Care vă erau familiare într-o măsură sau alta. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.
Definiția 1.
Funcția y = f(x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = f (x).
Definiția 2.
Funcția y = f(x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x).
Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.
Soluţie. Avem: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Dar(-x) 4 = x 4. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f(-x) = f(x), adică. funcția este egală.
În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y - x 2, y = x 6, y - x 8 sunt pare.
Demonstrați că y = x 3 ~ o funcție impară.
Soluţie. Avem: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x), adică. functia este impara.
În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y = x, y = x 5, y = x 7 sunt impare.
Tu și cu mine am fost deja convinși de mai multe ori că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. pot fi explicate cumva. Acesta este cazul atât cu funcțiile pare, cât și cu cele impare. Vezi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - funcții ciudate, în timp ce y = x 2, y = x 4, y = x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y = x" (mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n nu este număr par, atunci funcția y = x" este impară; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este par.
Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y = 2x + 3. Într-adevăr, f(1) = 5 și f (-1) = 1. După cum puteți vedea, aici, așadar, nici identitatea f(-x) = f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).
Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.
Studiul dacă o funcție dată este pară sau impară se numește de obicei studiul parității.
În definițiile 1 și 2 despre care vorbim despre valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului de definire al funcției simultan cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să spunem, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce ; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt asimetrice.
– Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție care este o mulțime simetrică? Cele ciudate?
– Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) – par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Este adevărată afirmația inversă: dacă domeniul de definire al unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
– Aceasta înseamnă că prezența unei mulțimi simetrice a domeniului de definiție este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum să studiez o funcție pentru paritate? Să încercăm să creăm un algoritm.
Slide
Algoritm pentru studierea unei funcții pentru paritate
1. Stabiliți dacă domeniul de definire al funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.
2. Scrie o expresie pentru f(–X).
3. Comparați f(–X).Şi f(X):
- Dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
- Dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
- Dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.
Exemple:
Examinați funcția a) pentru paritate la= x 5 +; b) la= ; V) la= .
Soluţie.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funcție h(x)= x 5 + impar.
b) y =,
la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), o mulțime asimetrică, ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opțiunea 2
1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
O); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție uniformă.
Reprezentați grafic funcția la = f(X), Dacă la = f(X) este o funcție impară.
Verificare reciprocă diapozitiv.
6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;
Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.
***(Atribuirea opțiunii de examinare unificată de stat).
1. Funcția impară y = f(x) este definită pe întreaga dreaptă numerică. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.
7. Rezumând
Dependența unei variabile y de o variabilă x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y, se numește funcție. Pentru desemnare folosiți notația y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.
Aruncă o privire mai atentă asupra proprietății de paritate.
O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:
2. Valoarea funcției în punctul x, aparținând domeniului de definire a funcției, trebuie să fie egală cu valoarea funcției în punctul -x. Adică, pentru orice punct x, următoarea egalitate trebuie satisfăcută din domeniul de definiție al funcției: f(x) = f(-x).
Graficul unei funcții pare
Dacă trasați un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa Oy.
De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.
Să luăm un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.
Figura arată că graficul este simetric față de axa Oy.
Graficul unei funcții impare
O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:
1. Domeniul de definire al unei funcții date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică, dacă un punct a aparține domeniului de definire al funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului definiției a funcţiei date.
2. Pentru orice punct x trebuie îndeplinită următoarea egalitate din domeniul definiției funcției: f(x) = -f(x).
Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea coordonatelor. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.
Să luăm un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.
Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.
