Forme patratice definite pozitive

Definiție. Forma cuadratică din n se numesc necunoscute definit pozitiv, dacă rangul său este egal cu indicele de inerție pozitiv și egal cu numărul de necunoscute.

Teorema. O formă pătratică este definită pozitivă dacă și numai dacă ia valori pozitive pe orice set de valori diferite de zero ale variabilelor.

Dovada. Fie forma pătratică o transformare liniară nedegenerată a necunoscutelor

readus la normal

Pentru orice set diferit de zero de valori variabile, cel puțin unul dintre numere diferit de zero, adică . Este demonstrată necesitatea teoremei.

Să presupunem că forma pătratică ia valori pozitive pe orice set de variabile diferit de zero, dar indicele său de inerție pozitiv este o transformare liniară nedegenerată a necunoscutelor.

Să-l aducem la forma normală. Fără pierderea generalității, putem presupune că în această formă normală pătratul ultimei variabile este fie absent, fie inclus cu un semn minus, i.e. , unde sau . Să presupunem că este un set non-nul de valori ale variabilelor obținute ca urmare a rezolvării unui sistem de ecuații liniare

În acest sistem, numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile, iar determinantul sistemului este diferit de zero. Conform teoremei lui Cramer, sistemul are o soluție unică și este diferită de zero. Pentru acest set. Contradicție cu condiția. Ajungem la o contradicție cu ipoteza, care demonstrează suficiența teoremei.

Folosind acest criteriu, este imposibil să se determine din coeficienți dacă forma pătratică este definită pozitivă. Răspunsul la această întrebare este dat de o altă teoremă, pentru formularea căreia introducem un alt concept. Principalele diagonale minore ale unei matrice– aceștia sunt minori aflați în colțul din stânga sus:

, , , … , .

Teorema.O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate diagonalele sale principale minore sunt pozitive.

Dovada vom efectua metoda inducţiei matematice complete asupra numărului n variabile pătratice f.

Ipoteza inducției. Să presupunem că pentru formele pătratice cu mai puține variabile n afirmatia este adevarata.

Luați în considerare forma pătratică a n variabile. Să punem toți termenii care conțin . Termenii rămași formează o formă pătratică a variabilelor. Conform ipotezei de inducție, afirmația este adevărată pentru ea.

Să presupunem că forma pătratică este definită pozitivă. Atunci forma pătratică este definită pozitivă. Dacă presupunem că nu este cazul, atunci există un set diferit de zero de valori variabile , pentru care și în mod corespunzător, , iar acest lucru contrazice faptul că forma pătratică este definită pozitivă. Prin ipoteza de inducție, toate diagonalele minore principale ale unei forme pătratice sunt pozitive, adică toți primii minori principali de formă pătratică f sunt pozitive. Ultimul minor principal al formei pătratice – acesta este determinantul matricei sale. Acest determinant este pozitiv, deoarece semnul său coincide cu semnul matricei formei sale normale, adică. cu semnul determinantului matricei identitare.

Fie pozitive toate diagonalele minore principale ale formei pătratice Atunci toate diagonalele minore principale ale formei pătratice sunt pozitive din egalitate . Prin ipoteza de inducție, forma pătratică este definită pozitivă, deci există o transformare liniară nedegenerată a variabilelor care reduce forma la forma sumei pătratelor noilor variabile. Această transformare liniară poate fi extinsă la o transformare liniară nedegenerată a tuturor variabilelor prin setarea . Această transformare reduce forma pătratică la formă

Forme pătrate.
Certitudinea semnelor formelor. criteriul Sylvester

Adjectivul „pătratic” sugerează imediat că ceva aici este conectat cu un pătrat (al doilea grad), și foarte curând vom afla acest „ceva” și care este forma. S-a dovedit a fi un răsucitor de limbi :)

Bun venit la noua mea lecție și, ca o încălzire imediată, ne vom uita la forma în dungi liniar. Forma liniară variabile numit omogen polinom de gradul I:

- unele numere specifice * (presupunem că cel puțin unul dintre ele este diferit de zero), a sunt variabile care pot lua valori arbitrare.

