Probleme legate de funcțiile trigonometrice inverse sunt adesea oferite la examenele finale școlare și la examenele de admitere la unele universități. Un studiu detaliat al acestei teme poate fi realizat doar la clasele opționale sau cursuri opționale. Cursul propus este conceput pentru a dezvolta abilitățile fiecărui student cât mai deplin posibil și pentru a-și îmbunătăți pregătirea matematică.
Cursul durează 10 ore:
1.Funcțiile arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ore).
2.Operatii pe functii trigonometrice inverse (4 ore).
3. Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice (2 ore).
Lecția 1 (2 ore) Subiect: Funcții y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.
Scop: acoperire completă a acestei probleme.
1.Funcția y = arcsin x.
a) Pentru funcția y = sin x pe segment există o funcție inversă (cu o singură valoare), pe care am convenit să o numim arcsinus și să o notăm astfel: y = arcsin x. Graficul funcției inverse este simetric cu graficul funcției principale în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate I - III.
Proprietățile funcției y = arcsin x.
1) Domeniu de definire: segment [-1; 1];
2)Zona de schimbare: segment;
3)Funcția y = arcsin x impar: arcsin (-x) = - arcsin x;
4) Funcția y = arcsin x este monoton crescător;
5) Graficul intersectează axele Ox, Oy la origine.
Exemplul 1. Găsiți a = arcsin. Acest exemplu poate fi formulat în detaliu după cum urmează: găsiți un argument a, situat în intervalul de la până la, al cărui sinus este egal cu.
Soluţie. Există nenumărate argumente al căror sinus este egal cu , de exemplu: 
etc. Dar ne interesează doar argumentul care este pe segment. Acesta ar fi argumentul. Asa de, .
Exemplul 2. Găsiți 
.Soluţie. Argumentând în același mod ca în exemplul 1, obținem 
.
b) exerciții orale. Găsiți: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exemplu de răspuns: 
, deoarece 
. Au sens expresiile: ; arcsin 1,5; 
?
c) Aranjați în ordine crescătoare: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
II. Funcții y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (similar).
Lecția 2 (2 ore) Tema: Funcții trigonometrice inverse, graficele lor.
Scop: în această lecție este necesar să se dezvolte abilități în determinarea valorilor funcții trigonometrice, în construirea graficelor de funcții trigonometrice inverse folosind D (y), E (y) și transformările necesare.
În această lecție, finalizați exerciții care includ găsirea domeniului definiției, domeniul valorii funcțiilor de tip: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.
Ar trebui să construiți grafice ale funcțiilor: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;
d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .
Exemplu. Să diagramăm y = arccos
Puteți include următoarele exerciții în teme: construiți grafice ale funcțiilor: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Grafice ale funcțiilor inverse
Lecția nr. 3 (2 ore) Subiect:
Operații pe funcții trigonometrice inverse.Scop: extinderea cunoștințelor matematice (acest lucru este important pentru cei care intră în specialități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică) prin introducerea relațiilor de bază pentru funcțiile trigonometrice inverse.
Material pentru lecție.
Câteva operații trigonometrice simple pe funcții trigonometrice inverse: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Exerciții.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Fie arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;
cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .
Notă: luăm semnul „+” în fața rădăcinii deoarece a = arcsin x satisface .
c) sin (1,5 + arcsin) Răspuns: ;
d) ctg ( + arctg 3).
e) tg ( – arcctg 4 Răspuns: .
e) cos (0,5 + arccos). Răspuns: .
Calculati:
a) sin (2 arctan 5) .
Fie arctan 5 = a, apoi sin 2 a = 
sau sin (2 arctan 5) = 
;
b) cos ( + 2 arcsin 0,8 Răspuns: 0,28).
c) arctg + arctg.
Fie a = arctan, b = arctan,
atunci tg(a + b) = 
.
d) sin(arcsin + arcsin).
e) Demonstrați că pentru toate x I [-1; 1] adevărat arcsin x + arccos x = .
Dovada:
arcsin x = – arccos x
sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
Pentru a o rezolva singur: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Pentru o soluție acasă: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.
Lecția nr. 4 (2 ore) Tema: Operații asupra funcțiilor trigonometrice inverse.
Scop: În această lecție, demonstrați utilizarea rapoartelor în transformarea expresiilor mai complexe.
Material pentru lecție.
