Mișcare complexă a punctului. Adăugarea de accelerații în timpul mișcării portabile de translație Portabil relativ

Mișcare complexă a punctului

Concepte de bază

În multe probleme, mișcarea unui punct trebuie considerată în raport cu două (sau mai multe) sisteme de referință care se mișcă unul față de celălalt.

În cel mai simplu caz, mișcarea complexă a unui punct constă în relativ Şi portabil miscarile. Să definim aceste mișcări.

Să considerăm două sisteme de referință care se deplasează unul față de celălalt. Un singur cadru de referință O 1 x 1 y 1 z 1 va fi luat ca principal și staționar. Al doilea cadru de referință Oxyz se va deplasa în raport cu primul.

Mișcarea unui punct în raport cu un cadru de referință în mișcare Oxyz numit relativ. Caracteristicile acestei mișcări, cum ar fi traiectoria, viteza și accelerația, sunt numite relativ. Ele sunt desemnate prin index r.

Mișcarea unui punct în raport cu cadrul de referință fix principal O 1 x 1 y 1 z 1 este numit absolut (sau complex). Se numesc traiectoria, viteza și accelerația acestei mișcări absolut. Sunt desemnate fără index.

Portabil Mișcarea unui punct este mișcarea pe care o face împreună cu un cadru de referință în mișcare, ca punct atașat rigid acestui sistem în momentul de timp luat în considerare. Datorită mișcării relative, punctul în mișcare coincide în momente diferite cu puncte diferite ale corpului S, de care este atașat cadrul de referință în mișcare. Portabil viteza si portabil accelerația este viteza și accelerația acelui punct al corpului S de la care la în acest moment punctul de mișcare coincide. Portabil viteza și accelerația sunt notate cu un indice e.

Dacă în figură sunt descrise traiectoriile tuturor punctelor corpului S, atașate la un cadru de referință în mișcare, atunci obținem o familie de linii - o familie de traiectorii ale mișcării portabile a punctului M. Datorită mișcării relative a punctului M în fiecare moment de timp, acesta se află pe una dintre traiectorii mișcării portabile.

Una și aceeași mișcare absolută, alegând diferite cadre de referință în mișcare, poate fi considerată a consta din diferite mișcări portabile și, în consecință, relative.

Adăugarea vitezei

Să determinăm viteza mișcării absolute a punctului M dacă se cunosc vitezele mișcărilor absolute și portabile ale acestui punct.

Într-o perioadă scurtă de timp de-a lungul traiectoriei, punctul M va efectua o mișcare relativă determinată de vector. Curba însăși, deplasându-se împreună cu axele în mișcare, se va deplasa într-o nouă poziție în aceeași perioadă de timp, în același timp, punctul curbei cu care punctul M a coincis va efectua o mișcare portabilă. Ca urmare, punctul se va muta.

Împărțind ambele părți ale egalității și trecând la limită, obținem

Adăugarea de accelerații în timpul mișcării de translație.

Să determinăm accelerația mișcării absolute a unui punct în cazul special al mișcării de translație.

Teorema este adevărată. Dacă cadrul de referință în mișcare se mișcă translațional față de cel fix, atunci toate punctele corpului atașate acestui sistem au aceleași viteze și accelerații, egale cu viteza și accelerația originii cadrului în mișcare O. Prin urmare, pentru viteza și accelerația mișcării portabile pe care o avem

Să exprimăm viteza relativă în coordonate carteziene

Înlocuind valorile vitezelor portabile și relative în teorema privind adăugarea vitezelor, obținem

Prin definiție

Până acum am studiat mișcarea unui punct sau a unui corp în raport cu un cadru de referință dat. Cu toate acestea, într-o serie de cazuri, atunci când se rezolvă probleme de mecanică, se dovedește a fi recomandabil (și uneori necesar) să se ia în considerare mișcarea unui punct (sau corp) simultan în raport cu două sisteme de referință, dintre care unul este considerat principal sau staționar condiționat, iar celălalt se mișcă într-un anumit fel în raport cu primul. Mișcarea efectuată de punct (sau corp) se numește compozit sau complex. De exemplu, o minge care se rostogolește de-a lungul punții unei nave cu aburi în mișcare poate fi considerată ca efectuând o mișcare complexă în raport cu țărm, constând în rostogolire față de punte (cadru de referință în mișcare) și deplasându-se împreună cu puntea navei cu aburi. în raport cu malul (cadru fix de referinţă). În acest fel, mișcarea complexă a mingii se descompune în două mai simple și mai ușor de studiat.

