Ecuația diferențială liniară de ordinul 2 (LDE) are următoarea formă:

unde , , și sunt date funcții care sunt continue pe intervalul pe care se caută soluția. Presupunând că a 0 (x) ≠ 0, împărțim (2.1) la și, după introducerea unor noi notații pentru coeficienți, scriem ecuația sub forma:

Să acceptăm fără dovezi că (2.2) are o soluție unică pe un interval care satisface orice condiții inițiale , , dacă pe intervalul luat în considerare funcțiile , și sunt continue. Dacă , atunci ecuația (2.2) se numește omogenă, iar ecuația (2.2) se numește neomogenă în caz contrar.

Să luăm în considerare proprietățile soluțiilor la lode de ordinul 2.

Definiţie. O combinație liniară de funcții este expresia , unde sunt numere arbitrare.

Teorema. Dacă și – soluție

atunci combinația lor liniară va fi de asemenea o soluție a acestei ecuații.

Dovada.

Să punem expresia din (2.3) și să arătăm că rezultatul este identitatea:

Să rearanjam termenii:

Deoarece funcțiile sunt soluții ale ecuației (2.3), atunci fiecare dintre parantezele din ultima ecuație este identic egal cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.

Corolarul 1. Din teorema demonstrată rezultă că dacă este o soluție a ecuației (2.3), atunci există și o soluție a acestei ecuații.

Corolarul 2. Presupunând , vedem că suma a două soluții pentru Lod este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.

Comentariu. Proprietatea soluțiilor dovedite în teoremă rămâne valabilă pentru probleme de orice ordin.

§3. determinantul lui Vronsky.

Definiţie. Se spune că un sistem de funcții este liniar independent pe un anumit interval dacă niciuna dintre aceste funcții nu poate fi reprezentată ca o combinație liniară a tuturor celorlalte.

În cazul a două funcţii aceasta înseamnă că , adică . Ultima condiție poate fi rescrisă ca sau . Determinantul din numărătorul acestei expresii este se numeşte determinant Wronski pentru funcţiile şi . Astfel, determinantul Wronski pentru două funcții liniar independente nu poate fi identic egal cu zero.

Lasă este determinantul Wronski pentru soluțiile liniar independente și ecuația (2.3). Să ne asigurăm prin substituție că funcția satisface ecuația. (3.1)

Într-adevăr, . Deoarece funcțiile și satisfac ecuația (2.3), atunci, i.e. – soluția ecuației (3.1). Să găsim această soluție: ; . , , .

. Unde,

(3.2)

În partea dreaptă a acestei formule trebuie să luați semnul plus, deoarece numai în acest caz se obține identitatea. Astfel,

Această formulă se numește formula Liouville. S-a arătat mai sus că determinantul Wronski pentru funcțiile liniar independente nu poate fi identic egal cu zero. În consecință, există un punct în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2.3) este diferit de zero. Apoi, din formula lui Liouville rezultă că funcția va fi nenulă pentru toate valorile din intervalul luat în considerare, deoarece pentru orice valoare ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt nenuli.

Teorema.§4. Structura soluției generale a lodei de ordinul 2. Dacă și sunt soluții liniar independente ale ecuației (2.3), atunci combinația lor liniară

Dovada.

, unde și sunt constante arbitrare, va fi soluția generală a acestei ecuații. Ce este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema proprietăților soluțiilor la Lodo de ordinul 2. Trebuie doar să arătăm că soluția voinţă general

, adică este necesar să arătăm că pentru orice condiții inițiale se pot alege constante arbitrare în așa fel încât să satisfacă aceste condiții. Să scriem condițiile inițiale sub forma:

,

Constantele și din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul acestui sistem este valoarea determinantului Wronski pentru soluțiile liniar independente la Lodu la:

iar un astfel de determinant, așa cum am văzut în paragraful anterior, este diferit de zero. Teorema a fost demonstrată. Exemplu. Demonstrați că funcția

, unde și sunt constante arbitrare, este o soluție generală pentru Lod.

