Metode de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul.
Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia numerelor întregi.
Pentru a converti un număr întreg dintr-un sistem numeric cu baza d1 în altul cu baza d2, trebuie să împărțiți secvențial acest număr și coeficientii rezultați la baza d2 sistem nou până când coeficientul este mai mic decât baza d2. Ultimul cât este cea mai semnificativă cifră a unui număr din noul sistem numeric cu baza d2, iar cifrele care îl urmează sunt resturi din împărțire, scrise în ordinea inversă a primirii lor. Efectuați operații aritmetice în sistemul numeric în care este scris numărul care este tradus.
Exemplul 1. Convertiți numărul 11(10) în sistemul numeric binar.
Răspuns: 11(10)=1011(2).
Exemplul 2. Convertiți numărul 122(10) în sistemul numeric octal.
Răspuns: 122(10)=172(8).
Exemplul 3. Convertiți numărul 500(10) în sistem numeric hexazecimal.
Răspuns: 500(10)=1F4(16).
Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia fracțiilor proprii.
Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem numeric cu baza d1 într-un sistem cu baza d2, este necesar să se înmulțească secvențial fracția originală și părțile fracționale ale produselor rezultate cu baza noului sistem de numere d2. Fracția corectă a unui număr în noul sistem numeric cu baza d2 se formează sub formă de părți întregi ale produselor rezultate, începând de la primul.
Dacă translația rezultă într-o fracție sub forma unei serii infinite sau divergente, procesul poate fi finalizat când este atinsă precizia necesară.
Atunci când traduceți numere mixte, este necesar să traduceți separat părțile întregi și fracționale într-un nou sistem conform regulilor de traducere a numerelor întregi și fracțiilor proprii și apoi să combinați ambele rezultate într-un număr mixt în noul sistem de numere.
Exemplul 1. Convertiți numărul 0,625(10) în sistemul numeric binar.
Răspuns: 0,625(10)=0,101(2).
Exemplul 2. Convertiți numărul 0,6(10) în sistemul numeric octal.
Răspuns: 0,6(10)=0,463(8).
Exemplul 2. Convertiți numărul 0,7(10) în sistem numeric hexazecimal.
Răspuns: 0.7(10)=0.B333(16).
Convertiți numere binare, octale și hexazecimale în sistem numeric zecimal.
Pentru a converti un număr din sistemul P-ary într-unul zecimal, trebuie să utilizați următoarea formulă de expansiune:
anan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Exemplu 1. Convertiți numărul 101.11(2) în sistemul numeric zecimal.
Răspuns: 101,11(2)= 5,75(10) .
Exemplul 2. Convertiți numărul 57.24(8) în sistemul numeric zecimal.
Răspuns: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Exemplul 3. Convertiți numărul 7A,84(16) în sistemul numeric zecimal.
Răspuns: 7A.84(16)= 122,515625(10) .
Conversia numerelor octale și hexazecimale în sistemul numeric binar și invers.
Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în binar, fiecare cifră a acestui număr trebuie scrisă ca un număr binar de trei cifre (triada).
Exemplu: scrieți numărul 16.24(8) în sistemul numeric binar.
Răspuns: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul de numere octale, trebuie să împărțiți numărul original în triade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul de numere octale. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.
Exemplu: scrieți numărul 1110.0101(2) în sistemul de numere octale.
Răspuns: 1110.0101(2)= 16.24(8) .
Pentru a converti un număr din sistemul numeric hexazecimal în sistemul binar, trebuie să scrieți fiecare cifră a acestui număr ca un număr binar de patru cifre (tetradă).
Exemplu: scrieți numărul 7A,7E(16) în sistemul numeric binar. 
Răspuns: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .
Notă: zerourile de început în stânga pentru numere întregi și în dreapta pentru fracții nu sunt scrise.
Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul numeric hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul original în tetrade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul numeric hexazecimal. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.
Exemplu: scrieți numărul 1111010.0111111(2) în sistemul numeric hexazecimal.
