Teoria probabilității este stiinta matematica, studiind tiparele evenimentelor aleatorii. Un experiment probabilistic (test, observație) este un experiment al cărui rezultat nu poate fi prezis în prealabil. În acest experiment, orice rezultat (rezultat) este eveniment.
Evenimentul poate fi de încredere(apare întotdeauna ca urmare a unui test); imposibil(evident că nu apare în timpul testării); aleatoriu(se poate întâmpla sau nu în condițiile acestui experiment).
Un eveniment care nu poate fi descompus în evenimente mai simple este numit elementar. Un eveniment prezentat ca o combinație a mai multor evenimente elementare se numește complex(firma nu a suferit pierderi - profitul poate fi pozitiv sau egal cu zero).
Două evenimente care nu pot avea loc simultan (creșterea impozitelor - creșterea venitului disponibil; creșterea investiției - scăderea riscului) se numesc incompatibil.
Cu alte cuvinte, două evenimente sunt incompatibile dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția celuilalt. Altfel sunt comun(creșterea volumului vânzărilor - creșterea profitului). Evenimentele sunt numite opus, dacă unul dintre ele apare dacă și numai dacă celălalt nu apare (produsul este vândut - produsul nu este vândut).
Probabilitatea evenimentului - Aceasta este o măsură numerică care este introdusă pentru a compara evenimentele în funcție de gradul de posibilitate a apariției lor.
Definiția clasică a probabilității. Probabilitate R(O) evenimente O se numește raportul numeric m evenimente (rezultatele) elementare la fel de posibile favorabile producerii evenimentului O, la numărul total n toate rezultatele elementare posibile ale acestui experiment:
Următoarele proprietăți de bază ale probabilității decurg din cele de mai sus:
1,0 £ R(O) 1 GBP.
2. Probabilitatea unui anumit eveniment O este egal cu 1: R(O) = 1.
3. Probabilitatea unui eveniment imposibil A este 0: R(O) = 0.
4. Dacă evenimentele OŞi ÎN sunt incompatibile, atunci R(O + ÎN) = R(O) + R(ÎN); dacă evenimentele OŞi ÎN sunt articulate, atunci R(O + ÎN) = R(O) + R(ÎN) - R(O . B).(R(O . B)– probabilitatea producerii comune a acestor evenimente).
5. Dacă Oși evenimente opuse, atunci R() = 1 - R(O).
Dacă probabilitatea ca un eveniment să se producă nu modifică probabilitatea ca un alt eveniment să se producă, atunci astfel de evenimente sunt numite independent.
La calcularea directă a probabilităţilor evenimentelor caracterizate de un număr mare rezultate, ar trebui să utilizați formule combinatorice. Pentru a studia un grup de evenimente (ipoteze)
se aplică formule probabilitate deplină, Bayesian și Bernoulli ( n teste independente – repetarea experimentelor).
La determinarea statistică a probabilităţii evenimentelor O sub n se referă la numărul total de teste efectiv efectuate în care a avut loc evenimentul Oîntâlnit exact m dată. În acest caz relația m/n numită frecvență relativă (frecvență) W n(O) producerea evenimentului O V n testele efectuate.
La determinarea probabilităţii prin metodă evaluări ale experților sub n se referă la numărul de experți (specialiști într-un domeniu dat) intervievați cu privire la posibilitatea ca un eveniment să se producă O. În același timp m despre care susţin că evenimentul O se va întâmpla.
Conceptul de eveniment aleatoriu nu este suficient pentru a descrie rezultatele observațiilor unor cantități care au o expresie numerică. De exemplu, atunci când analizează rezultatul financiar al unei întreprinderi, aceștia sunt interesați în primul rând de dimensiunea acesteia. Prin urmare, conceptul de eveniment aleatoriu este completat de conceptul de variabilă aleatoare.
Sub variabilă aleatoare(SV) se înțelege o mărime care, în urma observării (testării), ia una dintr-un set posibil de valori ale sale, necunoscută în prealabil și în funcție de circumstanțe aleatorii. Pentru fiecare eveniment elementar, SV are un singur sens.
Există SV discrete și continue. Pentru discret SV setul de valori posibile este finit sau numărabil, adică SV preia valori individuale izolate care pot fi enumerate în prealabil, cu anumite probabilități. Pentru continuu SV, setul valorilor sale posibile este infinit și de nenumărat, de exemplu, toate numerele unui interval dat, adică. valorile posibile ale SV nu pot fi enumerate în prealabil și completează continuu un anumit gol.