Soluţie. Este ușor de verificat prin substituție că funcțiile și satisfac această ecuație. Aceste funcții sunt liniar independente, deoarece . Prin urmare, conform teoremei de structură solutie generala Lode de ordinul 2

este o soluție generală a acestei ecuații. Liniar ecuație diferențială ordinul doi

numită ecuație a formei"" + y(p)numită ecuație a formei" + x(p)numită ecuație a formei = q(p) ,

f numită ecuație a formei Unde y(p) , x(p este funcția de găsit și q(p) Și ) - funcții continue pe un anumit interval () .

a, b q(p Dacă partea dreaptă a ecuației este zero ( ) = 0), atunci se numește ecuația ecuație liniară omogenă q(p) ≠ 0), atunci ecuația se numește .

În probleme ni se cere să rezolvăm ecuația pt numită ecuație a formei"" :

numită ecuație a formei"" = −y(p)numită ecuație a formei" − x(p)numită ecuație a formei + q(p) .

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul doi au o soluție unică Probleme Cauchy .

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi și soluția ei

Să considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi:

numită ecuație a formei"" + y(p)numită ecuație a formei" + x(p)numită ecuație a formei = 0 .

Dacă numită ecuație a formei1 (p) Şi numită ecuație a formei2 (p) sunt soluții particulare ale acestei ecuații, atunci următoarele afirmații sunt adevărate:

1) numită ecuație a formei1 (p) + numită ecuație a formei 2 (p) - este și o soluție a acestei ecuații;

2) Cy1 (p) , Unde C- o constantă arbitrară (constant), este de asemenea o soluție a acestei ecuații.

Din aceste două afirmaţii rezultă că funcţia

C1 numită ecuație a formei 1 (p) + C 2 numită ecuație a formei 2 (p)

este de asemenea o soluție la această ecuație.

Apare o întrebare corectă: este aceasta soluție soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi , adică o astfel de soluție în care, pentru valori diferite C1 Şi C2 Este posibil să obținem toate soluțiile posibile ale ecuației?

Răspunsul la această întrebare este: poate, dar în anumite condiții. Acest condiție de ce proprietăți ar trebui să aibă anumite soluții numită ecuație a formei1 (p) Şi numită ecuație a formei2 (p) .

Și această condiție se numește condiție independență liniară solutii private.

Teorema. Funcţie C1 numită ecuație a formei 1 (p) + C 2 numită ecuație a formei 2 (p) este o soluție generală pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi dacă funcțiile numită ecuație a formei1 (p) Şi numită ecuație a formei2 (p) liniar independent.

Definiţie. Funcții numită ecuație a formei1 (p) Şi numită ecuație a formei2 (p) sunt numite liniar independente dacă raportul lor este o constantă diferită de zero:

numită ecuație a formei1 (p)/numită ecuație a formei 2 (p) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Totuși, determinarea prin definiție dacă aceste funcții sunt liniar independente este adesea foarte laborioasă. Există o modalitate de a stabili independența liniară folosind determinantul Wronski W(p) :

Dacă determinantul Wronski nu este egal cu zero, atunci soluțiile sunt liniar independente . Dacă determinantul Wronski este zero, atunci soluțiile sunt dependente liniar.

Exemplul 1. Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene.

Soluţie. Se integrează de două ori și, după cum se vede ușor, pentru ca diferența dintre derivata a doua a unei funcții și funcția însăși să fie egală cu zero, soluțiile trebuie să fie asociate cu o exponențială a cărei derivată este egală cu ea însăși. Adică soluțiile parțiale sunt și .

Din moment ce determinantul Wronski

nu este egal cu zero, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a acestei ecuații poate fi scrisă ca

.

Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți: teorie și practică

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți ordinul doi

numită ecuație a formei"" + py" + qy = 0 ,

f yŞi x- valori constante.

Faptul că aceasta este o ecuație de ordinul doi este indicat de prezența derivatei a doua a funcției dorite, iar omogenitatea acesteia este indicată de zero în partea dreaptă. Valorile deja menționate mai sus se numesc coeficienți constanți.

La rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți , trebuie mai întâi să rezolvați așa-numita ecuație caracteristică a formei

k² + pq + x = 0 ,

care, după cum se poate observa, este o ecuație pătratică obișnuită.

În funcție de soluția ecuației caracteristice, sunt posibile trei opțiuni diferite soluții la o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți , pe care o vom analiza acum. Pentru o certitudine completă, vom presupune că toate soluțiile particulare au fost testate de determinantul Wronski și nu este egal cu zero în toate cazurile. Cu toate acestea, cei care se îndoiesc pot verifica acest lucru singuri.

