Definiţie
Frecvența de oscilație($\nu$) este unul dintre parametrii care caracterizează oscilațiile Aceasta este reciproca perioadei de oscilație ($T$):
\[\nu =\frac(1)(T)\stanga(1\dreapta).\]
Astfel, frecvența de oscilație este o mărime fizică egală cu numărul de repetări ale oscilațiilor pe unitatea de timp.
\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\stanga(2\dreapta),\]
unde $N$ este numărul de mișcări oscilatorii complete; $\Delta t$ este timpul în care au avut loc aceste oscilații.
Frecvența de oscilație ciclică ($(\omega )_0$) este legată de frecvența $\nu $ prin formula:
\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]
Unitatea de frecvență în Sistemul Internațional de Unități (SI) este hertz sau secunda reciprocă:
\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]
Pendul de primăvară
Definiţie
Pendul de primăvară numit sistem care constă dintr-un arc elastic de care este atașată o sarcină.
Să presupunem că masa sarcinii este $m$ iar coeficientul de elasticitate al arcului este $k$. Masa arcului într-un astfel de pendul nu este de obicei luată în considerare. Dacă luăm în considerare mișcările orizontale ale sarcinii (Fig. 1), atunci aceasta se mișcă sub influența forței elastice dacă sistemul este scos din echilibru și lăsat la dispoziție. În acest caz, se crede adesea că forțele de frecare pot fi ignorate.
Ecuațiile oscilațiilor unui pendul cu arc
Un pendul cu arc care oscilează liber este un exemplu de oscilator armonic. Lăsați-l să oscileze de-a lungul axei X Dacă oscilațiile sunt mici, legea lui Hooke este îndeplinită, atunci scriem ecuația de mișcare a sarcinii:
\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]
unde $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ este frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului cu arc. Soluția ecuației (4) este o funcție sinus sau cosinus de forma:
unde $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ este frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului cu arc, $A$ este amplitudinea oscilațiilor; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza de oscilație; $\varphi $ și $(\varphi )_1$ sunt fazele inițiale ale oscilațiilor.
Frecvența de oscilație a pendulului cu arc
Din formula (3) și $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, rezultă că frecvența de oscilație a pendulului cu arc este egală cu:
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]
Formula (6) este valabilă dacă:
- arcul din pendul este considerat lipsit de greutate;
- sarcina atașată arcului este un corp absolut rigid;
- nu există vibrații de torsiune.
Expresia (6) arată că frecvența de oscilație a pendulului arcului crește odată cu scăderea masei sarcinii și cu creșterea coeficientului de elasticitate al arcului. Frecvența de oscilație a pendulului cu arc nu depinde de amplitudine. Dacă oscilațiile nu sunt mici, forța elastică a arcului nu respectă legea lui Hooke, atunci apare o dependență a frecvenței de oscilație de amplitudine.
Exemple de probleme cu soluții
Exemplul 1
Exercita. Perioada de oscilație a unui pendul cu arc este $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Care este frecvența de oscilație în acest caz? Care este frecvența ciclică de vibrație a acestei mase?
Soluţie. Frecvența de oscilație este reciproca perioadei de oscilație, prin urmare, pentru a rezolva problema este suficient să folosiți formula:
\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]
Să calculăm frecvența necesară:
\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]
Frecvența ciclică este legată de frecvența $\nu $ ca:
\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]
Să calculăm frecvența ciclică:
\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\aproximativ 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]
Răspuns.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$
Exemplul 2
Exercita. Masa sarcinii care atârnă de un arc elastic (Fig. 2) este mărită cu $\Delta m$, în timp ce frecvența scade de $n$ ori. Care este masa primei sarcini?
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]
Pentru prima sarcină frecvența va fi egală cu:
\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]
Pentru a doua sarcină:
\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]
Conform condițiilor problemei $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, găsim relația $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)( m))=n\ \left(2.3\right).$
Să obținem din ecuația (2.3) masa necesară a sarcinii. Pentru a face acest lucru, să pătram ambele laturi ale expresiei (2.3) și să exprimăm $m$:
Răspuns.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$
Definiția 1
Vibrațiile libere pot apărea sub influența forțelor interne numai după ce întregul sistem este scos din poziția de echilibru.
Pentru ca oscilațiile să apară conform legii armonice, este necesar ca forța de întoarcere a corpului în poziția de echilibru să fie proporțională cu deplasarea corpului din poziția de echilibru și îndreptată în direcția opusă deplasării.
F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .
Relația spune că ω este frecvența unei oscilații armonice. Această proprietate este caracteristică forței elastice în limitele de aplicabilitate ale legii lui Hooke:
F y p r = - k x .
Definiția 2
Se numesc forțe de orice natură care satisfac condiția cvasielastică.
Adică, o sarcină cu masa m atașată la un arc de rigiditate k cu un capăt fix, prezentat în figura 2. 2. 1, constituie un sistem capabil să efectueze vibrații libere armonice în absența frecării.
Definiția 3
O greutate plasată pe un arc se numește oscilator armonic liniar.
Desen 2 . 2 . 1 . Oscilațiile unei sarcini pe un arc. Nu există frecare.
Frecvența circulară
Frecvența circulară ω 0 se găsește prin aplicarea formulei celei de-a doua legi a lui Newton:
m a = - k x = m ω 0 2 x .
Deci obținem:
Definiția 4
Se numește frecvența ω 0 frecvența naturală a sistemului oscilator.
Perioada de oscilații armonice a sarcinii pe arcul T este determinată din formula:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
Dispunerea orizontală a sistemului de sarcină cu arc, forța gravitațională este compensată de forța de reacție a suportului. Când atârnați o sarcină de un arc, direcția gravitației merge de-a lungul liniei de mișcare a sarcinii. Poziția de echilibru a arcului întins este egală cu:
x 0 = m g k , în timp ce oscilațiile apar în jurul unei noi stări de echilibru. Sunt valabile formulele pentru frecvența naturală ω 0 și perioada de oscilație T din expresiile de mai sus.
Definiția 5
Având în vedere legătura matematică existentă între accelerația corpului a și coordonata x, comportamentul sistemului oscilator este caracterizat printr-o descriere strictă: accelerația este derivata a doua a coordonatei corpului x în raport cu timpul t:
Descrierea celei de-a doua legi a lui Newton cu o sarcină pe un arc va fi scrisă astfel:
m a - m x = - k x, sau x ¨ + ω 0 2 x = 0, unde frecvența liberă ω 0 2 = k m.
Dacă sistemele fizice depind de formula x ¨ + ω 0 2 x = 0, atunci ele sunt capabile să efectueze mișcări armonice oscilatorii libere cu amplitudini diferite. Acest lucru este posibil deoarece se utilizează x = x m cos (ω t + φ 0).
Definiția 6Se numește o ecuație de forma x ¨ + ω 0 2 x = 0 ecuații ale vibrațiilor libere. Proprietățile lor fizice pot determina doar frecvența naturală a oscilațiilor ω 0 sau perioada T.
Amplitudinea x m și faza inițială φ 0 se găsesc folosind o metodă care le-a scos din starea de echilibru a momentului inițial de timp.
Exemplul 1
În prezenţa unei sarcini deplasate din poziţia de echilibru la o distanţă ∆ l şi un moment de timp egal cu t = 0, aceasta se coboară fără o viteză iniţială. Atunci x m = ∆ l, φ 0 = 0. Dacă sarcina era în poziție de echilibru, atunci viteza inițială ± υ 0 este transmisă în timpul împingerii, deci x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.
Amplitudinea x m cu faza inițială φ 0 este determinată de prezența condițiilor inițiale.
Figura 2. 2. 2. Model de oscilații libere ale unei sarcini pe un arc.
Sistemele oscilatorii mecanice se disting prin prezența forțelor elastice de deformare în fiecare dintre ele. Figura 2. 2. 2 prezintă analogul unghiular al unui oscilator armonic care efectuează oscilații de torsiune. Discul este poziționat orizontal și atârnă de un fir elastic atașat de centrul său de masă. Dacă este rotită printr-un unghi θ, atunci apare un moment de forță de deformare elastică de torsiune M y p p:
M y p r = - x θ .
Această expresie nu corespunde legii lui Hooke pentru deformarea de torsiune. Valoarea x este similară cu rigiditatea arcului k. Înregistrarea celei de-a doua legi a lui Newton pentru mișcarea de rotație a unui disc ia forma
I ε = M y p p = - x θ sau I θ ¨ = - x θ, unde momentul de inerție este notat cu I = IC, iar ε este accelerația unghiulară.
Similar cu formula pendulului cu arc:
ω 0 = x I , T = 2 π I x .
Utilizarea unui pendul de torsiune este observată la ceasurile mecanice. Se numește echilibru, în care momentul forțelor elastice este creat cu ajutorul unui arc spiralat.
Figura 2. 2. 3. Pendul de torsiune.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
), al cărui capăt este fixat rigid, iar pe celălalt există o sarcină de masă m.