De la 16 sau 8 la 2
| Traducere octalŞi hexazecimal numere la sistemul binar foarte simplu: trebuie doar să înlocuiți fiecare cifră cu echivalentul său binar triadă(trei cifre) sau caietul(patru cifre) (vezi tabel). | |||||||
| Binar (Radise 2) | Octal (bază 8) | Decimală (bază 10) | Hexazecimal (baza 16) | ||||
| triade | tetrade | ||||||
| 0 1 | 0 1 2 3 4 5 6 7 | 000 001 010 011 100 101 110 111 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
De exemplu:
a) Traduceți 305.4 8 „2” s.s.
b) Traduceți 7B2.E 16 „2” s.s.
16A 16 =1 0110 1010 2 345 8 =11 100 101 2
De la 2 la 16 sau 8
De exemplu:
a) Traduceți 1101111001.1101 2 „8” s.s.
b) Traduceți 11111111011.100111 2 „16” s.s.
1000101010010101 2 =1000 1010 1001 0101=8A95 16 = 1 000 101 010 010 101=105225 8
De la 16 la 8 și înapoi
Conversia de la octal la hexazecimal și înapoi se realizează prin sistemul binar folosind triade și tetrade.
De exemplu:
Traduceți 175,24 8 „16” s.s.
Rezultat: 175,24 8 = 7D,5 16.
De la 10 la orice s.s.
De exemplu:
a) Traduceți 181 10 „8” s.s.
Rezultat: 181 10 = 265 8
b) Traduceţi 622 10 „16” s.s.
Rezultat: 622 10 = 26E 16
Traducerea fracțiilor proprii
Pentru a traduce corect zecimalîntr-un alt sistem, această fracție trebuie înmulțită succesiv cu baza sistemului în care este transferată. În acest caz, numai părțile fracționale sunt înmulțite. Fracțiile din noul sistem sunt scrise sub formă de părți întregi de produse, începând de la prima.
De exemplu:
Convertiți 0,3125 10 "8" s.s.
Rezultat: 0,3125 10 = 0,24 8
Comentariu. O fracție zecimală finală dintr-un alt sistem numeric poate corespunde unei fracții infinite (uneori periodice). În acest caz, numărul de caractere din reprezentarea unei fracții în noul sistem este luat în funcție de precizia cerută.
De exemplu:
Convertiți 0,65 10 „2” s.s. Precizie 6 cifre.
Rezultat: 0,65 10 0,10(1001) 2
Pentru a converti o fracție zecimală necorespunzătoare într-un sistem numeric cu o bază non-zecimală Este necesar să translați separat întreaga parte și partea fracțională.
De exemplu:
Traduceți 23.125 10 „2” s.s.
Astfel: 23 10 = 10111 2 ; 0,125 10 = 0,001 2.
Rezultat: 23.125 10 = 10111.001 2.
Trebuie remarcat faptul că numerele întregi rămân numere întregi, iar fracțiile proprii rămân fracții în orice sistem numeric.
De la 2, 8 sau 16 până la 10
De exemplu:
a)10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 - 3 = 173,625 10
b) Traduceți 703.04 8 „10” s.s.
703.04 8 = 7 8 2 + 0 8 1 + 3 8 0 + 0 8 -1 + 4 8 -2 = 451.0625 10
c) Traduceți B2E.4 16 „10” s.s.
B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862,25 10
Schema de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale
Să ne uităm la operațiile aritmetice de bază: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Regulile pentru efectuarea acestor operații în sistemul zecimal sunt binecunoscute - acestea sunt adunarea, scăderea, înmulțirea cu o coloană și împărțirea printr-un unghi. Aceste reguli se aplică tuturor celorlalte sisteme de numere poziționale. Trebuie folosite numai tabele de adunare și înmulțire specifice fiecărui sistem.
Plus
La adăugare, numerele sunt însumate prin cifre, iar dacă există un exces, acesta este transferat la stânga
Când se adaugă numere binare în fiecare cifră, cifrele termenilor sunt adăugate și transferate din cifra de ordin inferioară adiacentă, dacă există. Este necesar să se țină cont de faptul că 1+1 dă un zero într-o cifră dată și o unitate de transport la următoarea.