Fig.48

Luați în considerare ideea M, deplasându-se în raport cu sistemul de referință în mișcare Oxyz, care la rândul său se mișcă cumva în raport cu un alt sistem de referință, pe care îl numim principal sau staționar condiționat (Fig. 48). Fiecare dintre aceste sisteme de referință este asociat, desigur, cu un corp specific, neprezentat în desen. Să introducem următoarele definiții.

1. Mișcare făcută de un punct Mîn raport cu sistemul de referință în mișcare (la axe Oxyz), numit mișcare relativă(o astfel de mișcare va fi văzută de un observator asociat acestor axe și deplasându-se cu ele). Traiectorie AB descris de un punct în mișcare relativă se numește traiectorie relativă. Viteza punctului Mîn raport cu axele Oxyz se numește viteză relativă (notat cu ), iar accelerația se numește accelerație relativă (notat cu ). Din definiție rezultă că la calcul și este posibilă mutarea axelor Oxyz nu ţine cont (consideră-le nemişcate).

2. Mișcare efectuată de un cadru de referință în mișcare Oxyz(și toate punctele spațiului asociate invariabil cu acesta) în raport cu sistemul fix, este pentru punct M mișcare portabilă.

Viteza este invariabil asociată cu axele în mișcare Oxyz puncte m, cu care punctul de mișcare coincide la un moment dat în timp M, se numește viteza de transfer a punctului Mîn acest moment (notat cu ), iar accelerația acestui punct m- accelerația portabilă a unui punct M(notat cu ). Astfel,

Daca iti imaginezi asta mișcare relativă punctele apar pe suprafața (sau în interiorul) unui corp solid, de care axele mobile sunt legate rigid Oxyz, apoi viteza (sau accelerația) portabilă a punctului M la un moment dat de timp va exista viteza (sau accelerația) acelui punct m al corpului cu care punctul coincide în acest moment M.

3. Se numește mișcarea efectuată de un punct în raport cu un cadru de referință fix absolut sau complex. Traiectorie CD a acestei mișcări se numește traiectorie absolută, viteza se numește viteză absolută (notată cu ) iar accelerația se numește accelerație absolută (notată cu ).

În exemplul de mai sus, mișcarea mingii în raport cu puntea navei cu aburi va fi relativă, iar viteza va fi viteza relativă a mingii; mișcarea vaporului în raport cu malul va fi o mișcare portabilă pentru minge, iar viteza acelui punct de pe punte pe care mingea îl atinge la un moment dat în timp va fi viteza sa portabilă în acel moment; în cele din urmă, mișcarea mingii în raport cu malul va fi mișcarea sa absolută, iar viteza va fi viteza absolută a mingii.

Când studiați mișcarea complexă a unui punct, este util să aplicați „Regula de oprire”. Pentru ca un observator staționar să vadă mișcarea relativă a unui punct, mișcarea portabilă trebuie oprită.

Atunci va avea loc numai mișcare relativă. Mișcarea relativă va deveni absolută. Și invers, dacă opriți mișcarea relativă, cea portabilă va deveni absolută și un observator staționar va vedea doar această mișcare portabilă.

În acest din urmă caz, la determinarea mișcării portabile a unui punct, este relevată o circumstanță foarte importantă. Mișcarea portabilă a unui punct depinde de momentul în care mișcarea relativă este oprită, de locul în care punctul se află pe mediu în acel moment. Deoarece, în general, toate punctele mediului se mișcă diferit. Prin urmare, este mai logic să se determine mișcarea portabilă a unui punct ca mișcare absolută a acelui punct în mediul cu care punctul de mișcare coincide în prezent.