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și distincte

Cu alte cuvinte, . În acest caz, soluția la o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma

.

Exemplul 2. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Exemplul 3. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Soluţie. Ecuația caracteristică are forma , rădăcinile sale și sunt reale și distincte. Soluțiile parțiale corespunzătoare ale ecuației sunt: ​​și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma

.

Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și egale

Adică, . În acest caz, soluția unei ecuații diferențiale liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma

.

Exemplul 4. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Soluţie. Ecuație caracteristică are rădăcini egale. Soluțiile parțiale corespunzătoare ale ecuației sunt: ​​și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma

Exemplul 5. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă

.

Soluţie. Ecuația caracteristică are rădăcini egale. Soluțiile parțiale corespunzătoare ale ecuației sunt: ​​și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma

§ 9. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienţi constanţi

Definirea LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți

Ecuația caracteristică:

Cazul 1. Discriminant mai mare decât zero

Cazul 2. Discriminant este zero

Cazul 3. Discriminant mai mic decat zero

Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți

§ 10. Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienţi constanţi

Determinarea LPDE de ordinul doi cu coeficienți constanți

Metoda de variație a constantelor

Metodă de rezolvare a LNDDE cu o parte dreaptă specială

Teoremă privind structura soluției generale a LNDE

1. Funcție r (p) – polinom de grad T

2. Funcția r (p) – produsul unui număr prin functie exponentiala

3. Funcție r (p) - suma funcții trigonometrice

Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la un LPDE cu o parte dreaptă specială

Aplicație

§ 9. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

Se numește ecuația diferențială de ordinul doi ecuație diferențială liniară omogenă (LODE) cu coeficienți constanți, daca arata asa:

f yŞi x

Pentru a găsi o soluție generală la o LODE, este suficient să găsiți cele două soluții parțiale diferite și . Apoi soluția generală a LODE va ​​avea forma

f CU 1 și CU

Leonard Euler a propus să caute soluții particulare ale LDE în formă

f k– un anumit număr.

Diferențierea acestei funcție de două ori și înlocuirea expresiilor pentru la, y"Şi y"în ecuație, obținem:

Ecuația rezultată se numește ecuație caracteristică LODU. Pentru a-l compila, este suficient să înlocuiți în ecuația originală y", y"Şi la conform cu k 2 , kși 1:

După rezolvarea ecuației caracteristice, i.e. găsirea rădăcinilor k 1 și k 2, vom găsi, de asemenea, soluții speciale pentru LODE original.

Ecuația caracteristică este ecuație pătratică, rădăcinile sale se găsesc prin discriminant

În acest caz, sunt posibile următoarele trei cazuri.

Cazul 1. Discriminant mai mare decât zero , prin urmare, rădăcinile k 1 și k 2 valide și distincte:

k 1¹ k 2

f CU 1 și CU 2 – constante arbitrare independente.

Cazul 2. Discriminant este zero , prin urmare, rădăcinile k 1 și k 2 reale și egale:

k 1 = k 2 = k

În acest caz, soluția generală a LODE are forma

f CU 1 și CU 2 – constante arbitrare independente.

Cazul 3. Discriminant mai mic decat zero . În acest caz, ecuația nu are rădăcini reale:

Nu există rădăcini.

În acest caz, soluția generală a LODE are forma

f CU 1 și CU 2 – constante arbitrare independente,

Astfel, găsirea unei soluții generale a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți se rezumă la găsirea rădăcinilor ecuației caracteristice și utilizarea formulelor pentru soluția generală a ecuației (fără a recurge la calcularea integralelor).

Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți:

1. Reduceți ecuația la forma unde yŞi x– niște numere reale.

2. Creați o ecuație caracteristică.

3. Aflați discriminantul ecuației caracteristice.

4. Folosind formule (vezi tabelul 1), în funcție de semnul discriminantului, notează soluția generală.

Tabelul 1

Tabel cu posibile soluții generale

Teorema. Dacă și sunt soluții liniar independente ale ecuației (2.3), atunci combinația lor liniară , unde și sunt constante arbitrare, va fi o soluție generală a acestei ecuații.

