Să luăm în considerare rezolvarea ecuaţiilor cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.
Gradul ecuației P(x) = 0 este gradul polinomului P(x), adică. cea mai mare dintre puterile termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.
Deci, de exemplu, ecuația (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 are gradul al cincilea, deoarece in urma operatiilor de deschidere a parantezelor si aducere a unora asemanatoare obtinem ecuatia echivalenta x 5 – 2x 3 + 3 = 0 de gradul al cincilea.
Să ne amintim regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare decât doi.
Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:
1. Polinom al n-lea grade are un număr de rădăcini care nu depășește n, iar rădăcinile de multiplicitate m apar exact de m ori.
2. Polinom grad impar are cel puțin o rădăcină reală.
3. Dacă α este rădăcina lui P(x), atunci P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), unde Q n – 1 (x) este un polinom de grad (n – 1) .
4.
5. Polinomul redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.
6. Pentru un polinom de gradul trei
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d este posibil unul din două lucruri: fie este descompus în produsul a trei binoame
Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), sau se descompune în produsul unui binom și trinom pătratic P 3 (x) = a(x – α)(x 2 + βx + γ).
7. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi extins în produsul a două trinoame pătrate.
8. Un polinom f(x) este divizibil cu un polinom g(x) fără rest dacă există un polinom q(x) astfel încât f(x) = g(x) · q(x). Pentru a împărți polinoamele, se folosește regula „divizării colțurilor”.
9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu un binom (x – c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcina lui P(x) (Corolarul teoremei lui Bezout).
10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcini reale ale polinomului
P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:
x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n – 1 x n = a 2 /a 0,
x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,
x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .
Rezolvarea exemplelor
Exemplul 1.
Aflați restul diviziunii P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 prin (x – 1/3).
Soluţie.
Prin corolar teoremei lui Bezout: „Rămânul unui polinom împărțit la un binom (x – c) este egal cu valoarea polinomului lui c.” Să găsim P(1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.
Răspuns: R = 0.
Exemplul 2.
Împărțiți cu un „colț” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet. 
Soluţie:
2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2
2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 – x.
Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor grade superioare
1. Introducerea unei noi variabile
Metoda de introducere a unei noi variabile este deja familiară din exemplu ecuații biquadratice. Constă în faptul că pentru rezolvarea ecuației f(x) = 0 se introduce o nouă variabilă (substituție) t = x n sau t = g(x) și se exprimă f(x) prin t, obținându-se o nouă ecuație r (t). Apoi rezolvând ecuația r(t), se găsesc rădăcinile:
(t 1, t 2, …, t n). După aceasta se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.
Exemplul 1.
(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.
Soluţie:
(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Substituție inversă:
x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;
Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, din a doua: 0 și -1.
2. Factorizarea prin grupare și formule de înmulțire prescurtate
Urzeală această metodă De asemenea, nu este nou și constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori este necesar să folosiți câteva tehnici artificiale.
Exemplul 1.
x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.
Soluţie.
Să ne imaginăm - 3x 2 = -2x 2 – x 2 și grupați:
(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.
(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.
(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.
(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.
x 2 – x + 1 = 0 sau x 2 + x – 3 = 0.
Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedeterminați
Esența metodei este că polinomul original este factorizat cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoamele sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali grade egale, găsiți coeficienți de expansiune necunoscuți.
Exemplul 1.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Soluţie.
Un polinom de gradul 3 poate fi extins în produsul factorilor liniari și pătratici.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.
După ce am rezolvat sistemul:
(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,
(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, adică
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).
Rădăcinile ecuației (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.
Răspuns: -1; -2.
4. Metoda de selectare a unei rădăcini folosind coeficientul cel mai mare și liber
Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:
1) Fiecare rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.
2) Pentru ca fracția ireductibilă p/q (p - întreg, q - natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0, iar q - un divizor natural al coeficientului principal.
Exemplul 1.
6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.
Soluţie:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Prin urmare, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
După ce am găsit o rădăcină, de exemplu – 2, vom găsi alte rădăcini folosind diviziunea colțului, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.