22.Teorema de adunare a vitezelor.

Lasă un punct M face o mișcare în raport cu sistemul de referință Oxyz, care el însuși se mișcă într-o manieră arbitrară în raport cu cadrul fix de referință , (Fig. 49).

Desigur, mișcarea absolută a unui punct M determinate de ecuații

Mișcare relativă - în axele în mișcare prin ecuații

Orez. 10.3.

Nu pot exista ecuații care să determine mișcarea portabilă a unui punct. Deoarece, prin definiție, mișcarea portabilă a unui punct M– aceasta este mișcarea relativă la axele fixe ale acelui punct al sistemului cu care punctul coincide în momentul de față. Dar toate punctele sistemului de mișcare se mișcă diferit.

Poziția cadrului de referință în mișcare poate fi determinată și prin specificarea poziției punctului DESPRE vector rază desenat de la originea sistemului de referință fix și direcția vectorilor unitari ai axelor în mișcare Ox, Oy, Oz.

Fig.49

Mișcarea portabilă arbitrară a unui cadru de referință în mișcare este compusă din mișcare de translație cu viteza unui punct DESPREși mișcări în jurul axei instantanee de rotație SAU trecând prin punct DESPRE, cu viteza unghiulara instantanee. Datorită mișcării portabile a cadrului de referință în mișcare, vectorul rază și direcțiile vectorilor unitari se modifică. Dacă vectorii sunt dați în funcție de timp, atunci mișcarea portabilă a cadrului de referință în mișcare este complet definită.

Poziția punctului Mîn raport cu cadrul de referință în mișcare poate fi determinat de vectorul rază

unde sunt coordonatele x, y, z puncte M modificarea în timp datorită mișcării unui punct M raportat la cadrul de referință în mișcare. Dacă vectorul rază este specificat în funcție de timp, atunci mișcarea relativă a punctului M, adică este dată mișcarea acestui punct în raport cu cadrul de referință în mișcare.

Poziția punctului M față de un sistem de referință fix poate fi determinată de vectorul rază. Din fig. 49 este clar că

Dacă coordonatele relative x,y,z puncte M iar vectorii sunt definiți în funcție de timp, apoi mișcarea compusă a punctului, constând din mișcări relative și de translație M, adică deplasarea acestui punct în raport cu un cadru fix de referință trebuie considerată și dată dată.

Viteza mișcării punctului compus M, sau viteza absolută a acestui punct, este în mod evident egală cu derivata vectorului rază a punctului M de timp t

Prin urmare, diferențierea egalității (1) în funcție de timp t, primim

Să împărțim termenii din partea dreaptă a acestei egalități în două grupuri conform următorului criteriu. Prima grupă include acei termeni care conțin derivate numai ale coordonatelor relative x,y,z, iar la al doilea - acei termeni care conțin derivate ale vectorilor, adică. din cantităţi care se modifică numai datorită mişcării portabile a cadrului de referinţă în mişcare

Fiecare dintre grupele de termeni, notate cu și , reprezintă, cel puțin ca dimensiune, o anumită viteză. Să aflăm semnificația fizică a vitezelor și .

Viteza, după cum rezultă din egalitatea (3), este calculată în ipoteza că numai coordonatele relative se modifică x,y,z puncte M, dar vectorii rămân constanți, adică cadru de referință în mișcare Oxyz parcă considerate convențional nemișcate. Deci viteza este viteza relativă a unui punct M.

Viteza este calculată ca și cum ar fi un punct M nu sa deplasat în raport cu cadrul de referință mobil, deoarece derivatele x,y,z nu sunt incluse în egalitate (4). Prin urmare, viteza este viteza portabilă a punctului M.

