Funcția liniară numită funcţie a formei y = kx + b, definit pe platoul tuturor numere reale. Aici k– pantă (număr real), b – termen inactiv (număr real), x– variabilă independentă.
În cazul special, dacă k = 0, primim functie constanta y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox care trece prin punctul cu coordonate (0; b).
Dacă b = 0, apoi obținem funcția y = kx, care este proporționalitate directă.
b – lungimea segmentului, care este tăiată de o linie dreaptă de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.
Sensul geometric al coeficientului k – unghi de înclinare drept în direcția pozitivă a axei Ox, considerată în sens invers acelor de ceasornic.
Proprietățile unei funcții liniare:
1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;
2) Dacă k ≠ 0, atunci intervalul de valori al funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci intervalul de valori al funcției liniare constă din număr b;
3) Uniformitatea și neregulă ale unei funcții liniare depind de valorile coeficienților kŞi b.
o) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b – par;
b) b = 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx – impar;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b – funcţie de formă generală;
d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 – atât funcțiile pare, cât și cele impare.
4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;
5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:
Bou: y = kx + b = 0, x = -b/k, prin urmare (-b/k; 0)– punctul de intersecție cu axa absciselor.
Oi: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b)– punctul de intersecție cu axa ordonatelor.
Notă: Dacă b = 0Şi k = 0, apoi funcția y = 0 merge la zero pentru orice valoare a variabilei X. Dacă b ≠ 0Şi k = 0, apoi funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei X.
6) Intervalele de constanță ale semnului depind de coeficientul k.
o) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b– pozitiv când x din (-b/k; +∞),
y = kx + b– negativ când x din (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b– pozitiv când x din (-∞; -b/k),
y = kx + b– negativ când x din (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitiv pe întregul interval de definiție,
k = 0, b< 0; y = kx + b negativ pe toată gama de definiții.
7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficient k.
k > 0, prin urmare y = kx + b crește în întregul domeniu de definiție,
k< 0 , prin urmare y = kx + b scade pe întregul domeniu de definire.
8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților kŞi b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru.
5. Monomial Produsul factorilor numerici și alfabetici se numește. Coeficient se numește factorul numeric al unui monom.
6. Pentru a scrie un monom în forma standard, necesar: 1) Înmulțiți factorii numerici și puneți produsul lor pe primul loc; 2) Înmulțiți puteri cu aceleași baze și plasați produsul rezultat după factorul numeric.
7. Un polinom este numit suma algebrică a mai multor monomii.
8. Pentru a înmulți un monom cu un polinom, Trebuie să înmulțiți monomul cu fiecare termen al polinomului și să adăugați produsele rezultate.
9. Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, Este necesar să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al altui polinom și să adăugați produsele rezultate.
10. Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una.
11. Două linii drepte sau au doar una punct comun, sau nu au puncte comune.
12. Două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi combinate prin suprapunere.
13. Punctul de pe un segment care îl împarte în jumătate, adică în două segmente egale, se numește punctul de mijloc al segmentului.
14. O rază care emană de la vârful unui unghi și o împarte în două unghiuri egale, se numește bisectoarea unghiului.
15. Unghiul de rotire este de 180°.
16. Un unghi se numește drept dacă este egal cu 90°.
17. Un unghi se numește acut dacă este mai mic de 90°, adică mai mic decât un unghi drept.
18. Un unghi se numește obtuz dacă este mai mare de 90°, dar mai mic de 180°, adică mai mult decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept.
19. Două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două sunt continuare unul celuilalt, sunt numite adiacente.
20. Suma unghiurilor adiacente este de 180°.
21. Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt.
22. Unghiurile verticale sunt egale.
23. Două drepte care se intersectează sunt numite perpendiculare (sau reciproce
perpendiculare) dacă formează patru unghiuri drepte.
24. Două drepte perpendiculare pe o treime nu se intersectează.
25. Factorizați polinomul- înseamnă a-l reprezenta ca produs al mai multor monoame și polinoame.
26. Metode de factorizare a unui polinom:
a) scoaterea dintre paranteze factorul comun,
b) utilizarea formulelor de înmulțire abreviate,
c) metoda de grupare.
27. Pentru a factoriza un polinom prin scoaterea din paranteze a factorului comun, aveți nevoie:
a) găsiți acest factor comun,
b) scoateți-l din paranteze,
c) împărțiți fiecare termen al polinomului cu acest factor și adăugați rezultatele rezultate.