Exemple de variabile aleatoare: X- numarul zilnic de clienti in supermarket (SV discret); Y- numarul de copii nascuti in cursul zilei intr-un anumit centru administrativ(SV discret); Z- coordona punctului de impact al unui obuz de artilerie (continuu NE).
Multe SV considerate în economie au un număr atât de mare de valori posibile încât este mai convenabil să le reprezinte sub formă de SV continue. De exemplu, ratele de schimb, venitul gospodăriei etc.
Pentru a descrie SV, este necesar să se stabilească o relație între toate valorile posibile ale SV și probabilitățile acestora. Acest raport va fi numit legea repartizării SV. Pentru un SV discret poate fi specificat tabelar, analitic (sub forma unei formule) sau grafic. De exemplu, tabelar pentru SV X
Capitoleu. EVENIMENTE ALEATORII. PROBABILITATE
1.1. Regularitate și aleatorie, variabilitate aleatorie în științele exacte, biologie și medicină
Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele în fenomene aleatorii. Un fenomen aleatoriu este un fenomen care, atunci când aceeași experiență se repetă de mai multe ori, poate apărea ușor diferit de fiecare dată.
Evident, nu există un singur fenomen în natură în care elementele aleatoriei să nu fie prezente într-o măsură sau alta, dar în diferite situații le luăm în considerare în moduri diferite. Astfel, într-o serie de probleme practice ele pot fi neglijate și, în locul unui fenomen real, se poate lua în considerare diagrama lui simplificată – un „model” –, presupunând că în condiții experimentale date fenomenul decurge într-un mod foarte definit. Totodată, sunt evidenţiaţi cei mai importanţi, decisivi factori care caracterizează fenomenul. Această schemă pentru studierea fenomenelor este cea mai des folosită în fizică, tehnologie și mecanică; așa se dezvăluie tiparul principal , caracteristică unui fenomen dat și făcând posibilă prezicerea rezultatului unui experiment pe baza unor condiții inițiale date. Și influența factorilor minori aleatorii asupra rezultatului experimentului este luată în considerare aici de erori aleatorii de măsurare (vom lua în considerare metoda de calcul a acestora mai jos).
Cu toate acestea, schema clasică descrisă a așa-numitului științe exacte slab potrivit pentru rezolvarea multor probleme în care numeroși factori aleatori strâns legați joacă un rol vizibil (adesea decisiv). Aici iese în prim plan natura aleatorie a fenomenului, care nu mai poate fi neglijat. Acest fenomen trebuie studiat tocmai din punctul de vedere al tiparelor inerente lui ca fenomen aleatoriu. În fizică, exemple de astfel de fenomene sunt Mișcarea browniană, dezintegrarea radioactivă, o serie de procese mecanice cuantice etc.
Subiectul de studiu al biologilor și medicilor este un organism viu, a cărui origine, dezvoltare și existență este determinată de foarte multe și variate, adesea aleatorii și externi. factori interni. De aceea, fenomenele și evenimentele lumii vii sunt, de asemenea, în mare măsură aleatorii în natură.
Elementele de incertitudine, complexitate și multicauzalitate inerente fenomenelor aleatoare necesită crearea unor metode matematice speciale pentru studierea acestor fenomene. Dezvoltarea unor astfel de metode și stabilirea unor modele specifice inerente fenomenelor aleatoare sunt principalele sarcini ale teoriei probabilităților. Este caracteristic că aceste tipare sunt îndeplinite numai atunci când fenomenele aleatorii sunt larg răspândite. În plus caracteristici individuale cazurile individuale par să se anuleze reciproc, iar rezultatul mediu pentru o masă de fenomene aleatorii se dovedește a nu mai fi întâmplător, ci complet natural . În mare măsură, această circumstanță a fost motivul răspândirii metode probabilistice cercetare în biologie și medicină.
Să luăm în considerare conceptele de bază ale teoriei probabilităților.
1.2. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu
Fiecare știință care dezvoltă o teorie generală a oricărei game de fenomene se bazează pe o serie de concepte de bază. De exemplu, în geometrie acestea sunt conceptele de punct, de linie dreaptă; în mecanică - conceptele de forță, masă, viteză etc. Concepte de bază există și în teoria probabilității, unul dintre ele este un eveniment aleatoriu.
Un eveniment aleatoriu este orice fenomen (fapt) care poate sau nu să apară ca urmare a experienței (testului).