Deci, . (5)

Această egalitate exprimă teorema pentru adăugarea vitezelor în cazul în care mișcarea portabilă este arbitrară: viteza absolută a unui punct M egală cu suma geometrică a vitezelor portabile și relative ale acestui punct.

Exemplul 13. inel M se deplasează de-a lungul unei tije rotative astfel încât (cm) și (rad).

Fig.50

S-a stabilit anterior că traiectoria mișcării relative este o linie dreaptă care coincide cu tija, iar această mișcare este determinată de ecuație. Traiectoria mișcării punctului portabil M la un moment dat t– cerc cu raza .

Prin urmare viteza relativa este . Și este direcționat tangențial la traiectoria de-a lungul tijei (Fig. 50). Viteza de transfer a inelului, ca atunci când se rotește în jurul unei axe, este . Vectorul acestei viteze este îndreptat tangențial la traiectoria mișcării portabile, perpendicular pe tijă.

Viteza absolută a inelului. Mărimea lui, pentru că

23.Teorema de adunare a accelerației. Accelerația Coriolis.

Accelerația mișcării compuse a unui punct M, sau accelerația absolută a acestui punct, este în mod evident egală cu derivata vitezei absolute a punctului M de timp t

Prin urmare, diferențiind egalitatea în funcție de timp, obținem

Să împărțim termenii din partea dreaptă a acestei egalități în trei grupuri.

Primul grup include termeni care conțin numai derivate ale coordonatelor relative x,yŞi z, dar care nu conțin derivate ale vectorilor:

Al doilea grup include termeni care conțin numai derivate ale vectorilor, dar nu conțin derivate ale coordonatelor relative x,y,z:

A mai rămas un grup de termeni care nu au putut fi clasificați nici ca primii, nici ca al doilea, deoarece conțin derivate ale tuturor variabilelor. x,y,z, . Să notăm acest grup de termeni prin:

Fiecare dintre grupurile selectate reprezintă, cel puțin ca dimensiune, o oarecare accelerație. Să aflăm semnificația fizică a tuturor celor trei accelerații: .

Accelerația, după cum se poate vedea din egalitate, este calculată ca și cum ar fi coordonatele relative x,y,z s-au schimbat în timp, dar vectorii au rămas neschimbați, adică cadru de referință în mișcare Oxyz părea să fie în repaus, dar punct M mutat. Prin urmare, accelerația este accelerația relativă a punctului M. Deoarece accelerația (și viteza) mișcării relative se calculează în ipoteza că cadrul de referință în mișcare este în repaus, atunci pentru a determina accelerația (și viteza) relativă puteți folosi toate regulile expuse mai devreme în cinematica unui punct. .

Accelerația, după cum se poate vedea din egalitate, este calculată în ipoteza că punctul însuși M este în repaus în raport cu cadrul de referință în mișcare Oxyz(x=const, y=const, z=const) și se deplasează împreună cu acest sistem de referință în raport cu sistemul de referință staționar. Prin urmare, accelerația este accelerația portabilă a punctului M.

Al treilea grup de termeni determină accelerația, care nu poate fi atribuită accelerației relative, deoarece conține în expresia sa derivate nu accelerației portabile, deoarece conține în expresia sa derivate.

Să transformăm partea dreaptă a egalității, amintindu-ne asta

Înlocuind aceste valori ale derivatelor în egalități, obținem

Aici vectorul este viteza relativă a punctului M, De aceea

Se numește accelerație Accelerația Coriolis. Datorită faptului că accelerația Coriolis apare în cazul rotației unui cadru de referință în mișcare, se mai numește și accelerație de rotație.

Din punct de vedere fizic, apariția accelerației de rotație a unui punct se explică prin influența reciprocă a mișcărilor portabile și relative.

Deci, accelerația Coriolis a unui punct este egală ca mărime și direcție cu dublul produsului vectorial viteza unghiulara mișcare portabilă la viteza relativă a punctului.

O egalitate care poate fi acum abreviată ca

prezintă teorema de adunare a accelerațiilor în cazul în care mișcarea de translație este arbitrară: accelerația absolută a unui punct este egală cu suma vectorială a accelerațiilor de translație, relativă și rotație. Această teoremă este adesea numită teorema Coriolis.