De exemplu:
Efectuați adunarea numerelor binare:
a) X=1101, Y=101;
Rezultat 1101+101=10010.
b) X=1101, Y=101, Z=111;
Rezultat 1101+101+111=11001.
Tabel de adunare în al 8-lea sistem numeric
| 2+2=4 | 3+2=5 | 4+2=6 | 5+2=7 | 6+2=10 | 7+2=11 |
| 2+3=5 | 3+3=6 | 4+3=7 | 5+3=10 | 6+3=11 | 7+3=12 |
| 2+4=6 | 3+4=7 | 4+4=10 | 5+4=11 | 6+4=12 | 7+4=13 |
| 2+5=7 | 3+5=10 | 4+5=11 | 5+5=12 | 6+5=13 | 7+5=14 |
| 2+6=10 | 3+6=11 | 4+6=12 | 5+6=13 | 6+6=14 | 7+6=15 |
| 2+7=11 | 3+7=12 | 4+7=13 | 5+7=14 | 6+7=15 | 7+7=16 |
Tabel de adunare în sistemul numeric al 16-lea
| + | O | B | C | D | E | F | ||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | B | C | D | E | F | |||||||||||
| O | O | B | C | D | E | F | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, trebuie să aveți informații de bază despre sistemele numerice și forma de reprezentare a numerelor în acestea.
Cantitate s Numărul de cifre diferite utilizate într-un sistem numeric se numește baza sau baza sistemului numeric. În general, un număr pozitiv Xîntr-un sistem pozițional cu o bază s poate fi reprezentat ca polinom:
Unde s- baza sistemului de numere, - numere permise într-un sistem de numere dat. Secvența formează o parte întreagă X, iar succesiunea este partea fracțională X.
În calcul, cele mai utilizate sunt sistemele de numere codificate binar (BIN - binary) și binar: octal (OCT - octal), hexazecimal (HEX - hexazecimal) și zecimal codificat binar (BCD - binary coded decimal).
În viitor, pentru a indica sistemul de numere utilizat, numărul va fi cuprins între paranteze, iar baza sistemului va fi indicată în index. Număr X bazat pe s va fi indicat.
Sistem de numere binar
Baza sistemului numeric este numărul 2 ( s= 2) și se folosesc doar două cifre pentru a scrie numere: 0 și 1. Pentru a reprezenta orice cifră a unui număr binar, este suficient să existe un element fizic cu două stări stabile clar diferite, dintre care una reprezintă 1, iar cealaltă 0 .
Înainte de a începe conversia de la orice sistem de numere în binar, trebuie să studiați cu atenție un exemplu de scriere a unui număr în sistemul de numere binar:
Dacă nu trebuie să aprofundați teorie, ci trebuie doar să obțineți rezultatul, atunci utilizați Calculator online Conversia numerelor întregi din sistemul numeric zecimal în alte sisteme .
Sisteme de numere octale și hexazecimale
Aceste sisteme numerice sunt codificate binar, în care baza sistemului numeric este o putere întreagă de două: - pentru octal și - pentru hexazecimal.
În sistemul de numere octale ( s= 8) Se folosesc 8 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Înainte de a începe conversia de la orice sistem numeric în sistem octal, trebuie să studiați cu atenție un exemplu de scriere a unui număr în sistemul octal:
În sistemul numeric hexazecimal ( s= 16) Sunt utilizate 16 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Un exemplu de scriere a unui număr în hexazecimal:
Utilizarea pe scară largă a sistemelor de numere octale și hexazecimale se datorează a doi factori.