Răspuns: -2; 1/2; 1/3.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
În secolul al XVI-lea, matematicienii au dat peste numere complexe aproape întâmplător (vezi capitolul 11). LA secolul al XVIII-lea numerele complexe au fost considerate o extensie a regiunii numere reale, dar lucrul cu ele a condus totuși la o eroare de paritate, așa cum în marea lucrare a lui Leonard E. despre teoria numerelor, Arithmetical Investigations (1801), a evitat utilizarea așa-numitelor „numere imaginare”. Mi se pare că cea mai importantă parte a acestei lucrări este prima demonstrație a teoremei fundamentale a algebrei. Gauss și-a dat seama cât de importantă era această teoremă, producând câteva dovezi suplimentare în anii următori. În 1849, a reelaborat prima versiune, de data aceasta folosind numere complexe. Profitând în termeni moderni, putem spune că pentru orice ecuație polinomială finită cu coeficienți reali sau complexi, toate rădăcinile sale vor fi numere reale sau complexe. Astfel, obținem un răspuns negativ la întrebarea de lungă durată dacă soluția ecuațiilor polinomiale necesită ordin înalt creând numere de ordin mai mare decât cele complexe.
Una dintre cele mai spinoase probleme din algebra din acea vreme a fost întrebarea dacă polinomul de ordinul al cincilea, quintica, putea fi rezolvat prin metode algebrice, adică folosind un număr finit de pași algebrici. În zilele noastre, la școală se predau formula de rezolvare a ecuațiilor pătratice, iar din secolul al XVI-lea se cunosc metode similare pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea (Capitolul 11). Dar nu a fost găsită o singură metodă pentru chintice. Teorema fundamentală a algebrei poate părea că susține perspectiva unui răspuns pozitiv, dar de fapt garantează pur și simplu că există soluții, nu spune nimic despre existența formulelor care dau soluții exacte (aproximativ numeric și metode grafice). Și apoi au apărut două genii matematice cu o soartă tragică.
Nils Henrik Abel (1802–1829) s-a născut într-o familie numeroasă și săracă care trăia într-un mic sat din Norvegia, o țară devastată de ani lungi de război cu Anglia și Suedia. Profesorul, care a fost amabil cu băiatul, i-a dat lecții particulare, dar după moartea tatălui său, la vârsta de optsprezece ani, în ciuda vârstei sale fragede și a sănătății fragile, Abel a fost nevoit să-și întrețină familia. În 1824, a publicat un articol științific în care afirma că quintica nu este rezolvabilă prin mijloace algebrice, așa cum este, într-adevăr, orice polinom de ordin superior. Abel credea că acest articol îi va servi drept bilet către lumea științifică și l-a trimis lui Gauss de la Universitatea din Göttingen. Din păcate, Gauss nu a apucat niciodată să taie paginile cu un cuțit (orice cititor trebuia să facă asta în acele zile) și nu a citit articolul. În 1826, guvernul norvegian a oferit în cele din urmă fonduri pentru ca Abel să călătorească prin Europa. De teamă că comunicarea personală cu Gauss nu i-ar aduce prea multă bucurie, matematicianul a decis să nu viziteze Göttingen și a plecat în schimb la Berlin. Acolo s-a împrietenit cu August Leopold Krelle (1780–1855), un matematician, arhitect și inginer care a consiliat Ministerul Prusac al Educației în probleme de matematică. Krell intenționa să înființeze Journal of Pure and Applied Mathematics. Așa că Abel a avut ocazia să-și disemineze opera și a publicat mult, mai ales în primele numere ale Revistei, care a început imediat să fie considerată o publicație științifică foarte prestigioasă și cu autoritate. Norvegianul a publicat acolo o versiune extinsă a dovezii sale că quintica este indecidabilă prin metode algebrice. Și apoi a plecat la Paris. Această călătorie l-a supărat foarte mult pe Abel, pentru că practic nu a primit sprijinul de care avea nevoie de la matematicienii francezi. El a devenit apropiat de Augustin Louis Cauchy (1789–1857), care era lumina principală la acea vreme. analiză matematică, dar avea un caracter foarte complex. După cum a spus însuși Abel, „Cauchy este nebun și nu se poate face nimic în privința asta, deși în prezent el este singurul care este capabil de orice în matematică”. Dacă încercăm să justificăm manifestările de lipsă de respect și neglijare care emană de la Gauss și Cauchy, putem spune că quintica a obținut o anumită faimă și a atras atenția atât a matematicienilor respectați, cât și a originaliștilor. Abel s-a întors în Norvegia, unde a suferit din ce în ce mai mult de tuberculoză. El a continuat să-și trimită lucrarea la Crelle, dar a murit în 1829, fără să știe cât de mult se consolidase reputația sa în lumea științifică. La două zile după moartea sa, Abel a primit o ofertă de a ocupa un post științific la Berlin.