ORAL:
a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
ÎN SCRIS:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =
3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) = 
4) 
Munca independentă va ajuta la identificarea nivelului de stăpânire a materialului.
| 1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg 2 |
Pentru teme pentru acasă putem sugera:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctan); 5) tg ( ( arcsin ))
Lecția nr. 5 (2 ore) Tema: Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice.
Scop: formarea înțelegerii de către elevi a operațiilor trigonometrice inverse asupra funcțiilor trigonometrice, concentrându-se pe creșterea înțelegerii teoriei studiate.
La studierea acestei teme, se presupune că volumul de material teoretic de memorat este limitat.
Material pentru lecție:
Puteți începe să învățați material nou studiind funcția y = arcsin (sin x) și trasând graficul acesteia.
3. Fiecare x I R este asociat cu y I, i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funcția este impară: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Graficul y = arcsin (sin x) pe:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .
Asa de, 
După ce am construit y = arcsin (sin x) pe , continuăm simetric față de originea pe [- ; 0], având în vedere ciudatenia acestei funcții. Folosind periodicitatea, continuăm de-a lungul întregii drepte numerice.
Apoi notează câteva relații: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos A ) = a dacă 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Și faceți următoarele exerciții:a) arccos(sin 2).Răspuns: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6 Răspuns: - 0,1); c) arctg (tg 2) Răspuns: 2 - ;
d) arcctg(tg 0,6).Raspuns: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)). e) arcsin (sin ( - 0,6)). Răspuns: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Raspuns: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Răspuns: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos
Funcții trigonometrice inverse- acestea sunt arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent.
Mai întâi să dăm câteva definiții.
Arcsin Sau, putem spune că acesta este un unghi aparținând unui segment al cărui sinus este egal cu numărul a.
arc cosinus numărul a se numește un număr astfel încât
Arctangent numărul a se numește un număr astfel încât
Arccotangent numărul a se numește un număr astfel încât
Să vorbim în detaliu despre aceste patru funcții noi pentru noi - cele trigonometrice inverse.
Ține minte, ne-am întâlnit deja.
De exemplu, rădăcina pătrată aritmetică a lui a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a.
Logaritmul unui număr b la baza a este un număr c astfel încât
în care
Înțelegem de ce matematicienii au fost nevoiți să „inventeze” noi funcții. De exemplu, soluțiile unei ecuații sunt și Nu le-am putea scrie fără simbolul special aritmetic rădăcină pătrată.
Conceptul de logaritm s-a dovedit a fi necesar pentru a scrie soluții, de exemplu, la această ecuație: soluția acestei ecuații este un număr irațional Acesta este un exponent al puterii la care trebuie ridicat 2 pentru a obține 7.
La fel este și cu ecuațiile trigonometrice. De exemplu, vrem să rezolvăm ecuația
Este clar că soluțiile sale corespund punctelor din cercul trigonometric a căror ordonată este egală cu Și este clar că aceasta nu este valoarea tabelară a sinusului. Cum se notează soluțiile?
Aici nu ne putem lipsi de o nouă funcție, desemnând unghiul al cărui sinus este egal cu un număr dat a. Da, toată lumea a ghicit deja. Acesta este arcsinus.
Unghiul aparținând segmentului al cărui sinus este egal cu este arcsinusul unei pătrimi. Și aceasta înseamnă că seria de soluții la ecuația noastră corespunzătoare punctului potrivit din cercul trigonometric este
Și a doua serie de soluții la ecuația noastră este
Aflați mai multe despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice -.
Rămâne de aflat - de ce definiția arcsinusului indică faptul că acesta este un unghi aparținând segmentului?
Faptul este că există infinit de unghiuri al căror sinus este egal cu, de exemplu, . Trebuie să alegem una dintre ele. O alegem pe cea care se află pe segment .
Aruncă o privire la cercul trigonometric. Veți vedea că pe segment fiecărui unghi îi corespunde o anumită valoare a sinusului și doar una. Și invers, orice valoare a sinusului din segment corespunde unei singure valori a unghiului de pe segment. Aceasta înseamnă că pe un segment puteți defini o funcție luând valori de la până la
Să repetăm definiția din nou:
Arcsinusul unui număr este numărul , astfel încât
Denumire: Zona de definire a arcsinusului este un segment.
Vă puteți aminti expresia „arcsines trăiesc pe dreapta”. Doar nu uitați că nu este doar în dreapta, ci și pe segment.
