Această lecție va acoperi regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice, precum și exemple de aplicare a acestor reguli. Înmulțirea și scăderea fracțiilor algebrice nu este diferită de înmulțirea și împărțirea fracții obișnuite. În același timp, prezența variabilelor duce la modalități ceva mai complexe de simplificare a expresiilor rezultate. În ciuda faptului că înmulțirea și împărțirea fracțiilor este mai ușoară decât adunarea și scăderea lor, studiul acestui subiect trebuie abordat extrem de responsabil, deoarece există multe capcane la care de obicei nu li se acordă atenție. Ca parte a lecției, nu vom studia doar regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor, dar vom analiza și nuanțele care pot apărea atunci când le folosim.
Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice peste fracții algebrice
Lecţie:Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice
1. Reguli de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare și algebrice
Regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice sunt absolut similare cu regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite. Să le reamintim:
Adică, pentru a înmulți fracțiile, este necesar să le înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul produsului) și să le înmulțiți numitorii (acesta va fi numitorul produsului).
Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu o fracție inversată, adică pentru a împărți două fracții este necesar să se înmulțească prima dintre ele (dividend) cu a doua inversată (divizor).
2. Cazuri speciale de aplicare a regulilor de înmulțire și împărțire a fracțiilor
În ciuda simplității acestor reguli, mulți oameni greșesc într-o serie de cazuri speciale atunci când rezolvă exemple pe această temă. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste cazuri speciale:
În toate aceste reguli am folosit următorul fapt: .
3. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare
Să rezolvăm câteva exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite pentru a ne aminti cum să folosiți aceste reguli.
Exemplul 1
Notă: la reducerea fracțiilor, am folosit descompunerea numărului în factori primi. Să vă reamintim că numere prime acestea se numesc numere naturale, care sunt divizibile numai prin ele însele. Numerele rămase sunt apelate compozit. Numărul nu este nici prim, nici compus. Exemple de numere prime: 
.
Exemplul 2
Să luăm acum în considerare unul dintre cazurile speciale cu fracții obișnuite.
Exemplul 3
După cum puteți vedea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, dacă regulile sunt aplicate corect, nu este dificilă.
4. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice (cazuri simple)
Să ne uităm la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.
Exemplul 4
Exemplul 5
Rețineți că este posibil și chiar necesar să se reducă fracțiile după înmulțire după aceleași reguli pe care le-am considerat anterior în lecțiile dedicate reducerii fracțiilor algebrice. Să ne uităm la câteva exemple simple pentru cazuri speciale.
Exemplul 6
Exemplul 7
Să ne gândim acum puțin mai mult exemple complexe la înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Exemplul 8
Exemplul 9
Exemplul 10
Exemplul 11
Exemplul 12
Exemplul 13
5. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice (cazuri dificile)
Anterior, ne-am uitat la fracții în care atât numărătorul, cât și numitorul erau monomii. Cu toate acestea, în unele cazuri este necesară înmulțirea sau împărțirea fracțiilor ai căror numărători și numitori sunt polinoame. În acest caz, regulile rămân aceleași, dar pentru a reduce este necesar să folosiți formule de înmulțire abreviate și paranteze.
Exemplul 14
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Ajutoare și simulatoare educaționale în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Caiet de lucru algebră electronică pentru clasa a VIII-a
Manual multimedia pentru clasa a VIII-a „Algebră în 10 minute”
Factorizarea preliminară a unei fracții algebrice
Înainte de a începe să lucrați cu fracții, și anume înmulțirea și împărțirea, este indicat să factorizați numărătorul și numitorul. Acest lucru va facilita factorizarea fracției care rezultă din operația matematică.De exemplu, dată fiind o fracție:
$\frac(8x+8y)(16)$.
Vom produce transformarea identităţii, adică factorizăm numărătorul.
$\frac(8x+8y)(16)=\frac(8(x+y))(16)$.
Sau, de exemplu, având în vedere următoarea fracție:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)$.
Este mai bine să-l aduceți în această formă:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)=\frac((x+y)(x-y))(x+1)$.
Nu uitați de proprietate:
$(b-a)^2=(a-b)^2$.
Înmulțirea fracțiilor algebrice cu numitori asemănători și diferiți
Înmulțirea fracțiilor algebrice se face în același mod ca și înmulțirea fracțiilor obișnuite. Numeratorii și numitorii sunt înmulțiți împreună.Aceasta poate fi reprezentată sub formă de formulă după cum urmează:
$\frac(a)(b)*\frac(c)(d)=\frac(ac)(bd)$
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1.
Calcula:
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)$.
Să factorizăm fracția.