Abel a arătat că orice polinom de peste ordinul al patrulea nu poate fi rezolvat folosind radicali precum rădăcini pătrate, rădăcini cubice sau de ordin superior. Cu toate acestea, condițiile explicite în care aceste polinoame puteau fi rezolvate în cazuri speciale și metoda de rezolvare a acestora au fost formulate de Galois. Évariste Galois (1811–1832) a trăit o viață scurtă și plină de evenimente. Era un matematician incredibil de talentat. Galois era neiertător față de cei pe care îi considera mai puțin talentați decât el și, în același timp, ura nedreptatea socială. Nu a arătat nicio aptitudine pentru matematică până când a citit Elementele de geometrie a lui Legendre (publicată în 1794, această carte a fost principalul manual pentru următoarele sute de ani). Apoi a devorat literalmente restul lucrărilor lui Legendre și, mai târziu, Abel. Entuziasmul, încrederea în sine și intoleranța lui au dus la consecințe cu adevărat teribile în relațiile sale cu profesorii și examinatorii. Galois a participat la un concurs de admitere la scoala politehnica- leagănul matematicii franceze, dar a picat examenul din lipsă de pregătire. De ceva vreme, după ce a întâlnit un nou profesor care i-a recunoscut talentul, a reușit să-și țină temperamentul sub control. În martie 1829, Galois a publicat prima sa lucrare despre fracțiile continue, pe care o considera cea mai semnificativă lucrare. A trimis un mesaj despre descoperirile sale Academiei de Științe, iar Cauchy a promis că le va prezenta, dar a uitat. Mai mult, pur și simplu a pierdut manuscrisul.
Al doilea eșec al lui Galois de a intra la École Polytechnique a devenit parte a folclorului matematic. Era atât de obișnuit să țină în mod constant idei matematice complexe în cap, încât a fost înfuriat de sâcâiala meschină a examinatorilor. Întrucât examinatorii au avut dificultăți în înțelegerea explicațiilor sale, el a aruncat în față o cârpă ștersă uscată de pe tablă către unul dintre ei. La scurt timp după aceasta, tatăl său a murit, sinucidendu-se ca urmare a intrigilor bisericești. O revoltă a izbucnit practic la înmormântarea lui. În februarie 1830, Galois a scris următoarele trei lucrări, trimițându-le la Academia de Științe pentru Marele Premiu la Matematică. Joseph Fourier, la acea vreme fost secretar Academia, a murit fără să le citească, iar după moartea sa articolele nu s-au găsit printre lucrările sale. Un asemenea torent de dezamăgire ar fi copleșit pe oricine. Galois s-a răzvrătit împotriva celor de la putere pentru că a simțit că nu-i recunosc meritele și i-au distrus tatăl. S-a cufundat cu capul în cap în politică, devenind un republican înflăcărat - nu cea mai înțeleaptă decizie din Franța în 1830. Într-o ultimă încercare, el a trimis o lucrare științifică celebrului fizician și matematician francez Simeon Denis Poisson (1781–1840), care a răspuns cerând dovezi suplimentare.
