]\) și nu poate fi egal cu doi pentru orice x.
	Să notăm toate numerele care se află în aceste puncte.

Răspuns: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații trigonometrice cu studiul ODZ:

Exemplu (UTILIZARE) . Rezolvați ecuația trigonometrică \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Există o fracție și există o cotangentă - asta înseamnă că trebuie să o notăm. Permiteți-mi să vă reamintesc că o cotangentă este de fapt o fracție: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prin urmare, ODZ pentru ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Să marchem „non-soluții” pe cercul numeric.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Să scăpăm de numitorul din ecuație înmulțindu-l cu ctg\(x\). Putem face acest lucru, deoarece am scris mai sus că ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Să aplicăm formula unghiului dublu pentru sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Dacă mâinile tale se întind pentru a împărți la cosinus, trage-le înapoi! Puteți împărți la o expresie cu o variabilă dacă cu siguranță nu este egală cu zero (de exemplu, acestea: \(x^2+1.5^x\)). În schimb, să punem \(\cos⁡x\) din paranteze.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Să „împărțim” ecuația în două.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Să rezolvăm prima ecuație folosind cercul numeric. Să împărțim a doua ecuație la \(2\) și să mutam \(\sin⁡x\) în partea dreaptă.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Rădăcinile rezultate nu sunt incluse în ODZ. Prin urmare, nu le vom scrie ca răspuns. A doua ecuație este tipică. Să o împărțim la \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nu poate fi o soluție a ecuației deoarece în acest caz \(\cos⁡x=1\) sau \(\cos⁡ x=-1\)).
	Folosim din nou un cerc.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Aceste rădăcini nu sunt excluse de ODZ, așa că le puteți scrie în răspuns.

Răspuns: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și acesta este mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.