Evenimentele care se petrec în realitate sau în imaginația noastră pot fi împărțite în 3 grupuri. Acestea sunt anumite evenimente care se vor întâmpla cu siguranță, evenimente imposibile și evenimente aleatorii. Teoria probabilității studiază evenimente aleatoare, de ex. evenimente care se pot întâmpla sau nu. Acest articol va prezenta pe scurt teoria formulelor probabilităților și exemple de rezolvare a problemelor din teoria probabilităților, care se vor afla în sarcina 4 a Examenului de stat unificat la matematică (nivel de profil).
De ce avem nevoie de teoria probabilității?
Din punct de vedere istoric, necesitatea studierii acestor probleme a apărut în secolul al XVII-lea în legătură cu dezvoltarea și profesionalizarea jocuri de norocși apariția cazinourilor. Acesta a fost un fenomen real care a necesitat propriul studiu și cercetare.
Jocul de cărți, zaruri și ruletă a creat situații în care ar putea avea loc oricare dintr-un număr finit de evenimente la fel de posibile. Era nevoie să se dea estimări numerice ale posibilității de apariție a unui anumit eveniment.
În secolul al XX-lea, s-a dovedit că această știință aparent frivolă joacă rol importantîn cunoaşterea proceselor fundamentale care au loc în microcosmos. A fost creat teoria modernă probabilități.
Concepte de bază ale teoriei probabilităților
Obiectul de studiu al teoriei probabilităților îl reprezintă evenimentele și probabilitățile lor. Dacă un eveniment este complex, atunci acesta poate fi împărțit în componente simple, ale căror probabilități sunt ușor de găsit.
Suma evenimentelor A și B se numește eveniment C, care constă în faptul că fie evenimentul A, fie evenimentul B, fie evenimentele A și B au avut loc simultan.
Produsul evenimentelor A și B este un eveniment C, ceea ce înseamnă că atât evenimentul A, cât și evenimentul B au avut loc.
Evenimentele A și B sunt numite incompatibile dacă nu pot avea loc simultan.
Un eveniment A este numit imposibil dacă nu se poate întâmpla. Un astfel de eveniment este indicat prin simbol.
Un eveniment A se numește sigur dacă se va întâmpla cu siguranță. Un astfel de eveniment este indicat prin simbol.
Fiecărui eveniment A să fie asociat un număr P(A). Acest număr P(A) se numește probabilitatea evenimentului A dacă sunt îndeplinite următoarele condiții cu această corespondență.
Un caz special important este situația în care există rezultate elementare la fel de probabile, iar arbitrare dintre aceste rezultate formează evenimentele A. În acest caz, probabilitatea poate fi introdusă folosind formula. Probabilitatea introdusă în acest fel se numește probabilitate clasică. Se poate dovedi că în acest caz proprietățile 1-4 sunt satisfăcute.
Problemele de teoria probabilităților care apar la examenul de stat unificat la matematică sunt legate în principal de probabilitatea clasică. Astfel de sarcini pot fi foarte simple. Deosebit de simple sunt problemele din teoria probabilității în opțiuni demo. Este ușor de calculat numărul de rezultate favorabile, numărul tuturor rezultatelor este scris chiar în condiție.
Obținem răspunsul folosind formula.
Un exemplu de problemă de la examenul de stat unificat la matematică privind determinarea probabilității
Pe masă sunt 20 de plăcinte - 5 cu varză, 7 cu mere și 8 cu orez. Marina vrea să ia plăcinta. Care este probabilitatea ca ea să ia prăjitura de orez?
Soluţie.
Există 20 de rezultate elementare la fel de probabile, adică Marina poate lua oricare dintre cele 20 de plăcinte. Dar trebuie să estimăm probabilitatea ca Marina să ia plăcinta cu orez, adică unde A este alegerea plăcintei cu orez. Aceasta înseamnă că numărul de rezultate favorabile (alegeri de plăcinte cu orez) este de numai 8. Atunci probabilitatea va fi determinată de formula:
Evenimente independente, opuse și arbitrare
Cu toate acestea, în borcan deschis Au început să fie întâlnite sarcini mai complexe. Prin urmare, să atragem atenția cititorului asupra altor probleme studiate în teoria probabilității.
Se spune că evenimentele A și B sunt independente dacă probabilitatea fiecăruia nu depinde de faptul dacă celălalt eveniment are loc.
Evenimentul B este că evenimentul A nu s-a întâmplat, adică. evenimentul B este opus evenimentului A. Probabilitatea evenimentului opus este egală cu unu minus probabilitatea evenimentului direct, adică. .
Teoreme de adunare și înmulțire a probabilităților, formule
Pentru evenimentele arbitrare A și B, probabilitatea sumei acestor evenimente este egală cu suma probabilităților lor fără probabilitatea lor. eveniment comun, adică .
Pentru evenimentele independente A și B, probabilitatea apariției acestor evenimente este egală cu produsul probabilităților lor, i.e. în acest caz .