Acesta a fost ultimul pahar. În 1831, Galois a fost arestat de două ori - mai întâi pentru că ar fi cerut asasinarea regelui Ludovic Filip, iar apoi pentru a-l proteja - autoritățile s-au temut de o rebeliune republicană! De data aceasta a fost condamnat la șase luni de închisoare sub acuzația falsă de purtare ilegală a uniformă a batalionului de artilerie desființat la care se alăturase. Eliberat condiționat, a preluat o sarcină care l-a dezgustat la fel de mult ca orice altceva în viață. În scrisorile sale către prietenul său devotat, Chevalier, se simte dezamăgirea lui. La 29 mai 1832, a acceptat o provocare la duel, motivele pentru care nu sunt pe deplin înțelese. „Am căzut victima unei cochete necinstite. Viața mea s-a stins într-o ceartă mizerabilă”, scrie el în „Scrisoare către toți republicanii”. Cea mai faimoasă lucrare a lui Galois a fost schițată cu o noapte înainte de duelul fatal. În margine sunt împrăștiate plângeri: „Nu mai am timp, nu mai am timp”. A fost nevoit să lase în seama altora prezentarea detaliată a pașilor intermediari care nu erau esențiali pentru înțelegerea ideii principale. Trebuia să pună pe hârtie baza descoperirilor sale - originile a ceea ce se numește acum teorema lui Galois. El și-a încheiat testamentul cerându-i lui Chevalier „să apeleze la Jacobi și Gauss să-și dea opinia publică, nu în ceea ce privește corectitudinea, ci importanța acestor teoreme”. Dis de dimineață, Galois a mers să-și întâlnească rivalul. Au fost nevoiți să tragă de la o distanță de 25 de pași. Galois a fost rănit și a murit la spital a doua zi dimineață. Avea doar douăzeci de ani.
Galois a construit pe lucrarea lui Lagrange și Cauchy, dar a dezvoltat o metodă mai generală. Aceasta a fost o realizare extrem de importantă în domeniul rezolvării chinticelor. Omul de știință a acordat mai puțină atenție ecuațiilor originale sau interpretării grafice și s-a gândit mai mult la natura rădăcinilor înseși. Pentru a simplifica, Galois a luat în considerare doar așa-numitele chintice ireductibile, adică cele care nu puteau fi factorizate sub formă de polinoame de ordin inferior (cum am spus, pentru orice ecuație polinomială de până la ordinul al patrulea există formule pentru găsirea lor). rădăcini). În general, un polinom ireductibil cu coeficienți raționali este un polinom care nu poate fi descompus în polinoame mai simple având coeficienți raționali. De exemplu, (x 5 - 1) poate fi factorizat (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1),în timp ce (x 5 - 2) Ireductibil. Scopul lui Galois a fost de a determina condițiile în care toate soluțiile unei ecuații polinomiale ireductibile generale pot fi găsite în termeni de radicali.
Cheia soluției este că rădăcinile oricărei ecuații algebrice ireductibile nu sunt independente, ele pot fi exprimate una prin alta. Aceste relații au fost formalizate într-un grup de toate permutările posibile, așa-numitul grup de simetrie a rădăcinii - pentru o chintică, acest grup conține 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemente. Algoritmii matematici ai teoriei Galois sunt foarte complexi și, cel mai probabil, parțial ca urmare a acestui fapt, au fost inițial greu de înțeles. Dar după ce nivelul de abstractizare ne-a permis să trecem de la soluții algebrice ecuații la structura algebrică a grupurilor lor asociate, Galois a fost capabil să prezică solvabilitatea ecuației pe baza proprietăților unor astfel de grupuri. Mai mult decât atât, teoria sa a oferit și o metodă prin care aceste rădăcini ar putea fi găsite. Cât despre chintice, matematicianul Joseph Liouville (1809–1882), care în 1846 a publicat cea mai mare parte a lucrării lui Galois în Journal of Pure and Applied Mathematics, a remarcat că tânărul om de știință a dovedit o „teoremă frumoasă” și pentru a „să Dacă o ecuație ireductibilă a gradului inițial este rezolvabilă în termeni de radicali, este necesar și suficient ca toate rădăcinile ei să fie funcții raționale ale oricăror două dintre ele.” Deoarece acest lucru este imposibil pentru o chintică, nu poate fi rezolvat folosind radicali.