Evenimentele aleatoare sunt indicate prin litere A, B, C... etc. Iată câteva exemple de evenimente aleatorii:
O– aspectul unui vultur (stamă) la aruncarea unei monede standard;
ÎN– nașterea unei fete într-o familie dată;
CU– nașterea unui copil cu o greutate corporală prestabilită;
D– apariția unei boli epidemice într-o anumită regiune într-o anumită perioadă de timp etc.
Principala caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu este probabilitatea acestuia. Lasă O- un eveniment aleatoriu. Probabilitatea unui eveniment aleator A este o mărime matematică care determină posibilitatea apariției acestuia. Este desemnat R(O).
Să luăm în considerare două metode principale pentru determinarea acestei valori.
Definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu de obicei, pe baza rezultatelor analizei experimentelor (testelor) speculative, a căror esență este determinată de condițiile sarcinii. În acest caz, probabilitatea unui eveniment aleatoriu P(A) este egal cu:
Unde m– numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului O; n– numărul total de cazuri la fel de posibile.
Exemplul 1. Un șobolan de laborator este plasat într-un labirint în care numai unul dintre cei patru moduri posibile duce la recompensă sub formă de hrană. Determinați probabilitatea ca șobolanul să aleagă această cale.
Soluţie: conform condițiilor problemei din patru cazuri la fel de posibile ( n=4) eveniment O(șobolanul găsește mâncare)
numai unul este favorabil, adică. m= 1 Atunci R(O) = R(șobolanul găsește hrană) = = 0,25 = 25%.
Exemplul 2. Într-o urnă sunt 20 de bile negre și 80 de bile albe. Din el se extrage o minge la întâmplare. Determinați probabilitatea ca această minge să fie neagră.
Soluţie: numărul tuturor bilelor din urnă este numărul total de cazuri egal posibile n, adică n = 20 + 80 = 100, din care eveniment O(eliminarea bilei negre) este posibilă doar la 20, adică. m= 20. Apoi R(O) = R(h.s.) = = 0,2 = 20%.
Să enumerăm proprietățile probabilității care decurg din ea definiție clasică- formula (1):
1. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este o mărime adimensională.
2. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este întotdeauna pozitivă și mai mică de unu, adică 0< P (O) < 1.
3. Probabilitatea unui eveniment de încredere, adică un eveniment care se va întâmpla cu siguranță ca urmare a experienței ( m = n), este egal cu unu.
4. Probabilitatea unui eveniment imposibil ( m= 0) este egal cu zero.
5. Probabilitatea oricărui eveniment este o valoare care nu este negativă și nu depășește unul:
0 £ P (O) 1 GBP.
Determinarea statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu este utilizat atunci când este imposibil să se utilizeze definiția clasică (1). Acesta este adesea cazul în biologie și medicină. În acest caz, probabilitatea R(O) sunt determinate prin rezumarea rezultatelor unor serii de teste (experimente) efectuate efectiv.
Să introducem conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment aleatoriu. Să se realizeze o serie formată din N experimente (număr N poate fi selectat în prealabil); eveniment de interes pentru noi O s-a întâmplat în M din care ( M < N). Raportul dintre numărul de experimente M, în care s-a produs acest eveniment, la numărul total de experimente efectuate N se numește frecvența relativă de apariție a unui eveniment aleatoriu Oîn această serie de experimente - R* (O)
P*(O) = .
S-a stabilit experimental că dacă se efectuează o serie de teste (experimente) în aceleași condiții și în fiecare dintre ele numărul N este suficient de mare, atunci frecvența relativă prezintă proprietatea de stabilitate : se schimba putin de la episod la episod , apropiindu-se cu un număr tot mai mare de experimente la o valoare constantă . Este considerată probabilitatea statistică a unui eveniment aleatoriu O:
R(O)= lim , cu N , (2)
Deci, probabilitate statistică R(O) eveniment aleatoriu O numiți limita la care tinde frecvența relativă de apariție a acestui eveniment cu o creștere nelimitată a numărului de încercări (cu N → ∞).
