Golovizin V.V. Prelegeri de algebră și geometrie. 4
Prelegeri de algebră și geometrie. Semestrul 2.
Cursul 22. Spații vectoriale.
Rezumat: definiția unui spațiu vectorial, proprietățile sale cele mai simple, sisteme de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, combinație liniară trivială și netrivială, sisteme de vectori dependente și independente liniar, condiții de dependență liniară sau independență a unui sistem de vectori, subsisteme ale unui sistem de vectori, sisteme de coloane ale unui spațiu vectorial aritmetic.
clauza 1. Definiția spațiului vectorial și proprietățile sale cele mai simple.
Aici, pentru comoditatea cititorului, repetăm conținutul paragrafului 13 al prelegerii 1.
Definiție. Fie o mulțime arbitrară nevidă, ale cărei elemente le vom numi vectori, K – un câmp, ale cărui elemente le vom numi scalari. Să fie definită o operație algebrică binară internă pe o mulțime, pe care o vom nota prin semnul + și o vom numi adunare vectorială. Să fie definită și o operație algebrică binară externă pe mulțime, pe care o vom numi înmulțirea unui vector cu un scalar și notat cu semnul înmulțirii. Cu alte cuvinte, sunt definite două mapări:
O mulțime împreună cu aceste două operații algebrice se numește spațiu vectorial peste câmpul K dacă sunt valabile următoarele axiome:
1. Adunarea este asociativă, adică.
2. Există un vector zero, adică.
3. Pentru orice vector există un opus:
Vectorul y opus vectorului x este de obicei notat -x, deci
4. Adunarea este comutativă, adică. .
5. Înmulțirea unui vector cu un scalar respectă legea asociativității, i.e.
unde produsul este produsul scalarilor definiți în câmpul K.
6., unde 1 este unitatea câmpului K.
7. Înmulțirea unui vector cu un scalar este distributivă în raport cu adăugarea vectorilor:
8. Înmulțirea unui vector cu un scalar este distributivă în raport cu adunarea scalarilor: .
Definiție. Un spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale se numește spațiu vectorial real.
Teorema. (Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale.)
1. Există un singur vector zero într-un spațiu vectorial.
2. În spațiul vectorial, orice vector are un opus unic.
3. sau 
.
4.
.
Dovada. 1) Unicitatea vectorului zero este dovedită în același mod ca unicitatea matricei identitare și, în general, ca unicitatea elementului neutru al oricărei operații algebrice binare interne.
Fie 0 vectorul zero al spațiului vectorial V. Atunci . Lăsa 
– un alt vector zero. Apoi . Să luăm în primul caz 
, iar în al doilea - 
. Apoi 
Și 
, din care rezultă că 
, etc.
2a) Mai întâi demonstrăm că produsul dintre un scalar zero și orice vector este egal cu un vector zero.
Lăsa 
. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:
În ceea ce privește adăugarea, un spațiu vectorial este un grup abelian, iar legea anulării este valabilă în orice grup. Aplicând legea anulării, rezultă din ultima egalitate
.
2b) Acum demonstrăm afirmația 4). Lăsa 
– vector arbitrar. Apoi
Rezultă imediat că vectorul 
este opus vectorului x.
2c) Lasă acum 
. Apoi, folosind axiomele spațiului vectorial, 
Și 
primim:
2d) Fie 
și să presupunem că 
. Deoarece 
, unde K este un câmp, atunci există 
. Să înmulțim egalitatea 
rămas pe 
:
, care urmează 
sau 
sau 
.
Teorema este demonstrată.
clauza 2. Exemple de spații vectoriale.
1) Un set de funcții numerice reale ale unei variabile, continue pe intervalul (0; 1) în raport cu operațiile obișnuite de adunare a funcțiilor și de înmulțire a unei funcții cu un număr.
2) O mulțime de polinoame dintr-o literă cu coeficienți din câmpul K în raport cu adunarea polinoamelor și înmulțirea polinoamelor cu un scalar.