În trei ani, lumea matematică a pierdut două dintre cele mai strălucitoare stele ale sale. Au urmat acuzații reciproce și cercetarea sufletească, iar Abel și Galois au obținut recunoașterea binemeritată, dar numai postum. În 1829, Carl Jacobi, prin Legendre, a aflat despre manuscrisul „pierdut” al lui Abel, iar în 1830 a izbucnit un scandal diplomatic când consulul norvegian la Paris a cerut să fie găsit articolul compatriotului său. Cauchy a găsit în cele din urmă articolul, doar ca să-l piardă din nou de editorii academiei! În același an, Abel a primit Marele Premiu la Matematică (împărtășit cu Jacobi) - dar era deja mort. În 1841, a fost publicată biografia lui. În 1846, Liouville a editat unele dintre manuscrisele lui Galois pentru publicare și, în introducere, și-a exprimat regretul că academia a respins inițial lucrarea lui Galois din cauza complexității sale - „claritatea prezentării este într-adevăr necesară atunci când autorul conduce cititorul de pe drumurile bătute în sălbatici neexplorate. teritorii”. El continuă: „Galois nu mai este! Să nu cădem în critici inutile. Să lăsăm deoparte neajunsurile și să ne uităm la avantaje! Fructe viata scurta Galois se încadrează în doar șaizeci de pagini. Editorul unui jurnal de matematică pentru candidații la École Normale și École Polytechnique a comentat cazul Galois după cum urmează: „Un candidat cu inteligență înaltă a fost eliminat de un examinator cu un nivel de gândire mai scăzut. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."
În primul rând, a doua pagină a acestei lucrări nu este împovărată cu nume, prenume, descrieri ale statutului social, titluri și elegii în cinstea unui prinț zgârcit, al cărui portofel va fi deschis cu ajutorul acestor tămâie - cu amenințarea de a se închide. atunci când laudele se termină. Nu veți vedea aici elogii reverente, scrise cu litere de trei ori mai mari decât textul în sine, adresate celor cu poziție înaltă în știință, unui patron înțelept - ceva obligatoriu (aș spune inevitabil) pentru cineva la douăzeci de ani care vrea. a scrie ceva. Nu spun nimănui de aici că îi datorez sfaturile și sprijinul pentru tot binele care iese din munca mea. Nu spun asta pentru că ar fi o minciună. Dacă ar fi să menționez pe vreunul dintre cei mari din societate sau din știință (diferența dintre aceste două clase de oameni este aproape imperceptibilă în prezent), jur că nu ar fi un semn de recunoștință. Lor le datorez că am publicat atât de târziu primul dintre aceste două articole și că toate acestea le-am scris în închisoare - un loc care cu greu poate fi considerat potrivit pentru reflecția științifică și sunt adesea uimit de reținerea și capacitatea mea de a păstra gura mea inchisa in raport cu zoile prosti si malefice. Cred că pot folosi cuvântul „zoiles” fără teama de a fi acuzat de improprietate, deoarece așa îi numesc adversarii. Nu am de gând să scriu aici despre cum și de ce am fost trimis la închisoare, dar trebuie să spun că manuscrisele mele de cele mai multe ori pur și simplu s-au pierdut în dosarele domnilor membri ai academiei, deși, de fapt, nu îmi pot imagina așa ceva. indiscreția din partea oamenilor care sunt responsabili de moartea lui Abel. După părerea mea, oricine ar dori să fie comparat cu acest genial matematician. Este suficient să spun că articolul meu despre teoria ecuațiilor a fost trimis Academiei de Științe în februarie 1830, că extrase din acesta au fost trimise în februarie 1829, dar nimic din acestea nu a fost tipărit și chiar manuscrisul s-a dovedit a fi imposibil de reveni.
Galois, prefață inedită, 1832Judecând după începutul publicației, pe care îl vom omite aici, textul a fost scris de Iuri Ignatievici. Și este bine scris, iar problemele sunt de actualitate, dar numiți Rusia așa, așa cum face Mukhin...