* În cadrul acestui subiect vom lua în considerare doar numere reale .

Am întâlnit deja termenul „omogen” în lecția despre sisteme omogene de ecuaţii liniare, iar în acest caz implică faptul că polinomul nu are o constantă plus.

De exemplu: – formă liniară a două variabile

Acum forma este pătratică. Forma pătratică variabile numit omogen polinom de gradul II, fiecare termen din care conţine fie pătratul variabilei fie dublează produs de variabile. Deci, de exemplu, forma pătratică a două variabile are următoarea formă:

Atenţie! Aceasta este o intrare standard și nu este nevoie să schimbați nimic despre ea! În ciuda aspectului „înfricoșător”, totul este simplu aici - subindicele duble ale constantelor semnalează care variabile sunt incluse în ce termen:
– acest termen conține produsul și (pătratul);
- aici este treaba;
- și aici este treaba.

– Anticipez imediat o greșeală grosolană atunci când pierd „minus” unui coeficient, neînțelegând că se referă la un termen:

Uneori există o opțiune de design „școală” în spirit, dar numai uneori. Apropo, rețineți că constantele nu ne spun absolut nimic aici și, prin urmare, este mai dificil să ne amintim „notația ușoară”. Mai ales când sunt mai multe variabile.

Și forma pătratică a trei variabile conține deja șase termeni:

...de ce „doi” factori sunt plasați în termeni „mixți”? Acest lucru este convenabil și în curând va deveni clar de ce.

Cu toate acestea, să notăm formula generală, este convenabil să o scrieți într-o „foaie”:

– studiem cu atenție fiecare linie – nu este nimic în neregulă cu asta!

Forma pătratică conține termeni cu pătratele variabilelor și termeni cu produsele lor pereche (cm. formula combinatorie combinatorie) . Nimic mai mult - fără „X singuratic” și fără constantă adăugată (atunci nu veți obține o formă pătratică, ci eterogen polinom de gradul II).

Notarea matricială a formei pătratice

În funcție de valori, forma în cauză poate lua atât valori pozitive, cât și negative, și același lucru se aplică oricărei forme liniare - dacă cel puțin unul dintre coeficienții săi este diferit de zero, atunci poate fi fie pozitiv, fie negativ (în funcție de valori).

Această formă se numește semn alternant. Și dacă totul este transparent cu forma liniară, atunci cu forma pătratică lucrurile sunt mult mai interesante:

Este absolut clar că această formă poate căpăta sensul oricărui semn, astfel forma pătratică poate fi și alternantă.

Poate să nu fie:

– întotdeauna, cu excepția cazului în care simultan egal cu zero.

- pentru oricine vector cu excepția zeroului.

Și în general vorbind, dacă pentru oricine diferit de zero vector , , atunci se numește forma pătratică definit pozitiv; daca da atunci definitiv negativ.

Și totul ar fi bine, dar definiția formei pătratice este vizibilă numai în exemple simple, iar această vizibilitate se pierde chiar și cu o ușoară complicație:
– ?

S-ar putea presupune că forma este definită pozitivă, dar este chiar așa? Ce se întâmplă dacă există valori la care este mai mică decât zero?

Este un teorema: Dacă toată lumea valori proprii matricele de formă pătratică sunt pozitive * , atunci este definit pozitiv. Dacă toate sunt negative, atunci negative.

* S-a dovedit în teorie că toate valorile proprii ale unei matrice simetrice reale valabil

Să scriem matricea formei de mai sus:
iar din Ec. hai sa o gasim valori proprii:

Să rezolvăm vechiul bun ecuație pătratică:

, ceea ce înseamnă forma este definită pozitiv, adică pentru orice valoare diferită de zero este mai mare decât zero.

Metoda considerată pare să funcționeze, dar există un DAR mare. Deja pentru o matrice de trei câte trei, căutarea numerelor potrivite este o sarcină lungă și neplăcută; cu mare probabilitate vei obține un polinom de gradul 3 cu rădăcini iraționale.

Ce ar trebuii să fac? Există o cale mai ușoară!

criteriul Sylvester

Nu, nu Sylvester Stallone :) În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc despre ce este vorba minori de colt matrici. Acest calificative care „crește” din colțul din stânga sus:

iar ultima este exact egală cu determinantul matricei.