Ultimele 2 afirmatii se numesc teoreme ale adunarii si inmultirii probabilitatilor.
Numărarea numărului de rezultate nu este întotdeauna atât de simplă. În unele cazuri este necesar să se utilizeze formule combinatorice. Cel mai important lucru este să numărați numărul de evenimente care îndeplinesc anumite condiții. Uneori, astfel de calcule pot deveni sarcini independente.
În câte moduri pot fi așezați 6 studenți pe 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri prin care al doilea student să ocupe un loc. Au mai rămas 4 locuri libere pentru al treilea elev, 3 pentru al patrulea, 2 pentru al cincilea, iar al șaselea va ocupa singurul loc rămas. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul, care este notat cu simbolul 6! și citește „șase factoriale”.
În cazul general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de permutări a n elemente.
Să luăm acum în considerare un alt caz cu studenții noștri. În câte moduri pot fi așezați 2 elevi pe 6 locuri goale? Primul elev va ocupa oricare dintre cele 6 locuri. Fiecare dintre aceste opțiuni corespunde a 5 moduri prin care al doilea student să ocupe un loc. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să găsiți produsul.
În general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de plasări a n elemente peste k elemente
În cazul nostru .
Și ultimul caz din această serie. În câte moduri poți alege trei elevi din 6? Primul elev poate fi selectat în 6 moduri, al doilea - în 5 moduri, al treilea - în patru moduri. Dar printre aceste opțiuni, aceiași trei elevi apar de 6 ori. Pentru a găsi numărul tuturor opțiunilor, trebuie să calculați valoarea: . În general, răspunsul la această întrebare este dat de formula pentru numărul de combinații de elemente cu element:
În cazul nostru .
Exemple de rezolvare a problemelor din examenul de stat unificat la matematică pentru determinarea probabilității
Sarcina 1. Din colecția editată de. Iascenko.
Pe farfurie sunt 30 de plăcinte: 3 cu carne, 18 cu varză și 9 cu cireșe. Sasha alege o plăcintă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca el să ajungă cu o cireșă.
.
Răspuns: 0,3.
Sarcina 2. Din colecția editată de. Iascenko.
În fiecare lot de 1000 de becuri, în medie, 20 sunt defecte. Găsiți probabilitatea ca un bec luat la întâmplare dintr-un lot să funcționeze.
Soluție: Numărul de becuri de lucru este 1000-20=980. Apoi, probabilitatea ca un bec luat la întâmplare dintr-un lot să funcționeze:
Răspuns: 0,98.
Probabilitatea ca elevul U să rezolve corect mai mult de 9 probleme în timpul unui test de matematică este de 0,67. Probabilitatea ca U să rezolve corect mai mult de 8 probleme este de 0,73. Aflați probabilitatea ca U să rezolve corect exact 9 probleme.
Dacă ne imaginăm o dreaptă numerică și marchem punctele 8 și 9 pe ea, atunci vom vedea că condiția „U. va rezolva corect exact 9 probleme” este inclusă în condiția „U. va rezolva mai mult de 8 probleme corect”, dar nu se aplică condiției „U. va rezolva mai mult de 9 probleme corect.”
Cu toate acestea, condiția „U. va rezolva corect mai mult de 9 probleme” este cuprinsă în condiția „U. va rezolva mai mult de 8 probleme corect.” Astfel, dacă desemnăm evenimente: „U. va rezolva corect exact 9 probleme" - prin A, "U. va rezolva mai mult de 8 probleme corect" - prin B, "U. va rezolva corect mai mult de 9 probleme” prin C. Soluția respectivă va arăta astfel:
Răspuns: 0,06.
Într-un examen de geometrie, un student răspunde la o întrebare dintr-o listă de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de trigonometrie este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare despre unghiurile externe este de 0,15. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.
Să ne gândim la ce evenimente avem. Ni se dau două evenimente incompatibile. Adică, fie întrebarea se va referi la subiectul „Trigonometrie”, fie la subiectul „Unghiuri externe”. Conform teoremei probabilității, probabilitatea evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților fiecărui eveniment, trebuie să găsim suma probabilităților acestor evenimente, adică:
Răspuns: 0,35.
Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,29. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.
Să luăm în considerare posibilele evenimente. Avem trei becuri, fiecare dintre ele se poate arde sau nu independent de orice alt bec. Acestea sunt evenimente independente.
Apoi vom indica opțiunile pentru astfel de evenimente. Să folosim următoarele notații: - becul este aprins, - becul este ars. Și chiar lângă el vom calcula probabilitatea evenimentului. De exemplu, a avut loc probabilitatea unui eveniment în care trei evenimente independente „becul este ars”, „becul este aprins”, „becul este aprins”: , unde probabilitatea evenimentului „becul este aprins”. este aprins” se calculează ca probabilitatea evenimentului opus evenimentului „becul nu este aprins”, și anume: .