3) Mulțimea numerelor complexe în raport cu adunarea numerelor complexe și înmulțirea cu un număr real.
4) Un set de matrice de aceeași dimensiune cu elemente din câmpul K în raport cu adunarea matricei și înmulțirea matricei cu un scalar.
Următorul exemplu este un caz special important al Exemplului 4.
5) Fie un număr natural arbitrar. Să notăm prin mulțimea tuturor coloanelor de înălțime n, i.e. set de matrici pe un câmp de mărimea K 
.
Mulțimea este un spațiu vectorial peste câmpul K și se numește spațiu vectorial aritmetic de coloane de înălțime n peste câmpul K.
În special, dacă în loc de un câmp arbitrar K luăm câmpul numerelor reale, atunci spațiul vectorial 
se numește spațiu vectorial aritmetic real al coloanelor de înălțime n.
În mod similar, un spațiu vectorial este, de asemenea, un set de matrice peste un câmp K de dimensiune 
sau, cu alte cuvinte, șiruri de lungime n. Este, de asemenea, notat cu și se mai numește spațiu vectorial aritmetic al șirurilor de lungime n peste câmpul K.
clauza 3. Sisteme vectoriale ale spațiului vectorial.
Definiție. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este orice set finit nevid de vectori din acest spațiu.
Desemnare: 
.
Definiție. Expresie
,
(1)
unde sunt scalarii câmpului K, sunt vectorii spațiului vectorial V, se numește combinație liniară a unui sistem de vectori 
. Scalarii se numesc coeficienții acestei combinații liniare.
Definiție. Dacă toți coeficienții unei combinații liniare (1) sunt egali cu zero, atunci o astfel de combinație liniară se numește trivială, în caz contrar - netrivială.
Exemplu. Lăsa 
sistem de trei vectori în spațiul vectorial V. Atunci
– combinație liniară trivială a unui sistem dat de vectori;
este o combinație liniară netrivială a unui sistem dat de vectori, deoarece primul coeficient al acestei combinaţii 
.
Definiție. Dacă orice vector x al spațiului vectorial V poate fi reprezentat ca:
atunci ei spun că vectorul x este exprimat liniar prin vectorii sistemului 
. În acest caz se mai spune că sistemul 
reprezintă liniar vectorul x.
Cometariu. În această definiție și în cea anterioară, cuvântul „liniar” este adesea sărit și se spune că sistemul reprezintă un vector sau vectorul este exprimat în termeni de vectori de sistem etc.
Exemplu. Lăsa 
este un sistem de două coloane dintr-un spațiu vectorial real aritmetic de coloane de înălțime 2. Apoi coloana 
exprimat liniar prin coloanele sistemului sau a unui sistem de coloane dat reprezintă liniar coloana x. Într-adevăr,
clauza 4. Sisteme liniar dependente și liniar independente de vectori într-un spațiu vectorial.
Deoarece produsul unui scalar zero de orice vector este un vector zero și suma vectorilor zero este egală cu un vector zero, atunci pentru orice sistem de vectori egalitatea
Rezultă că vectorul zero este exprimat liniar prin vectorii oricărui sistem de vectori sau, cu alte cuvinte, orice sistem de vectori reprezintă liniar vectorul zero.
Exemplu. Lăsa 
. În acest caz coloana nulă 
poate fi exprimat liniar prin coloanele sistemului în mai multe moduri:
sau 
Pentru a distinge între aceste metode de reprezentare liniară a vectorului zero, introducem următoarea definiție.
Definiție. Dacă egalitatea este valabilă
și în același timp toți coeficienții , apoi spun că sistemul 
reprezintă trivial vectorul nul. Dacă în egalitate (3) cel puţin unul dintre coeficienţi 
nu este egal cu zero, atunci se spune că sistemul de vectori 
reprezintă vectorul nul în mod netrivial.
Din ultimul exemplu vedem că există sisteme de vectori care pot reprezenta vectorul zero în moduri non-triviale. Din exemplul următor vom vedea că există sisteme de vectori care nu pot reprezenta vectorul nul într-un mod netrivial.
