Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce s-a întâmplat ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Acest lucru este important.
Poftim exemple ecuații exponențiale :
3 x 2 x = 8 x+3
Fiţi atenți! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. ÎN indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Dacă, brusc, un X apare în ecuație în altă parte decât un indicator, de exemplu:
aceasta va fi o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.
De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom lua în considerare.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.
Mai întâi, să rezolvăm ceva foarte simplu. De exemplu:
Chiar și fără teorii, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nicio altă valoare a lui X nu funcționează. Acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:
Ce am făcut? Noi, de fapt, am aruncat pur și simplu aceleași baze (triple). Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit în cui!
Într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta identic numere în orice putere, aceste numere pot fi eliminate și exponenții pot fi egalați. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?)
Cu toate acestea, să ne amintim cu fermitate: Puteți elimina bazele numai atunci când numerele de bază din stânga și dreapta sunt într-o izolare splendidă! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:
2 x +2 x+1 = 2 3 sau
doi nu pot fi eliminati!
Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.
„Acestea sunt vremurile!” - spui tu. „Cine ar da o lecție atât de primitivă despre teste și examene!?”
Trebuie să fiu de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să țintești atunci când rezolvi exemple dificile. Este necesar să-l aduceți la forma în care același număr de bază este în stânga și în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este un clasic al matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit S.U.A minte. După regulile matematicii, desigur.
Să ne uităm la exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. Să-i numim ecuații exponențiale simple.
Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt acţiuni cu grade. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.
La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Ne cerem aceleasi numere-motive? Așa că le căutăm în exemplu în formă explicită sau criptată.
Să vedem cum se face acest lucru în practică?
Să ni se dea un exemplu:
2 2x - 8 x+1 = 0
Prima privire atentă este la temeiuri. Ei... Sunt diferiți! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a te descuraja. Este timpul să ne amintim asta
Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:
8 x+1 = (2 3) x+1
Dacă ne amintim formula din operații cu grade:
(a n) m = a nm ,
asta merge grozav:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Exemplul original a început să arate astfel:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Ne transferăm 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii!), obținem:
2 2x = 2 3(x+1)
Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:
Rezolvăm acest monstru și obținem
Acesta este răspunsul corect.
În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificateîn opt există un criptat doi. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este o tehnică foarte populară în ecuațiile exponențiale! Da, și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.
Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe hârtie, și atât. De exemplu, oricine poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 va merge dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridicați la o putere, ci invers... Aflați ce număr în ce măsură este ascuns în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu vă va ajuta aici.
Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, nu... Să exersăm?
Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Răspunsuri (în mizerie, desigur!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mult mai multe răspunsuri decât sarcini! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6, 4 3, 8 2 - asta sunt tot 64.
Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre familiaritatea cu numerele.) Permiteți-mi să vă reamintesc și că pentru a rezolva ecuații exponențiale folosim toate stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv cei din clasele junioare și mijlocii. Nu ai mers direct la liceu, nu?)
De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze ajută adesea (bună ziua a 7-a!). Să ne uităm la un exemplu:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Și din nou, prima privire este către fundații! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Dar vrem ca ei să fie la fel. Ei bine, în acest caz dorința este complet împlinită!) Pentru că:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Folosind aceleași reguli pentru a trata grade:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Este grozav, o poți scrie:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Am dat un exemplu din aceleași motive. Si ce mai departe!? Nu poți să arunci trei... O fundătură?
Deloc. Amintiți-vă de cea mai universală și puternică regulă de decizie toată lumea teme de matematică:
Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!
Uite, totul se va rezolva).
Ce este în această ecuație exponențială Can do? Da, în partea stângă se roagă doar să fie scos din paranteze! Multiplicatorul general de 3 2x indică clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Exemplul este din ce în ce mai bun!
Ne amintim că pentru a elimina temeiuri avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Cifra 70 ne deranjeaza. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:
Hopa! Totul a devenit mai bine!
Acesta este răspunsul final.
Se întâmplă, totuși, ca rulajul pe același teren să funcționeze, dar eliminarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în alte tipuri de ecuații exponențiale. Să stăpânim acest tip.
Înlocuirea unei variabile în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.
Să rezolvăm ecuația:
4 x - 3 2 x +2 = 0
În primul rând - ca de obicei. Să trecem la o singură bază. La un doi.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Obținem ecuația:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Și aici stăm. Tehnicile anterioare nu vor funcționa, indiferent de modul în care le privești. Va trebui să scoatem din arsenalul nostru o altă metodă puternică și universală. Se numește înlocuire variabilă.
Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru - 2 x) scriem alta, mai simplă (de exemplu - t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!
Asa ca lasa
Atunci 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
În ecuația noastră înlocuim toate puterile cu x cu t:
Ei bine, ți se pare?) Ai uitat încă ecuațiile patratice? Rezolvând prin discriminant, obținem:
Principalul lucru aici este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de un x, nu de un t. Să revenim la X, adică. facem o înlocuire inversă. Mai întâi pentru t 1:
Prin urmare,
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
Hm... 2 x în stânga, 1 în dreapta... Problemă? Deloc! Este suficient să ne amintim (din operațiuni cu puteri, da...) că o unitate este orice număr la puterea zero. Orice. Orice este nevoie, îl vom instala. Avem nevoie de doi. Mijloace:
Asta e acum. Avem 2 rădăcini:
Acesta este răspunsul.
La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, uneori, ajungi cu un fel de expresie incomodă. Tip:
De la șapte la doi până la grad simplu nu merge. Nu sunt rude... Cum putem fi? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:
Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” la examenul unificat de stat. Acolo este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” este ușor.
Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să subliniem punctele principale.
1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Ne întrebăm dacă este posibil să le facem identic. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ acţiuni cu grade. Nu uitați că numerele fără x pot fi, de asemenea, convertite în puteri!
2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când în stânga și în dreapta sunt identic numere în orice putere. Noi folosim acţiuni cu gradeŞi factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în cifre, noi numărăm.
3. Dacă al doilea sfat nu a funcționat, încercați să utilizați înlocuirea variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care poate fi rezolvată cu ușurință. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la pătrat.
4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere.
Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să te hotărăști puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.
Rezolvați ecuații exponențiale:
Mai dificil:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Găsiți produsul rădăcinilor:
2 3 + 2 x = 9
A funcționat?
Ei bine, atunci cel mai complicat exemplu(hotărât, totuși, în minte...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de tentant pentru dificultate crescută. Permiteți-mi să vă sugerez că, în acest exemplu, ceea ce vă salvează este ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor problemelor matematice.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un exemplu mai simplu, pentru relaxare):
9 2 x - 4 3 x = 0
Și pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Da, da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. De ce să le luați în considerare, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, ai nevoie de ingeniozitate... Și să te ajute clasa a șaptea (acesta este un indiciu!).
Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):
1; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.
Este totul reușit? Mare.
Ceva probleme? Nicio întrebare! Secțiunea specială 555 rezolvă toate aceste ecuații exponențiale cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu doar acestea.)
O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Tipul de lecție
: lecție de generalizare și aplicare complexă a cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema „Ecuații exponențiale și metode de rezolvare a acestora”.Obiectivele lecției.
Echipament:
calculator și proiector multimedia.Folosit în clasă tehnologia de informație : suport metodologic la lecție - prezentare în Microsoft Power Point.
Progresul lecției
Fiecare abilitate vine cu munca grea
eu. Stabilirea unui obiectiv de lecție(Slide numărul 2 )
În această lecție, vom rezuma și vom generaliza subiectul „Ecuații exponențiale, soluțiile lor”. Să ne familiarizăm cu tipic Teme de examen de stat unificat ani diferiți pe această temă.
Probleme privind rezolvarea ecuațiilor exponențiale pot fi găsite în orice parte a sarcinilor de examinare unificată de stat. În partea „ IN " De obicei, ele oferă să rezolve cele mai simple ecuații exponențiale. În partea „ CU " Puteți găsi ecuații exponențiale mai complexe, a căror soluție este de obicei una dintre etapele de finalizare a sarcinii.
De exemplu ( Slide numărul 3 ).
- Examenul unificat de stat - 2007
Q 4 – Găsiți cea mai mare valoare a expresiei x y, Unde ( X; la) – soluția sistemului:
Q 1 – Rezolvați ecuațiile:
O) X 6 3X – 36 6 3X = 0;
b) 4 X +1 + 8 4X= 3.
Q 4 – Găsiți sensul expresiei x + y, Unde ( X; la) – soluția sistemului:
- Examenul unificat de stat - 2010
II. Actualizarea cunoștințelor de bază. Repetiţie
(Slide-urile nr. 4 – 6 prezentări pentru lecție)Afișat pe ecran rezumatul de fond al materialului teoretic pe subiect.
Se discută următoarele aspecte:
- Ce ecuații se numesc indicativ?