Rețineți că există doar 7 evenimente incompatibile favorabile pentru noi Probabilitatea unor astfel de evenimente este egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre evenimente: .
Răspuns: 0,975608.
Puteți vedea o altă problemă în figură:
Astfel, am înțeles care este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor pe care le puteți întâlni în versiunea Unified State Exam.
În general, sunt foarte slab în astfel de probleme, așa că am încercat să găsesc răspunsul pe Internet, dar s-a dovedit că au fost raportate răspunsuri diferite în locuri diferite. Să încercăm să ne dăm seama care dintre ele este corectă. Iată problema reală:
Această întrebare neobișnuită a fost inventată de matematicianul Raymond Johnson:
Dacă alegi un răspuns la întâmplare, care este probabilitatea ca acesta să fie corect?
a) 25%
b) 50%
c) 60%
d) 25%
Iată explicațiile și opțiunile de răspuns disponibile pe Internet:
Opțiune de răspuns - 0%
Răspunsul corect este 0%, adică nu este oferit printre rezultate.
Să explicăm: numărul posibil de răspunsuri corecte este de la 0 la 4, ceea ce înseamnă că probabilitatea de a-l alege aleatoriu pe cel corect ar trebui să fie 0, 25, 50, 75 sau 100%. Aceasta exclude automat opțiunea c) (nu poate exista o probabilitate de 60%).
În plus, deoarece a) și d) sunt aceleași, ambele sunt fie adevărate, fie ambele false.
Deci, avem 4 opțiuni de răspuns care se exclud reciproc:
1: a), b) și d) sunt răspunsurile corecte.
2: a) și d) sunt răspunsurile corecte.
3: b) este răspunsul corect.
4: Nu există un răspuns corect.
Prima opțiune este imposibilă, deoarece probabilitatea nu poate fi atât de 25%, cât și de 50% în același timp.
A doua opțiune este imposibilă deoarece dacă 2 răspunsuri sunt corecte, atunci probabilitatea de selecție ar trebui să fie de 50%, nu de 25%.
La fel și cu a treia opțiune: dacă doar 1 opțiune este corectă, atunci probabilitatea de a o alege este de 25%, nu de 50% (așa cum se menționează în răspunsul b)).
Deci, rămâne varianta 4: nu există un răspuns corect. Prin urmare, probabilitatea de a alege răspunsul corect este de 0%.
Opțiune de răspuns 37,5%:
Există 3 cazuri posibile când ghiciți răspunsul. 1 - a ales 25% și a ghicit bine. 2 - a ales 50% și a ghicit bine. 3 - a ales 60% și a ghicit bine.
1) Șansa de a alege 25% = 1/2. În același timp, șansa de a ghici aceste 25% este de asemenea de 1/2.
Probabilitatea finală a cazului este 1/2 * 1/2 = 1/4.
2) Șansa de a alege 50% = 1/4. În același timp, șansa de a ghici aceste 50% este de asemenea de 1/4.
3) Șansa de a alege 60% = 1/4. În același timp, șansa de a ghici aceste 60% este de asemenea de 1/4.
Probabilitatea finală a cazului este 1/4 * 1/4 = 1/16.
Însumăm probabilitățile finale pentru toate cele 3 cazuri, obținem 3/8, sau 37,5%.
Opțiune de răspuns - 50%
Se va dovedi a fi unu și doi
1) Mai întâi, să stabilim care este probabilitatea fiecărui răspuns. Totul este simplu aici - logic, probabilitatea ca vom alege una dintre cele patru variante de răspuns va fi 1/4, adică 0,25
2) Acum să calculăm probabilitatea de a atinge opțiunile de răspuns cu numărul 25%. Dacă luăm în considerare faptul că evenimentele nu sunt compatibile, adică apariția unuia exclude apariția celuilalt, atunci putem folosi suma probabilităților (probabilitatea ca să răspundem la 1 sau 4, deoarece acestea conțin cele 25 % avem nevoie), adică 25% + 25% = 50% procente.
Ca urmare, răspunsul corect este b)
Răspuns posibil: recursivitate
Vă explic: din 4 opțiuni, 1 este la întâmplare, adică 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, deci înmulțim cu 2, deci devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, deci înmulțim cu 2, a devenit 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, așa că înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar astfel Există 2 opțiuni, deci înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci avem împărțim cu 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni, deci înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%, dar există 2 astfel de opțiuni , deci înmulțim cu 2, devine 50%, dar această opțiune este 1, deci împărțim la 2 și obținem 25%...
Când o monedă este aruncată, putem spune că va ateriza heads up, sau probabilitate aceasta este 1/2. Desigur, asta nu înseamnă că, dacă o monedă este aruncată de 10 ori, ea va ateriza neapărat pe capete de 5 ori. Dacă moneda este „corectă” și dacă este aruncată de mai multe ori, atunci capete vor ateriza foarte aproape în jumătate din timp. Astfel, există două tipuri de probabilități: experimental Și teoretic .
