Formulele de adunare sunt folosite pentru a exprima prin sinusurile și cosinusurile unghiurilor a și b, valorile funcțiilor cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b).
Formule de adunare pentru sinusuri și cosinusuri
Teoremă: Pentru orice a și b, următoarea egalitate este adevărată: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Să demonstrăm această teoremă. Luați în considerare următoarea figură:
Pe ea, punctele Ma, M-b, M(a+b) sunt obținute prin rotirea punctului Mo cu unghiurile a, -b și, respectiv, a+b. Din definițiile sinusului și cosinusului, coordonatele acestor puncte vor fi următoarele: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+). b) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = unghiM-bOMa, prin urmare triunghiurile MoOM(a+b) și M-bOMa sunt egale și sunt isoscele. Aceasta înseamnă că bazele MoM(a-b) și M-bMa sunt egale. Prin urmare, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem:
(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) și cos(-a) = cos(a). Să ne transformăm egalitatea ținând cont de aceste formule și de pătratul sumei și diferenței, atunci:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Acum aplicăm identitatea trigonometrică de bază:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Să dăm altele similare și să le reducem cu -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
De asemenea, sunt valabile următoarele formule:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Aceste formule pot fi obținute din cea demonstrată mai sus folosind formule de reducere și înlocuind b cu -b. Există și formule de adunare pentru tangente și cotangente, dar nu vor fi valabile pentru toate argumentele.
Formule pentru adăugarea tangentelor și cotangentelor
Pentru orice unghi a,b, cu excepția a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n și a+b =pi/2 +pi*m, pentru orice numere întregi k,n,m următoarele vor formula fi adevarata:
tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Pentru orice unghi a,b cu excepția a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n și a-b =pi/2 +pi*m, pentru orice numere întregi k,n,m următoarea formulă va fi valabil:
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Pentru orice unghi a,b cu excepția a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m și pentru orice numere întregi k,n,m următoarea formulă va fi valabilă:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Ne continuăm conversația despre cele mai utilizate formule în trigonometrie. Cele mai importante dintre ele sunt formulele de adunare.
Definiția 1
Formulele de adunare vă permit să exprimați funcții ale diferenței sau ale sumei a două unghiuri folosind funcții trigonometrice ale acelor unghiuri.
Pentru început, vom oferi o listă completă de formule de adunare, apoi le vom dovedi și vom analiza câteva exemple ilustrative.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule de bază de adunare în trigonometrie
Există opt formule de bază: sinusul sumei și sinusul diferenței a două unghiuri, cosinusuri ale sumei și diferenței, tangente și cotangente ale sumei și, respectiv, diferenței. Mai jos sunt formulările și calculele lor standard.
1. Sinusul sumei a două unghiuri se poate obține astfel:
Se calculează produsul dintre sinusul primului unghi și cosinusul celui de-al doilea;
Înmulțiți cosinusul primului unghi cu sinusul primului unghi;
Adunați valorile rezultate.
Scrierea grafică a formulei arată astfel: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Sinusul diferenței este calculat aproape în același mod, numai produsele rezultate nu trebuie adăugate, ci scăzute unul de celălalt. Astfel, calculăm produsele dintre sinusul primului unghi și cosinusul celui de-al doilea și cosinusul primului unghi și sinusul celui de-al doilea și găsim diferența lor. Formula se scrie astfel: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosinusul sumei. Pentru aceasta, găsim produsele cosinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și respectiv sinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și, respectiv, găsim diferența lor: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Cosinusul diferenței: calculați produsele sinusurilor și cosinusurilor acestor unghiuri, ca mai înainte, și adăugați-le. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangenta sumei. Această formulă este exprimată ca o fracție, al cărei numărător este suma tangentelor unghiurilor necesare, iar numitorul este o unitate din care se scade produsul tangentelor unghiurilor dorite. Totul este clar din notația sa grafică: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangenta diferenței. Calculăm valorile diferenței și produsul tangentelor acestor unghiuri și procedăm cu ele într-un mod similar. La numitor adunam la unu, si nu invers: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Cotangenta sumei. Pentru a calcula folosind această formulă, vom avea nevoie de produsul și suma cotangentelor acestor unghiuri, pe care le procedăm astfel: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangente a diferenței . Formula este similară cu cea anterioară, dar numărătorul și numitorul sunt minus, nu plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Probabil ați observat că aceste formule sunt similare în perechi. Folosind semnele ± (plus-minus) și ∓ (minus-plus), le putem grupa pentru a ușura înregistrarea:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
În consecință, avem o formulă de înregistrare pentru suma și diferența fiecărei valori, doar într-un caz acordăm atenție semnului superior, în celălalt – celui de jos.
Definiția 2
Putem lua orice unghi α și β, iar formulele de adunare pentru cosinus și sinus vor funcționa pentru ele. Dacă putem determina corect valorile tangentelor și cotangentelor acestor unghiuri, atunci formulele de adunare pentru tangente și cotangente vor fi valabile și pentru ele.