Acum, de fapt, criteriu:

1) Forma pătratică este definită pozitiv dacă și numai dacă TOATE minorele sale unghiulare sunt mai mari decât zero: .

2) Forma pătratică este definită negativ dacă și numai dacă minorii ei unghiulari alternează în semn, primul minor fiind mai mic decât zero: , , dacă – par sau , dacă – impar.

Dacă cel puțin un minor unghiular este de semn opus, atunci forma semn alternant. Dacă minorii unghiulari sunt de semnul „drept”, dar există zerouri printre ei, atunci acesta este un caz special, pe care îl voi examina puțin mai târziu, după ce ne uităm la exemple mai comune.

Să analizăm minorele unghiulare ale matricei :

Și asta ne spune imediat că forma nu este definită negativ.

Concluzie: toate minorele de colț sunt mai mari decât zero, ceea ce înseamnă forma este definit pozitiv.

Există o diferență cu metoda valorilor proprii? ;)

Să scriem matricea formei din Exemplul 1:

primul este minorul său unghiular, iar al doilea , din care rezultă că forma este alternativă în semn, adică. în funcție de valori, poate lua atât valori pozitive, cât și negative. Cu toate acestea, acest lucru este deja evident.

Să luăm forma și matricea ei din Exemplul 2:

Nu există nicio modalitate de a înțelege asta fără perspectivă. Dar, după criteriul lui Sylvester, nu ne pasă:
, prin urmare, forma cu siguranță nu este negativă.

, și cu siguranță nu pozitiv (deoarece toți minorii unghiulari trebuie să fie pozitivi).

Concluzie: forma este alternanta.

Exemple de încălzire pentru a rezolva singur:

Exemplul 4

Investigați formele pătratice pentru definirea semnelor

În aceste exemple totul este fără probleme (vezi sfârșitul lecției), dar de fapt, pentru a finaliza o astfel de sarcină Este posibil ca criteriul lui Sylvester să nu fie suficient.

Ideea este că există cazuri „de margine”, și anume: dacă există diferit de zero vector, apoi se determină forma nenegativ, daca atunci negativ. Aceste forme au diferit de zero vectori pentru care .

Aici puteți cita următorul „acordeon”:

Evidențierea Patrat perfect, vedem imediat non-negativitatea forma: , și este egală cu zero pentru orice vector cu coordonate egale, de exemplu: .

Exemplu „oglindă”. negativ o anumita forma:

și un exemplu și mai banal:
– aici forma este egală cu zero pentru orice vector , unde este un număr arbitrar.

Cum se identifică formele non-negative sau non-pozitive?

Pentru asta avem nevoie de concept minori majori matrici. Un minor major este un minor compus din elemente care stau la intersecția rândurilor și coloanelor cu aceleași numere. Astfel, matricea are două minore principale de ordinul I:
(elementul este situat la intersecția dintre primul rând și prima coloană);
(elementul se află la intersecția celui de-al 2-lea rând și a 2-a coloană),

și un minor major de ordinul 2:
– compus din elemente de rândul 1, 2 și coloana 1, 2.

Matricea este „trei câte trei” Există șapte minori principale și aici va trebui să flexezi bicepșii:
– trei minori de ordinul I,
trei minori de ordinul 2:
– compus din elemente de rândul 1, 2 și coloana 1, 2;
– compus din elemente de rândul 1, 3 și coloana 1, 3;
– compus din elemente de pe rândul 2, 3 și coloana 2, 3;
și un minor de ordinul 3:
– compus din elemente de rândul 1, 2, 3 și coloana 1, 2 și 3.
Exercițiu pentru înțelegere: notează toate minorele majore ale matricei .
Verificăm la sfârșitul lecției și continuăm.

criteriul Schwarzenegger:

1) Formă pătratică diferită de zero* definită nenegativ dacă și numai dacă TOȚI minorii săi majori nenegativ(mai mare sau egal cu zero).

* Forma pătratică zero (degenerată) are toți coeficienții egali cu zero.