Suntem gata să graficăm funcția
Ca de obicei, trasăm valorile x pe axa orizontală și valorile y pe axa verticală.
Deoarece, prin urmare, x se află în intervalul de la -1 la 1.
Aceasta înseamnă că domeniul de definire al funcției y = arcsin x este segmentul
Am spus că y aparține segmentului . Aceasta înseamnă că intervalul de valori al funcției y = arcsin x este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y=arcsinx se încadrează în întregime în zona delimitată de linii și
Ca întotdeauna când trasați un grafic al unei funcții necunoscute, să începem cu un tabel.
Prin definiție, arcsinusul lui zero este un număr din segmentul al cărui sinus este egal cu zero. Ce este acest numar? - Este clar că acesta este zero.
În mod similar, arcsinusul lui unu este un număr din segmentul al cărui sinus este egal cu unu. Evident asta
Continuăm: - acesta este un număr din segmentul al cărui sinus este egal cu . Da
| 0 | |||||
| 0 |
Construirea unui grafic al unei funcții
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare al definiției
2. Gama de valori
3., adică această funcție este impară. Graficul său este simetric față de origine.
4. Funcția crește monoton. Valoarea sa minimă, egală cu - , este atinsă la , iar valoarea sa cea mai mare, egală cu , la
5. Ce reprezintă graficele funcţiilor şi ? Nu crezi că sunt „făcuți după același model” – la fel ca ramura dreaptă a unei funcții și graficul unei funcții, sau ca graficele funcțiilor exponențiale și logaritmice?
Imaginați-vă că tăiem un mic fragment de la la la dintr-o undă sinusoidală obișnuită, apoi îl întoarcem pe verticală - și vom obține un grafic arcsinus.
Ce pentru o funcție pe acest interval sunt valorile argumentului, apoi pentru arcsinus vor fi valorile funcției. Așa ar trebui să fie! La urma urmei, sinus și arcsinus sunt funcții reciproc inverse. Alte exemple de perechi de funcții reciproc inverse sunt la și , precum și funcțiile exponențiale și logaritmice.
Amintiți-vă că graficele funcțiilor reciproc inverse sunt simetrice față de dreapta
În mod similar, definim funcția Avem nevoie doar de un segment pe care fiecare valoare a unghiului să corespundă propriei sale valori de cosinus, iar cunoscând cosinusul, putem găsi în mod unic unghiul. Un segment ne va potrivi
Arccosinusul unui număr este numărul , astfel încât
Este ușor de reținut: „cosinusurile arcului trăiesc de sus” și nu doar de sus, ci pe segment
Denumire: Zona de definire a arcului cosinus este un segment.
Evident, s-a ales segmentul pentru că pe el se ia fiecare valoare de cosinus o singură dată. Cu alte cuvinte, fiecare valoare a cosinusului, de la -1 la 1, corespunde unei singure valori de unghi din interval
Arccosinusul nu este nici o funcție pară, nici impară. Dar putem folosi următoarea relație evidentă:
Să diagramăm funcția
Avem nevoie de o secțiune a funcției în care este monotonă, adică ia fiecare valoare exact o dată.
Să alegem un segment. Pe acest segment funcția scade monoton, adică corespondența dintre mulțimi este unu-la-unu. Fiecare valoare x are o valoare y corespunzătoare. Pe acest segment există o funcție inversă cosinusului, adică funcția y = arccosx.
Să completăm tabelul folosind definiția arccosinusului.
Arccosinusul unui număr x aparținând intervalului va fi un număr y aparținând intervalului astfel încât
Aceasta înseamnă, deoarece ;
Deoarece ;
Deoarece ,
Deoarece ,
| 0 | |||||
| 0 |
Iată graficul arccosinus:
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare al definiției
2. Gama de valori
Această funcție are o formă generală - nu este nici par, nici impar.
4. Funcția este strict în scădere. Funcția y = arccosx ia cea mai mare valoare, egală cu , la , iar cea mai mică valoare, egală cu zero, ia la
5. Funcțiile și sunt reciproc inverse.
Următoarele sunt arctangente și arccotangente.
Arctangenta unui număr este numărul , astfel încât
Denumire: . Aria de definire a arctangentei este intervalul. Aria valorilor este intervalul.