În primul rând, aceste sisteme vă permit să înlocuiți notația unui număr binar cu o reprezentare mai compactă (notația unui număr în sisteme octal și hexazecimal va fi de 3, respectiv de 4 ori mai scurtă decât notația binară a acestui număr). În al doilea rând, conversia reciprocă a numerelor între sistemul binar, pe de o parte, și sistemele octal și hexazecimal, pe de altă parte, este relativ simplă. Într-adevăr, deoarece pentru un număr octal fiecare cifră este reprezentată printr-un grup de trei cifre binare (triade), iar pentru un număr hexazecimal - printr-un grup de patru cifre binare (tetrade), atunci pentru a converti un număr binar este suficient să combinați cifrele sale în grupuri de 3 sau, respectiv, 4 cifre, deplasându-se de la virgulă la dreapta și la stânga. În acest caz, dacă este necesar, se adaugă zerouri la stânga părții întregi și/sau la dreapta părții fracționale și fiecare astfel de grup - triadă sau tetradă - este înlocuit cu o cifră octală sau hexazecimală echivalentă (vezi tabelul).
Dacă nu trebuie să aprofundați teorie, ci trebuie doar să obțineți rezultatul, atunci utilizați Calculator online Conversia numerelor întregi din sistemul numeric zecimal în alte sisteme .
Corespondența între cifre în diferite sisteme de numere| DEC | BIN | OCT | HEX | BCD |
| 0 | 0000 | 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 | 1000 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 | 1001 |
| 10 | 1010 | 12 | O | 0001 0000 |
| 11 | 1011 | 13 | B | 0001 0001 |
| 12 | 1100 | 14 | C | 0001 0010 |
| 13 | 1101 | 15 | D | 0001 0011 |
| 14 | 1110 | 16 | E | 0001 0100 |
| 15 | 1111 | 17 | F | 0001 0101 |
Pentru translația inversă, fiecare cifră OCT sau HEX este înlocuită, respectiv, cu o triadă sau tetradă de cifre binare, cu zerouri nesemnificative din stânga și din dreapta fiind eliminate.
Pentru exemplele discutate mai devreme, aceasta arată astfel:
Dacă nu trebuie să aprofundați teorie, ci trebuie doar să obțineți rezultatul, atunci utilizați Calculator online Conversia numerelor întregi din sistemul numeric zecimal în alte sisteme .
Sistem de numere binar zecimal
În sistemul BCD, greutatea fiecărei cifre este egală cu o putere de 10, ca în sistemul zecimal, iar fiecare cifră zecimală este codificată de patru cifre binare. Pentru a scrie un număr zecimal în sistemul BCD, este suficient să înlocuiți fiecare cifră zecimală combinație binară echivalentă de patru cifre:
Orice număr zecimal poate fi reprezentat în notație BCD, dar rețineți că acesta nu este echivalentul binar al unui număr. Acest lucru poate fi văzut din următorul exemplu:
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Lasă X- un număr într-un sistem numeric cu bază s, care trebuie reprezentat într-un sistem cu bază h. Este convenabil să distingem două cazuri.
În primul caz și, prin urmare, la trecerea la bază h puteți folosi aritmetica acestui sistem. Metoda conversiei constă în reprezentarea numărului ca polinom în puteri s, precum și în calculul acestui polinom conform regulilor de aritmetică ale sistemului de numere radix h. De exemplu, este convenabil să comutați de la sistemul numeric binar sau octal la sistemul numeric zecimal. Tehnica descrisă este ilustrată prin următoarele exemple:
.
.
În ambele cazuri, operațiile aritmetice sunt efectuate conform regulilor sistemului numeric de bază 10.
În al doilea caz () este mai convenabil să folosiți aritmetica radix s. Trebuie luat în considerare aici că translația numerelor întregi și a fracțiilor proprii se efectuează în conformitate cu reguli diferite. La transfer fractii mixte părțile întregi și fracționale sunt traduse fiecare după propriile reguli, după care numerele rezultate sunt scrise separate prin virgule.
Conversie intreg
Regulile pentru conversia numerelor întregi devin clare din formula generala scrierea unui număr într-un sistem pozițional arbitrar. Lăsați numărul în sistemul de numere original s arata ca . Trebuie să obțineți un număr scris într-un sistem numeric cu o bază h:
.
Pentru a găsi valorile, împărțiți acest polinom la h:
.
După cum puteți vedea, cifra cea mai puțin semnificativă, adică este egală cu primul rest. Următoarea cifră semnificativă este determinată prin împărțirea coeficientului la h:
.