Exemplu. Lăsa 
– un sistem de două coloane dintr-un spațiu vectorial. Luați în considerare egalitatea:
,
Unde 
coeficienți încă necunoscuți. Folosind regulile pentru înmulțirea unei coloane cu un scalar (număr) și adăugarea coloanelor, obținem egalitatea:
.
Din definiția egalității matriceale rezultă că 
Și 
.
Astfel, acest sistem nu poate reprezenta coloana nulă într-un mod non-trivial.
Din exemplele de mai sus rezultă că există două tipuri de sisteme vectoriale. Unele sisteme reprezintă vectorul nul în mod netrivial, în timp ce altele nu. Rețineți că orice sistem de vectori reprezintă trivial vectorul zero.
Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial care reprezintă vectorul nul NUMAI trivial este numit liniar independent.
Definiție. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial care poate reprezenta vectorul zero într-un mod netrivial se numește dependent liniar.
Ultima definiție poate fi dată într-o formă mai detaliată.
Definiție. Sistem vectorial 
Spațiul vectorial V se numește dependent liniar dacă există o astfel de mulțime de scalari diferită de zero ai câmpului K
Cometariu. Orice sistem vectorial 
poate reprezenta trivial vectorul nul:
Dar acest lucru nu este suficient pentru a afla dacă un anumit sistem de vectori este liniar dependent sau liniar independent. Din definiție rezultă că un sistem de vectori liniar independent nu poate reprezenta vectorul zero în mod netrivial, ci doar trivial. Prin urmare, pentru a verifica independența liniară a unui sistem dat de vectori, trebuie să luăm în considerare reprezentarea zero printr-o combinație liniară arbitrară a acestui sistem de vectori:
Dacă această egalitate este imposibilă cu condiția ca cel puțin un coeficient al acestei combinații liniare să fie diferit de zero, atunci acest sistem este, prin definiție, liniar independent.
Deci în exemplele din paragraful anterior sistemul de coloane 
este liniar independent, iar sistemul de coloane 
este dependent liniar.
Independența liniară a sistemului de coloane este dovedită în mod similar 
,
,
... ,
din spațiul în care K este un câmp arbitrar, n este un număr natural arbitrar.
Următoarele teoreme oferă mai multe criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor vectoriale.
Teorema. (Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.)
Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.
Dovada. Necesitate. Lasă sistemul 
dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul zero în mod netrivial, adică. există o combinație liniară netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:
unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lăsa 
,
.
Să împărțim ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțim cu 
:
Să notăm: 
, Unde .
acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem etc.
Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem:
Să mutăm vectorul 
în partea dreaptă a acestei egalități:
Deoarece coeficientul vectorului 
egală 
, atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori 
, ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.
Teorema este demonstrată.
Consecinţă.
1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.
2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.
Dovada.
1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Să presupunem contrariul și există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, conform teoremei, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.
Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii celorlalți. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.
2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Să presupunem pentru certitudine că vectorul 
:. Atunci egalitatea este evidentă
acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar etc.
Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct din definiția unui sistem de vectori dependent liniar.
Deoarece 
, atunci următoarea egalitate este evidentă
Aceasta este o reprezentare netrivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă sistemul 
este dependent liniar.
2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lasă pentru certitudine 
. Atunci egalitatea este evidentă
Acestea. primul vector este exprimat liniar prin vectorii rămași ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că acest sistem este dependent liniar etc.
Similar cu cea precedentă, această afirmație poate fi demonstrată direct prin definirea unui sistem dependent liniar.
Într-adevăr, din moment ce 
, atunci egalitatea este adevărată
acestea. avem o reprezentare netrivială a vectorului zero.
Ancheta a fost dovedită.
Teorema (Despre dependența liniară a unui sistem de un vector.
Un sistem format dintr-un vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.
Dovada.