Din formula rezultă că modulul de accelerație de rotație va fi

unde este unghiul dintre vector și vector. Pentru a determina direcția accelerației de rotație, trebuie să transferați mental vectorul în punct Mși să fie ghidat de regula algebrei vectoriale. Conform acestei reguli, vectorul trebuie să fie îndreptat perpendicular pe planul definit de vectorii și , și astfel încât, privind de la capătul vectorului, observatorul să poată vedea cea mai scurtă rotație de la până la care are loc în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 30). la un moment dat devine zero.

În plus, accelerația de rotație a unui punct poate dispărea în mod evident dacă:

a) vectorul vitezei relative a punctului este paralel cu vectorul vitezei unghiulare a rotației portabile, i.e. mișcarea relativă a punctului are loc într-o direcție paralelă cu axa de rotație portabilă;

b) punctul nu are mișcare în raport cu cadrul de referință în mișcare sau viteza relativă a punctului la un moment dat este zero ().

Exemplul 14. Lasă corpul să se învârtă axă fixă z. Un punct se deplasează pe suprafața sa M(Fig. 52). Desigur, viteza de mișcare a acestui punct este viteza relativă, iar viteza de rotație a corpului este viteza unghiulară a mișcării portabile.

Accelerația Coriolis este direcționată perpendicular pe acești doi vectori, conform regulii de direcție a vectorului produsului încrucișat. Deci, așa cum se arată în fig. 52.

Fig.52

Nu este dificil să formulați o regulă mai convenabilă pentru determinarea direcției vectorului: trebuie să proiectați vectorul viteză relativă pe un plan perpendicular pe axa rotației portabile și apoi să rotiți această proiecție cu 90 de grade în plan în direcția a rotaţiei portabile. Poziția finală a proiecției vectoriale va indica direcția accelerației Coriolis. (Această regulă a fost propusă de N.E. Jukovski).

Exemplul 15.(Să revenim la exemplul 13). Să găsim accelerația absolută a inelului M

Se mișcă în raport cu un sistem de referință și acesta, la rândul său, se mișcă în raport cu un alt sistem de referință. În acest caz, se pune întrebarea despre legătura dintre mișcările punctului în aceste două puncte de referință.

De obicei, unul dintre punctele de referință este ales ca punct de bază („absolut”), celălalt se numește „mobil” și se introduc următorii termeni:

mișcare absolută- aceasta este mișcarea unui punct/corp în baza SO.
mișcare relativă- aceasta este mișcarea unui punct/corp față de un sistem de referință în mișcare.
mișcare portabilă- aceasta este mișcarea celui de-al doilea CO față de primul.

Sunt introduse și conceptele de viteze și accelerații corespunzătoare. De exemplu, viteza portabilă este viteza unui punct datorită mișcării unui cadru de referință în mișcare în raport cu cel absolut. Cu alte cuvinte, aceasta este viteza unui punct dintr-un sistem de referință în mișcare care, la un moment dat de timp, coincide cu un punct material.

Se dovedește că la obținerea unei conexiuni între accelerații în sisteme diferite referință, este necesar să se introducă o altă accelerație din cauza rotației sistemului de referință în mișcare:

În continuare, se presupune că FR de bază este inerțială și nu sunt impuse restricții asupra celei în mișcare.

Mecanica clasica

Cinematica mișcării punctuale complexe

Viteză

Sarcinile principale ale cinematicii mișcării complexe sunt de a stabili dependențe între caracteristicile cinematice ale mișcărilor absolute și relative ale unui punct (sau corp) și caracteristicile mișcării unui sistem de referință în mișcare, adică mișcarea portabilă. Pentru un punct, aceste dependențe sunt după cum urmează: viteza absolută a punctului este egală cu suma geometrică a vitezelor relative și portabile, adică

Accelerare

Legătura dintre accelerații poate fi găsită prin diferențierea conexiunii pentru viteze, fără a uita că vectorii de coordonate ai sistemului de coordonate în mișcare pot depinde și de timp.