Probabilitatea statistică a unui eveniment aleatoriu este aproximativ egală cu frecvența relativă de apariție a acestui eveniment într-un număr mare de încercări:
R(O)≈ P*(O)= (pentru mare N) (3)
De exemplu, în experimentele privind aruncarea monedelor, frecvența relativă a căderii stemei cu 12.000 de aruncări s-a dovedit a fi egală cu 0,5016 și cu 24.000 de aruncări - 0,5005. În conformitate cu formula (1):
P(steamă) = = 0,5 = 50%
Exemplu . În cadrul unui examen medical a 500 de persoane, 5 dintre acestea au fost diagnosticate cu o tumoare la plămâni (l.l.). Determinați frecvența relativă și probabilitatea acestei boli.
Soluţie: conform condiţiilor problemei M = 5, N= 500, frecvență relativă R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; deoarece N este suficient de mare, putem presupune cu o bună acuratețe că probabilitatea de a avea o tumoare în plămâni este egală cu frecvența relativă a acestui eveniment:
R(o.l.) = R*(v.l.) = 0,01 = 1%.
Proprietățile enumerate anterior ale probabilității unui eveniment aleatoriu sunt păstrate în determinarea statistică a acestei mărimi.
1.3. Tipuri de evenimente aleatorii. Teoreme de bază ale teoriei probabilităților
Toate evenimentele aleatoare pot fi împărțite în:
¾ incompatibil;
¾ independent;
¾ dependent.
Fiecare tip de eveniment are propriile sale caracteristici și teoreme ale teoriei probabilităților.
1.3.1. Evenimente aleatoare incompatibile. Teorema de adunare a probabilității
Evenimente aleatoare (A, B, C,D...) se numesc incompatibile , dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces.
Exemplul 1 . Se aruncă o monedă. Când cade, aspectul „stemei” elimină aspectul „cozilor” (inscripția care determină prețul monedei). Evenimentele „a căzut stema” și „a căzut capul” sunt incompatibile.
Exemplul 2 . Un student care primește nota „2”, sau „3”, sau „4” sau „5” la un examen sunt evenimente incompatibile, deoarece una dintre aceste note o exclude pe cealaltă la același examen.
Pentru evenimentele aleatoare inconsecvente, se aplică următoarele: teorema de adunare a probabilității: probabilitatea de apariție unul, dar indiferent care, dintre mai multe evenimente incompatibile A1, A2, A3 ... Ak egală cu suma probabilităților lor:
P(A1 sau A2...sau Ak) = P(A1) + P(A2) + …+ P(Ak). (4)
Exemplul 3. O urnă conține 50 de bile: 20 albe, 20 negre și 10 roșii. Găsiți probabilitatea apariției albului (eveniment O) sau mingea roșie (eveniment ÎN), când o minge este extrasă la întâmplare din urnă.
Rezolvare: R(A sau B)= P(O)+ R(ÎN);
R(O) = 20/50 = 0,4;
R(ÎN) = 10/50 = 0,2;
R(O sau ÎN)= P(b. sh. sau k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.
Exemplul 4 . În clasă sunt 40 de copii. Dintre aceștia, cu vârsta cuprinsă între 7 și 7,5 ani, 8 băieți ( O) și 10 fete ( ÎN). Găsiți probabilitatea de a avea copii de această vârstă în clasă.
Rezolvare: R(O)= 8/40 = 0,2; R(ÎN) = 10/40 = 0,25.
P(A sau B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%
Urmând concept important – grup complet de evenimente: mai multe evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente dacă numai unul dintre evenimentele acestui grup și niciun altul poate avea loc în urma fiecărei încercări.
Exemplul 5 . Trăgătorul a tras un foc în țintă. Unul dintre următoarele evenimente se va întâmpla cu siguranță: intrarea în „zece”, „nouă”, „opt”,..., „unu” sau ratare. Aceste 11 evenimente incompatibile formează un grup complet.
Exemplul 6 . La un examen universitar, un student poate primi una dintre următoarele patru note: 2, 3, 4 sau 5. Aceste patru evenimente incompatibile formează, de asemenea, un grup complet.
Dacă evenimentele incompatibile A1, A2...Ak formați un grup complet, atunci suma probabilităților acestor evenimente este întotdeauna egală cu unu:
R(A1)+ R(A2)+ … R(Ok) = 1, (5)
Această afirmație este adesea folosită în rezolvarea multor probleme aplicate.
Dacă două evenimente sunt singurele posibile și incompatibile, atunci ele sunt numite opuse și notate OŞi . Astfel de evenimente formează un grup complet, astfel încât suma probabilităților lor este întotdeauna egală cu unu:
R(O)+ R() = 1. (6)
Exemplul 7. Fie R(O) – probabilitatea decesului din cauza unei anumite boli; este cunoscut și egal cu 2%. Atunci probabilitatea unui rezultat de succes pentru această boală este de 98% ( R() = 1 – R(O) = 0,98), deoarece R(O) + R() = 1.