Probabilitate experimentală și teoretică
Dacă arunci o monedă un numar mare de de ori - să zicem de 1000 - și să numărăm de câte ori sunt aruncate capete, putem determina probabilitatea ca capul să fie aruncat. Dacă capul este aruncat de 503 ori, putem calcula probabilitatea ca acesta să aterizeze:
503/1000 sau 0,503.
Acest experimental determinarea probabilității. Această definiție a probabilității provine din observarea și studiul datelor și este destul de comună și foarte utilă. Iată, de exemplu, câteva probabilități care au fost determinate experimental:
1. Probabilitatea ca o femeie să dezvolte cancer de sân este de 1/11.
2. Dacă săruți pe cineva care este răcit, atunci probabilitatea ca și tu să răcești este de 0,07.
3. O persoană care tocmai a fost eliberată din închisoare are șanse de 80% să se întoarcă în închisoare.
Dacă luăm în considerare aruncarea unei monede și ținând cont de faptul că este la fel de probabil ca aceasta să iasă cu cap sau cozi, putem calcula probabilitatea de a obține capete: 1/2 definiție teoretică probabilități. Iată câteva alte probabilități care au fost determinate teoretic folosind matematică:
1. Dacă într-o cameră sunt 30 de persoane, probabilitatea ca două dintre ele să aibă aceeași zi de naștere (excluzând anul) este de 0,706.
2. În timpul unei călătorii, întâlnești pe cineva, iar în timpul conversației descoperi că ai un prieten comun. Reacție tipică: „Asta nu poate fi!” De fapt, această frază nu este potrivită, deoarece probabilitatea unui astfel de eveniment este destul de mare - puțin peste 22%.
Astfel, probabilitățile experimentale sunt determinate prin observare și colectare de date. Probabilitățile teoretice sunt determinate prin raționament matematic. Exemple de probabilități experimentale și teoretice, precum cele discutate mai sus, și mai ales cele la care nu ne așteptăm, ne conduc la importanța studierii probabilității. Puteți întreba: „Care este probabilitatea adevărată?” De fapt, nu există așa ceva. Probabilitățile în anumite limite pot fi determinate experimental. Ele pot coincide sau nu cu probabilitățile pe care le obținem teoretic. Există situații în care este mult mai ușor să determinați un tip de probabilitate decât altul. De exemplu, ar fi suficient să găsim probabilitatea de a răci folosind probabilitatea teoretică.
Calculul probabilităților experimentale
Să luăm în considerare mai întâi definiția experimentală a probabilității. Principiul de bază pe care îl folosim pentru a calcula astfel de probabilități este următorul.
Principiul P (experimental)
Dacă într-un experiment în care se fac n observații, o situație sau eveniment E are loc de m ori în n observații, atunci probabilitatea experimentală a evenimentului se spune că este P (E) = m/n.
Exemplul 1 Ancheta sociologică. A fost efectuat un studiu experimental pentru a determina numărul de stângaci, dreptaci și persoane ale căror ambele mâini sunt egal dezvoltate. Rezultatele sunt prezentate în grafic.
a) Determinați probabilitatea ca persoana să fie dreptaci.
b) Determinați probabilitatea ca persoana să fie stângaci.
c) Determinați probabilitatea ca o persoană să fie la fel de fluentă în ambele mâini.
d) Majoritatea turneelor Asociației Profesionale de Bowling sunt limitate la 120 de jucători. Pe baza datelor din acest experiment, câți jucători ar putea fi stângaci?
Soluţie
a)Numărul de oameni care sunt dreptaci este de 82, numărul de stângaci este de 17, iar numărul celor care vorbesc la fel de fluent cu ambele mâini este 1. Numărul total de observații este 100. Astfel, probabilitatea că o persoană este dreptaci este P
P = 82/100, sau 0,82, sau 82%.
b) Probabilitatea ca o persoană să fie stângacă este P, unde
P = 17/100 sau 0,17 sau 17%.
c) Probabilitatea ca o persoană să fie la fel de fluentă în ambele mâini este P, unde
P = 1/100, sau 0,01, sau 1%.
d) 120 de meloni, iar de la (b) ne putem aștepta ca 17% să fie stângaci. De aici
17% din 120 = 0,17,120 = 20,4,
adică ne putem aștepta ca vreo 20 de jucători să fie stângaci.
Exemplul 2 Control de calitate
. Este foarte important ca un producător să mențină calitatea produselor sale la nivel inalt. De fapt, companiile angajează inspectori de control al calității pentru a asigura acest proces. Scopul este de a produce un număr minim posibil de produse defecte. Dar, deoarece compania produce mii de produse în fiecare zi, nu își poate permite să testeze fiecare produs pentru a determina dacă este defect sau nu. Pentru a afla ce procent de produse sunt defecte, compania testează mult mai puține produse.