Dovada. Faptul că există o soluție pentru ecuația (2.3) rezultă din teorema proprietăților soluțiilor la Lodo de ordinul 2. Trebuie doar să arătăm că soluția va fi voinţă, adică este necesar să se arate că pentru orice condiții inițiale, se pot alege constante arbitrare în așa fel încât să satisfacă aceste condiții. Să scriem condițiile inițiale sub forma:

Constante și din acest sistem de liniară ecuații algebrice sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul acestui sistem este valoarea determinantului Wronski pentru soluțiile liniar independente pentru Loda la: ,

iar un astfel de determinant, așa cum am văzut în paragraful anterior, este diferit de zero. Teorema a fost demonstrată.

Construirea unei soluții generale a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți în caz

13. rădăcini simple ale ecuaţiei caracteristice (cazul D>0) (cu documentaţie).

14. rădăcini multiple ale ecuaţiei caracteristice (cazul D=0) (cu document).

15. rădăcini complexe conjugate ale ecuației caracteristice (cazul D<0) (c док-вом).

Dată o lodă de ordinul 2 cu coeficienți constanți (5.1), unde , . Conform paragrafului anterior, soluția generală a unui lode de ordinul 2 este ușor de determinat dacă sunt cunoscute două soluții parțiale liniar independente ale acestei ecuații. O metodă simplă de găsire a soluțiilor parțiale la o ecuație cu coeficienți constanți a fost propusă de L. Euler. Această metodă, care se numește metoda lui Euler, constă în faptul că se caută soluții parțiale sub formă.

Înlocuind această funcție în ecuația (5.1), după reducerea cu , obținem o ecuație algebrică, care se numește caracteristică: (5.2)

Funcția va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2). În funcție de valoarea discriminantului, sunt posibile trei cazuri.

1. . Atunci rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite: . Soluțiile vor fi liniar independente, deoarece iar soluția generală (5.1) poate fi scrisă ca .

2. . În acest caz și . Ca a doua soluție liniar independentă, putem lua funcția . Să verificăm dacă această funcție satisface ecuația (5.1). Într-adevăr, ,. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

Sau, pentru că Și .

Soluțiile particulare sunt liniar independente, deoarece . Prin urmare, soluția generală (5.1) are forma:

3. . În acest caz, rădăcinile ecuației caracteristice sunt conjugate complexe: , unde , . Se poate verifica că soluțiile liniar independente ale ecuației (5.1) vor fi funcțiile și . Să ne asigurăm că ecuația (5.1) este satisfăcută, de exemplu, de funcția y 1 . Într-adevăr, ,. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem

Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero. Într-adevăr, ,

Astfel, funcția satisface ecuația (5.1). În mod similar, nu este dificil să se verifice dacă există o soluție pentru ecuația (5.1). Din moment ce , atunci soluția generală va arăta astfel: .

16. Teoremă privind structura soluției generale a LNDDE de ordinul doi (cu demonstrație).

Teorema 1. Soluția generală a lndu f(x) (6.1) de ordinul 2 este reprezentată ca suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare (6.2) și a oricărei soluții particulare a lndu (6.1).

Dovada. Să demonstrăm mai întâi care va fi soluția ecuației (6.1). Pentru a face acest lucru, să substituim f(x) în ecuația (6.1). Această egalitate este o identitate, pentru că și f(x). În consecință, există o soluție pentru ecuația (6.1).

Să demonstrăm acum că această soluție este generală, adică. puteți alege constantele arbitrare incluse în el în așa fel încât orice condiții inițiale de forma: , (6.3) să fie îndeplinite. Conform teoremei privind structura soluției generale a unei ecuații diferențiale liniare omogene (Lod), soluția generală a ecuației (6.2) poate fi reprezentată sub forma , unde și sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. Astfel: și, prin urmare, condițiile inițiale (6.3) pot fi scrise ca: sau (6.4)

Constantele arbitrare și sunt determinate din acest sistem de ecuații algebrice liniare unic pentru orice parte din dreapta, deoarece determinantul acestui sistem = este valoarea determinantului Wronski pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (6.2) pentru , iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero. După ce am determinat constantele și din sistemul de ecuații (6.4) și înlocuindu-le în expresia , obținem o soluție particulară a ecuației (6.1) care satisface condițiile inițiale date. Teorema a fost demonstrată.