La fel ca majoritatea conceptelor din algebră, formulele de adunare pot fi dovedite. Prima formulă pe care o vom demonstra este formula cosinusului diferenței. Restul dovezilor pot fi apoi deduse cu ușurință din acestea.
Să clarificăm conceptele de bază. Vom avea nevoie de un cerc unitar. Va funcționa dacă luăm un anumit punct A și rotim unghiurile α și β în jurul centrului (punctul O). Atunci unghiul dintre vectorii O A 1 → și O A → 2 va fi egal cu (α - β) + 2 π · z sau 2 π - (α - β) + 2 π · z (z este orice număr întreg). Vectorii rezultați formează un unghi care este egal cu α - β sau 2 π - (α - β), sau poate diferi de aceste valori cu un număr întreg de rotații complete. Aruncă o privire la poză:
Am folosit formulele de reducere și am obținut următoarele rezultate:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Rezultat: cosinusul unghiului dintre vectorii O A 1 → și O A 2 → este egal cu cosinusul unghiului α - β, deci cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Să ne amintim definițiile sinusului și cosinusului: sinusul este o funcție a unghiului, egal cu raportul catetei unghiului opus față de ipotenuză, cosinusul este sinusul unghiului complementar. Prin urmare, punctele A 1Şi A 2 au coordonatele (cos α, sin α) și (cos β, sin β).
Obținem următoarele:
O A 1 → = (cos α, sin α) și O A 2 → = (cos β, sin β)
Dacă nu este clar, priviți coordonatele punctelor situate la începutul și la sfârșitul vectorilor.
Lungimile vectorilor sunt egale cu 1, deoarece Avem un cerc unitar.
Să analizăm acum produsul scalar al vectorilor O A 1 → și O A 2 →. În coordonate arată astfel:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Din aceasta putem deduce egalitatea:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Astfel, formula cosinusului diferenței este dovedită.
Acum vom demonstra următoarea formulă - cosinusul sumei. Acest lucru este mai ușor deoarece putem folosi calculele anterioare. Să luăm reprezentarea α + β = α - (- β) . Avem:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Aceasta este dovada formulei sumei cosinus. Ultima linie folosește proprietatea sinusului și cosinusului unghiurilor opuse.
Formula pentru sinusul unei sume poate fi derivată din formula pentru cosinusul unei diferențe. Să luăm formula de reducere pentru aceasta:
de forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Aşa
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Și iată dovada formulei diferenței sinus:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Observați utilizarea proprietăților sinus și cosinus ale unghiurilor opuse în ultimul calcul.
În continuare avem nevoie de dovezi ale formulelor de adunare pentru tangentă și cotangentă. Să ne amintim definițiile de bază (tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cotangenta este invers) și să luăm formulele deja derivate în avans. Avem asta:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Avem o fracție complexă. În continuare, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la cos α · cos β, având în vedere că cos α ≠ 0 și cos β ≠ 0, obținem:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Acum reducem fracțiile și obținem următoarea formulă: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Se obține t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Aceasta este dovada formulei de adiție tangente.
Următoarea formulă pe care o vom demonstra este tangenta formulei diferenței. Totul se arată clar în calcule:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formulele pentru cotangente sunt dovedite într-un mod similar:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Următorul:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
Sunt specificate relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să reduceți gradul, al patrulea - exprimă toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.
În acest articol vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Identități trigonometrice de bază definiți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente a unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule de reducere
Formule de reducere rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea de simetrie, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale acelor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice de dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt culese în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere a gradului
Formule trigonometrice pentru reducerea gradelor sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți puterile funcțiilor trigonometrice la prima.
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Scopul principal formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la o sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Substituție trigonometrică universală
Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi. Acest înlocuitor a fost numit substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.
Referințe.
- Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Educație, 1990. - 272 p.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.
Drepturi de autor de către cleverstudents
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și aspectul, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
Nu voi încerca să te conving să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și de ce sunt utile foile de înșelăciune. Și aici sunt informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat Folosim asocieri pentru memorare!
1. Formule de adunare:
Cosinusurile „vin întotdeauna în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus.
Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. „Totul nu este potrivit” pentru ei, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.
Sinusuri - „mix”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Formule de sumă și diferență:
cosinusurile „vin mereu în perechi”. Adăugând două cosinus - „koloboks”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom obține niciun kolobok. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.
Sinusuri - „mix” :
3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și diferență.
Când obținem o pereche cosinus? Când adăugăm cosinus. De aceea
Când primim câteva sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:
„Amestecarea” se obține atât la adăugarea, cât și la scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă se adună:
În prima și a treia formulă, suma este între paranteze. Rearanjarea locurilor termenilor nu modifică suma. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența
iar în al doilea rând - suma
Cheat sheets în buzunar vă oferă liniște sufletească: dacă uitați formula, o puteți copia. Și îți dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, îți poți aminti cu ușurință formulele.