1.3.2. Evenimente aleatoare independente. Teorema înmulțirii probabilităților
Evenimentele aleatoare sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea apariției altor evenimente.
Exemplul 1 . Dacă există două sau mai multe urne cu bile colorate, atunci extragerea oricărei bile dintr-o urna nu va afecta probabilitatea de a extrage alte bile din urnele rămase.
Pentru evenimente independente este adevărat teorema înmulțirii probabilităților: probabilitate comună(simultan)apariția mai multor evenimente aleatoare independente este egală cu produsul probabilităților lor:
P(A1 și A2 și A3... și Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)
Apariția în comun (simultană) a evenimentelor înseamnă că evenimentele au loc și A1,Şi A2,Şi A3… Și Ok .
Exemplul 2 . Sunt două urne. Unul conține 2 bile negre și 8 albe, celălalt conține 6 bile negre și 4 albe. Lasă evenimentul O-alegerea la întâmplare a unei mingi albe din prima urna, ÎN- din a doua. Care este probabilitatea de a alege o minge albă la întâmplare din aceste urne în același timp, adică ce este egal cu R (OŞi ÎN)?
Soluţie: probabilitatea de a extrage o minge albă din prima urna
R(O) = = 0,8 din secunda – R(ÎN) = = 0,4. Probabilitatea de a extrage simultan o minge albă din ambele urne este
R(OŞi ÎN) = R(O)· R(ÎN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.
Exemplul 3: O dietă săracă în iod determină mărirea glandei tiroide la 60% dintre animalele dintr-o populație mare. Pentru experiment sunt necesare 4 glande mărite. Găsiți probabilitatea ca 4 animale alese aleatoriu să aibă o glanda tiroidă mărită.
Soluţie: Eveniment aleatoriu O– selecția aleatorie a unui animal cu glanda tiroidă mărită. În funcție de condițiile problemei, probabilitatea acestui eveniment R(O) = 0,6 = 60%. Atunci probabilitatea apariției comune a patru evenimente independente - o selecție aleatorie a 4 animale cu o glanda tiroidă mărită - va fi egală cu:
R(O 1 și O 2 și O 3 și O 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.
1.3.3. Evenimente dependente. Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente dependente
Evenimentele aleatoare A și B sunt numite dependente dacă apariția unuia dintre ele, de exemplu, A, modifică probabilitatea apariției unui alt eveniment, B. Prin urmare, două valori de probabilitate sunt utilizate pentru evenimente dependente: probabilități necondiționate și condiționate .
Dacă OŞi ÎN evenimente dependente, apoi probabilitatea producerii evenimentului ÎN primul (adică înainte de eveniment O) se numește necondiţionat probabilitate acest eveniment este desemnat R(ÎN). Probabilitatea apariției unui eveniment ÎN cu condiția ca evenimentul O sa întâmplat deja, se numește probabilitate condiționată evenimentelor ÎN si este desemnat R(ÎN/O) sau RA(ÎN).
neconditionat - R(O) și condiționată – R(A/B) probabilitatea unui eveniment O.
Teorema de multiplicare a probabilității pentru două evenimente dependente: probabilitatea apariției simultane a două evenimente dependente A și B este egală cu produsul probabilității necondiționate a primului eveniment cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:
R(A și B)= P(O)∙P(V/A) , (8)
O, sau
R(A și B)= P(ÎN)∙P(A/B), (9)
dacă evenimentul are loc mai întâi ÎN.
Exemplul 1. Într-o urnă sunt 3 bile negre și 7 bile albe. Găsiți probabilitatea ca 2 bile albe să fie extrase din această urnă una după alta (fără ca prima bilă să fie returnată în urnă).
Soluţie: probabilitatea de a obține prima bilă albă (eveniment O) este egal cu 7/10. După ce este îndepărtat, în urnă au rămas 9 bile, dintre care 6 sunt albe. Apoi, probabilitatea apariției celei de-a doua bile albe (eveniment ÎN) este egal cu R(ÎN/O) = 6/9, iar probabilitatea de a obține două bile albe la rând este
R(OŞi ÎN) = R(O)∙R(ÎN/O) = = 0,47 = 47%.