Indiferent de ce simte cineva despre puterea anti-popor, Rusia este deasupra ei și nu merită insulte. Chiar și de la talentatul exponator de minciuni de la agenția americană NASA.
*
Apel la tovarăș Mukhina Yu.I.
Dragă Iuri Ignatievici!Știu că vizitezi aceste pagini. Prin urmare, vă adresez direct.
Cu toții apreciem munca voastră dezinteresată în domeniul dezvăluirii minciunilor Occidentului, minciunilor Americii, minciunilor pseudo-savanților, minciunilor liberalilor. Cu plăcere și beneficiu pentru noi și societate ne gândim la subiectele serioase pe care ni le aruncați din când în când, fie că este meritocrație sau metafizică, dragoste pentru istoria nationala sau restabilirea justiției.
Cu toate acestea, definițiile tale despre Patria noastră comună sunt încurcate și foarte supărătoare.
Cu toate acestea, judecă singur: cum ai caracteriza o persoană care a început să-și insulte mama, care era bolnavă și, ca urmare, a încetat temporar să lucreze?
Dar Rusia, indiferent cum se numește și oricât de bun sau dezgustător ar fi guvernul, Rusia este Patria noastră. Patrie. Pentru ea, bunicii noștri au vărsat sânge și și-au dat viața.
Prin urmare, a-l pune la egalitate cu puterea înseamnă coborârea sublimului spiritual la nivelul materialului, și chiar la nivelul inferior. Aceste. comparați categorii complet diferite. Un lucru inacceptabil pentru orice persoană sănătoasă.
Te întreb, dragă tovarășă. Mukhin, gândește-te serios la asta.
**
...Și cu ecuații (nu știam asta) situația este așa. Cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice a fost descoperit în Egiptul antic. Cum să găsești rădăcini ecuația cubică iar ecuațiile de gradul al patrulea au fost găsite în secolul al XVI-lea, dar nu au putut găsi rădăcinile ecuației de gradul al cincilea până în 2016. Și nu doar oamenii obișnuiți au încercat.
În secolul al XVI-lea, fondatorul algebrei simbolice, Francois Viète, a încercat să găsească rădăcinile ecuațiilor de gradul al cincilea, în secolul al XIX-lea, fondatorul algebrei superioare moderne, matematicianul francez Evariste Galois, a încercat să găsească rădăcinile lui; ecuații de gradul al cincilea după el, matematicianul norvegian Niels Henrik Abel a încercat să găsească rădăcinile ecuațiilor de gradul cinci, care, în cele din urmă, a renunțat și a demonstrat imposibilitatea rezolvării unei ecuații de gradul cinci; vedere generală.
Citim pe Wikipedia despre meritele lui Abel: „Abel a finalizat un studiu strălucit al unei probleme străvechi:a dovedit imposibilitatea rezolvarii in forma generala (in radicali) a unei ecuatii de gradul 5...
În algebră, Abel a găsit conditie necesara pentru ca rădăcina ecuației să fie exprimată „în radicali” prin coeficienții acestei ecuații. Condiția suficientă a fost descoperită curând de Galois, ale cărui realizări s-au bazat pe opera lui Abel.
a adus Abel exemple concrete ecuații de gradul 5, ale căror rădăcini nu pot fi exprimate în radicali și, prin urmare, au închis în mare măsură problema antică.”
După cum puteți vedea, dacă au încercat să demonstreze teorema Poincaré tot timpul și Perelman s-a dovedit a avea mai mult succes decât alți matematicieni, atunci după Abel, matematicienii nu au preluat ecuațiile de gradul cinci.
Și în 2014 matematician din Tomsk Serghei Zaikov, despre care se poate judeca din fotografie că este deja de ani de zile, și din informațiile din articolul despre el că este absolvent al Facultății de Matematică Aplicată și Cibernetică din Tomsk universitate de stat, în cursul lucrării sale a obținut ecuații de gradul al cincilea. fundătură? Da, este o fundătură! Dar Serghei Zaikov s-a angajat să o rupă.