2) Forma pătratică diferită de zero cu matrice este definită negativ dacă și numai dacă:
– minori majori de ordinul I nepozitiv(mai mică sau egală cu zero);
– minori majori de ordinul II nenegativ;
– minori majori de ordinul III nepozitiv(a început alternanța);
…
– minor major de ordinul al III-lea nepozitiv, dacă – impar sau nenegativ, dacă – chiar.

Dacă cel puțin un minor este de semn opus, atunci forma este alternantă de semne.

Să vedem cum funcționează criteriul în exemplele de mai sus:

Să creăm o matrice de formă și in primul rand Să calculăm minorii unghiulari - ce se întâmplă dacă este definit pozitiv sau negativ?

Valorile obținute nu îndeplinesc criteriul Sylvester, ci al doilea minor nu negativ, iar acest lucru face necesară verificarea celui de-al 2-lea criteriu (în cazul celui de-al 2-lea criteriu nu va fi îndeplinit automat, adică se trage imediat concluzia despre alternanța de semne a formei).

Minori principali de ordinul 1:
- pozitiv,
minor major de ordinul II:
– nu negativ.

Astfel, TOȚI minorii majori nu sunt negativi, ceea ce înseamnă forma nenegativ.

Să scriem matricea formei , pentru care criteriul Sylvester evident nu este satisfăcut. Dar nici nu am primit semne opuse (deoarece ambele minore unghiulare sunt egale cu zero). Prin urmare, verificăm îndeplinirea criteriului de non-negativitate/non-pozitivitate. Minori principali de ordinul 1:
- nu pozitiv,
minor major de ordinul II:
– nu negativ.

Astfel, conform criteriului lui Schwarzenegger (punctul 2), forma este definită nepozitiv.

Acum să aruncăm o privire mai atentă la o problemă mai interesantă:

Exemplul 5

Examinați forma pătratică pentru definiția semnului

Această formă este decorată cu ordinea „alfa”, care poate fi egală cu orice număr real. Dar va fi doar mai distractiv noi decidem.

În primul rând, să notăm matricea de formulare, probabil că mulți oameni s-au obișnuit deja să facă acest lucru pe cale orală; diagonala principală Punem coeficienții pentru pătrate, iar în locurile simetrice punem jumătate din coeficienții produselor „mixte” corespunzătoare:

Să calculăm minorele unghiulare:

Voi extinde al treilea determinant pe a treia linie:

Forma pătratică f(x 1, x 2,...,x n) a n variabile este o sumă, fiecare termen fiind fie pătratul uneia dintre variabile, fie produsul a două variabile diferite, luate cu un anumit coeficient: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Matricea A compusă din acești coeficienți se numește matrice de formă pătratică. E mereu simetric matrice (adică o matrice simetrică față de diagonala principală, a ij =a ji).

În notația matriceală, forma pătratică este f(X) = X T AX, unde

Într-adevăr

De exemplu, să scriem forma pătratică sub formă de matrice.

Pentru a face acest lucru, găsim o matrice de formă pătratică. Elementele sale diagonale sunt egale cu coeficienții variabilelor pătrate, iar elementele rămase sunt egale cu jumătățile coeficienților corespunzători formei pătratice. De aceea

Fie coloana-matrice a variabilelor X obținută printr-o transformare liniară nedegenerată a coloanei-matrice Y, adică. X = CY, unde C este o matrice nesingulară de ordin al n-lea. Apoi forma pătratică f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Astfel, cu o transformare liniară nedegenerată C, matricea de formă pătratică ia forma: A * =C T AC.

De exemplu, să găsim forma pătratică f(y 1, y 2), obţinută din forma pătratică f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 prin transformare liniară.

Forma pătratică se numește canonic(Are vedere canonică), dacă toți coeficienții săi ij = 0 pentru i≠j, adică f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matricea sa este diagonală.

Teorema(dovada nu este dată aici). Orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică folosind o transformare liniară nedegenerată.