17. Construirea unei soluții particulare a unui LNDDE de ordinul doi în cazul părții din dreapta a formularului

Fie coeficienții din ecuația (6.1) să fie constanți, i.e. ecuaţia are forma: f(x) (7.1) unde .

Să luăm în considerare o metodă pentru găsirea unei anumite soluții a ecuației (7.1) în cazul în care partea dreaptă f(x) are o formă specială. Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de tipul părții din dreapta f(x). Luați în considerare părțile din dreapta ale următoarei forme:

1. f(x) , unde este un polinom de grad , iar unii coeficienți, cu excepția , pot fi egali cu zero. Să indicăm forma în care trebuie luată o anumită soluție în acest caz.

a) Dacă numărul nu este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația (5.1), atunci scriem soluția parțială sub forma: , unde sunt coeficienții nedeterminați, care trebuie determinați prin metoda coeficienților nedeterminați.

b) Dacă este rădăcina multiplicității ecuației caracteristice corespunzătoare, atunci căutăm o anumită soluție sub forma: , unde sunt coeficienții nedeterminați.

18.f(x) , unde și sunt polinoame de grad și, respectiv, și unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm tipul de soluție particulară în acest caz general.

A) Dacă numărul nu este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația (5.1), atunci forma soluției particulare va fi: , (7.2) unde sunt coeficienții nedeterminați și .

B) Dacă numărul este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuația (5.1) a multiplicității , atunci o anumită soluție a lndu va avea forma: , (7.3) adică. o anumită soluție de forma (7.2) trebuie înmulțită cu . În expresia (7.3) - polinoame cu coeficienți nedeterminați și gradul lor .

19. Metoda de variație pentru rezolvarea LDDE de ordinul doi (metoda Lagrange).

Găsirea directă a unei anumite soluții a unei ecuații, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și cu termeni liberi speciali, este foarte dificilă. Prin urmare, pentru a găsi o soluție generală a ecuației, se folosește de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea soluției generale a ecuației în pătraturi dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții pentru ecuația omogenă corespunzătoare. . Această metodă este după cum urmează.

Conform celor de mai sus, soluția generală a unei ecuații liniare omogenă este:

unde sunt soluții Lodu liniar independente pe un anumit interval X și sunt constante arbitrare. Vom căuta o soluție specială pentru lnd în forma (8.1), presupunând că acestea nu sunt constante, ci unele funcții, încă necunoscute, ale lui : . (8.2) Să diferențiem egalitatea (8.2): . (8,3)

Să selectăm funcțiile astfel încât egalitatea să fie valabilă: . Atunci în loc de (8.3) vom avea:

Să diferențiem din nou această expresie în raport cu . Ca rezultat obținem: . (8.5) Să substituim (8.2), (8.4), (8.5) în ordinul 2 lnd f(x):

Sau f(x). (8,6)

Deoarece - soluții la Lod, ultima egalitate (8.6) ia forma: f(x).

Astfel, funcția (8.2) va fi o soluție pentru lndu dacă funcțiile și satisfac sistemul de ecuații:

(8.7)

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru două soluții corespunzătoare lodului liniar independent pe X, el nu dispare în niciun punct din intervalul X. Prin urmare, rezolvând sistemul (8.7), găsim și : și . Integrarea, obțineți , , unde este produsul. rapid.

Revenind la egalitatea (8.2), obținem o soluție generală a ecuației neomogene: .

Rânduri

1. Seria de numere. Concepte de bază, proprietăți ale seriei convergente. Semn necesar de convergență (cu dovezi).

Definiții de bază. Să ni se dea o succesiune infinită de numere . Seria de numere se numește înregistrare alcătuită din membrii acestei secvențe. Sau .Numerele numit membri ai seriei;, se numește termenul comun al seriei. Ca rezultat al calculului valorilor acestei funcții la n =1, n =2,n =3, ... ar trebui să se obțină termenii seriei.

Să fie dată seria (18.1.1). Să compilam din membrii săi sume finite numite sume parțiale ale unei serii:

Definiţie. Dacă există o limită finită S secvențe de sume parțiale ale seriei (18.1.1) pentru , atunci se spune că seria converge; număr S numită suma seriei şi scrisă sau .