Necesitate. Lasă sistemul 
dependent liniar, adică există o reprezentare netrivială a vectorului zero
,
Unde 
Și 
. Din cele mai simple proprietăți ale spațiului vectorial rezultă că atunci 
.
Adecvarea. Fie sistemul format dintr-un vector zero 
. Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial
,
de unde urmează dependenţa liniară a sistemului 
.
Teorema este demonstrată.
Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.
Dovada este lăsată ca exercițiu cititorului.
4.3.1 Definirea spațiului liniar
Lăsa ā
,
,
-
elemente ale unui set ā
,
,
Teren λ
,
μ
-
numere reale, λ
,
μ
R..
Se numește mulțimea Lliniar sauspațiu vectorial, dacă sunt definite două operații:
1 0 . Plus. Fiecare pereche de elemente din această mulțime este asociată cu un element din aceeași mulțime, numit suma lor
ā
+
=
2°.Înmulțirea cu un număr.
Orice număr real λ
și element ā
L se potrivește cu un element din același set λ
ā
Lși sunt îndeplinite următoarele proprietăți:
1. ā+
=
+
ā;
2. ā+(
+
)=(ā+
)+
;
3. există element zero
, astfel încât
ā
+
=ā
;
4. există element opus
-
astfel încât ā
+(-ā
)=
.
Dacă λ , μ - numere reale, atunci:
5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;
6. 1ā= ā;
7.
λ(ā
+
)=
λ ā+λ
;
8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā
Elemente ale spațiului liniar ā,
,
...
se numesc vectori.
Exercițiu. Arată-ți că aceste mulțimi formează spații liniare:
1) Un set de vectori geometrici pe un plan;
2) Mulți vectori geometrici în spațiul tridimensional;
3) Un set de polinoame de un anumit grad;
4) Un set de matrici de aceeași dimensiune.
4.3.2 Vectori liniar dependenți și independenți. Dimensiunea și baza spațiului
Combinație liniară
vectori
ā
1
,
ā
2 ,
…, ā
n
Lse numeste vector de acelasi spatiu de forma:
,
Unde λ sunt numere reale.
Vectori ā 1 , .. , ā n sunt numiteliniar independent, dacă combinația lor liniară este un vector zero dacă și numai dacă toate λ i sunt egale cu zero, acesta este
λ
i =0 
Dacă combinația liniară este un vector zero și cel puțin unul dintre λ
i este diferit de zero, atunci acești vectori se numesc dependenți liniar. Acesta din urmă înseamnă că cel puțin unul dintre vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a altor vectori. Într-adevăr, chiar dacă, de exemplu, 
. Apoi, 
, Unde 
.
Se numește un sistem ordonat de vectori maxim liniar independent bază spaţiu L. Numărul de vectori de bază se numește dimensiune spaţiu.
Să presupunem că există n vectori liniar independenți, atunci spațiul se numește n-dimensională. Alți vectori spațiali pot fi reprezentați ca o combinație liniară n vectori de bază. Pe bază n- spațiu dimensional poate fi luat orice n vectori liniar independenți ai acestui spațiu.
Exemplul 17. Găsiți baza și dimensiunea acestor spații liniare:
a) un set de vectori care se află pe o linie (coliniar unei linii)
b) o mulţime de vectori aparţinând planului
c) o mulţime de vectori ai spaţiului tridimensional
d) un set de polinoame de grad nu mai mare de doi.
Soluţie.
A) Oricare doi vectori care se află pe o linie dreaptă vor fi dependenți liniar, deoarece vectorii sunt coliniari 
, Acea 
,
λ
- scalar. În consecință, baza unui spațiu dat este doar un (orice) vector diferit de zero.
De obicei, acest spațiu este desemnat R, dimensiunea sa este 1.
b) oricare doi vectori necoliniari 
vor fi liniar independenți și oricare trei vectori de pe plan vor fi liniar independenți. Pentru orice vector 
, sunt numere
Și
astfel încât 
. Spațiul se numește bidimensional, notat cu R 2 .
Baza unui spațiu bidimensional este formată din oricare doi vectori necoliniari.