De exemplu, să aducem la forma canonică forma pătratică f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Pentru a face acest lucru, mai întâi selectați un pătrat complet cu variabila x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Acum selectăm un pătrat complet cu variabila x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Atunci transformarea liniară nedegenerată y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 și y 3 = x 3 aduce această formă pătratică la forma canonicăf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Rețineți că forma canonică a unei forme pătratice este determinată în mod ambiguu (aceeași formă pătratică poate fi redusă la forma canonică în moduri diferite 1). Cu toate acestea, formele canonice obținute prin diferite metode au o serie de proprietăți comune. În special, numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) ai unei forme pătratice nu depinde de metoda de reducere a formei la această formă (de exemplu, în exemplul luat în considerare vor exista întotdeauna doi coeficienti negativi și unul pozitiv). Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.

Să verificăm acest lucru prin aducerea aceleiași forme pătratice la forma canonică într-un mod diferit. Să începem transformarea cu variabila x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , unde y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 și y 3 = x 1 . Aici există un coeficient pozitiv de 2 pentru y 3 și doi coeficienți negativi (-3) pentru y 1 și y 2 (și folosind o altă metodă, am obținut un coeficient pozitiv de 2 pentru y 1 și doi negativi - (-5) pentru y 2 și (-1/20) pentru y 3 ).

De asemenea, trebuie remarcat faptul că rangul unei matrice de formă pătratică, numită rangul formei pătratice, este egal cu numărul de coeficienți nenuli ai formei canonice și nu se modifică în cazul transformărilor liniare.

Se numește forma pătratică f(X). pozitiv(negativ)anumit, dacă pentru toate valorile variabilelor care nu sunt simultan zero, acesta este pozitiv, adică f(X) > 0 (negativ, adică f(X)< 0).

De exemplu, forma pătratică f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 este definită pozitiv, deoarece este o sumă de pătrate, iar forma pătratică f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 este definită negativă, deoarece îl reprezintă poate fi reprezentat sub forma f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

În majoritatea situațiilor practice, este ceva mai dificil de stabilit semnul definit al unei forme pătratice, așa că pentru aceasta folosim una dintre următoarele teoreme (le vom formula fără dovezi).

Teorema. O formă pătratică este pozitivă (negativă) definită dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei sale sunt pozitive (negative).

Teoremă (criteriul Sylvester). O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate principalele minore ale matricei acestei forme sunt pozitive.

Principal (colț) minor Matricele de ordinul k de ordinul An se numesc determinant al matricei, compuse din primele k rânduri și coloane ale matricei A ().

Rețineți că pentru formele pătratice definite negative semnele minorilor principali alternează, iar minorul de ordinul întâi trebuie să fie negativ.

De exemplu, să examinăm forma pătratică f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pentru definiția semnului.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Prin urmare, forma pătratică este definită pozitivă.

Metoda 2. Minor principal de ordinul I al matricei A  1 =a 11 = 2 > 0. Minor principal de ordinul doi  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Prin urmare, după criteriul lui Sylvester, pătratica forma este definită pozitivă.

Să examinăm o altă formă pătratică pentru definiția semnului, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Să construim o matrice de formă pătratică A = . Ecuația caracteristică va avea forma = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Prin urmare, forma pătratică este definită negativă.

Metoda 2. Minor principal de ordinul I al matricei A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Prin urmare, după criteriul lui Sylvester, forma pătratică este definită negativă (semnele minorilor majori alternează, începând cu minus).

Și ca un alt exemplu, examinăm forma pătratică determinată de semn f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Să construim o matrice de formă pătratică A = . Ecuația caracteristică va avea forma = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Unul dintre aceste numere este negativ, iar celălalt este pozitiv. Semnele valorilor proprii sunt diferite. În consecință, forma pătratică nu poate fi nici negativă, nici pozitivă definită, adică. această formă pătratică nu este definită de semn (poate lua valori ale oricărui semn).

Metoda 2. Minor principal de ordinul I al matricei A  1 =a 11 = 2 > 0. Minor principal de ordinul II 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Metoda luată în considerare de reducere a unei forme pătratice la forma canonică este convenabilă de utilizat atunci când se întâlnesc coeficienți diferiti de zero cu pătratele variabilelor. Dacă nu sunt acolo, este încă posibil să efectuați conversia, dar trebuie să utilizați alte tehnici. De exemplu, fie f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, unde y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Un polinom omogen de gradul 2 în mai multe variabile se numește formă pătratică.