Ministerul Agricultură SUA cer ca 80% din semințele vândute de cultivatori să germineze. Pentru a determina calitatea semințelor pe care le produce o firmă agricolă se plantează 500 de semințe din cele care au fost produse. După aceasta, s-a calculat că au încolțit 417 semințe.
a) Care este probabilitatea ca sămânța să germineze?
b) Semințele respectă standardele guvernamentale?
Soluţie a) Știm că din 500 de semințe care au fost plantate, 417 au încolțit. Probabilitatea germinării semințelor P, și
P = 417/500 = 0,834 sau 83,4%.
b) Deoarece procentul de semințe germinate a depășit 80% conform cerințelor, semințele îndeplinesc standardele guvernamentale.
Exemplul 3 Evaluări de televiziune. Potrivit statisticilor, în Statele Unite există 105.500.000 de gospodării cu televizoare. În fiecare săptămână, informații despre vizionarea programelor sunt colectate și procesate. Într-o săptămână, 7.815.000 de gospodării s-au conectat la serialul de comedie de succes „Everybody Loves Raymond” de la CBS și 8.302.000 de gospodării s-au conectat la serialul de succes „Law & Order” de pe NBC (Sursa: Nielsen Media Research). Care este probabilitatea ca televizorul unei gospodării să fie reglat pe „Everybody Loves Raymond” în timpul unei anumite săptămâni la „Law & Order”?
Soluţie Probabilitatea ca televizorul dintr-o gospodărie să fie reglat pe „Everybody Loves Raymond” este P și
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Șansa ca televizorul unei gospodării să fie reglat pe Law & Order este P și
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Aceste procente se numesc rating.
Probabilitate teoretică
Să presupunem că efectuăm un experiment, cum ar fi aruncarea unei monede sau săgeți, extragerea unei cărți dintr-un pachet sau testarea calității produselor pe o linie de asamblare. Fiecare rezultat posibil al unui astfel de experiment este numit Exod . Se numește setul tuturor rezultatelor posibile spațiu de rezultat . Eveniment este un set de rezultate, adică un subset al spațiului de rezultate.
Exemplul 4 Aruncarea săgeților. Să presupunem că într-un experiment de aruncare a săgeții, o săgetă lovește o țintă. Găsiți fiecare dintre următoarele:
b) Spațiul rezultatului
Soluţie
a) Rezultatele sunt: lovirea negru (B), lovirea roșu (R) și lovirea alb (B).
b) Spațiul rezultatelor este (lovirea negru, lovirea roșu, lovirea alb), care poate fi scris simplu ca (H, K, B).
Exemplul 5 Aruncarea zarurilor.
Un zar este un cub cu șase laturi, fiecare având unul până la șase puncte desenate pe el. 
Să presupunem că aruncăm un zar. Găsi
a) Rezultate
b) Spațiul rezultatului
Soluţie
a) Rezultate: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spațiu rezultat (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Notăm probabilitatea ca un eveniment E să se producă ca P(E). De exemplu, „moneda va ateriza pe capete” poate fi notat cu H. Atunci P(H) reprezintă probabilitatea ca moneda să aterizeze pe capete. Când toate rezultatele unui experiment au aceeași probabilitate de a avea loc, se spune că sunt la fel de probabile. Pentru a vedea diferențele dintre evenimentele care sunt la fel de probabile și evenimentele care nu sunt, luați în considerare ținta prezentată mai jos. 
Pentru ținta A, evenimentele de lovire a negru, roșu și alb sunt la fel de probabile, deoarece sectoarele negru, roșu și alb sunt aceleași. Cu toate acestea, pentru ținta B, zonele cu aceste culori nu sunt aceleași, adică atingerea lor nu este la fel de probabilă.
Principiul P (teoretic)
Dacă un eveniment E se poate întâmpla în m moduri din n rezultate posibile la fel de probabile din spațiul rezultat S, atunci probabilitatea teoretică
evenimente, P(E) este
P(E) = m/n.
Exemplul 6 Care este probabilitatea de a arunca un zar pentru a obține un 3?
Soluţie Există 6 rezultate la fel de probabile pe un zar și există o singură posibilitate de a arunca numărul 3. Atunci probabilitatea P va fi P(3) = 1/6.
Exemplul 7 Care este probabilitatea de a arunca un număr par pe un zar?
Soluţie Evenimentul este aruncarea unui număr par. Acest lucru se poate întâmpla în 3 moduri (dacă aruncați un 2, 4 sau 6). Numărul de rezultate la fel de probabile este 6. Atunci probabilitatea P(par) = 3/6 sau 1/2.
Vom folosi o serie de exemple care implică un pachet standard de 52 de cărți. Acest pachet este format din cărțile prezentate în figura de mai jos. 
Exemplul 8 Care este probabilitatea de a extrage un As dintr-un pachet de cărți bine amestecat?
Soluţie Există 52 de rezultate (numărul de cărți din pachet), acestea sunt la fel de probabile (dacă pachetul este amestecat bine) și există 4 moduri de a trage un As, deci conform principiului P, probabilitatea
P(trage un as) = 4/52 sau 1/13.