- Numiți principalele modalități de a le rezolva. Dați exemple de tipurile lor ( Slide numărul 4 )
- Ce teoremă se folosește atunci când se rezolvă ecuații exponențiale simple de forma: și f(x) = a g(x) ?
- Ce alte metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale există? ( Slide numărul 5 )
(Rezolvați independent ecuațiile propuse pentru fiecare metodă și efectuați un autotest folosind slide-ul)
- Metoda de factorizare (pe baza proprietăților puterilor cu motive identice, tehnică: se scoate din paranteze gradul cu cel mai mic indicator).
- Tehnica împărțirii (înmulțirii) cu o expresie exponențială, alta decât zero, atunci când se rezolvă ecuații exponențiale omogene .
- Sfat:
-
Rezolvarea ecuațiilor folosind ultimele două metode cu comentarii ulterioare
(Slide numărul 6 ).
. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,
t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...
III. Rezolvarea sarcinilor Unified State Exam 2010
Elevii rezolvă în mod independent sarcinile propuse la începutul lecției de pe diapozitivul nr. 3, folosind instrucțiuni pentru rezolvare, verifică progresul lor în rezolvare și răspund la acestea folosind o prezentare ( Slide numărul 7). În timpul lucrului, se discută opțiuni și soluții și se atrage atenția asupra posibilelor erori în soluție.
: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7 x = 36. Răspuns: O) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Poate fi înlocuit cu 0,5 = 4 – 0,5)Soluţie. ,
X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …
Răspuns: X= -5/2, X = 1/2.
: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, la cos y< 0.Indicații către soluție
. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,5 5 2 g y+ 4 5 tg y – 1 = 0. Fie X= 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.
Din moment ce tg y= -1 și cos y< 0, atunci la Sfertul de coordonate II
Răspuns: la= 3/4 + 2k, k N.
IV. Munca în echipă la bord
Se are în vedere o sarcină de pregătire de nivel înalt - Slide numărul 8. Cu ajutorul acestui slide are loc un dialog între profesor și elevi, facilitând elaborarea unei soluții.
– La ce parametru O ecuația 2 2 X – 3 2 X + O 2 – 4O= 0 are două rădăcini?Lasă t= 2 X, Unde t > 0 . Primim t 2 – 3t + (O 2 – 4O) = 0 .
1). Deoarece ecuația are două rădăcini, atunci D > 0;
2). Deoarece t 1,2 > 0, atunci t 1 t 2 > 0, adică O 2 – 4O> 0 (?...).
Răspuns: O(– 0,5; 0) sau (4; 4,5).
V. Lucru de testare
(Slide numărul 9 )Elevii efectuează munca de testare pe bucăți de hârtie, exersând autocontrolul și autoevaluarea lucrării efectuate cu ajutorul unei prezentări, consolidându-se în tematică. Ei determină în mod independent pentru ei înșiși un program pentru reglarea și corectarea cunoștințelor pe baza greșelilor făcute în registrele de lucru. Foile cu lucrarea independentă finalizată sunt predate profesorului pentru verificare.
numere subliniate - nivel de bază, cu un asterisc – complexitate crescută.
Soluție și răspunsuri.
3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,
x = -1.
4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,
3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,
3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (nu se potriveste),
(3/5) X = 5, x = -1.
VI. Temă pentru acasă
(Slide numărul 10 )- Repetați § 11, 12.
- Din Materiale pentru examenul de stat unificat 2008 – 2010 selectați sarcini pe tema și rezolvați-le.
- Lucru de testare la domiciliu :
Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu definiția și exemplele simple.
Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătratice: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. A fi capabil să rezolvi astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „răpi” în subiectul care va fi discutat acum.
Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Unele dintre ele ți se pot părea mai complexe, în timp ce altele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate au o caracteristică importantă în comun: notația lor conține funcția exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, să introducem definiția:
O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă asta functie specificata ecuații similare pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.
OK atunci. Am rezolvat definiția. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex.
Să începem cu vestea bună: din experiența mea de a preda mulți studenți, pot spune că cei mai mulți dintre ei găsesc ecuații exponențiale mult mai ușor decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometrie.
Dar există vești proaste: uneori, compilatorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt loviți de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât rezolvarea lor devine problematică nu numai pentru elevi - chiar și pentru mulți profesori. ramane blocat in astfel de probleme.
Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.
Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie să ridici numărul 2 pentru a obține numărul 4? Probabil al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, Cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve.
