Problemele de geometrie necesită adesea calcularea ariei unui poligon. Mai mult, poate avea o formă destul de diversă - de la triunghiul familiar la un n-gon cu un număr inimaginabil de vârfuri. În plus, aceste poligoane pot fi convexe sau concave. În fiecare situație specifică ar trebui să înceapă de la aspect cifre. Astfel, puteți alege modalitatea optimă de rezolvare a problemei. Cifra se poate dovedi a fi corectă, ceea ce va simplifica foarte mult soluția problemei.
O mică teorie despre poligoane
Dacă desenați trei sau mai multe linii care se intersectează, acestea formează o anumită figură. Ea este cea care este poligonul. Pe baza numărului de puncte de intersecție, devine clar câte vârfuri va avea. Ele dau numele figurii rezultate. Ar putea fi:
O astfel de cifră va fi cu siguranță caracterizată de două poziții:
- Laturile adiacente nu aparțin aceleiași linii drepte.
- Cele neadiacente nu au puncte comune, adică nu se intersectează.
Pentru a înțelege ce vârfuri sunt învecinate, va trebui să vedeți dacă aparțin aceleiași părți. Dacă da, atunci cele vecine. În caz contrar, ele pot fi conectate printr-un segment, care trebuie numit diagonală. Ele pot fi efectuate numai în poligoane care au mai mult de trei vârfuri.
Ce tipuri de ele există?
Un poligon cu mai mult de patru colțuri poate fi convex sau concav. Diferența dintre acestea din urmă este că unele dintre vârfurile sale pot fi situate pe părți opuse ale unei linii drepte trasate printr-o latură arbitrară a poligonului. Într-un caz convex, toate vârfurile se află întotdeauna pe o parte a unei astfel de linii drepte.
Într-un curs de geometrie școlar, de cele mai multe ori este dedicat figurilor convexe. Prin urmare, problemele necesită găsirea ariei unui poligon convex. Apoi există o formulă în ceea ce privește raza cercului circumscris, care vă permite să găsiți valoarea dorită pentru orice cifră. În alte cazuri, nu există o soluție clară. Pentru un triunghi formula este una, dar pentru un pătrat sau trapez este complet diferită. În situațiile în care figura este neregulată sau există o mulțime de vârfuri, se obișnuiește să le împarți în cele simple și familiare.
Ce să faci dacă figura are trei sau patru vârfuri?
În primul caz, se va dovedi a fi un triunghi și puteți folosi una dintre formulele:
- S = 1/2 * a * n, unde a este latura, n este înălțimea acesteia;
- S = 1/2 * a * b * sin (A), unde a, b sunt laturile triunghiului, A este unghiul dintre laturile cunoscute;
- S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), unde c este latura triunghiului, la cele două deja indicate, p este semiperimetrul, adică suma tuturor celor trei laturi împărțită la două .
O figură cu patru vârfuri se poate dovedi a fi un paralelogram:
- S = a * n;
- S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), unde d 1 și d 2 sunt diagonale, α este unghiul dintre ele;
- S = a * în * sin(α).
Formula pentru aria unui trapez: S = n * (a + b) / 2, unde a și b sunt lungimile bazelor.
Ce să faci cu un poligon obișnuit care are mai mult de patru vârfuri?
Pentru început, o astfel de cifră se caracterizează prin faptul că toate părțile sunt egale. În plus, poligonul are unghiuri egale.
Dacă desenați un cerc în jurul unei astfel de figuri, atunci raza acestuia va coincide cu segmentul de la centrul poligonului la unul dintre vârfuri. Prin urmare, pentru a calcula aria unui poligon regulat cu un număr arbitrar de vârfuri, veți avea nevoie de următoarea formulă:
S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), unde n este numărul de vârfuri ale poligonului.
Din el este ușor să obțineți unul care este util pentru cazuri speciale:
- triunghi: S = (3√3)/4 * R 2 ;
- pătrat: S = 2 * R2;
- hexagon: S = (3√3)/2 * R 2.
Situația cu cifra greșită
Soluția pentru a afla aria unui poligon dacă acesta nu este regulat și nu poate fi atribuit vreuneia dintre figurile cunoscute anterior este algoritmul:
- despărțiți-l în forme simple, de exemplu, triunghiuri, astfel încât să nu se intersecteze;
- calculați suprafețele lor folosind orice formulă;
- adună toate rezultatele.
Ce să faci dacă problema oferă coordonatele vârfurilor unui poligon?
Adică se cunoaște un set de perechi de numere pentru fiecare punct care limitează laturile figurii. De obicei, ele sunt scrise ca (x 1 ; y 1) pentru primul, (x 2 ; y 2) pentru al doilea, iar al n-lea vârf are următoarele valori (x n ; y n). Apoi aria poligonului este determinată ca sumă a n termeni. Fiecare dintre ele arată astfel: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). În această expresie, i variază de la unu la n.