Accelerația absolută a unui punct este egală cu suma geometrică a trei accelerații - relativă, portabilă și Coriolis, adică

Cinematica mișcării corporale complexe

Pentru solid, când toate mișcările compuse (adică relative și de translație) sunt de translație, mișcarea absolută este de asemenea translațională cu o viteză egală cu suma geometrică a vitezelor mișcărilor constitutive. Dacă mișcările componente ale unui corp sunt de rotație în jurul axelor care se intersectează într-un punct (ca, de exemplu, într-un giroscop), atunci mișcarea rezultată este și ea de rotație în jurul acestui punct cu o viteză unghiulară instantanee egală cu suma geometrică a unghiului vitezele mișcărilor componentelor. Dacă mișcările componente ale corpului sunt atât de translație, cât și de rotație, atunci mișcarea rezultată în cazul general va fi compusă dintr-o serie de mișcări instantanee ale șuruburilor.

Puteți calcula relația dintre vitezele diferitelor puncte ale unui corp rigid în diferite sisteme de referință combinând formula pentru adăugarea vitezelor și formula lui Euler pentru relația vitezelor punctelor unui corp rigid. Legătura dintre accelerații se găsește prin simpla diferențiere a egalității vectoriale rezultate în funcție de timp.

Dinamica mișcării punctuale complexe

Când luăm în considerare mișcarea într-un cadru de referință non-inerțial, primele 2 legi Newton sunt încălcate. Pentru a asigura implementarea lor formală, sunt introduse de obicei forțe inerțiale suplimentare, fictive (nu existente efectiv): forța centrifugă și forța Coriolis. Expresiile acestor forțe se obțin din legătura dintre accelerații (secțiunea anterioară).

Mecanica relativistă

Viteză

La viteze apropiate de viteza luminii, transformările galileene nu sunt tocmai invariante și formula clasică de adunare a vitezelor încetează să mai fie valabilă. În schimb, transformările Lorentz sunt invariante, iar relația dintre viteze în două cadre de referință inerțiale este următoarea:

în ipoteza că viteza este direcționată de-a lungul axei x a sistemului S. Este ușor de observat că în limita vitezelor nerelativiste, transformările Lorentz se reduc la transformările galileene.

Literatură

N. G. Chetaev. " Mecanica teoretică" M.: Știință. 1987. 368 p.

MIȘCĂRI COMPLEXE ALE PUNCTULUI

§ 1. Mișcarea absolută, relativă și portabilă a unui punct

Într-o serie de cazuri, este necesar să se ia în considerare mișcarea unui punct în raport cu sistemul de coordonate O 1 ξηζ, care, la rândul său, se deplasează în raport cu un alt sistem de coordonate Oxz, acceptat convențional ca staționar. În mecanică, fiecare dintre aceste sisteme de coordonate este asociat cu un anumit corp. De exemplu, luați în considerare rularea fără alunecarea roții unei mașini pe o șină. Vom conecta sistemul de coordonate fix Ax cu șina și vom conecta sistemul de mișcare Oξη cu centrul roții și vom presupune că se mișcă translațional. Mișcarea unui punct de pe janta unei roți este compusă sau complexă.

Să introducem următoarele definiții:

1. Mișcarea unui punct în raport cu sistemul de coordonate Oxyz (Fig. 53) se numește absolută.

2. Mișcarea unui punct în raport cu un sistem de coordonate în mișcare O 1 ξηζ numită locuită.

3. Mișcarea de translație a unui punct este mișcarea acelui punct a unui corp asociată cu un sistem de coordonate în mișcare O 1 ξηζ, relativ la un sistem de coordonate fix cu care punctul de mișcare în cauză coincide în prezent.