De ce sunt excluse capetele intervalului - puncte - în definiția arctangentei? Desigur, pentru că tangenta în aceste puncte nu este definită. Nu există un număr a egal cu tangenta niciunuia dintre aceste unghiuri.
Să construim un grafic al arctangentei. Conform definiției, arctangenta unui număr x este un număr y aparținând intervalului astfel încât
Cum să construiți un grafic este deja clar. Deoarece arctangenta este funcția inversă a tangentei, procedăm după cum urmează:
Selectăm o secțiune a graficului funcției în care corespondența dintre x și y este unu-la-unu. Acesta este intervalul C. În această secțiune, funcția ia valori de la până la
Atunci funcția inversă, adică funcția, are un domeniu de definiție care va fi întreaga linie numerică, de la până la, iar intervalul de valori va fi intervalul
Mijloace,
Mijloace,
Mijloace,
Dar ce se întâmplă cu valori infinit de mari ale lui x? Cu alte cuvinte, cum se comportă această funcție când x tinde spre plus infinit?
Ne putem pune întrebarea: pentru ce număr din interval tinde valoarea tangentei spre infinit? - Evident asta
Aceasta înseamnă că pentru valori infinit de mari ale lui x, graficul arctangent se apropie de asimptota orizontală
În mod similar, dacă x se apropie de minus infinit, graficul arctangent se apropie de asimptota orizontală
Figura prezintă un grafic al funcției
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare al definiției
2. Gama de valori
3. Funcția este impară.
4. Funcția este strict în creștere.
6. Funcționează și sunt reciproc inverse - desigur, când funcția este considerată pe interval
În mod similar, definim funcția tangentă inversă și trasăm graficul acesteia.
Arccotangente a unui număr este numărul , astfel încât
Graficul funcției:
Proprietățile funcției
1. Domeniul de aplicare al definiției
2. Gama de valori
3. Funcția este de formă generală, adică nici pară, nici impară.
4. Funcția este strict în scădere.
5. Asimptote directe și - orizontale ale acestei funcții.
6. Funcțiile și sunt reciproc inverse dacă sunt luate în considerare pe interval
Funcții trigonometrice inverse(funcții circulare, funcții arc) - funcții matematice care sunt inverse funcțiilor trigonometrice.
Acestea includ de obicei 6 funcții:
- arcsinus(desemnare: arcsin x; arcsin x- acesta este unghiul păcat care este egal cu X),
- arccosin(desemnare: arccos x; arccos x este unghiul al cărui cosinus este egal cu Xși așa mai departe),
- arctangent(desemnare: arctan x sau arctan x),
- arccotangent(desemnare: arcctg x sau arccot x sau arccotan x),
- arcsecant(desemnare: arcsec x),
- arccosecant(desemnare: arccosec x sau arccsc x).
arcsinus (y = arcsin x) - funcţie inversă la păcat (x = sin y 
. Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa păcat.
arc cosinus (y = arccos x) - funcţie inversă la cos (x = cos y cos.
Arctangent (y = arctan x) - funcţie inversă la tg (x = tan y), care are un domeniu și un set de valori 
. Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa tg.
Arccotangent (y = arcctg x) - funcţie inversă la ctg (x = cotg y), care are un domeniu de definiție și un set de valori. Cu alte cuvinte, returnează unghiul după valoarea sa ctg.
arcsec- arcsecant, returnează unghiul în funcție de valoarea secantei sale.
arccosec- arccosecant, returnează un unghi bazat pe valoarea cosecantei sale.
Când funcția trigonometrică inversă nu este definită într-un punct specificat, atunci valoarea acesteia nu va apărea în tabelul final. Funcții arcsecȘi arccosec nu sunt determinate pe segmentul (-1,1), dar arcsinȘi arccos sunt determinate numai pe intervalul [-1,1].
Numele funcției trigonometrice inverse se formează din numele funcției trigonometrice corespunzătoare prin adăugarea prefixului „arc-” (din lat. arc S.U.A- arc). Acest lucru se datorează faptului că, din punct de vedere geometric, valoarea funcției trigonometrice inverse este asociată cu lungimea arcului cercului unitar (sau unghiului care subtinde acest arc), care corespunde unuia sau altuia segment.
Uneori, în literatura străină, precum și în calculatoarele științifice/inginerești, se folosesc notații precum păcat−1, cos −1 pentru arcsinus, arccosin și altele asemenea, acest lucru nu este considerat complet exact, deoarece este probabil să existe o confuzie cu ridicarea unei funcții la o putere −1 (« −1 » (minus prima putere) definește funcția x = f -1 (y), inversul funcției y = f(x)).