Teorema dată pentru înmulțirea probabilităților pentru evenimente dependente poate fi generalizată la orice număr de evenimente. În special, pentru trei evenimente, prieten înrudit cu un prieten:
R(OŞi ÎNŞi CU)= P(O)∙ R(V/A)∙ R(S/AB). (10)
Exemplul 2. Un focar de boală infecțioasă a apărut în două grădinițe, fiecare frecventată de 100 de copii. Proporțiile bolnavilor sunt de 1/5, respectiv 1/4, iar în prima instituție 70%, iar în a doua - 60% dintre bolnavi - copii sub 3 ani. Un copil este selectat aleatoriu. Determinați probabilitatea ca:
1) copilul selectat aparține primei grădinițe (eveniment O) și bolnav (eveniment ÎN).
2) este selectat un copil din al doilea grădiniţă(eveniment CU), bolnav (eveniment D) și mai vechi de 3 ani (eveniment E).
Soluţie. 1) probabilitatea cerută -
R(OŞi ÎN) = R(O) ∙ R(ÎN/O) = = 0,1 = 10%.
2) probabilitatea cerută:
R(CUŞi DŞi E) = R(CU) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = 
= 5%.
1.4. Formula Bayes
Dacă probabilitatea de apariţie concomitentă a evenimentelor dependente OŞi ÎN nu depinde de ordinea în care apar, deci R(OŞi ÎN)= P(O)∙P(V/A)= P(ÎN) × R(A/B). În acest caz, probabilitatea condiționată a unuia dintre evenimente poate fi găsită cunoscând probabilitățile ambelor evenimente și probabilitatea condiționată a celui de-al doilea:
R(V/A) = (11)
O generalizare a acestei formule pentru cazul multor evenimente este formula Bayes.
Lasă " n» evenimente aleatoare incompatibile Н1, Н2, …, Нn, formează un grup complet de evenimente. Probabilităţile acestor evenimente sunt R(H1), R(H2), …, R(Nn) sunt cunoscute și deoarece formează un grup complet, atunci = 1.
Un eveniment întâmplător O legate de evenimente Н1, Н2, …, Нn, iar probabilitățile condiționate de apariție a evenimentului sunt cunoscute O cu fiecare dintre evenimente Ni, adică cunoscut R(A/H1), R(A/H2), …, R(UNn). În acest caz, suma probabilităților condiționate R(UNi) poate să nu fie egal cu unitatea, adică 
≠ 1.
Apoi probabilitatea condiționată a producerii evenimentului Ni când se realizează un eveniment O(adică, cu condiția ca evenimentul Oîntâmplat) este determinată de formula lui Bayes :
Mai mult, pentru aceste probabilități condiționate 
.
Formula lui Bayes și-a găsit o largă aplicație nu numai în matematică, ci și în medicină. De exemplu, este folosit pentru a calcula probabilitățile anumitor boli. Deci, dacă N 1,…, Nn– diagnostice așteptate pentru acest pacient, O– unele semne legate de acestea (simptom, un anumit indicator al unui test de sânge, test de urină, detaliu al unei radiografii etc.) și probabilități condiționate R(UNi) manifestări ale acestui simptom cu fiecare diagnostic Ni (i = 1,2,3,…n) sunt cunoscute dinainte, atunci formula Bayes (12) ne permite să calculăm probabilitățile condiționate ale bolilor (diagnosticelor) R(Ni/O) după ce s-a stabilit că trăsătura caracteristică O prezente la pacient.
Exemplul 1. În timpul examinării inițiale a pacientului, se presupun 3 diagnostice N 1, N 2, N 3. Probabilitățile lor, potrivit medicului, sunt distribuite după cum urmează: R(N 1) = 0,5; R(N 2) = 0,17; R(N 3) = 0,33. Prin urmare, primul diagnostic pare provizoriu cel mai probabil. Pentru a o clarifica, de exemplu, este prescris un test de sânge, în care este de așteptat o creștere a VSH (eveniment O). Se știe dinainte (pe baza rezultatelor cercetării) că probabilitățile de creștere a VSH în bolile suspectate sunt egale:
R(O/N 1) = 0,1; R(O/N 2) = 0,2; R(O/N 3) = 0,9.
Analiza rezultată a înregistrat o creștere a VSH (eveniment O sa întâmplat). Apoi, calculul folosind formula Bayes (12) oferă probabilitățile de boli așteptate cu o valoare VSH crescută: R(N 1/O) = 0,13; R(N 2/O) = 0,09;
R(N 3/O) = 0,78. Aceste cifre arată că, luând în considerare datele de laborator, cel mai realist nu este primul, ci al treilea diagnostic, a cărui probabilitate s-a dovedit acum destul de mare.