Astfel, mișcarea portabilă este cauzată de mișcarea unui sistem de coordonate în mișcare în raport cu unul fix. În exemplul dat cu o roată, mișcarea portabilă a unui punct de pe marginea roții se datorează mișcării de translație a sistemului de coordonate O 1 ξηζîn raport cu sistemul de coordonate fix Axy.

Obținem ecuațiile mișcării absolute ale unui punct exprimând coordonatele punctului x, y, z în funcție de timp:

x=x(t), y = y(t), z = z(t).

Ecuațiile mișcării relative ale unui punct au forma

ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).

În formă parametrică, ecuațiile (11.76) exprimă ecuațiile traiectoriei absolute, iar ecuațiile (11.77) - respectiv, ecuațiile traiectoriei relative.

Există, de asemenea, viteze absolute, portabile și relative și, în consecință, accelerații absolute, portabile și relative ale unui punct. Viteza absolută se notează cu υ o, relativ - υ r, portabil - υ eÎn consecință, accelerațiile sunt notate cu: ω a, ω rŞi ω e.

Sarcina principală a cinematicii mișcării complexe a unui punct este de a stabili relația dintre vitezele și accelerațiile unui punct în două sisteme de coordonate: staționar și în mișcare.

Pentru a demonstra teoreme privind adunarea vitezelor și accelerațiilor în mișcarea complexă a unui punct, introducem conceptul de derivată locală sau relativă.

Teorema adiției vitezei

Teorema . Cu mișcarea complexă (compozită) a unui punct, viteza sa absolută υ o egală cu suma vectorială a relativei υ rși portabil υ e viteze

Fie punctul M să facă mișcări simultane în raport cu sistemele de coordonate fixe și în mișcare (Fig. 56). Să notăm viteza unghiulară de rotație a sistemului de coordonate Оξηζ cu ω . Poziția punctului M este determinată de vectorul rază r.

Să stabilim relația dintre vitezele punctului M în raport cu două sisteme de coordonate - staționar și în mișcare. Pe baza teoremei demonstrate în paragraful anterior

Din cinematica unui punct se știe că prima derivată a vectorului rază a unui punct în mișcare în raport cu timpul exprimă viteza acestui punct. Prin urmare = r = υ a- viteza absolută, = υ r- viteza relativa,

O ω x r = υ e- viteza portabilă a punctului M. Prin urmare,

υ a= υ r+υ e

Formula (11.79) exprimă regula paralelogramului de viteze. Găsim modulul absolut al vitezei folosind teorema cosinusului:

În unele probleme de cinematică, este necesar să se determine viteza relativă υ r. Din (11.79) rezultă

υ r= υ a +(- υ e).

Astfel, pentru a construi un vector de viteză relativă, trebuie să adăugați geometric viteza absolută cu un vector egal cu valoare absolută, dar opus direcției vitezei de transfer.

Mișcarea portabilă a unui punct este mișcarea acestuia la momentul considerat împreună cu sistemul de coordonate în mișcare raportat la un sistem de coordonate fix.

Viteza portabilă și accelerația portabilă a unui punct sunt indicate de index e: ,.

Viteza portabila (accelerare ) punctul M la un moment dat se numește vector egal cu viteza
(accelerare
) acel punctmsistem de coordonate în mișcare cu care punctul de mișcare M coincide în prezent(Fig. 8.1).

Să desenăm vectorul rază al originii coordonatelor (Fig. 8.1). Din figură este clar că

Pentru a găsi viteza portabilă a unui punct la un moment dat în timp, este necesar să se diferențieze vectorul rază cu condiţia ca coordonatele punctului x, y, z nu modificați la un moment dat:

Accelerația de transfer este în mod corespunzător egală cu

Astfel, pentru a determina viteza de transfer și accelerație portabilă la un moment dat este necesar să se oprească mental în acest moment de timp mișcarea relativă a punctului, să se determine punctul m un corp asociat invariabil cu un sistem de coordonate în mișcare unde punctul este situat într-un moment oprit M, și calculați viteza și accelerația punctului m un corp aflat în mișcare portabilă în raport cu un sistem de coordonate fix.