Restul se calculează și prin împărțirea coeficientilor până când este egal cu zero.
Pentru a converti un număr întreg din sistemul de numere s-ary în sistemul de numere h-ary, este necesar să se împartă succesiv acest număr și coeficientii rezultați la h (conform regulilor sistemului numeric cu baza h) până când câtul devine egal cu zero. Cea mai semnificativă cifră din notația unui număr cu baza h este ultimul rest, iar cifrele care îl urmează formează resturile din diviziunile anterioare, scrise în ordinea inversă a primirii lor.
1. Numărarea ordinală în diverse sisteme numerice.
ÎN viata moderna folosim sisteme de numere poziționale, adică sisteme în care numărul notat cu o cifră depinde de poziția cifrei în notația numărului. Prin urmare, în viitor vom vorbi doar despre ele, omițând termenul „pozițional”.
Pentru a învăța cum să convertim numerele dintr-un sistem în altul, vom înțelege cum are loc înregistrarea secvențială a numerelor folosind exemplul sistemului zecimal.
Deoarece avem un sistem de numere zecimal, avem 10 simboluri (cifre) pentru a construi numere. Începem să numărăm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numerele s-au terminat. Creștem adâncimea de biți a numărului și resetam cifra cea mai puțin semnificativă: 10. Apoi creștem din nou cifra inferioară până când toate cifrele dispar: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Noi mărim cifra mare cu 1 și resetam cifra inferioară: 20. Când folosim toate cifrele pentru ambele cifre (obținem numărul 99), creștem din nou capacitatea de cifre a numărului și resetam cifrele existente: 100. Și așa pe.
Să încercăm să facem același lucru în sistemele 2, 3 și 5 (introducem notația pentru al 2-lea sistem, pentru al 3-lea etc.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Dacă sistemul numeric are o bază mai mare de 10, atunci va trebui să introducem caractere suplimentare se obișnuiește să introduceți litere din alfabetul latin. De exemplu, pentru sistemul zecimal, pe lângă zece cifre, avem nevoie de două litere ( și ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversia din sistemul numeric zecimal în oricare altul.
Pentru a converti un număr zecimal întreg pozitiv într-un sistem numeric cu o bază diferită, trebuie să împărțiți acest număr la bază. Împărțiți din nou câtul rezultat la bază și mai departe până când câtul este mai mic decât baza. Ca urmare, notează pe un rând ultimul coeficient și toate resturile, începând de la ultimul.
Exemplul 1. Să convertim numărul zecimal 46 în sistemul numeric binar.
Exemplul 2. Să convertim numărul zecimal 672 în sistemul de numere octale.
Exemplul 3. Să convertim numărul zecimal 934 în sistemul numeric hexazecimal.
3. Conversie din orice sistem numeric în zecimal.
Pentru a învăța cum să convertiți numerele din orice alt sistem în zecimal, să analizăm notația obișnuită pentru un număr zecimal.
De exemplu, numărul zecimal 325 este de 5 unități, 2 zeci și 3 sute, adică.
Situația este exact aceeași în alte sisteme de numere, doar că vom înmulți nu cu 10, 100 etc., ci cu puterile bazei sistemului de numere. De exemplu, să luăm numărul 1201 în sistemul numeric ternar. Să numerotăm cifrele de la dreapta la stânga începând de la zero și să ne imaginăm numărul ca suma produselor unei cifre și trei la puterea cifrei numărului:
Aceasta este notația zecimală a numărului nostru, adică
Exemplul 4. Să convertim numărul octal 511 în sistemul numeric zecimal.
Exemplul 5. Să convertim numărul hexazecimal 1151 în sistemul numeric zecimal.
4. Conversia de la sistemul binar la sistemul cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.).
Pentru a converti un număr binar într-un număr cu o putere de două baze, este necesar să împărțiți secvența binară în grupuri în funcție de numărul de cifre egal cu puterea de la dreapta la stânga și să înlocuiți fiecare grup cu cifra corespunzătoare a noii sistem de numere.