Exemplul 9 Să presupunem că alegem, fără să ne uităm, o minge dintr-o pungă cu 3 bile roșii și 4 bile verzi. Care este probabilitatea de a alege o minge roșie?
Soluţie Există 7 rezultate la fel de probabile la extragerea oricărei mingi și, deoarece numărul de moduri de a extrage o minge roșie este 3, obținem
P(selecția mingii roșii) = 3/7.
Următoarele afirmații sunt rezultate din Principiul P.
Proprietăți ale probabilității
a) Dacă evenimentul E nu se poate întâmpla, atunci P(E) = 0.
b) Dacă evenimentul E este sigur că se va întâmpla atunci P(E) = 1.
c) Probabilitatea ca evenimentul E să se producă este un număr de la 0 la 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
De exemplu, la aruncarea unei monede, evenimentul în care moneda aterizează pe marginea ei are probabilitate zero. Probabilitatea ca o monedă să fie fie cap, fie coadă are o probabilitate de 1.
Exemplul 10 Să presupunem că 2 cărți sunt extrase dintr-un pachet de 52 de cărți. Care este probabilitatea ca ambele să fie vârfuri?
Soluţie Numărul n de moduri de a trage 2 cărți dintr-un pachet de 52 de cărți bine amestecat este 52 C 2 . Deoarece 13 din cele 52 de cărți sunt pică, numărul de moduri m pentru a trage 2 pică este de 13 C 2 . Apoi,
P(trăgând 2 vârfuri)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Exemplul 11 Să presupunem că 3 persoane sunt alese aleatoriu dintr-un grup de 6 bărbați și 4 femei. Care este probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie selectați?
Soluţie Numărul de moduri de a selecta trei persoane dintr-un grup de 10 persoane este de 10 C 3. Un bărbat poate fi ales în 6 moduri C 1, iar 2 femei pot fi alese în 4 moduri C 2. Conform principiului fundamental al numărării, numărul de moduri de a alege 1 bărbat și 2 femei este de 6 C 1. 4 C 2 . Apoi, probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie selectați este
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Exemplul 12 Aruncarea zarurilor. Care este probabilitatea de a arunca un total de 8 pe două zaruri?
Soluţie Fiecare zar are 6 rezultate posibile. Rezultatele sunt dublate, adică există 6,6 sau 36 de moduri posibile în care pot apărea numerele de pe cele două zaruri. (Este mai bine dacă cuburile sunt diferite, să spunem că unul este roșu și celălalt este albastru - acest lucru va ajuta la vizualizarea rezultatului.) 
Perechile de numere care însumează până la 8 sunt prezentate în figura de mai jos. Există 5 moduri posibile de a obține o sumă egală cu 8, deci probabilitatea este 5/36.
Probabilitatea unui eveniment caracterizează cantitativ posibilitatea (șansa) ca acest eveniment să se producă în timpul unui experiment aleatoriu. În această secțiune, începem să studiem posibilitățile oferite de teoria probabilității pentru analiza comparativă a situațiilor care decurg din diverse combinații de evenimente la fel de probabile.
Să ne imaginăm că realizăm un experiment cu spațiul din n rezultate elementare care la fel de probabil. Rezultatele elementare sunt incompatibil evenimente (reamintim că evenimentele incompatibile sunt cele care nu pot avea loc în același timp), deci probabilitatea fiecăruia dintre ele este 1/n. Să presupunem că ne interesează evenimentul A, care are loc numai când favorabil rezultate elementare, numărul ultimelor m(m< n). Тогда, согласно definiție clasică, probabilitatea unui astfel de eveniment:
R( A)=m/n.
Pentru orice eveniment A este valabilă următoarea inegalitate: 0 < P(A) <1.
Exemplul 1.Loteria constă din 1000 de bilete, inclusiv 200 de bilete câștigătoare. Un bilet din 1000 este extras la întâmplare Care este probabilitatea ca acest bilet să fie câștigător?
Soluţie: Există 1000 de rezultate diferite în acest exemplu (n=1000). Evenimentul A care ne interesează include 200 de rezultate (m=200). Prin urmare,
Exemplul 2. O cutie conține 200 bile albe, 100 roșii și 50 verzi. O minge este extrasă la întâmplare. De ce egală cu probabilitatea de a obține Mingea este albă, roșie sau verde?
Soluţie: Să luăm în considerare evenimentele:
A = (au scos o minge albă),
B=(minge roșie scoasă),
C = (au scos o bila verde).
N=350, atunci
Exemplul 3. Zarurile sunt aruncate. Care sunt probabilitățile următoarelor evenimente:
A = (o parte cu 6 puncte a căzut),
B = (partea cu un număr par de puncte a căzut),
C=(partea cu numărul de puncte divizibil cu 3 a căzut)?