V) Oricare trei vectori necoplanari vor fi independenți liniar, ei formând baza spațiului tridimensional R 3 .
G) Ca bază pentru spațiul de polinoame de grad nu mai mare de doi, putem alege următorii trei vectori: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .
(1 este un polinom identic egal cu unu). Acest spațiu va fi tridimensional.
Cursul 6. Spațiul vectorial.
Întrebări principale.
1. Spațiu liniar vectorial.
2. Baza și dimensiunea spațiului.
3. Orientare în spațiu.
4. Descompunerea unui vector pe bază.
5. Coordonatele vectoriale.
1. Spațiu liniar vectorial.
O mulțime formată din elemente de orice natură în care sunt definite operații liniare: adăugarea a două elemente și înmulțirea unui element cu un număr se numește spatii, iar elementele lor sunt vectori acest spatiu si se noteaza la fel ca marimile vectoriale in geometrie: . Vectori Astfel de spații abstracte, de regulă, nu au nimic în comun cu vectorii geometrici obișnuiți. Elementele spațiilor abstracte pot fi funcții, un sistem de numere, matrici etc. și, într-un caz particular, vectori obișnuiți. Prin urmare, astfel de spații sunt de obicei numite spații vectoriale .
Spațiile vectoriale sunt, De exemplu, un set de vectori coliniari, notat V1 , set de vectori coplanari V2 , set de vectori ai spațiului obișnuit (real) V3 .
Pentru acest caz particular, putem da următoarea definiție a unui spațiu vectorial.
Definiția 1. Mulțimea vectorilor se numește spațiu vectorial, dacă o combinație liniară a oricăror vectori ai unei mulțimi este, de asemenea, un vector al acestei mulțimi. Vectorii înșiși sunt numiți elemente spațiu vectorial.
Mai important, atât teoretic cât și aplicativ, este conceptul general (abstract) de spațiu vectorial.
Definiția 2. O multime de R elemente, în care suma este determinată pentru oricare două elemente și pentru orice element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> numit vector(sau liniar) spaţiu, iar elementele sale sunt vectori, dacă operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr îndeplinesc următoarele condiții ( axiome) :
1) adăugarea este comutativă, adică gif" width="184" height="25">;
3) există un astfel de element (vector zero) încât pentru orice https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" înălțime="27">;
5) pentru orice vector și și orice număr λ egalitatea este valabilă;
6) pentru orice vector și orice numere λ
Și µ
egalitatea este adevărată: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> și orice numere λ
Și µ
corect 
;
8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.
Urmează cele mai simple axiome care definesc un spațiu vectorial: consecințe :
1. Într-un spațiu vectorial există un singur zero - elementul - vectorul zero.
2. În spațiul vectorial, fiecare vector are un singur vector opus.
3. Pentru fiecare element egalitatea este satisfăcută.
4. Pentru orice număr real λ și zero vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.
5..gif" width="145" height="28">
6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> este un vector care satisface egalitatea https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.
Deci, într-adevăr, mulțimea tuturor vectorilor geometrici este un spațiu liniar (vector), întrucât pentru elementele acestei mulțimi sunt definite acțiunile de adunare și înmulțire cu un număr care satisfac axiomele formulate.
2. Baza și dimensiunea spațiului.
Conceptele esențiale ale unui spațiu vectorial sunt conceptele de bază și dimensiune.
Definiție. Un set de vectori liniar independenți, luați într-o anumită ordine, prin care orice vector de spațiu poate fi exprimat liniar, se numește bază acest spatiu. Vectori. Componentele bazei spațiului sunt numite de bază .
Baza unui set de vectori localizați pe o linie arbitrară poate fi considerată un vector coliniar la această linie.
Bazat pe avion să numim doi vectori necoliniari pe acest plan, luați într-o anumită ordine https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.
Dacă vectorii de bază sunt perpendiculari perechi (ortogonali), atunci baza se numește ortogonală, iar dacă acești vectori au lungimea egală cu unu, atunci se numește baza ortonormal .