De exemplu, să convertim numărul binar 1100001111010110 în sistemul octal. Pentru a face acest lucru, îl vom împărți în grupuri de 3 caractere începând din dreapta (din ), apoi vom folosi tabelul de corespondență și vom înlocui fiecare grup cu un număr nou:
Am învățat cum să construim un tabel de corespondență la pasul 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Aceste.
Exemplul 6. Să convertim numărul binar 1100001111010110 în hexazecimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | O |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversia dintr-un sistem cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.) în binar.
Această traducere este similară cu cea anterioară, realizată în reversul: Înlocuim fiecare cifră cu un grup de cifre binare din tabelul de căutare.
Exemplul 7. Să convertim numărul hexazecimal C3A6 în sistemul de numere binar.
Pentru a face acest lucru, înlocuiți fiecare cifră a numărului cu un grup de 4 cifre (din moment ce ) din tabelul de corespondență, completând grupul cu zerouri la început, dacă este necesar:
Cei care susțin examenul de stat unificat și multe altele...
Este ciudat că în lecțiile de informatică din școli, de obicei, le arată elevilor cel mai complex și incomod mod de a converti numerele dintr-un sistem în altul. Această metodă constă în împărțirea succesivă a numărului inițial la bază și colectarea resturilor din împărțire în ordine inversă.
De exemplu, trebuie să convertiți numărul 810 10 în binar:
Scriem rezultatul în ordine inversă de jos în sus. Se dovedește că 81010 = 11001010102
Dacă trebuie să convertiți la sistemul binar, destul numere mari, apoi scara de diviziune capătă dimensiunea unei clădiri cu mai multe etaje. Și cum poți aduna toate cele și zerourile și să nu ratezi niciunul?
Programul Unified State Exam în informatică include mai multe sarcini legate de conversia numerelor dintr-un sistem în altul. De obicei, aceasta este o conversie între sistemele octal și hexazecimal și binar. Acestea sunt secțiunile A1, B11. Dar există și probleme cu alte sisteme de numere, cum ar fi în secțiunea B7.
Pentru început, să ne amintim două tabele pe care ar fi bine să le cunoaștem pe de rost pentru cei care aleg informatica ca profesie viitoare.
Tabelul puterilor numărului 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Se obține cu ușurință prin înmulțirea numărului anterior cu 2. Deci, dacă nu vă amintiți toate aceste numere, restul nu sunt greu de obținut în minte din cele pe care le amintiți.
Tabel de numere binare de la 0 la 15 cu reprezentare hexazecimală:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | O | B | C | D | E | F |
Valorile lipsă sunt, de asemenea, ușor de calculat adăugând 1 la valorile cunoscute.
Conversie intreg
Deci, să începem prin a converti direct în sistemul binar. Să luăm același număr 810 10. Trebuie să descompunăm acest număr în termeni egali cu puterile a doi.
- Căutăm puterea celor două cele mai apropiate de 810 și să nu o depășească. Acesta este 2 9 = 512.
- Scădeți 512 din 810, obținem 298.
- Repetați pașii 1 și 2 până când nu mai rămân 1 sau 0.
- Am prins așa: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Metoda 1: Aranjați 1 în funcție de cifrele indicatorilor termenilor. În exemplul nostru, acestea sunt 9, 8, 5, 3 și 1. Locurile rămase vor conține zerouri. Deci, am obținut reprezentarea binară a numărului 810 10 = 1100101010 2. Unitățile sunt plasate pe locurile 9, 8, 5, 3 și 1, numărând de la dreapta la stânga de la zero.
Metoda 2: Să scriem termenii ca puteri a doi unul sub celălalt, începând cu cel mai mare.
810 =
Acum să adăugăm acești pași împreună, cum ar fi plierea unui evantai: 1100101010.
Asta este. În același timp, problema „câte unități sunt în reprezentarea binară a numărului 810?” este de asemenea rezolvată.
Răspunsul este atâția termeni (puteri a doi) în această reprezentare. 810 are 5 dintre ele.
Acum exemplul este mai simplu.