Soluţie: n = 6. Evenimentul A este favorizat de un rezultat, evenimentul B de trei rezultate, evenimentul C de două rezultate. Prin urmare,
Uneori, în probleme, numărul rezultatelor elementare este atât de mare încât nu este posibil să le notăm pe toate. Prin urmare, se folosesc formule din combinatorică (vezi §2).
Exemplul 4. Trei sunt extrași dintr-un pachet de 36 de cărți. Care este probabilitatea ca printre cărțile extrase să nu existe zeci?
Soluţie:În acest exemplu, rezultatul elementar este un set aleatoriu de trei cărți. Numărul total de rezultate elementare este N=C 36 3 considerăm că rezultatele elementare sunt la fel de posibile. Rezultate favorabile (numărul de seturi posibile de trei cărți din același pachet, dar fără zeci)
m=C323. Astfel, probabilitatea evenimentului A (se extrag 3 cărți din 36 și nu există zeci dintre ele):
Sarcini de autotestare
1. Se aruncă două zaruri în același timp. Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: A-suma punctelor extrase este 8; Produsul B al punctelor laminate este 8.
Numărul total de rezultate: n=6x6=36, numărul de rezultate favorabile ale evenimentului A ,, , , m=5, probabilitatea dorită p=m/n=5/36. Pentru evenimentul B, rezultate favorabile: , , i.e. m=2 și probabilitatea dorită p=m/n=2/36=1/18.
2. În plic, printre 100 de fotografii, există una dorită. 10 cărți sunt extrase la întâmplare din plic. Găsiți probabilitatea ca cel căutat să fie printre ei.
Să împărțim toate cele 100 de fotografii în mod egal în 10 plicuri. Probabilitatea de a face un plic cu fotografia dorită este p=1/10.
3. În timp ce forma un număr de telefon, abonatul a uitat ultimele trei cifre și, amintindu-și doar că aceste cifre sunt diferite, le-a format la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca numărul să fie format corect.
Pe primul loc al acestui număr de trei cifre poate fi oricare dintre cele 10 cifre de la 0 la 9, pe locul doi doar 9, deoarece numerele nu se repetă pe al treilea 8, în total n=10x9x8=720, acesta este numărul total de rezultate, există un rezultat favorabil m=1, deci p=m/n=1/720.
Din punct de vedere practic, probabilitatea evenimentului este raportul dintre numărul acelor observații în care a avut loc evenimentul în cauză și numărul total de observații. Această interpretare este acceptabilă în cazul unui număr suficient de mare de observații sau experimente. De exemplu, dacă aproximativ jumătate dintre oamenii pe care îi întâlniți pe stradă sunt femei, atunci puteți spune că probabilitatea ca persoana pe care o întâlniți pe stradă să fie femeie este de 1/2. Cu alte cuvinte, o estimare a probabilității unui eveniment poate fi frecvența apariției acestuia într-o serie lungă de repetări independente ale unui experiment aleatoriu.
Probabilitatea în matematică
În abordarea matematică modernă, probabilitatea clasică (adică nu cuantică) este dată de axiomatica Kolmogorov. Probabilitatea este o măsură P, care este definit pe platou X, numit spațiu de probabilitate. Această măsură trebuie să aibă următoarele proprietăți:
Din aceste condiţii rezultă că măsura probabilităţii P are si proprietatea aditivitatea: dacă se setează A 1 și A 2 nu se intersectează, atunci . Pentru a dovedi că trebuie să pui totul A 3 , A 4 , ... egal cu mulțimea goală și aplică proprietatea aditivității numărabile.
Este posibil ca măsura probabilității să nu fie definită pentru toate subseturile setului X. Este suficient să-l definiți pe o algebră sigma, constând din unele submulțimi ale mulțimii X. În acest caz, evenimentele aleatoare sunt definite ca subseturi măsurabile ale spațiului X, adică ca elemente ale algebrei sigma.
Simțul probabilității
Când constatăm că motivele pentru care un fapt posibil care se întâmplă efectiv depășesc motivele contrare, considerăm faptul că probabil, in caz contrar - incredibil. Această preponderență a bazelor pozitive față de cele negative și invers, poate reprezenta un set nedefinit de grade, în urma căruia probabilitate(Și improbabilitate) S-a întâmplat Mai mult sau Mai puțin .
Faptele individuale complexe nu permit un calcul exact al gradelor de probabilitate a acestora, dar chiar și aici este important să se stabilească niște subdiviziuni mari. Deci, de exemplu, în domeniul juridic, atunci când un fapt personal supus judecății este stabilit pe bază de mărturie, acesta rămâne întotdeauna, strict vorbind, doar probabil, și este necesar să se cunoască cât de semnificativă este această probabilitate; în dreptul roman, aici a fost adoptată o diviziune cvadruplă: probatio plena(unde probabilitatea se transformă practic în fiabilitate), Mai departe - probatio minus plena, apoi - probatio semiplena majorși, în sfârșit probatio semiplena minor .