Se numește cel mai mare număr de vectori liniar independenți din spațiu dimensiune a acestui spațiu, adică dimensiunea spațiului coincide cu numărul de vectori de bază ai acestui spațiu.
Deci, conform acestor definiții:
1. Spațiu unidimensional V1 este o linie dreaptă, iar baza constă din unul coliniar vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .
3. Spațiul obișnuit este spațiu tridimensional V3 , a cărui bază constă în trei necoplanare vectori
De aici vedem că numărul de vectori de bază pe o dreaptă, pe un plan, în spațiul real coincide cu ceea ce în geometrie se numește de obicei numărul de dimensiuni (dimensiune) unei linii, plan, spațiu. Prin urmare, este firesc să introducem o definiție mai generală.
Definiție. Spațiu vectorial R numit n– dimensional dacă nu există mai mult de n vectori liniar independenți și se notează R n. Număr n numit dimensiune spaţiu.
În conformitate cu dimensiunea spațiului sunt împărțite în finite-dimensionaleȘi infinit-dimensională. Dimensiunea spațiului nul este considerată egală cu zero prin definiție.
Nota 1.În fiecare spațiu puteți specifica câte baze doriți, dar toate bazele unui spațiu dat constau din același număr de vectori.
Nota 2.ÎN n– într-un spațiu vectorial dimensional, o bază este orice colecție ordonată n vectori liniar independenți.
3. Orientare în spațiu.
Fie vectorii de bază în spațiu V3 avea început generalȘi ordonat, adică se indică care vector este considerat primul, care este considerat al doilea și care este considerat al treilea. De exemplu, în bază vectorii sunt ordonați în funcție de indexare. |
|
Pentru asta pentru a orienta spațiul, este necesar să se stabilească o bază și să îl declare pozitiv .
Se poate demonstra că mulțimea tuturor bazelor spațiului se încadrează în două clase, adică în două submulțimi disjunse.
a) toate bazele aparținând unei submulțimi (clase) au aceeași orientare (baze cu același nume);
b) oricare două baze aparținând variat submulţimi (clase), au opusul orientare, ( nume diferite baze).
Dacă una dintre cele două clase de baze ale unui spațiu este declarată pozitivă și cealaltă negativă, atunci se spune că acest spațiu orientat .
Adesea, la orientarea spațiului, se numesc niște baze dreapta, si altii - stânga .
https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> sunt numite dreapta, dacă, la observarea de la sfârșitul celui de-al treilea vector, cea mai scurtă rotație a primului vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > se realizează în sens invers acelor de ceasornic(Fig. 1.8, a).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">
Orez. 1.8. Baza dreapta (a) și baza stângă (b)
De obicei, baza corectă a spațiului este declarată a fi o bază pozitivă
Baza spațiului din dreapta (stânga) poate fi determinată, de asemenea, utilizând regula unui șurub „dreapta” („stânga”) sau a unui braț.
Prin analogie cu aceasta, este introdus conceptul de dreapta și stânga trei vectori necoplanari care trebuie ordonati (Fig. 1.8).
Astfel, în cazul general, două triplete ordonate de vectori necoplanari au aceeași orientare (același nume) în spațiu V3 dacă ambele sunt la dreapta sau ambele la stânga și - orientarea opusă (opusă) dacă una dintre ele este dreapta și cealaltă este stânga.
La fel se procedează și în cazul spațiului V2 (avion).
4. Descompunerea unui vector pe bază.
Pentru simplitatea raționamentului, să luăm în considerare această întrebare folosind exemplul unui spațiu vectorial tridimensional R3 .
Fie https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> să fie un vector arbitrar al acestui spațiu.