Să transformăm numărul 63 în sistemul numeric 5-ari. Cea mai apropiată putere de la 5 la 63 este 25 (pătratul 5). Un cub (125) va fi deja mult. Adică 63 se află între pătratul lui 5 și cub. Apoi vom selecta coeficientul pentru 5 2. Acesta este 2.
Se obține 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Și, în sfârșit, traduceri foarte ușoare între sistemele 8 și hexazecimale. Deoarece baza lor este o putere de doi, traducerea se face automat, pur și simplu prin înlocuirea numerelor cu reprezentarea lor binară. Pentru sistemul octal, fiecare cifră este înlocuită cu trei cifre binare, iar pentru sistemul hexazecimal, patru. În acest caz, sunt necesare toate zerourile înainte, cu excepția cifrei celei mai semnificative.
Să convertim numărul 547 8 în binar.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Încă unul, de exemplu 7D6A 16.
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | O |
Să convertim numărul 7368 în sistemul hexazecimal. Mai întâi, scrieți numerele în triplete, apoi împărțiți-le în cvadruple de la sfârșit: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Să convertim numărul C25 16 în sistemul octal. Mai întâi, scriem numerele în patru și apoi le împărțim în trei de la sfârșit: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Acum să ne uităm la conversia înapoi în zecimală. Nu este dificil, principalul lucru este să nu faci greșeli în calcule. Extindem numărul într-un polinom cu puteri ale bazei și coeficienți pentru ei. Apoi înmulțim și adăugăm totul. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Conversia numerelor negative
Aici trebuie să țineți cont de faptul că numărul va fi prezentat în complement a doi. Pentru a converti un număr în cod suplimentar, trebuie să știți dimensiunea finală a numărului, adică în ce dorim să-l încadram - într-un octet, în doi octeți, în patru. Cea mai semnificativă cifră a unui număr înseamnă semnul. Dacă există 0, atunci numărul este pozitiv, dacă 1, atunci este negativ. În stânga, numărul este completat cu o cifră semn. Nu considerăm numerele nesemnate, ele sunt întotdeauna pozitive, iar bitul cel mai semnificativ din ele este folosit ca informație.
Pentru a converti un număr negativ în complement binar, trebuie să convertiți un număr pozitiv în binar, apoi schimbați zerourile în unu și cele în zerouri. Apoi adăugați 1 la rezultat.
Deci, să convertim numărul -79 în sistemul binar. Numărul ne va lua un octet.
Convertim 79 în sistemul binar, 79 = 1001111. Adăugăm zerouri în stânga la dimensiunea octetului, 8 biți, obținem 01001111. Schimbăm 1 la 0 și 0 la 1. Obținem 10110000. Adăugăm 1 la rezultat, obținem răspunsul 10110001. Pe parcurs răspundem Întrebare pentru examenul de stat unificat„câte sunt în reprezentarea binară a numărului -79?” Raspunsul este 4.
Adăugarea lui 1 la inversul unui număr elimină diferența dintre reprezentările +0 = 00000000 și -0 = 11111111. În codul de complement a doi vor fi scrise la fel ca 00000000.
Conversia numerelor fracționale
Numerele fracționale sunt convertite în modul invers al împărțirii numerelor întregi la bază, ceea ce ne-am uitat chiar de la început. Adică, folosind înmulțirea secvențială cu o nouă bază cu colecția de părți întregi. Părțile întregi obținute în timpul înmulțirii sunt colectate, dar nu participă la următoarele operații. Se înmulțesc doar fracțiile. Dacă numărul inițial este mai mare decât 1, atunci părțile întregi și fracționale sunt translatate separat și apoi lipite împreună.
Să transformăm numărul 0,6752 în sistemul binar.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Procesul poate fi continuat pentru o lungă perioadă de timp până când obținem toate zerourile din partea fracțională sau se obține precizia necesară. Să ne oprim la al 6-lea semn deocamdată.
Se dovedește că 0,6752 = 0,101011.
Dacă numărul a fost 5,6752, atunci în binar va fi 101,101011.