Dacă nu există (inclusiv infinit), seria se numește divergente.

Proprietățile seriei convergente. Un semn necesar de convergență a unei serii. Termen comun al unei serii convergente tinde spre zero ca : Dovada. Dacă , atunci și , dar , prin urmare .

Trebuie să începem să rezolvăm orice problemă pentru a studia convergența unei serii prin verificarea îndeplinirii condiției: dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci seria diverge în mod evident. Această condiție este necesară, dar nu suficientă pentru convergența seriei: termenul general al seriei armonice este (18.1.2), dar această serie diverge.

Definiţie. Restul rândului după n al treilea termen se numește serie .

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă”

Catedra de Matematică Superioară

Orientări

să studieze tema „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții Facultății de Contabilitate de Educație prin Corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale liniare

de ordinul doi cu constantecoeficienți

1. Ecuații diferențiale liniare omogene

Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți numită ecuație a formei

aceste. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație Şi
- câteva numere și o funcție
dat pe un anumit interval
.

Dacă
pe interval
, atunci ecuația (1) va lua forma

, (2)

si se numeste liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .

Luați în considerare funcția complexă

, (3)

Unde
Şi
- functii reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală
, și partea imaginară
solutii
separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.

Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:

Dacă este o soluție a ecuației (2), apoi funcția
, Unde CU– o constantă arbitrară va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Şi există soluții pentru ecuația (2), apoi funcția
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);

Dacă Şi există soluții pentru ecuația (2), apoi combinația lor liniară
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde Şi
– constante arbitrare.

Funcții
Şi
sunt numite dependent liniar pe interval
, dacă astfel de numere există Şi
, nu egal cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea

Dacă egalitatea (4) apare numai când
Şi
, apoi funcțiile
Şi
sunt numite liniar independent pe interval
.

Exemplul 1 . Funcții
Şi
sunt liniar dependente, deoarece
pe întreaga linie numerică. În acest exemplu
.

Exemplul 2 . Funcții
Şi
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea
este posibilă numai în cazul în care
, Și
.

1. Construirea unei soluții generale la o omogenă liniară

ecuații

Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două soluții liniar independente ale acesteia Şi . Combinație liniară a acestor soluții
, Unde Şi
sunt constante arbitrare și vor da o soluție generală unei ecuații liniare omogene.

Vom căuta soluții liniar independente ale ecuației (2) sub forma

, (5)

Unde – un anumit număr. Apoi
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):

Sau
.

Deoarece
, Asta
. Deci funcția
va fi o soluție a ecuației (2) dacă va satisface ecuația

. (6)

Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.

Lasă Şi există rădăcini ale acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.

Lasă rădăcinile Şi ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Şi
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea
poate fi efectuat numai atunci când
, Și
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma

,

Unde Şi
- constante arbitrare.

Exemplul 3
.

Soluţie . Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi
. După ce am rezolvat această ecuație pătratică, îi găsim rădăcinile
Şi
. Funcții
Şi
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații este
.

Număr complex numită expresie a formei
, Unde Şi sunt numere reale și
numită unitatea imaginară. Dacă
, apoi numărul
se numește pur imaginar. Dacă
, apoi numărul
este identificat cu un număr real .

Număr se numește partea reală a unui număr complex și - partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate:
,
.

Exemplul 4 . Rezolvați ecuația pătratică
.

Soluţie . Ecuație discriminantă
. Apoi . De asemenea,
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.

Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e.
,
, Unde
.
,
Rezolvarile ecuatiei (2) pot fi scrise sub forma
,
sau

,
.

.
Şi
Conform formulelor lui Euler

Apoi, . După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție la o ecuație liniară omogenă, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile
Şi
. De la egalitate

Unde Şi
- constante arbitrare.

poate fi executat numai dacă , atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.

Soluţie Exemplul 5
. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
,
. Funcții
Şi
. Ecuaţie

este caracteristică unui diferențial dat. Să o rezolvăm și să obținem rădăcini complexe
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma .
Şi
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică.
Şi
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile
.

. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când , atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
.

Soluţie . Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
Exemplul 6
. Ecuație caracteristică
Şi
are rădăcini egale
.