Este de remarcat faptul că semnul rezultatului va depinde de parcurgerea figurii. Când utilizați formula specificată și vă deplasați în sensul acelor de ceasornic, răspunsul va fi negativ.
Exemplu de sarcină
Condiție. Coordonatele vârfurilor sunt specificate de următoarele valori (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Trebuie să calculați aria unui poligon.
Soluţie. Conform formulei de mai sus, primul termen va fi egal cu (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Aici trebuie doar să luați valorile pentru Y și X din al doilea și primul punct. Un calcul simplu va duce la rezultatul 1.8.
Al doilea termen se obține în mod similar: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Când rezolvați astfel de probleme, nu vă fie teamă de cantități negative. Totul merge așa cum trebuie. Acest lucru este planificat.
Valorile pentru al treilea (0,29), al patrulea (-6.365) și al cincilea termen (2.96) sunt obținute în mod similar. Atunci aria finală este: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.
Sfaturi pentru rezolvarea unei probleme în care un poligon este desenat pe hârtie în carouri
Ceea ce este cel mai adesea derutant este faptul că datele conțin doar dimensiunea celulei. Dar se dovedește că nu mai sunt necesare informații. O recomandare pentru rezolvarea acestei probleme este împărțirea figurii în mai multe triunghiuri și dreptunghiuri. Suprafețele lor sunt destul de ușor de calculat după lungimile laturilor, care pot fi apoi adunate cu ușurință.
Dar există adesea o abordare mai simplă. Constă în trasarea unei figuri într-un dreptunghi și calcularea ariei acesteia. Apoi calculați suprafețele acelor elemente care s-au dovedit a fi de prisos. Scădeți-le din sens general. Această opțiune implică uneori un număr puțin mai mic de acțiuni.
\[(\Large(\text(Informații de bază despre zonă)))\]
Putem spune că aria unui poligon este o valoare care indică partea de plan pe care o ocupă un anumit poligon. Unitatea de măsură a ariei este aria unui pătrat cu latura de \(1\) cm, \(1\) mm etc. (unitatea pătrat). Apoi aria va fi măsurată în cm\(^2\), respectiv mm\(^2\).
Cu alte cuvinte, putem spune că aria unei figuri este o mărime a cărei valoare numerică arată de câte ori se încadrează un pătrat unitar într-o cifră dată.
Proprietățile zonei
1. Aria oricărui poligon este o cantitate pozitivă.
2. Poligoane egale au arii egale.
3. Dacă un poligon este format din mai multe poligoane, atunci aria lui este egală cu suma ariilor acestor poligoane.
4. Aria unui pătrat cu latura \(a\) este egală cu \(a^2\) .
\[(\Large(\text(Aria unui dreptunghi și a unui paralelogram)))\]
Teorema: Aria unui dreptunghi
Aria unui dreptunghi cu laturile \(a\) și \(b\) este egală cu \(S=ab\) .
Dovada
Să construim dreptunghiul \(ABCD\) într-un pătrat cu latura \(a+b\), așa cum se arată în figură:
Acest pătrat este format dintr-un dreptunghi \(ABCD\), un alt dreptunghi egal și două pătrate cu laturile \(a\) și \(b\) . Prin urmare,
\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)
Definiție
Altitudinea unui paralelogram este perpendiculara trasată de la vârful paralelogramului la latura (sau la prelungirea laturii) care nu conține acest vârf.
De exemplu, înălțimea \(BK\) cade pe latura \(AD\) , iar înălțimea \(BH\) cade pe continuarea laturii \(CD\) :
Teorema: Aria unui paralelogram
Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre înălțime și latura pe care este trasă această înălțime.
Dovada
Să desenăm perpendiculare \(AB"\) și \(DC"\), așa cum se arată în figură. Rețineți că aceste perpendiculare sunt egale cu înălțimea paralelogramului \(ABCD\) .
Atunci \(AB"C"D\) este un dreptunghi, prin urmare, \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .
Rețineți că triunghiurile dreptunghiulare \(ABB"\) și \(DCC"\) sunt congruente. Prin urmare,
\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)
\[(\Large(\text(Aria triunghiului)))\]
Definiție
Vom numi latura la care este trasată altitudinea în triunghi baza triunghiului.
Teorema
Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei sale și altitudinea trasă la această bază.
Dovada
Fie \(S\) aria triunghiului \(ABC\) . Să luăm latura \(AB\) ca bază a triunghiului și să desenăm înălțimea \(CH\) . Să demonstrăm asta \ Să construim triunghiul \(ABC\) la paralelogramul \(ABDC\), așa cum se arată în figură:
Triunghiurile \(ABC\) și \(DCB\) sunt egale pe trei laturi (\(BC\) este latura lor comună, \(AB = CD\) și \(AC = BD\) ca laturi opuse ale paralelogramului \ (ABDC\ )), deci ariile lor sunt egale. Prin urmare, aria \(S\) a triunghiului \(ABC\) este egală cu jumătate din aria paralelogramului \(ABDC\), adică \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).