Relații de bază ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Aici este important să fiți atenți la intervalele pentru care formulele sunt valabile.
Formule care raportează funcții trigonometrice inverse.
Să notăm oricare dintre valorile funcțiilor trigonometrice inverse prin Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot xși păstrați notația: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x pentru valorile lor principale, atunci legătura dintre ele este exprimată prin astfel de relații.
Lecțiile 32-33. Funcții trigonometrice inverse
09.07.2015 8936 0Ţintă: luați în considerare funcțiile trigonometrice inverse și utilizarea lor pentru scrierea soluțiilor ecuațiilor trigonometrice.
I. Comunicarea temei și a scopului lecțiilor
II. Învățarea de materiale noi
1. Funcții trigonometrice inverse
Să începem discuția noastră despre acest subiect cu următorul exemplu.
Exemplul 1
Să rezolvăm ecuația: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) Pe axa ordonatelor trasăm valoarea 1/2 și construim unghiurile x 1 și x2, pentru care sin x = 1/2. În acest caz x1 + x2 = π, de unde x2 = π – x 1 . Folosind tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, găsim valoarea x1 = π/6, apoi
Să luăm în considerare periodicitatea funcției sinus și să notăm soluțiile acestei ecuații:
unde k ∈ Z.
b) Evident, algoritmul de rezolvare a ecuaţiei păcat x = a este la fel ca în paragraful anterior. Desigur, acum valoarea a este trasată de-a lungul axei ordonatelor. Este nevoie de a desemna cumva unghiul x1. Am convenit să notăm acest unghi cu simbolul arcsin A. Apoi soluțiile acestei ecuații pot fi scrise sub formaAceste două formule pot fi combinate într-una singură:în care 
Funcțiile trigonometrice inverse rămase sunt introduse într-un mod similar.
Foarte des este necesar să se determine mărimea unui unghi dintr-o valoare cunoscută a funcției sale trigonometrice. O astfel de problemă este multivalorică - există nenumărate unghiuri ale căror funcții trigonometrice sunt egale cu aceeași valoare. Prin urmare, pe baza monotonității funcțiilor trigonometrice, sunt introduse următoarele funcții trigonometrice inverse pentru a determina unic unghiuri.
Arcsin al numărului a (arcsin , al cărui sinus este egal cu a, adică.
Arccosinus al unui număr a(arccos a) este un unghi a din intervalul al cărui cosinus este egal cu a, adică.
Arctangenta unui număr a(arctg a) - un astfel de unghi a din intervala cărui tangentă este egală cu a, i.e.
tg a = a.
Arccotangente a unui număr a(arcctg a) este un unghi a din intervalul (0; π), a cărui cotangentă este egală cu a, i.e. ctg a = a.
Exemplul 2
Sa gasim:
Ținând cont de definițiile funcțiilor trigonometrice inverse, obținem:
Exemplul 3
Să calculăm 
Fie unghiul a = arcsin 3/5, apoi prin definiție sin a = 3/5 și . Prin urmare, trebuie să găsim cos A. Folosind identitatea trigonometrică de bază, obținem:
Se ține cont de faptul că cos a ≥ 0. Deci, 
Proprietățile funcției | Funcţie |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arctan x | y = arcctg x |
|
Domeniu | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Gama de valori | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Paritate | Ciudat | Nici par, nici impar | Ciudat | Nici par, nici impar |
Zerourile funcției (y = 0) | La x = 0 | La x = 1 | La x = 0 | y ≠ 0 |
Intervale de constanță a semnelor | y > 0 pentru x ∈ (0; 1], la< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 pentru x ∈ [-1; 1) | y > 0 pentru x ∈ (0; +∞), la< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 pentru x ∈ (-∞; +∞) |
Monoton | Crescând | Descendentă | Crescând | Descendentă |
Relația cu funcția trigonometrică | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Programa | ||||
Să dăm o serie de exemple mai tipice legate de definițiile și proprietățile de bază ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Exemplul 4
Să găsim domeniul de definire al funcției
Pentru ca funcția y să fie definită, este necesar să se satisfacă inegalitatea
care este echivalent cu sistemul de inegalităţi
Soluția primei inegalități este intervalul x∈
(-∞; +∞), secunda - Acest interval și este o soluție a sistemului de inegalități și, prin urmare, domeniul de definire al funcției
Exemplul 5
Să găsim zona de schimbare a funcției
Să luăm în considerare comportamentul funcției z = 2x - x2 (vezi poza).