Exemplul de mai sus este cea mai simplă ilustrare a modului în care, folosind formula Bayes, puteți oficializa logica unui medic atunci când faceți un diagnostic și, datorită acestuia, puteți crea metode de diagnosticare pe computer.
Exemplul 2. Determinați probabilitatea care estimează gradul de risc de mortalitate infantilă perinatală* la femeile cu pelvis îngust anatomic.
Soluţie: lăsați evenimentul N 1 – naștere reușită. Conform rapoartelor clinice, R(N 1) = 0,975 = 97,5%, atunci dacă H2– faptul mortalității perinatale, deci R(N 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.
Să notăm O– faptul că o femeie în travaliu are bazinul îngust. Din studiile efectuate se cunoaște: a) R(O/N 1) – probabilitatea unui bazin îngust în timpul unei nașteri favorabile, R(O/N 1) = 0,029, b) R(O/N 2) – probabilitatea unui bazin îngust cu mortalitate perinatală,
R(O/N 2) = 0,051. Apoi, probabilitatea dorită de mortalitate perinatală la o femeie în travaliu cu pelvis îngust este calculată folosind formula Bays (12) și este egală cu:
Astfel, riscul de mortalitate perinatală într-un pelvis anatomic îngust este semnificativ mai mare (aproape de două ori) decât riscul mediu (4,4% versus 2,5%).
Astfel de calcule, efectuate de obicei folosind un computer, stau la baza metodelor de formare a grupurilor de pacienți cu risc crescut asociat cu prezența unui anumit factor agravant.
Formula Bayes este foarte utila pentru evaluarea multor alte situatii medicale si biologice, care vor deveni evidente la rezolvarea problemelor date in manual.
1.5. Despre evenimente aleatoare cu probabilități apropiate de 0 sau 1
Când se rezolvă multe probleme practice, trebuie să se ocupe de evenimente a căror probabilitate este foarte mică, adică aproape de zero. Pe baza experienței cu privire la astfel de evenimente, a fost adoptat următorul principiu. Dacă un eveniment aleatoriu are o probabilitate foarte mică, atunci putem presupune practic că nu va apărea într-un singur test, cu alte cuvinte, posibilitatea apariției sale poate fi neglijată. Răspunsul la întrebarea cât de mică ar trebui să fie această probabilitate este determinat de esența problemelor care se rezolvă și de cât de important este rezultatul predicției pentru noi. De exemplu, dacă probabilitatea ca o parașută să nu se deschidă în timpul unui salt este de 0,01, atunci utilizarea unor astfel de parașute este inacceptabilă. Totuși, aceeași probabilitate de 0,01 ca un tren de lungă distanță să ajungă târziu ne face aproape siguri că va ajunge la timp.
Se numește o probabilitate suficient de mică la care (într-o anumită problemă specifică) un eveniment poate fi considerat practic imposibil nivelul de semnificație.În practică, nivelul de semnificație este de obicei luat egal cu 0,01 (nivel de semnificație unu la sută) sau 0,05 (nivel de semnificație de cinci procente), mult mai rar este luat egal cu 0,001.
Introducerea unui nivel de semnificație ne permite să afirmăm că dacă vreun eveniment O aproape imposibil, apoi evenimentul opus - practic de încredere, adică pentru el R() » 1.
CapitolII. VARIABILE ALEATORII
2.1. Variabile aleatoare, tipurile lor
În matematică, o cantitate este nume comun diverse caracteristici cantitative obiecte și fenomene. Lungimea, suprafața, temperatura, presiunea etc. sunt exemple de cantități diferite.
O cantitate care ia diferit valorile numerice aflate sub influența unor circumstanțe aleatorii se numesc variabile aleatoare. Exemple de variabile aleatorii: numărul de pacienți la o programare la medic; dimensiuni exacte organele interne oameni etc.
Distingeți între variabile aleatoare discrete și continue .
O variabilă aleatorie se numește discretă dacă ia doar anumite valori distincte care pot fi identificate și enumerate.