Teorema
Dacă două triunghiuri \(\triunghi ABC\) și \(\triunghi A_1B_1C_1\) au înălțimi egale, atunci zonele lor sunt legate de bazele pe care sunt trase aceste înălțimi.
Consecinţă
Mediana unui triunghi îl împarte în două triunghiuri de arie egală.
Teorema
Dacă două triunghiuri \(\triunghi ABC\) și \(\triunghi A_2B_2C_2\) au fiecare un unghi egal, atunci ariile lor sunt legate ca produsul laturilor care formează acest unghi.
Dovada
Fie \(\angle A=\angle A_2\) . Să combinăm aceste unghiuri așa cum se arată în figură (punctul \(A\) aliniat cu punctul \(A_2\)):
Să găsim înălțimile \(BH\) și \(C_2K\) .
Triunghiurile \(AB_2C_2\) și \(ABC_2\) au aceeași înălțime \(C_2K\), prin urmare: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]
Triunghiurile \(ABC_2\) și \(ABC\) au aceeași înălțime \(BH\), prin urmare: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]
Înmulțind ultimele două egalități, obținem: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( sau ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]
teorema lui Pitagora
ÎN triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei egal cu suma pătrate de lungimi ale picioarelor:
Este adevărat și invers: dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci un astfel de triunghi este dreptunghic.
Teorema
Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor.
Teorema: formula lui Heron
Fie \(p\) semiperimetrul triunghiului, \(a\) , \(b\) , \(c\) lungimile laturilor sale, atunci aria lui este \
\[(\Large(\text(Zona rombului și trapezului)))\]
cometariu
Deoarece Un romb este un paralelogram, atunci aceeași formulă este valabilă pentru el, adică. Aria unui romb este egală cu produsul dintre înălțime și latura pe care este trasă această înălțime.
Teorema
Aria unui patrulater convex ale cărui diagonale sunt perpendiculare este egală cu jumătate din produsul diagonalelor.
Dovada
Se consideră patrulaterul \(ABCD\) . Să notăm \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\):
Rețineți că acest patrulater este format din patru triunghiuri dreptunghiulare, prin urmare, aria sa este egală cu suma ariilor acestor triunghiuri:
\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)
Corolar: zona unui romb
Aria unui romb este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale: \
Definiție
Înălțimea unui trapez este o perpendiculară trasată de la vârful unei baze la cealaltă bază.
Teorema: Aria unui trapez
Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea.
Dovada
Se consideră trapezul \(ABCD\) cu baze \(BC\) și \(AD\) . Să desenăm \(CD"\parallel AB\) așa cum se arată în figură:
Atunci \(ABCD"\) este un paralelogram.
Să realizăm și \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) sunt înălțimile trapezului).
Apoi \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)
Deoarece un trapez este format dintr-un paralelogram \(ABCD"\) și un triunghi \(CDD"\), atunci aria lui este egală cu suma ariilor paralelogramului și triunghiului, adică:
\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\dreapta)\]
Vă rog să mă ajutați să rezolv geometria și am primit cel mai bun răspuns
Raspuns de la
1. Dacă poligonul este arbitrar, atunci trageți toate diagonalele dintr-un vârf și găsiți aria fiecărui triunghi rezultat. Adunați rezultatele. Dacă poligonul este regulat, atunci există formule pentru fiecare caz individual. Dar se poate deduce formula generala, în funcție de numărul de laturi.
2. Aria unui poligon este o cantitate pozitivă cu următoarele proprietăți:
I. Poligoane egale au arii egale.
II. Dacă un poligon este compus din două poligoane care nu au interne puncte comune, atunci aria sa este egală cu suma ariilor acestor poligoane.
III Aria unui pătrat cu o latură egală cu o unitate de lungime este egală cu 1 (unitate de suprafață).
3. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale
Document:
Fie dreptunghiul să aibă laturile a și b. Să-l construim până la un pătrat cu latura a+b. Adică, aria sa (pătrat) este egală cu (a+b)^2. Pe de altă parte, această zonă este egală cu suma unui pătrat cu latura a, a unui pătrat cu latura b și a două dreptunghiuri cu laturile a și b (pe care le dovedim). Să-l notăm S și să echivalăm aria unui pătrat cu latura a+b cu suma ariilor „dreptunghiurilor și pătratelor mici”.