Semne de egalitate a triunghiurilor
1) Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
2) Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
3) Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.
Minimum educațional
1. Factorizarea folosind formule de înmulțire prescurtate:
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)
a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2)
2. Formule de înmulțire prescurtate:
(a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
(a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3
3. Segmentul care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se numește median triunghi.
4. Se numește perpendiculara trasată de la vârful unui triunghi pe linia care conține latura opusă înălţime triunghi.
5. ÎN triunghi isoscel unghiurile de la baza sunt egale.
6. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și altitudinea.
7. Circumferința numit figură geometrică, constând din toate punctele planului situate la o distanță dată de un punct dat.
8. Se numește un segment care leagă centrul cu orice punct al cercului rază cerc .
9. Se numește un segment care leagă două puncte dintr-un cerc coardă.
O coardă care trece prin centrul unui cerc se numește diametru
10. Proporționalitate directă y = kx , Unde X - variabila independenta, La – un număr diferit de zero ( La – coeficient de proporţionalitate).
11. Graficul proporționalității directe este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor.
12. Funcția liniară este o funcție care poate fi dată prin formula y = kx + b , Unde X - variabila independenta, La Şi b - unele numere.
13. Graficul unei funcții liniare- aceasta este o linie dreaptă.
14 X – argumentul funcției (variabilă independentă)
la – valoarea funcției (variabilă dependentă)
15. La b=0 funcția ia forma y=kx, graficul său trece prin origine.
La k=0 funcția ia forma y=b, graficul său este o linie orizontală care trece prin punctul ( 0;b).
Corespondența dintre graficele unei funcții liniare și semnele coeficienților k și b
1. Două drepte dintr-un plan se numesc paralel, dacă nu se intersectează.
O funcție liniară este o funcție de forma y = kx + b, definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Aici k este panta (numărul real), b este intercepta (numărul real), x este variabila independentă.
În cazul particular, dacă k = 0, obținem o funcție constantă y = b, al cărei grafic este o dreaptă paralelă cu axa Ox care trece prin punctul cu coordonatele (0; b).
Dacă b = 0, atunci obținem funcția y = kx, care este proporționalitate directă.
Sensul geometric al coeficientului b este lungimea segmentului pe care linia dreaptă o taie de-a lungul axei Oy, numărând de la origine.
Sensul geometric al coeficientului k este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox, calculat în sens invers acelor de ceasornic.
Proprietățile unei funcții liniare:
1) Domeniul de definire al unei funcții liniare este întreaga axă reală;
2) Dacă k ≠ 0, atunci domeniul de valori al funcției liniare este întreaga axă reală. Dacă k = 0, atunci domeniul de valori al funcției liniare constă din numărul b;
3) Egalitatea și imparitatea unei funcții liniare depind de valorile coeficienților k și b.
a) b ≠ 0, k = 0, prin urmare, y = b - par;
b) b = 0, k ≠ 0, deci y = kx - impar;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, prin urmare y = kx + b este o funcție de formă generală;
d) b = 0, k = 0, prin urmare y = 0 este atât o funcție pară, cât și o funcție impară.
4) O funcție liniară nu are proprietatea de periodicitate;
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, prin urmare (-b/k; 0) este punctul de intersecție cu axa absciselor.
Oy: y = 0k + b = b, prin urmare (0; b) este punctul de intersecție cu ordonata.
Notă: Dacă b = 0 și k = 0, atunci funcția y = 0 dispare pentru orice valoare a variabilei x. Dacă b ≠ 0 și k = 0, atunci funcția y = b nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x.
6) Intervalele de constanță ale semnului depind de coeficientul k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b - pozitiv la x din (-b/k; +∞),
y = kx + b - negativ pentru x din (-∞; -b/k).
b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - pozitiv la x din (-∞; -b/k),
y = kx + b - negativ pentru x din (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b este pozitiv în întregul domeniu de definiție,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Intervalele de monotonitate ale unei funcţii liniare depind de coeficientul k.
k > 0, prin urmare y = kx + b crește pe întregul domeniu de definiție,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Graficul unei funcții liniare este o dreaptă. Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoști două puncte. Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de valorile coeficienților k și b. Mai jos este un tabel care ilustrează clar acest lucru, Figura 1. (Fig. 1)
Exemplu: Luați în considerare următoarea funcție liniară: y = 5x - 3.