Să ne uităm la următoarea ecuație:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Dar aici este puțin mai complicat. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția puterilor negative (similar cu formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
În cele din urmă, doar câțiva selectați realizează că aceste fapte pot fi combinate și pot da următorul rezultat:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Dar acest lucru este deja complet rezolvabil! În stânga în ecuație există o funcție exponențială, în dreapta în ecuație există o funcție exponențială, nu este nimic altceva în afară de ei. Prin urmare, putem „arunca” bazele și echivalăm în mod prostesc indicatorii:
Am obținut cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Dacă nu înțelegeți ce s-a întâmplat în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ ecuații liniare„și repetă. Pentru că, fără o înțelegere clară a acestui subiect, este prea devreme pentru a vă ocupa de ecuații exponențiale.
\[((9)^(x))=-3\]
Deci cum putem rezolva asta? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă după cum urmează:
\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]
Apoi ne amintim că atunci când ridicăm o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Iar pentru o astfel de decizie vom primi doi sincer meritati. Căci, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei chiar la puterea acestor trei. Dar nu poți face asta. Și iată de ce. Aruncă o privire la diferitele puteri ale a trei:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]
Când am compilat această tabletă, nu am pervertit nimic: m-am uitat la puterile pozitive, și la cele negative, și chiar la cele fracționale... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? A plecat! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna doar valori pozitive (indiferent cât de mult este înmulțit sau împărțit cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții - numărul $a$ - este prin definiție un număr pozitiv!
Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Dar în niciun caz: nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu ecuațiile pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuațiile pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminant pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), atunci în ecuațiile exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.
Astfel, să formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b \gt 0$. Cunoscând acest simplu fapt, puteți determina cu ușurință dacă ecuația care vi se propune are rădăcini sau nu. Aceste. Merită să o rezolvați deloc sau să scrieți imediat că nu există rădăcini.
Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori când trebuie să decidem mai mult sarcini complexe. Deocamdată, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.
Cum se rezolvă ecuații exponențiale
Deci, haideți să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:
În plus, dacă în locul variabilei $x$ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație care poate fi deja rezolvată. De exemplu:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]
Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Atunci ce rămâne cu restul de 10%? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Ei bine, la ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? Primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. Doilea? Nici: $((2)^(2))=4$ este prea mult. Care atunci?
Probabil că studenții cunoscători au ghicit deja: în astfel de cazuri, când nu este posibil să o rezolvi „frumos”, intră în joc „artileria grea” - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):
Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, avertizez mereu: această formulă (este și principala identitate logaritmică sau, dacă doriți, definiția unui logaritm) vă va bântui foarte mult timp și vă va „apărea” cel mai mult. locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza functie exponentiala, la care dorim să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]
Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, mulți ar avea îndoieli cu un astfel de răspuns și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă o eroare s-ar fi strecurat pe undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație complet tipică. Așa că obișnuiește-te.
Acum să rezolvăm cele două ecuații rămase prin analogie:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]
Asta este! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:
Am introdus un multiplicator în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:
În plus, toate cele trei opțiuni sunt corecte - sunt doar forme diferite de a scrie același număr. Pe care să o alegeți și să scrieți în această soluție este la latitudinea dvs. de a decide.
Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este aceea sarcini simple te vei întâlni foarte, foarte rar. De cele mai multe ori veți întâlni ceva de genul acesta:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]
Deci cum putem rezolva asta? Se poate rezolva deloc asta? Și dacă da, cum?
Nu vă panicați. Toate aceste ecuații pot fi reduse rapid și ușor la formule simple pe care le-am luat în considerare deja. Trebuie doar să vă amintiți câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome. O sa va povestesc despre toate astea acum :)
Conversia ecuațiilor exponențiale
Primul lucru de reținut: orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - cele pe care le-am luat deja în considerare și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:
- Scrieți ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Fă niște prostii ciudate. Sau chiar niște prostii numite „conversia unei ecuații”;
- La ieșire, obțineți cele mai simple expresii de forma $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.
Totul este clar cu primul punct - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o bucată de hârtie. Al treilea punct pare să fie, de asemenea, mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.
Dar ce zici de al doilea punct? Ce fel de transformări? Transformă ce în ce? Și cum?
Ei bine, hai să aflăm. În primul rând, aș dori să notez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:
- Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.
Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în rezolvarea lor, vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum evidențierea expresiilor stabile.