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Dovedit
4. Sabcd=a*h (Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre baza și înălțimea acestuia)
Dacă BF și CM sunt perpendiculare pe dreapta AD, atunci triunghiul ABF = triunghiul DCE
(deoarece AB=DC și proiecția AF=DM). Prin urmare, ariile acestor triunghiuri sunt egale. Aria paralelogramului ABCD este egală cu suma a două figuri: triunghiul ABF (egal cu triunghiul DCM) și trapezul FBCD. Aceasta înseamnă că dacă scădem aria triunghiului ABF din aria ABCD, obținem aria trapezului FBCD. Atunci aria paralelogramului ABCD este egală cu aria dreptunghiului FBCM. Și laturile acestui dreptunghi sunt egale cu BC=AD=a și BF=h.
S ABCD = AD BF=a h.
5. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din aria dreptunghiului, adică S=ab. apoi Str=ab/2.
sau ch2. deoarece într-un triunghi dreptunghic, produsul catetelor este egal cu produsul înălțimii și ipotenuzei
6. Dacă unghiul unui triunghi egal cu unghiul un alt triunghi, atunci raportul ariilor acestor triunghiuri este egal cu raportul produselor laturilor care includ unghiuri egale.
7. Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea trasă la baze. Desenând două înălțimi, obținem un dreptunghi cu laturile a și h și două triunghiuri dreptunghiulare cu laturile p și q, astfel încât a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. Formulări Teorema lui Pitagora: Suma ariilor pătratelor bazate pe catetele (a și b) este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuza (c) Formularea geometrică: Teorema a fost formulată inițial ca urmează: Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. Formulare algebrică: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Adică notând lungimea ipotenuzei unui triunghi cu, iar lungimile catetelor cu și: Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
Vă rog să mă ajutați să rezolv geometria și am primit cel mai bun răspuns
Raspuns de la
1. Dacă poligonul este arbitrar, atunci trageți toate diagonalele dintr-un vârf și găsiți aria fiecărui triunghi rezultat. Adunați rezultatele. Dacă poligonul este regulat, atunci există formule pentru fiecare caz individual. Dar puteți deriva și o formulă generală în funcție de numărul de laturi.
2. Aria unui poligon este o cantitate pozitivă cu următoarele proprietăți:
I. Poligoane egale au arii egale.
II. Dacă un poligon este compus din două poligoane care nu au puncte comune interne, atunci aria lui este egală cu suma ariilor acestor poligoane.
III Aria unui pătrat cu o latură egală cu o unitate de lungime este egală cu 1 (unitate de suprafață).
3. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale
Document:
Fie dreptunghiul să aibă laturile a și b. Să-l construim până la un pătrat cu latura a+b. Adică, aria sa (pătrat) este egală cu (a+b)^2. Pe de altă parte, această zonă este egală cu suma unui pătrat cu latura a, a unui pătrat cu latura b și a două dreptunghiuri cu laturile a și b (pe care le dovedim). Să-l notăm S și să echivalăm aria unui pătrat cu latura a+b cu suma ariilor „dreptunghiurilor și pătratelor mici”.
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Dovedit
4. Sabcd=a*h (Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre baza și înălțimea acestuia)
Dacă BF și CM sunt perpendiculare pe dreapta AD, atunci triunghiul ABF = triunghiul DCE
(deoarece AB=DC și proiecția AF=DM). Prin urmare, ariile acestor triunghiuri sunt egale. Aria paralelogramului ABCD este egală cu suma a două figuri: triunghiul ABF (egal cu triunghiul DCM) și trapezul FBCD. Aceasta înseamnă că dacă scădem aria triunghiului ABF din aria ABCD, obținem aria trapezului FBCD. Atunci aria paralelogramului ABCD este egală cu aria dreptunghiului FBCM. Și laturile acestui dreptunghi sunt egale cu BC=AD=a și BF=h.
S ABCD = AD BF=a h.
5. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din aria dreptunghiului, adică S=ab. apoi Str=ab/2.
sau ch2. deoarece într-un triunghi dreptunghic, produsul catetelor este egal cu produsul înălțimii și ipotenuzei
6. Dacă unghiul unui triunghi este egal cu unghiul altui triunghi, atunci raportul ariilor acestor triunghiuri este egal cu raportul produselor laturilor care înglobează unghiuri egale.
7. Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea trasă la baze. Desenând două înălțimi, obținem un dreptunghi cu laturile a și h și două triunghiuri dreptunghiulare cu laturile p și q, astfel încât a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. Formulări Teorema lui Pitagora: Suma ariilor pătratelor bazate pe catetele (a și b) este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuza (c) Formularea geometrică: Teorema a fost formulată inițial ca urmează: Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. Formulare algebrică: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Adică notând lungimea ipotenuzei unui triunghi cu, iar lungimile catetelor cu și: Ambele formulări ale teoremei sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând doar lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