Și în 2016, a găsit modalități de a rezolva ecuațiile de gradul cinci în formă generală! A făcut ceea ce matematicienii Galois și Abel au dovedit imposibil.
Am încercat să găsesc informații despre Serghei Zaikov pe Wikipedia, dar la naiba cu tine! Despre matematicianul Serghei Zaikov și despre cum a găsit soluții la ecuațiile de gradul al cincilea nicio informatie!
Ceea ce adaugă un aspect picant problemei este că pentru matematicieni există un analog Premiul Nobel -Premiul Abel(Nobel a interzis să dea premii matematicienilor și acum le dau pentru excremente matematice, numindu-le „fizică”).
Acest premiu de matematică este în onoarea aceluiași Abel care a dovedit imposibilitatea a ceea ce a făcut Zaikov. Cu toate acestea, autonominalizarea pentru acest premiu nu este permisă. Dar Zaikov este un matematician singur și nu există organizații care l-ar putea nominaliza pentru acest premiu.
Adevărat, avem o Academie de Științe, dar academicienii stau acolo nu pentru a dezvolta matematica, ci pentru a „face bani”. Cine are nevoie de acest Zaikov acolo?
Ei bine, pentru agențiile de presă, Zaikov nu este Perelman! Prin urmare, descoperirea lui Zaikov pentru mass-media nu este o senzație.
Da, Poroșenko a greșit ușa! Aceasta este o adevărată senzație!
Matematicianul din Tomsk a rezolvat o problemă care nu a putut fi rezolvată timp de două sute de ani
Odată cu apariția algebrei, sarcina sa principală a fost considerată a fi rezolvarea ecuațiilor algebrice. Soluția unei ecuații de gradul doi era cunoscută în Babilon și Egiptul antic. Trecem prin astfel de ecuații la școală. Vă amintiți ecuația x2 + ax + b = 0 și discriminantul?
Serghei Zaikov cu o carte
Soluția ecuațiilor algebrice de gradul al treilea și al patrulea a fost găsită în secolul al XVI-lea. Dar nu a fost posibil să se rezolve ecuația de gradul cinci. Lagrange a găsit motivul. El a arătat că soluția ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea a devenit posibilă deoarece acestea puteau fi reduse la ecuații care fuseseră deja rezolvate. O ecuație de gradul al treilea poate fi redusă la o ecuație de gradul al doilea, iar o ecuație de gradul al patrulea poate fi redusă la o ecuație de gradul al treilea. Dar o ecuație de gradul cinci se reduce la o ecuație de gradul șase, adică mai complexă, astfel încât metodele tradiționale de soluție nu sunt aplicabile.
Problema rezolvării unei ecuații de gradul al cincilea a avansat cu doar două sute de ani în urmă, când Abel a demonstrat că nu toate ecuațiile de gradul al cincilea pot fi rezolvate în radicali, adică în pătrat, cub și alte rădăcini cunoscute de la școală. . Și Galois în curând, adică acum două sute de ani, a găsit un criteriu care permite să se determine care ecuații de gradul cinci pot fi rezolvate în radicali și care nu. Constă în faptul că grupul Galois solubil în radicali ai unei ecuații de gradul cinci trebuie să fie ciclic sau metaciclic. Dar Galois nu a găsit o modalitate de a rezolva în radicali acele ecuații de gradul cinci care sunt rezolvabile în radicali. Teoria Galois este foarte faimoasă, s-au scris multe cărți despre ea.
Până acum, s-au găsit doar soluții parțiale pentru ecuațiile de gradul al cincilea rezolvabile prin radicali. Și numai anul acesta, matematicianul din Tomsk Serghei Zaikov a rezolvat o problemă care nu a putut fi rezolvată timp de două sute de ani. A publicat cartea „Cum decid radicalii ecuații algebrice al cincilea grad”, în care a indicat o metodă de rezolvare a oricăror ecuații de gradul al cincilea care sunt rezolvabile în radicali. Zaikov este absolvent al Facultății de Matematică Aplicată și Cibernetică a Universității de Stat din Tomsk. Am reușit să-i luăm un interviu.