Capitolul 3. Spații vectoriale liniare
Tema 8. Spații vectoriale liniare
Definiţia linear space. Exemple de spații liniare
În §2.1 operația de adăugare a vectorilor liberi din R 3 și operația de înmulțire a vectorilor cu numere reale și, de asemenea, enumeră proprietățile acestor operații. Extinderea acestor operații și proprietățile lor la un set de obiecte (elemente) de natură arbitrară duce la o generalizare a conceptului de spațiu liniar al vectorilor geometrici din R 3 definit la §2.1. Să formulăm definiția unui spațiu vectorial liniar.
Definiție 8.1. O multime de V elemente X , la , z ,... sunat spațiu vectorial liniar, Dacă:
există o regulă că fiecare două elemente X Și la din V se potrivește cu al treilea element din V, numit Cantitate X Și la și desemnat X + la ;
există o regulă că fiecare element X și potrivește orice număr real cu un element din V, numit produsul elementului X pe numărși desemnat X .
În plus, suma oricăror două elemente X + la si munca X orice element pentru orice număr trebuie să îndeplinească următoarele cerințe - axiome ale spațiului liniar:
1°. X + la = la + X (comutativitatea adunării).
2°. ( X + la ) + z = X + (la + z ) (asociativitatea adunării).
3°. Există un element 0 , numit zero, astfel încât
X + 0 = X , X .
4°. Pentru oricine X există un element (– X ), numit opus pentru X , astfel încât
X + (– X ) = 0 .
5°. ( X ) = ()X , X , , R.
6°. X = X , X .
7°. () X = X + X , X , , R.
8°. ( X + la ) = X + y , X , y , R.
Vom numi elementele spațiului liniar vectori indiferent de natura lor.
Din axiomele 1°–8° rezultă că în orice spațiu liniar V sunt valabile următoarele proprietăți:
1) există un singur vector zero;
2) pentru fiecare vector X există un singur vector opus (– X ) , și (- X ) = (– l) X ;
3) pentru orice vector X egalitatea 0× este adevărată X = 0 .
Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1). Să presupunem că în spațiu V sunt doua zerouri: 0 1 și 0 2. Punând 3° în axiomă X = 0 1 , 0 = 0 2, primim 0 1 + 0 2 = 0 1 . La fel, dacă X = 0 2 , 0 = 0 1, atunci 0 2 + 0 1 = 0 2. Ținând cont de axioma 1°, obținem 0 1 = 0 2 .
Să dăm exemple de spații liniare.
1. Mulțimea numerelor reale formează un spațiu liniar R. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în el.
2. Mulțimea vectorilor liberi din spațiul tridimensional, așa cum se arată în §2.1, formează de asemenea un spațiu liniar, notat R 3. Zerul acestui spațiu este vectorul zero.
Mulțimea vectorilor de pe plan și de pe linie sunt de asemenea spații liniare. Le vom desemna R 1 și R 2 respectiv.
3. Generalizarea spatiilor R 1 , R 2 și R 3 servește spațiu Rn, n N, numit spatiu aritmetic n-dimensional, ale căror elemente (vectori) sunt colecții ordonate n numere reale arbitrare ( X 1 ,…, x n), adică
Rn = {(X 1 ,…, x n) | x i R, i = 1,…, n}.
Este convenabil să folosiți notația X = (X 1 ,…, x n), în care x i numit coordonata i-a(componentă)vector X .
Pentru X , la RnȘi R Definim adunarea și înmulțirea cu un număr folosind următoarele formule:
X + la = (X 1 + y 1 ,…, x n+ y n);
X = (X 1 ,…, x n).
Elementul zero al spațiului Rn este un vector 0 = (0,…, 0). Egalitatea a doi vectori X = (X 1 ,…, x n) Și la = (y 1 ,…, y n) din Rn, prin definiție, înseamnă egalitatea coordonatelor corespunzătoare, adică. X = la Û X 1 = y 1 &… & x n = y n.
Îndeplinirea axiomelor 1°–8° este evidentă aici.
4. Lasă C [ A ; b] – set de reali continue pe intervalul [ A; b] funcții f: [A; b] R.
Suma funcțiilor fȘi g din C [ A ; b] se numește funcție h = f + g, definit prin egalitate
h = f + g Û h(X) = (f + g)(X) = f(X) + g(X), " X Î [ A; b].