Forma pătratică a variabilelor constă din termeni de două tipuri: pătratele variabilelor și produsele lor în perechi cu anumiți coeficienți. Forma pătratică este de obicei scrisă ca următoarea diagramă pătrată:

Perechile de termeni similari se scriu cu coeficienți egali, astfel încât fiecare dintre ei să constituie jumătate din coeficientul produsului corespunzător al variabilelor. Astfel, fiecare formă pătratică este asociată în mod natural cu matricea sa de coeficienți, care este simetrică.

Este convenabil să reprezentați forma pătratică în următoarea notație matriceală. Să notăm cu X o coloană de variabile prin X - un rând, adică o matrice transpusă cu X. Atunci

Formele cuadratice se găsesc în multe ramuri ale matematicii și aplicațiile acesteia.

În teoria numerelor și cristalografie, formele pătratice sunt luate în considerare sub ipoteza că variabilele iau doar valori întregi. În geometria analitică, forma pătratică face parte din ecuația unei curbe (sau suprafețe) de ordin. În mecanică și fizică, forma pătratică pare să exprime energia cinetică a unui sistem prin componentele vitezelor generalizate etc. Dar, în plus, studiul formelor pătratice este necesar și în analiză atunci când se studiază funcțiile multor variabile, în întrebări. pentru care este important să aflăm cum această funcție din vecinătatea unui punct dat se abate de la funcția liniară care o aproximează. Un exemplu de problemă de acest tip este studiul unei funcții pentru maximul și minimul ei.

Luați în considerare, de exemplu, problema studierii maximului și minimului pentru o funcție a două variabile care are derivate parțiale continue la ordin. O condiție necesară pentru ca un punct să dea un maxim sau un minim al unei funcții este ca derivatele parțiale ale ordinului punctului să fie egale cu zero Să presupunem că această condiție este îndeplinită. Să dăm variabilelor x și y incremente mici și k și să considerăm incrementul corespunzător al funcției Conform formulei lui Taylor, acest increment, până la ordinele mici mai mari, este egal cu forma pătratică unde sunt valorile derivatelor secunde. calculată la punctul Dacă această formă pătratică este pozitivă pentru toate valorile lui și k (cu excepția ), atunci funcția are un minim în punct dacă este negativă, atunci are un maxim. În cele din urmă, dacă o formă ia atât valori pozitive, cât și negative, atunci nu va exista maxim sau minim. Funcțiile unui număr mai mare de variabile sunt studiate în mod similar.

Studiul formelor pătratice constă în principal în studierea problemei echivalenței formelor față de unul sau altul set de transformări liniare ale variabilelor. Se spune că două forme pătratice sunt echivalente dacă una dintre ele poate fi convertită în cealaltă printr-una dintre transformările unei mulțimi date. Strâns legată de problema echivalenței este problema reducerii formei, i.e. transformându-l într-o formă posibil cea mai simplă.

În diverse întrebări legate de formele pătratice sunt luate în considerare și diverse seturi de transformări admisibile ale variabilelor.

În chestiunile de analiză se folosesc orice transformări nespeciale ale variabilelor; în scopul geometriei analitice, transformările ortogonale prezintă cel mai mare interes, adică cele care corespund trecerii de la un sistem de coordonate carteziene variabile la altul. În final, în teoria numerelor și cristalografie sunt luate în considerare transformările liniare cu coeficienți întregi și cu un determinant egal cu unitatea.

Vom lua în considerare două dintre aceste probleme: problema reducerii unei forme pătratice la cea mai simplă formă prin orice transformări non-singulare și aceeași întrebare pentru transformările ortogonale. În primul rând, să aflăm cum se transformă o matrice de formă pătratică în timpul unei transformări liniare a variabilelor.

Fie , unde A este o matrice simetrică de coeficienți de formă, X este o coloană de variabile.