Stabilirea sarcinilor pentru mișcarea punctului complex

1.Sarcina directă:

Pe baza mișcărilor portabile și relative date ale punctului, găsiți caracteristicile cinematice ale mișcării absolute a punctului.

2. Problemă inversă:

Să reprezinte o mișcare dată a unui punct într-un mod complex, descompunându-l în relativ și portabil și să determine caracteristicile cinematice ale acestor mișcări. Pentru a rezolva această problemă fără ambiguitate, sunt necesare condiții suplimentare.

Teorema adiției vitezei

Viteza punctului absolut este determinată de teorema adunării vitezelor, conform căreia viteza absolută a unui punct care efectuează o mișcare complexă este egală cu suma geometrică a vitezelor portabile și relative:

Dovada:

Pentru a determina viteza absolută a unui punct, diferențiem expresia din dreapta (8.4) în raport cu timpul, folosind proprietățile derivatei unui vector față de un argument scalar:

(8.8)

În ultima expresie din stânga, primii patru termeni din formula (8.5) reprezintă viteza de transfer , ultimii trei termeni din formula (8.1) sunt viteza relativă . Teorema a fost demonstrată.

Teorema pentru adăugarea accelerațiilor în mișcarea de translație portabilă

Accelerația absolută a unui punct care efectuează o mișcare complexă în timpul mișcării de translație portabilă este egală cu suma geometrică a accelerației relative și portabile:

. (8.9)

Dovada:

Să revenim la Fig. 8.1. Cu mișcare de translație portabilă a ortei
nu se schimbă nu numai în dimensiune, ci și în direcție, adică aceștia sunt vectori constanți, iar din moment ce derivate ale vectorilor constanți, iar din moment ce derivatele vectorilor constanți sunt egale cu zero, apoi conform formulei (8.6)

. (8.10)

Pentru a determina accelerația absolută a unui punct, diferențiem vectorul rază de două ori (8.4) în timp, ținând cont de constanța vectorilor unitari
:

În ultima expresie, primul termen din formula (8.10) reprezintă accelerația portabilă , iar ultimele trei conform formulei (8.2) sunt accelerația relativă . Teorema a fost demonstrată.

Teorema pentru adăugarea accelerațiilor în timpul mișcării de translație arbitrare (teorema Coriolis)

Accelerația absolută a unui punct este determinată de Teorema Coriolis, conform căruia accelerația absolută a unui punct care efectuează o mișcare complexă este egală cu suma geometrică a accelerațiilor portabile, relative și Coriolis:

. (8.11)

Accelerația Coriolis calculat prin formula:

, (8.12)

unde este vectorul vitezei unghiulare a mișcării portabile, este vectorul vitezei relative a punctului. Direcția vectorului de accelerație Coriolis este determinată de regulă produs vectorial: Accelerația Coriolis va fi direcționată perpendicular pe planul în care se află vectorii (Fig. 8.2), în direcția din care cea mai scurtă viraj de la vector la vector pare să aibă loc în sens invers acelor de ceasornic.

Modulul de accelerație Coriolis este egal cu .

Să demonstrăm validitatea teoremei pentru mișcarea de rotație portabilă.

Lăsați sistemul de coordonate în mișcare Oxyz se rotește în jurul unei axe l cu viteza unghiulara
(Fig. 8.3). Pe parcursul întregii mișcări, vectorii de rază ai punctului sunt încă conectați prin dependență

Deoarece prin definiţie
, să diferențiem expresia (8.8) în funcție de timp, ținând cont de proprietățile derivatei unui vector față de argumentul scalar:

În ultima expresie, primii patru termeni reprezintă accelerația portabilă , următorii trei termeni reprezintă viteza relativă . Notăm termenii rămași (*). În expresia (*), derivata fiecărui vector unitar în raport cu timpul reprezintă viteza liniară a punctului pentru care această unitate este un vector cu rază. De exemplu, pentru Orta (Fig. 8.3) viteza
puncte O sfârşitul lui este egal