Este clar că z ∈ (-∞; 1]. Având în vedere că argumentul z funcția arc cotangent variază în limitele specificate, din datele din tabel obținem că
Deci zona schimbării
Exemplul 6
Să demonstrăm că funcția y = arctg x impar. Lăsa
Atunci tg a = -x sau x = - tg a = tg (- a) și 
Prin urmare, - a = arctg x sau a = - arctg X. Astfel, vedem astaadică y(x) este o funcție impară.
Exemplul 7
Să exprimăm prin toate funcțiile trigonometrice inverse
Lăsa 
Este evident că 
Apoi de când
Să introducem unghiul 
Deoarece 
Acea 
La fel deci 
Și 
Asa de,
Exemplul 8
Să construim un grafic al funcției y = cos(arcsin x).
Să notăm a = arcsin x, atunci 
Să luăm în considerare că x = sin a și y = cos a, adică x 2 + y2 = 1 și restricții asupra x (x∈
[-1; 1]) și y (y ≥ 0). Apoi graficul funcției y = cos(arcsin x) este un semicerc.
Exemplul 9
Să construim un grafic al funcției y = arccos (cos x ).
Deoarece funcţia cos x se modifică pe intervalul [-1; 1], atunci funcția y este definită pe toată axa numerică și variază pe segmentul . Să reținem că y = arccos(cosx) = x pe segment; funcția y este pară și periodică cu perioada 2π. Avand in vedere ca functia are aceste proprietati cos x Acum este ușor să creezi un grafic.
Să notăm câteva egalități utile:
Exemplul 10
Să găsim cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției Să notăm 
Apoi 
Să luăm funcția 
Această funcție are un minim la punct z = π/4 și este egal cu 
Cea mai mare valoare a funcției este atinsă la punct z = -π/2 și este egal 
Astfel, și
Exemplul 11
Să rezolvăm ecuația
Să luăm în considerare asta 
Atunci ecuația arată astfel:
sau 
Unde Prin definiția arctangentei obținem:
2. Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice simple
Similar cu exemplul 1, puteți obține soluții pentru cele mai simple ecuații trigonometrice.
Ecuația | Soluţie |
tgx = a | |
ctg x = a |
Exemplul 12
Să rezolvăm ecuația 
Deoarece funcția sinus este impară, scriem ecuația sub forma
Soluții la această ecuație:
de unde il gasim? 
Exemplul 13
Să rezolvăm ecuația 
Folosind formula dată, notăm soluțiile ecuației:
si vom gasi 
Rețineți că în cazuri speciale (a = 0; ±1) la rezolvarea ecuațiilor sin x = a și cos x = și este mai ușor și mai convenabil să folosiți nu formule generale, ci să scrieți soluții bazate pe cercul unității:
pentru ecuația sin x = 1 soluție
pentru ecuația sin x = 0 soluții x = π k;
pentru ecuația sin x = -1 soluție 
pentru ecuația cos x = 1 soluții x = 2π k;
pentru ecuația cos x = 0 soluții
pentru ecuația cos x = -1 soluție 
Exemplul 14
Să rezolvăm ecuația 
Deoarece în acest exemplu există un caz special al ecuației, vom scrie soluția folosind formula corespunzătoare:
de unde il putem gasi? 
III. Întrebări de control (sondaj frontal)
1. Definiți și enumerați principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice inverse.
2. Dați grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse.
3. Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice simple.
IV. Temă de lecție
§ 15, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, nr. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Tema pentru acasă
§ 15, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, nr. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (g); 10 (b, d).
VI. Sarcini creative
1. Găsiți domeniul funcției:
Raspunsuri:
2. Găsiți intervalul funcției:
Raspunsuri:
3. Trasează un grafic al funcției:
VII. Rezumând lecțiile
Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții matematice care sunt inversul funcțiilor trigonometrice.
Funcția y=arcsin(x)
Arcsinusul unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] al cărui sinus este egal cu α.