— Serghei, de ce ai început să rezolvi această problemă?
— Aveam nevoie de o soluție la o ecuație de gradul cinci pentru a rezolva o problemă dintr-o altă ramură a matematicii. Am început să-mi dau seama cum să o găsesc și am învățat că nu toate sunt rezolvate în radicali. Apoi am încercat să găsesc în literatura stiintifica o modalitate de a rezolva acele ecuații care sunt rezolvabile în radicali, dar a găsit doar un criteriu prin care se poate determina care sunt rezolvabile și care nu. Nu sunt algebrist, dar, bineînțeles, ca absolvent al FPMK, pot aplica și metode algebrice. Prin urmare, în 2014, am început serios să caut o soluție și am găsit-o și eu.
Metoda am găsit-o acum doi ani, am pregătit o carte în care nu numai că era descrisă, ci și metode de rezolvare a unor ecuații de puteri mai mari de cinci. Dar nu am avut bani să-l public. Anul acesta am decis că va fi mai ușor să public doar o parte din această lucrare și am luat doar jumătate din ea, dedicată unei metode de rezolvare a unei ecuații de gradul cinci la radicali.
Scopul meu este să public ceva ca un manual pentru rezolvarea acestei probleme, ușor de înțeles pentru matematicienii care trebuie să rezolve o anumită ecuație. Prin urmare, am simplificat-o, eliminând multe formule lungi și o parte semnificativă a teoriei, tăind-o la mai mult de jumătate, lăsând doar ceea ce era necesar. Prin urmare, am venit cu ceva de genul unei cărți „pentru manechine”, în care matematicienii care nu sunt familiarizați cu teoria Galois pot rezolva ecuația de care au nevoie.
— Pentru aceasta, multumiri mult lui Vladislav Beresnev, cu care ne cunoastem de multi ani. El a sponsorizat publicarea cărții.
— Este posibil să primiți vreun premiu la matematică pentru rezolvarea acestei probleme? De exemplu, l-ai menționat pe Abel. Dar există un Premiu Abel în matematică, care este considerat analog cu Premiul Nobel?
„Această posibilitate nu poate fi exclusă complet.” Dar nici nu ar trebui să speri.
De exemplu, cererile pentru candidații pentru Premiul Abel 2019 sunt valabile până pe 15 septembrie. Mai mult, autonominalizarea nu este permisă. Și sunt un matematician singuratic. Nu există organizații sau matematicieni celebri care să-mi propună candidatura. Prin urmare, nu va fi luat în considerare indiferent dacă munca mea merită acest premiu și dacă este în spiritul acestui premiu să-l acordăm celor care continuă munca lui Abel. Dar chiar dacă este prezentat, totul depinde și de nivelul de muncă al altor candidați.
Cartea este destinată celor care nu sunt familiarizați cu teoria Galois. Bazele teoriei Galois sunt date numai în partea în care sunt necesare pentru a rezolva ecuația, metoda soluției este descrisă în detaliu și sunt prezentate tehnici care simplifică soluția. O parte semnificativă a cărții este dedicată unui exemplu de rezolvare a unei anumite ecuații. Recenzii cărții includ Dr. stiinte tehnice Ghenadi Petrovici Agibalov și Dr. Phys. mat. Științe, profesorul Pyotr Andreevici Krylov.
PREGĂTIT ANASTASIA SKIRNEVSKAYA
Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.
Produsul unui număr o apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Putere sau ecuații exponențiale – sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam decizia noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să ne uităm la câteva exemple:
Să începem cu ceva simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem să renunțăm la baza și să le echivalăm puterile.
x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreaptă bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Să ne imaginăm 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x – 12*3 x +27= 0
Să convertim:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:
Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:
t 2 - 12t+27 = 0
Primim ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Revenind la variabilă x.
Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Prin urmare,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.
Pe site poti pune intrebari de interes in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.
Alăturați-vă grupului