Să facem o transformare liniară a variabilelor, scriind-o prescurtat ca . Aici C desemnează matricea de coeficienți ai acestei transformări, X este o coloană de variabile noi. Atunci și prin urmare, deci matricea formei pătratice transformate este

Matricea se dovedește automat a fi simetrică, ceea ce este ușor de verificat. Astfel, problema reducerii unei forme pătratice la forma cea mai simplă este echivalentă cu problema reducerii unei matrice simetrice la forma cea mai simplă prin înmulțirea ei la stânga și la dreapta cu matrici transpuse reciproc.

Forme pătratice

Matricea A compusă din acești coeficienți se numește matrice de formă pătratică. E mereu simetric matrice (adică o matrice simetrică față de diagonala principală, a ij = a ji).

În notația matriceală, forma pătratică este f(X) = X T AX, unde

Într-adevăr

De exemplu, să scriem forma pătratică sub formă de matrice.

Fie coloana-matrice a variabilelor X obținută printr-o transformare liniară nedegenerată a coloanei-matrice Y, adică. X = CY, unde C este o matrice nesingulară de ordin al n-lea. Apoi forma pătratică
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Astfel, cu o transformare liniară nedegenerată C, matricea de formă pătratică ia forma: A * = C T AC.

De exemplu, să găsim forma pătratică f(y 1, y 2), obţinută din forma pătratică f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 prin transformare liniară.

Forma pătratică se numește canonic(Are vedere canonică), dacă toți coeficienții săi a ij = 0 pentru i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matricea sa este diagonală.

Teorema(dovada nu este dată aici). Orice formă pătratică poate fi redusă la formă canonică folosind o transformare liniară nedegenerată.

De exemplu, să reducem forma pătratică la forma canonică
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Pentru a face acest lucru, mai întâi selectați un pătrat complet cu variabila x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Acum selectăm un pătrat complet cu variabila x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Atunci transformarea liniară nedegenerată y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 și y 3 = x 3 aduce această formă pătratică la forma canonică f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Rețineți că forma canonică a unei forme pătratice este determinată în mod ambiguu (aceeași formă pătratică poate fi redusă la forma canonică în moduri diferite). Cu toate acestea, formele canonice obținute prin diferite metode au o serie de proprietăți comune. În special, numărul de termeni cu coeficienți pozitivi (negativi) ai unei forme pătratice nu depinde de metoda de reducere a formei la această formă (de exemplu, în exemplul luat în considerare vor exista întotdeauna doi coeficienti negativi și unul pozitiv). Această proprietate se numește legea inerției formelor pătratice.

Să verificăm acest lucru prin aducerea aceleiași forme pătratice la forma canonică într-un mod diferit. Să începem transformarea cu variabila x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, unde y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 și y 3 = x 1 . Aici există un coeficient pozitiv de 2 la y 3 și doi coeficienți negativi (-3) la y 1 și y 2 (și folosind o altă metodă am obținut un coeficient pozitiv de 2 la y 1 și doi coeficienți negativi - (-5) la y 2 și (-1 /20) la y 3).

Se numește forma pătratică f(X). pozitiv (negativ) anumit, dacă pentru toate valorile variabilelor care nu sunt simultan egale cu zero, acesta este pozitiv, adică. f(X) > 0 (negativ, adică
f(X)< 0).

Teorema. O formă pătratică este pozitivă (negativă) definită dacă și numai dacă toate valorile proprii ale matricei sale sunt pozitive (negative).

Teoremă (criteriul Sylvester). O formă pătratică este pozitivă definită dacă și numai dacă toate principalele minore ale matricei acestei forme sunt pozitive.

Principal (colț) minor Matricea A de ordinul k de ordinul n se numește determinantul matricei, compusă din primele k rânduri și coloane ale matricei A ().

Rețineți că pentru formele pătratice definite negative semnele minorilor principali alternează, iar minorul de ordinul întâi trebuie să fie negativ.

De exemplu, să examinăm forma pătratică f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pentru definiția semnului.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Prin urmare, forma pătratică este definită pozitivă.

Metoda 2. Minor principal de ordinul I al matricei A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor principal de ordinul II D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Prin urmare, după criteriul lui Sylvester, forma pătratică este definit pozitiv.