3) Funcția generală;
4) Neperiodică;
5) Puncte de intersecție cu axele de coordonate:
Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, prin urmare (3/5; 0) este punctul de intersecție cu axa x.
Oy: y = -3, prin urmare (0; -3) este punctul de intersecție cu ordonata;
6) y = 5x - 3 - pozitiv pentru x din (3/5; +∞),
y = 5x - 3 - negativ la x din (-∞; 3/5);
7) y = 5x - 3 crește în întregul domeniu de definiție;
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
„Desene pentru diapozitive” - Curs opțional „World of Multimedia Technologies”. Desene pe diapozitive. C) puteți transfera desenul prinzând mijlocul cu mouse-ul. Inserarea imaginilor pe un diapozitiv. Municipal institutie de invatamant medie școală gimnazială Nr. 5. 95% din informații sunt percepute de o persoană prin organele de vedere...
„Funcțiile și graficele lor” - 3. Funcția tangentă. Trigonometric. Funcția este definită și continuă pe întregul set de numere reale. Definiţie: Funcția numerică dat de formula y = cos x se numește cosinus. 4.Funcția cotangentă. În punctul x = a funcția poate exista sau nu. Definiție 1. Fie definită funcția y = f(x) pe un interval.
„Funcțiile mai multor variabile” - Cel mai mare și cea mai mică valoare funcții. teorema lui Weierstrass. Puncte interne și de limită. Limita unei funcții de 2 variabile. Graficul funcției. Teorema. Continuitate. Suprafață limitată. Zone deschise și închise. Derivate de ordin superior. Derivate parțiale. Creșteri parțiale ale unei funcții de 2 variabile.
„Desene 3D pe asfalt” - Kurt a început să creeze primele lucrări la vârsta de 16 ani în Santa Barbara, unde a devenit dependent de arta stradală. Desene 3d pe asfalt. Kurt Wenner este unul dintre cei mai faimoși artiști stradali care desenează desene 3D pe asfalt folosind creioane obișnuite. STATELE UNITE ALE AMERICII. În tânăr, Kurt Wenner a lucrat ca ilustrator pentru NASA, unde a creat imagini inițiale ale viitoarei nave spațiale.
„Funcția subiectului” - Dacă elevii lucrează diferit, atunci profesorul ar trebui să lucreze cu ei diferit. Este necesar să se afle nu ceea ce elevul nu știe, ci ceea ce știe. Generalizare. Sinteză. Rezultatele examenului de stat unificatîn matematică. Program de curs optional. Asociere. Plan educațional și tematic (24 de ore). Analogie. Dacă un elev îl depășește pe un profesor, aceasta este fericirea profesorului.
Proprietăți și sarcini grafice funcţie pătratică cauza, după cum arată practica, dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece ei studiază funcția pătratică în clasa a 8-a, iar apoi pe parcursul primului trimestru al clasei a IX-a „chinuiază” proprietățile parabolei și își construiesc grafice pentru diferiți parametri.
Acest lucru se datorează faptului că atunci când îi forțează pe elevi să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după construirea unei duzini sau două grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspect grafică. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare, este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o posedă. Între timp, Inspectoratul de Stat propune să se determine semnele coeficienților folosind graficul.
Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.
Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c numit pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2. Adică O nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bŞi Cu) poate fi egal cu zero.
Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.
Cea mai simplă dependență pentru coeficient O. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă O> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă O < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой O > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
În acest caz O = 0,5
Și acum pentru O < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
În acest caz O = - 0,5
Impactul coeficientului Cu De asemenea, este destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:
y = o 0 2 + b 0 + c = c. Se dovedește că y = c. Adică Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Adică Cu> 0 sau Cu < 0.
Cu > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Cu < 0
y = x 2 + 4x - 3
În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:
y = x 2 + 4x
Mai dificil cu parametrul b. Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din O. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în = - b/(2a). Astfel, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: găsim vârful parabolei pe grafic, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.
Cu toate acestea, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului O. Adică, uită-te la locul în care sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.
Să ne uităm la un exemplu:
Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă O> 0, parabola intersectează axa la sub zero, adică Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: O > 0, b < 0, Cu < 0.