Când o forță elastică acționează asupra unui corp masiv, revenind la o poziție de echilibru, ea oscilează în jurul acestei poziții. Oscilațiile apar sub influența unei forțe externe. Oscilațiile care continuă după ce forța externă a încetat să mai acționeze se numesc libere. Oscilațiile cauzate de acțiunea unei forțe externe se numesc forțate. În acest caz, forța în sine se numește forțare.
În cel mai simplu caz, un pendul cu arc este un corp rigid care se deplasează de-a lungul unui plan orizontal, atașat printr-un arc de un perete.
A doua lege a lui Newton pentru un astfel de sistem, cu condiția să nu existe forțe externe și forțe de frecare, are forma:
Dacă sistemul este influențat de forțe externe, atunci ecuația vibrațiilor va fi rescrisă după cum urmează:
, Unde f(x)- aceasta este rezultanta forțelor externe legate de o unitate de masă a sarcinii.În cazul atenuării proporţionale cu viteza de oscilaţie cu coeficientul c:
Vezi de asemenea
Legături
Fundația Wikimedia.
2010.
Vedeți ce înseamnă „pendul de primăvară” în alte dicționare:
Acest termen are alte semnificații, vezi Pendul (sensuri). Oscilațiile unui pendul: săgețile indică vectorii viteză (v) și accelerație (a) ... Wikipedia Pendul
- un dispozitiv care, oscilant, regleaza miscarea mecanismului ceasului. Pendul de primăvară. O parte de reglare a unui ceas, constând dintr-un pendul și arcul acestuia. Înainte de inventarea arcului pendulului, ceasurile erau conduse de un singur pendul.... ... Dicționar de ceasuri PENDUL - (1) matematic (sau simplu) (Fig. 6) un corp de dimensiuni mici, suspendat liber dintr-un punct fix pe un fir (sau tijă) inextensibil, a cărui masă este neglijabilă în comparație cu masa unui corp care execută armonici. (vezi) ......
Marea Enciclopedie Politehnică Un corp solid care funcționează sub acțiunea unei aplicații. forte de vibratie aprox. punct fix sau axă. Matematica matematică se numește un punct material suspendat dintr-un punct fix pe un fir (sau tijă) inextensibil fără greutate și sub influența forței... ...
Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary Ceas cu pendul de primăvară
- pendul cu arc - partea de reglare a unui ceas, folosită și la ceasurile de dimensiuni medii și mici (ceasuri portabile, ceasuri de masă, etc.) ... Dicționar de ceas - un mic arc spiralat atașat la capetele pendulului și ciocanului acestuia. Pendulul cu arc reglează ceasul, a cărui precizie depinde parțial de calitatea arcului pendulului... Dicționar de ceasuri GOST R 52334-2005: Explorarea gravitațională. Termeni și definiții - Terminologie GOST R 52334 2005: Explorarea gravitațională. Termeni și definiții document original: sondaj (gravimetric) Studiu gravimetric efectuat pe uscat. Definiții ale termenului din diverse documente: sondaj (gravimetric) 95... ...
Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
Corpuri sub acțiunea unei forțe elastice, a cărei energie potențială este proporțională cu pătratul deplasării corpului față de poziția de echilibru:Cu vibrații mecanice libere, energiile cinetice și potențiale se schimbă periodic. La abaterea maximă a unui corp de la poziția sa de echilibru, viteza lui și, prin urmare, energia sa cinetică, dispar. În această poziție, energia potențială a corpului oscilant atinge valoarea maximă. Pentru o sarcină pe un arc orizontal, energia potențială este energia de deformare elastică a arcului.
Când un corp în mișcare trece prin poziția de echilibru, viteza lui este maximă. În acest moment are energie cinetică maximă și energie potențială minimă. O creștere a energiei cinetice are loc datorită scăderii energiei potențiale. Odată cu mișcarea ulterioară, energia potențială începe să crească din cauza scăderii energiei cinetice etc.
Astfel, în timpul oscilațiilor armonice are loc o transformare periodică a energiei cinetice în energie potențială și invers.
Dacă nu există frecare în sistemul oscilator, atunci energia mecanică totală în timpul oscilațiilor libere rămâne neschimbată.
Pentru greutatea primăverii:
Mișcarea oscilativă a corpului este pornită folosind butonul Start. Butonul Stop vă permite să opriți procesul în orice moment.