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)=\frac(5(x+y))(x-y)*\frac((x-y)(x+ y) ))(10x)$.
Să aducem ambele fracții la un numitor comun (amintiți-vă de lecția: „Adunarea și scăderea fracțiilor”, unde existau sfaturi despre cum să alegeți mai bine și mai ușor numitor comun). Ca rezultat, obținem o fracție.
$\frac(5(x+y)(x-y)(x+y))((x-y)*10x)=\frac((x+y)^2)(2x)$
Exemplul 2.
Calcula:
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6b^2-12ab+6a^2)(49a^4b^5)$.
Să factorizăm și să reducem fracția.
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6(b^2-2ab+a^2))(49a^4b^5)=\frac(7a^3b^5*6 (b-a)^2)(3(a-b)*49a^4b^5)=\frac(2(b-a)^2)(7a(a-b))$.
Împărțirea fracțiilor algebrice cu numitori asemănători și diferiți
Împărțirea fracțiilor se efectuează în același mod ca și împărțirea fracțiilor obișnuite, adică trebuie să întoarceți fracția „divizor” și să efectuați înmulțirea.$\frac(a)(b):\frac(c)(d)=\frac(ad)(bc)$
Să ne uităm la exemple.
Exemplul 3.
Urmați acești pași:
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Să factorizăm fracțiile.
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)=\frac((x-1)(x^2+x+1))( 8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Acum inversăm fracția și înmulțim.
$\frac((x-1)(x^2+x+1)*16y^2)(8y*(x^2+x+1))=2y*(x-1)$.
Exemplul 4.
Calcula:
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)$.
Să factorizăm și să grupăm polinoamele.
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)=\frac((a^2-b^2)(a^2+ b^2))((ab+2b)-(3a+6)):\frac(b-a)(a+2)=$
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2))(b(a+2)-3(a+2)):\frac(b-a)(a+2)$.
Inversați și înmulțiți fracțiile.
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2))((a+2)(b-3)(b-a))=\frac(-(a+ b )(a^2+b^2))((b-3))$.
Această lecție va acoperi regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice, precum și exemple de aplicare a acestor reguli. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice nu este diferită de înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite. În același timp, prezența variabilelor duce la modalități ceva mai complexe de simplificare a expresiilor rezultate. În ciuda faptului că înmulțirea și împărțirea fracțiilor este mai ușoară decât adunarea și scăderea lor, studiul acestui subiect trebuie abordat extrem de responsabil, deoarece există multe capcane la care de obicei nu li se acordă atenție. Ca parte a lecției, nu vom studia doar regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor, dar vom analiza și nuanțele care pot apărea atunci când le folosim.
Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice
Lecţie:Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice
Regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice sunt absolut similare cu regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite. Să le reamintim:
Adică, pentru a înmulți fracțiile, este necesar să le înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul produsului) și să le înmulțiți numitorii (acesta va fi numitorul produsului).
Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu o fracție inversată, adică pentru a împărți două fracții este necesar să se înmulțească prima dintre ele (dividend) cu a doua inversată (divizor).
În ciuda simplității acestor reguli, mulți oameni greșesc într-o serie de cazuri speciale atunci când rezolvă exemple pe această temă. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste cazuri speciale:
În toate aceste reguli am folosit următorul fapt: .
Să rezolvăm câteva exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite pentru a ne aminti cum să folosiți aceste reguli.
Exemplul 1
Nota: La reducerea fracțiilor am folosit descompunerea numerelor în factori primi. Să vă reamintim că numere prime
sunt acele numere naturale care sunt divizibile numai prin și prin ele însele. Numerele rămase sunt apelate compozit
. Numărul nu este nici prim, nici compus. Exemple de numere prime: 
.
Exemplul 2
Să luăm acum în considerare unul dintre cazurile speciale cu fracții obișnuite.
Exemplul 3
După cum puteți vedea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, dacă regulile sunt aplicate corect, nu este dificilă.
Să ne uităm la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.
Exemplul 4
Exemplul 5
Rețineți că este posibil și chiar necesar să se reducă fracțiile după înmulțire după aceleași reguli pe care le-am considerat anterior în lecțiile dedicate reducerii fracțiilor algebrice. Să ne uităm la câteva exemple simple pentru cazuri speciale.
Exemplul 6
Exemplul 7
Să ne uităm acum la câteva exemple mai complexe de înmulțire și împărțire a fracțiilor.