Pe lângă problema probabilității cazului, se poate pune întrebarea, atât în domeniul dreptului, cât și în cel moral (cu un anumit punct de vedere etic), cât de probabil este ca un anumit fapt să constituie o încălcarea legii generale. Această întrebare, care servește drept motiv principal în jurisprudența religioasă a Talmudului, a dat naștere și la construcții sistematice foarte complexe și la o uriașă literatură, dogmatică și polemică, în teologia morală romano-catolică (mai ales de la sfârșitul secolului al XVI-lea) ( vezi Probabilism).
Conceptul de probabilitate permite o anumită expresie numerică atunci când este aplicat numai unor astfel de fapte care fac parte din anumite serii omogene. Deci (în cel mai simplu exemplu), când cineva aruncă o monedă de o sută de ori la rând, găsim aici o serie generală sau mare (suma tuturor căderilor monedei), constând din două private sau mai mici, în acest caz numeric egal, serie (cade „capete” și cade „cozi”); Probabilitatea ca de data aceasta moneda să capete capete, adică ca acest nou membru al seriei generale să aparțină acestei serii mai mici, este egală cu fracția care exprimă relația numerică dintre această serie mică și cea mai mare, și anume 1/2, adică aceeași probabilitate aparține uneia sau celeilalte dintre două serii particulare. În exemple mai puțin simple, concluzia nu poate fi dedusă direct din datele problemei în sine, ci necesită o inducere prealabilă. Deci, de exemplu, întrebarea este: care este probabilitatea ca un nou-născut dat să trăiască până la 80 de ani? Aici trebuie să existe o serie generală, sau mare, de un anumit număr de oameni născuți în condiții similare și care mor la vârste diferite (acest număr trebuie să fie suficient de mare pentru a elimina abaterile aleatorii și suficient de mic pentru a menține omogenitatea seriei, pt. pentru o persoană, născută, de exemplu, la Sankt Petersburg într-o familie bogată și cultivată, întreaga populație de milioane de oameni a orașului, o parte semnificativă din care este formată din oameni din diferite grupuri care pot muri prematur - soldați, jurnaliști, lucrători în profesii periculoase - reprezintă un grup prea eterogen pentru o determinare reală a probabilității) ; să fie această serie generală să fie compusă din zece mii de vieți umane; include serii mai mici reprezentând numărul de persoane care au supraviețuit până la o anumită vârstă; una dintre aceste serii mai mici reprezintă numărul de persoane care trăiesc până la 80 de ani. Dar este imposibil să se determine numărul acestei serii mai mici (ca toate celelalte) a priori; aceasta se face pur inductiv, prin statistici. Să presupunem că studiile statistice au stabilit că din 10.000 de locuitori din clasa de mijloc din Sankt Petersburg, doar 45 trăiesc până la 80 de ani; Astfel, această serie mai mică este legată de cea mai mare, deoarece 45 este la 10.000, iar probabilitatea ca o persoană dată să aparțină acestei serii mai mici, adică să trăiască până la 80 de ani, este exprimată ca o fracție de 0,0045. Studiul probabilității din punct de vedere matematic constituie o disciplină specială – teoria probabilității.
Vezi si
Note
Literatură
Fundația Wikimedia. 2010.
Sinonime:Antonime:
Vedeți ce este „Probabilitatea” în alte dicționare:
General științific și filozofic. o categorie care denota gradul cantitativ de posibilitate a aparitiei evenimentelor aleatoare de masa in conditii fixe de observare, caracterizand stabilitatea frecventelor relative ale acestora. În logică, grad semantic... ... Enciclopedie filosofică
PROBABILITATE, un număr în intervalul de la zero la unu inclusiv, reprezentând posibilitatea ca un anumit eveniment să se producă. Probabilitatea unui eveniment este definită ca raportul dintre numărul de șanse ca un eveniment să se producă și numărul total de posibile... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic
După toate probabilitățile.. Dicționar de sinonime rusești și expresii similare. sub. ed. N. Abramova, M.: Dicționare rusești, 1999. probabilitate posibilitate, probabilitate, șansă, posibilitate obiectivă, maza, admisibilitate, risc. Furnică. imposibilitate...... Dicţionar de sinonime
probabilitate- O măsură că un eveniment este probabil să se producă. Notă Definiția matematică a probabilității este: „un număr real între 0 și 1 care este asociat cu un eveniment aleatoriu”. Numărul poate reflecta frecvența relativă într-o serie de observații... ... Ghidul tehnic al traducătorului
Probabilitate- „o caracteristică matematică, numerică a gradului de posibilitate de apariție a oricărui eveniment în anumite condiții specifice care poate fi repetat de un număr nelimitat de ori.” Bazat pe acest clasic...... Dicţionar economico-matematic
- (probabilitate) Posibilitatea apariției unui eveniment sau a unui anumit rezultat. Poate fi prezentat sub forma unei scale cu diviziuni de la 0 la 1. Dacă probabilitatea unui eveniment este zero, apariția lui este imposibilă. Cu o probabilitate egală cu 1, debutul... Dicţionar de termeni de afaceri