Arată grafic relația dintre energiile potențiale și cinetice în timpul oscilațiilor în orice moment. Rețineți că, în absența amortizarii, energia totală a sistemului oscilator rămâne neschimbată, energia potențială atinge un maxim atunci când corpul este deviat maxim de la poziția de echilibru, iar energia cinetică ia o valoare maximă atunci când corpul trece prin echilibru. poziţie.
Vibrații ale unui corp masiv cauzate de acțiunea forței elasticeAnimaţie
Descriere
Când o forță elastică acționează asupra unui corp masiv, readucendu-l într-o poziție de echilibru, ea oscilează în jurul acestei poziții.
Un astfel de corp se numește pendul cu arc. Oscilațiile apar sub influența unei forțe externe. Oscilațiile care continuă după ce forța externă a încetat să mai acționeze se numesc libere. Oscilațiile cauzate de acțiunea unei forțe externe se numesc forțate. În acest caz, forța în sine se numește forțare.
În cel mai simplu caz, un pendul cu arc este un corp rigid care se deplasează de-a lungul unui plan orizontal, atașat printr-un arc de un perete (Fig. 1).
Pendul de primăvară
Orez. 1
Mișcarea rectilinie a unui corp este descrisă de dependența coordonatele sale de timp:
x = x(t). (1)
Dacă toate forțele care acționează asupra corpului în cauză sunt cunoscute, atunci această dependență poate fi stabilită folosind a doua lege a lui Newton:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
unde m este masa corporală.
Partea dreaptă a ecuației (2) este suma proiecțiilor pe axa x a tuturor forțelor care acționează asupra corpului.
În cazul în cauză, rolul principal îl joacă forța elastică, care este conservatoare și poate fi reprezentată sub forma:
F (x) = - dU (x)/dx, (3)
unde U = U (x) este energia potențială a arcului deformat.
Fie x prelungirea arcului. S-a stabilit experimental că la valori mici ale alungirii relative a arcului, i.e. cu condiția ca:
½ x ½<< l ,
unde l este lungimea arcului neformat.
Următoarea relație este aproximativ adevărată:
U (x) = k x 2 /2, (4)
unde coeficientul k se numește rigiditatea arcului.
Din această formulă rezultă următoarea expresie pentru forța elastică:
F (x) = - kx. (5)
Această relație se numește legea lui Hooke.
Pe lângă forța elastică, o forță de frecare poate acționa asupra unui corp care se deplasează de-a lungul unui plan, care este descrisă satisfăcător de formula empirică:
F tr = - r dx /dt , (6)
unde r este coeficientul de frecare.
Luând în considerare formulele (5) și (6), ecuația (2) poate fi scrisă după cum urmează:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)
unde F(t) este forța externă.
Dacă asupra corpului acţionează doar forţa Hooke (5), atunci vibraţiile libere ale corpului vor fi armonice. Un astfel de corp se numește pendul cu arc armonic.
A doua lege a lui Newton în acest caz conduce la ecuația:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt(k/m) (9)
Frecvența de oscilație.
Soluția generală a ecuației (8) are forma:
x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)
unde amplitudinea A și faza inițială a sunt determinate de condițiile inițiale.
Atunci când corpul în cauză este acționat numai cu forța elastică (5), energia sa mecanică totală nu se modifică în timp:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const. (11)
Această afirmație constituie conținutul legii conservării energiei a unui pendul cu arc armonic.
Să presupunem că, pe lângă forța elastică care o readuce în poziția de echilibru, o forță de frecare acționează asupra unui corp masiv. În acest caz, vibrațiile libere ale corpului excitat la un moment dat în timp se vor descrește în timp și corpul va tinde spre o poziție de echilibru.
În aceasta, a doua lege a lui Newton (7) poate fi scrisă după cum urmează:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
unde m este masa corporală.
Soluția generală a ecuației (12) are forma:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Frecvența de oscilație
b = r / 2 m (15)
Coeficientul de amortizare a oscilației, amplitudinea a și faza inițială a sunt determinate de condițiile inițiale. Funcția (13) descrie așa-numitele oscilații amortizate.
Energia mecanică totală a pendulului cu arc, adică suma energiilor sale cinetice și potențiale
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
modificări în timp conform legii:
dE/dt = P, (17)
unde P = - rv 2 - puterea forței de frecare, adică. energie transformată în căldură pe unitatea de timp.
Caracteristici de sincronizare
Timp de inițiere (log la -3 la -1);
Durata de viață (log tc de la 1 la 15);
Timp de degradare (log td de la -3 la 3);
Timpul de dezvoltare optimă (log tk de la -3 la -2).