Exemplul 8
Exemplul 9
Exemplul 10
Exemplul 11
Exemplul 12
Exemplul 13
Anterior, ne-am uitat la fracții în care atât numărătorul, cât și numitorul erau monomii. Cu toate acestea, în unele cazuri este necesară înmulțirea sau împărțirea fracțiilor ai căror numărători și numitori sunt polinoame. În acest caz, regulile rămân aceleași, dar pentru a reduce este necesar să folosiți formule de înmulțire abreviate și paranteze.
Exemplul 14
Exemplul 15
Exemplul 16
Exemplul 17
Exemplul 18
Pentru a efectua înmulțirea fracțiilor algebrice (raționale), trebuie să:
1) Scrieți produsul numărătorilor în numărător și scrieți produsul numitorilor acestor fracții în numitor.
În acest caz, sunt necesare polinoame.
2) Dacă este posibil, reduceți fracția.
Comentariu.
La înmulțire, suma și diferența trebuie incluse între paranteze.
Exemple de înmulțire a fracțiilor algebrice.
Când înmulțim fracții algebrice, înmulțim separat numărătorii și numitorii acestor fracții separat:
Reducem 36 și 45 cu 9, 22 și 55 cu 11, a² și cu a a, b și b cu b, c⁵ și c² cu c²:
Pentru a înmulți fracțiile algebrice, înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Deoarece numărătorii și numitorii acestor fracții conțin polinoame, acestea sunt necesare.
În numărătorul primei fracții, scoatem din paranteze factorul comun 3. Factorim numărătorul celei de-a doua fracții în factori ca diferență de pătrate. Numitorul primei fracții este pătratul diferenței. La numitorul celei de-a doua fracții scoatem factorul comun 5:
Fracția poate fi redusă cu (x+3) și (2x-1):
Înmulțim numărătorul cu numărătorul, numitorul cu numitorul. Factorim numitorul celei de-a doua fracții folosind formula diferenței de pătrate:
(a-b) și (b-a) diferă doar prin semn. Să luăm „minus” din paranteze, de exemplu, la numărător. După aceasta, reduceți fracția cu (a-b) și cu a:
Când înmulțim fracții algebrice, înmulțim numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Încercăm să factorăm polinoamele incluse în ele.
În prima fracție, numărătorul este pătratul complet al sumei, iar numitorul este suma cuburilor. În a doua fracție din numărător - (parte a formulei pentru suma cuburilor), în numitor există un factor comun de 3, pe care îl scoatem din paranteze:
Reducem fracția cu (x+3)² și (x²-3x+9):
În algebră, operațiile cu fracții algebrice (raționale) pot avea loc atât ca sarcină separată, cât și în cursul rezolvării altor exemple, de exemplu, rezolvarea ecuațiilor și inegalităților. De aceea este important să înveți cum să înmulțim, să împărțim, să adunăm și să scădem astfel de fracții în timp.
Categorie: |Putem înmulți și împărți fracții aritmetice, de exemplu:
dacă literele a, b, c și d reprezintă numere întregi aritmetice.
Se pune întrebarea dacă aceste egalități rămân valabile dacă a, b, c și d denotă: 1) orice numere aritmetice și 2) orice numere relative.
În primul rând, va trebui să luați în considerare fracțiile complexe, de exemplu:
Aceste exemple sunt deja suficiente pentru a verifica validitatea egalităților referitoare la înmulțirea și împărțirea fracțiilor, atunci când numerele a, b, c și d sunt orice aritmetică (întreg sau fracționar). Rețineți că există doar 2 egalități de bază, și anume:
Rămâne acum să ne gândim dacă aceste egalități vor rămâne valabile dacă se presupune că unele dintre numerele a, b, c și d sunt negative: dacă, de exemplu, a este un număr negativ, b, c și d sunt pozitive, atunci fracția este negativă și fracția este pozitivă; prin urmare, de exemplu, împărțirea la ar trebui să rezulte într-un număr negativ, dar vedem că, conform presupunerii noastre, expresia ar trebui să exprime un număr negativ, adică egalitatea este justificată și în acest caz. Este, de asemenea, ușor de luat în considerare și alte ipoteze pentru semnele lui a, b, c și d. Rezultatul acestei considerații este convingerea validității egalităților
iar pentru cazul în care a, b, c și d exprimă orice numere relative, adică pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice, rămân în vigoare aceleași reguli ca și pentru cele aritmetice.
Acum putem efectua înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Cea mai mare dificultate aici este problema reducerii fracțiilor obținute după înmulțire sau împărțire. Dacă fracțiile algebrice sunt monomiale, atunci reducerea rezultatului obținut nu va prezenta dificultăți, dar dacă fracțiile sunt algebrice, atunci este necesar să se factorizeze mai întâi numărătorul și numitorul fiecăreia dintre aceste fracții.