Graficul unei funcții
Funcția у= sin(x) pe intervalul [-π/2;π/2], este strict crescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict crescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y= sin(x), unde x ∈[-π/2;π/2], se numește arcsinus și se notează y=arcsin(x), unde x∈[-1;1; ].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcsinusului este segmentul [-1;1], iar mulțimea de valori este segmentul [-π/2;π/2].
Rețineți că graficul funcției y=arcsin(x), unde x ∈[-1;1], este simetric cu graficul funcției y= sin(x), unde x∈[-π/2;π /2], în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate primul și al treilea sfert.
Domeniul de funcții y=arcsin(x).
Exemplul nr. 1.
Găsiți arcsin(1/2)?
Deoarece intervalul de valori al funcției arcsin(x) aparține intervalului [-π/2;π/2], atunci numai valoarea π/6 este potrivită, prin urmare, arcsin(1/2) =π/. 6.
Răspuns: π/6
Exemplul nr. 2.
Găsiți arcsin(-(√3)/2)?
Deoarece intervalul de valori arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], atunci numai valoarea -π/3 este potrivită, prin urmare, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Funcția y=arccos(x)
Arccosinusul unui număr α este un număr α din intervalul al cărui cosinus este egal cu α.
Graficul unei funcții
Funcția y= cos(x) pe segment este strict descrescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict descrescătoare și continuă.
Se numește funcția inversă pentru funcția y= cosx, unde x ∈ arc cosinusși se notează cu y=arccos(x),unde x ∈[-1;1].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcului cosinus este segmentul [-1;1], iar setul de valori este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y=arccos(x), unde x ∈[-1;1] este simetric cu graficul funcției y= cos(x), unde x ∈, în raport cu bisectoarea unghiurile de coordonate ale primului și al treilea sferturi.
Domeniul de funcții y=arccos(x).
Exemplul nr. 3.
Găsiți arccos(1/2)?
Deoarece intervalul de valori este arccos(x) x∈, atunci numai valoarea π/3 este adecvată. Prin urmare, arccos(1/2) =π/3.
Exemplul nr. 4.
Găsiți arccos(-(√2)/2)?
Deoarece intervalul de valori al funcției arccos(x) aparține intervalului, atunci numai valoarea 3π/4 este potrivită. Prin urmare, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Răspuns: 3π/4
Funcția y=arctg(x)
Arctangenta unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] a cărui tangentă este egală cu α.
Graficul unei funcții 
Funcția tangentă este continuă și strict crescătoare pe interval (-π/2;π/2); prin urmare, are o funcție inversă care este continuă și strict crescătoare.
Funcția inversă pentru funcția y= tan(x), unde x∈(-π/2;π/2); se numește arctangentă și se notează cu y=arctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arctangentei este intervalul (-∞;+∞), iar setul de valori este intervalul
(-π/2;π/2).
Rețineți că graficul funcției y=arctg(x), unde x∈R, este simetric față de graficul funcției y= tanx, unde x ∈ (-π/2;π/2), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sferturi.
Domeniul funcției y=arctg(x).
Exemplul nr. 5?
Găsiți arctan((√3)/3).
Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci numai valoarea π/6 este potrivită. Prin urmare, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplul nr. 6.
Găsiți arctg(-1)?
Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci numai valoarea -π/4 este potrivită. Prin urmare, arctg(-1) = - π/4.
Funcția y=arcctg(x)
Cotangenta arcului unui număr α este un număr α din intervalul (0;π) a cărui cotangentă este egală cu α.
Graficul unei funcții
Pe intervalul (0;π), funcția cotangentă scade strict; în plus, este continuă în fiecare punct al acestui interval; prin urmare, pe intervalul (0;π), această funcție are o funcție inversă, care este strict descrescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y=ctg(x), unde x ∈(0;π), se numește arccotangent și se notează y=arcctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arccotangentei va fi R, iar setul de valori va fi intervalul (0;π Graficul funcției y=arcctg(x)). , unde x∈R este simetric față de graficul funcției y=ctg(x) x∈(0 ;π), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sfert.
Domeniul de funcții y=arcctg(x).
Exemplul nr. 7.
Găsiți arcctg((√3)/3)?
Deoarece intervalul de valori arcctg(x) x ∈(0;π), atunci numai valoarea π/3 este potrivită.
Exemplul nr. 8.
Găsiți arcctg(-(√3)/3)?
Deoarece intervalul de valori este arcctg(x) x∈(0;π), atunci numai valoarea 2π/3 este potrivită. Prin urmare, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