Izolarea unei expresii stabile
Să ne uităm din nou la această ecuație:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste puteri sunt simple sume ale variabilei $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]
Mai simplu spus, adunarea poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea poate fi convertită cu ușurință în împărțire. Să încercăm să aplicăm aceste formule la grade din ecuația noastră:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]
Să rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi să colectăm toți termenii din stânga:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]
Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ - să-l scoatem din paranteză:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]
Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]
Asta este! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă formă și am obținut răspunsul final.
În același timp, în procesul de rezolvare am descoperit (și chiar l-am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este o expresie stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu atenție și obține răspunsul. În orice caz, principiul cheie al soluției este următorul:
Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.
Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială vă permite să izolați o expresie atât de stabilă.
Dar vestea proastă este că aceste expresii pot fi destul de complicate și pot fi destul de greu de identificat. Deci, să ne uităm la încă o problemă:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Există baze diferite aici - 5 și 0,2.” Dar să încercăm să convertim puterea la baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracția zecimală reducând-o la una obișnuită:
\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Acum să ne amintim una dintre cele mai importante reguli pentru lucrul cu diplome:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Aici, desigur, am mințit puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi trebuia scrisă astfel:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm doar cu fracții:
\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica o putere la o altă putere (permiteți-mi să vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați împreună). Dar nu a trebuit să „inversez” fracțiile - poate că acest lucru va fi mai ușor pentru unii.
În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă ca:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]
Deci, se dovedește că ecuația inițială poate fi rezolvată chiar mai simplu decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să selectați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=(((5)^(0))$, din care obținem:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]
Asta e solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să notez o tehnică care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:
În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de zecimale, convertiți-le în cele obișnuite. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze de grade și să simplificați foarte mult soluția.
Să trecem acum la ecuații mai complexe în care există baze diferite care nu pot fi reduse una la cealaltă folosind puteri.
Utilizarea proprietății Degrees
Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]
Principala dificultate aici este că nu este clar ce să dea și pe ce bază. Unde setați expresii? Unde sunt aceleași temeiuri? Nu există nimic din toate astea.
Dar să încercăm să mergem într-un alt drum. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor existente.
Să începem cu prima ecuație:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]
Dar puteți face opusul - faceți numărul 21 din numerele 7 și 3. Acest lucru este deosebit de ușor de făcut în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]
Asta este! Ați scos exponentul în afara produsului și ați obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.
Acum să ne uităm la a doua ecuație. Totul este mult mai complicat aici:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Adesea, vor apărea motive interesante cu care puteți lucra deja.
Din păcate, nu a apărut nimic special pentru noi. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:
Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din indicator, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Ei bine, să rescriem ecuația inițială:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]
În a doua linie, pur și simplu am scos exponentul total din produsul din paranteză conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$, iar în ultimul au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.
Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, este evident: sunt puteri de același număr! Avem:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac((((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]
Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\dreapta))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
În acest caz, în dreapta puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient să „întoarceți” pur și simplu fracția:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Ecuația noastră va lua în sfârșit forma:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Asta e soluția. Ideea sa principală se rezumă la faptul că chiar și cu pe temeiuri diferiteîncercăm, prin cârlig sau prin escroc, să reducem aceste baze la același lucru. Ei ne ajută cu asta transformări elementare ecuații și reguli pentru lucrul cu puteri.
Dar ce reguli și când să folosiți? Cum înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta trebuie să factorizați baza funcției exponențiale?
Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mâna la început ecuații simple, iar apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din același examen de stat unificat sau orice muncă independentă/test.
Și pentru a vă ajuta în această problemă dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pentru decizie independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți testa întotdeauna.
În general, vă doresc un antrenament de succes. Și ne vedem în lecția următoare - acolo vom analiza ecuații exponențiale cu adevărat complexe, unde metodele descrise mai sus nu mai sunt suficiente. Și nici un antrenament simplu nu va fi suficient.
Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.
Produsul unui număr o apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Putere sau ecuații exponențiale– acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam decizia noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să ne uităm la câteva exemple:
Să începem cu ceva simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem renunța la baza și le putem echivala puterile.
x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreaptă bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Să ne imaginăm 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x – 12*3 x +27= 0
Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obținem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:
Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:
t 2 - 12t+27 = 0
Primim ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Revenind la variabilă x.
Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Prin urmare,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.
Pe site puteti in sectiunea AJUTĂ LA DECIDE Dacă aveți întrebări, vă vom răspunde cu siguranță.
Alăturați-vă grupului