Produsul unei funcții f Î C [ A ; b] la numere A Î R este determinat de egalitate
u = f Û u(X) = (f)(X) = f(X), " X Î [ A; b].
Astfel, operațiile introduse de adunare a două funcții și de înmulțire a unei funcții cu un număr transformă mulțimea C [ A ; b] într-un spațiu liniar ai cărui vectori sunt funcții. Axiomele 1°–8° sunt în mod evident satisfăcute în acest spațiu. Vectorul zero al acestui spațiu este funcția identică zero și egalitatea a două funcții fȘi gînseamnă, prin definiție, următoarele:
f = g f(X) = g(X), " X Î [ A; b].
Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. Unii autori pun un semn egal între spațiul euclidian și cel pre-hilbert. În acest articol, prima definiție va fi luată ca punct de plecare.
N (\displaystyle n) spatiul euclidian -dimensional este de obicei notat E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); notația este adesea folosită și atunci când din context reiese clar că spațiul este prevăzut cu o structură naturală euclidiană.
Definiție formală
Pentru a defini spațiul euclidian, cel mai simplu mod este să luăm ca concept principal produsul scalar. Un spațiu vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ale cărui perechi de vectori este specificată o funcție cu valoare reală. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) având următoarele trei proprietăți:
Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) format din toate seturile posibile de numere reale (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) produs scalar în care este determinat de formula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)
Lungimi și unghiuri
Produsul scalar definit pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectorului u (\displaystyle u) este definit ca (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) si este desemnat | u | . (\displaystyle |u|.) Definitivitatea pozitivă a produsului scalar garantează că lungimea vectorului diferit de zero este nenulă, iar din biliniaritate rezultă că | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.
Unghiul dintre vectori u (\displaystyle u)Și v (\displaystyle v) determinat de formula φ = arccos ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\dreapta).) Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian) această definiție a unghiului coincide cu cea obișnuită. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori al căror unghi este egal cu π 2. (\displaystyle (\frac (\pi)(2)).)
Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz și inegalitatea triunghiulară
Există un gol rămas în definiția unghiului dată mai sus: pentru a arccos ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) a fost definit, este necesar ca inegalitatea | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Această inegalitate se menține într-un spațiu euclidian arbitrar și se numește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz. Din această inegalitate, la rândul său, rezultă inegalitatea triunghiulară: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile de lungime enumerate mai sus, înseamnă că lungimea unui vector este norma pentru spațiul vectorial euclidian, iar funcția d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definește structura unui spațiu metric pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană). În special, distanța dintre elemente (puncte) x (\displaystyle x)Și y (\displaystyle y) spațiu de coordonare R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) este dat de formula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)
Proprietăți algebrice
Baze ortonormale
Conjugați spații și operatori
Orice vector x (\displaystyle x) Spațiul euclidian definește o funcțională liniară x ∗ (\displaystyle x^(*)) pe acest spatiu, definit ca x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Această comparație este un izomorfism între spațiul euclidian și spațiul său dual și le permite să fie identificate fără a compromite calculele. În special, operatorii conjugați pot fi considerați ca acționând asupra spațiului inițial, și nu asupra acestuia dual, iar operatorii autoadjuncți pot fi definiți ca operatori care coincid cu conjugații lor. Pe o bază ortonormală, matricea operatorului adjunct este transpusă în matricea operatorului original, iar matricea operatorului autoadjunct este simetrică.
Mișcări ale spațiului euclidian
Mișcările spațiului euclidian sunt transformări care păstrează metrica (numite și izometrii). Exemplu de mișcare - translație paralelă la vector v (\displaystyle v), care traduce punctul p (\displaystyle p) exact p + v (\displaystyle p+v). Este ușor de observat că orice mișcare este o compoziție de translație și transformare paralelă care menține fix un punct. Alegând un punct fix ca origine a coordonatelor, orice astfel de mișcare poate fi considerată ca