Exemple de variabile aleatoare discrete sunt:
– numărul de elevi din audiență – poate fi doar un întreg pozitiv: 0,1,2,3,4….. 20…..;
– numărul care apare pe fața de sus la aruncarea unui zar – poate lua doar valori întregi de la 1 la 6;
– frecvența relativă de lovire a țintei cu 10 lovituri – valorile acesteia: 0; 0,1; 0,2; 0,3…1
– numărul de evenimente care au loc în aceleași perioade de timp: frecvența cardiacă, numărul de apeluri la ambulanță pe oră, numărul de operații pe lună cu rezultat fatal etc.
O variabilă aleatoare se numește continuă dacă poate lua orice valoare într-un anumit interval, care uneori are limite clar definite și alteori nu.*. Variabilele aleatoare continue includ, de exemplu, greutatea corporală și înălțimea adulților, greutatea corporală și volumul creierului, conținutul cantitativ de enzime la oamenii sănătoși, dimensiunea celulelor sanguine, r N sânge etc.
Conceptul de variabilă aleatoare joacă un rol decisiv în teoria modernă probabilități, care au dezvoltat tehnici speciale pentru trecerea de la evenimente aleatoare la variabile aleatoare.
Dacă o variabilă aleatoare depinde de timp, atunci putem vorbi despre un proces aleatoriu.
2.2. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
A da descriere completă Pentru o variabilă aleatorie discretă, este necesar să se indice toate valorile sale posibile și probabilitățile acestora.
Corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile acestora se numește legea distribuției acestei variabile.
Să notăm valorile posibile ale variabilei aleatoare X prin Xi, iar probabilitățile corespunzătoare – prin ri *. Atunci legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată în trei moduri: sub forma unui tabel, grafic sau formulă.
Într-un tabel numit serie de distribuție, listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete Xși probabilitățile corespunzătoare R(X):
X
…..
…..
P(X)
…..
…..
În acest caz, suma tuturor probabilităților ri trebuie să fie egal cu unitatea (condiția de normalizare):
ri = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)
Grafic legea este reprezentată printr-o linie întreruptă, care se numește de obicei poligon de distribuție (Fig. 1). Aici, toate valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei orizontale Xi,
,
iar de-a lungul axei verticale – probabilitățile corespunzătoare ri
Analitic legea se exprimă prin formula. De exemplu, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este p, apoi probabilitatea de a lovi ținta de 1 dată la n lovituri este dată de formula R(n) = n qn-1 × p, Unde q= 1 – p– probabilitatea de ratare cu o lovitură.
2.3. Legea distribuției unei variabile aleatoare continue. Funcția de densitate de probabilitate
Pentru variabile aleatoare continue, este imposibil să se aplice legea distribuției în formele prezentate mai sus, deoarece o astfel de variabilă are un set nenumărat („nenumărabil”) de valori posibile care umple complet un anumit interval. Prin urmare, este imposibil să creați un tabel care să enumere toate valorile sale posibile sau să construiți un poligon de distribuție. În plus, probabilitatea unei anumite valori este foarte mică (aproape de 0)*. În același timp diverse zone(intervale) ale valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue nu sunt la fel de probabile. Astfel, și în acest caz operează o anumită lege a distribuției, deși nu în sensul anterior.
Luați în considerare o variabilă aleatoare continuă X, ale căror posibile valori umplu complet un anumit interval (O, b)**. Legea distribuției de probabilitate a unei astfel de valori ar trebui să permită găsirea probabilității ca valoarea acesteia să se încadreze în oricare interval specificat (x1, x2), întins înăuntru ( O,b), Fig.2.
Această probabilitate este notă R(x1< Х < х2
), sau
R(x1£ X£ x2).
Să luăm în considerare mai întâi un interval foarte mic de valori X– de la X la ( x +DX); vezi Fig.2. Probabilitate scăzută dR că variabila aleatoare X va lua o anumită valoare din interval ( x, x +DX), va fi proporțională cu mărimea acestui interval DX:dR~ DX, sau prin introducerea coeficientului de proporționalitate f, de care poate depinde în sine X, obținem:
dP =f(X) × D x =f(x) × dx (14)
Funcția introdusă aici f(X) se numește densitatea distribuției de probabilitate variabilă aleatoare X, sau, pe scurt, densitatea de probabilitate, densitatea distributiei. Ecuația (13) este o ecuație diferențială, a cărei soluție dă probabilitatea de a atinge valoarea Xîn interval ( x1,x2):
R(x1<X<x2) = f(X) dX. (15)
Probabilitate grafică R(x1<X<x2) este egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de axa absciselor curbei f(X) și drept X = x1 și X = x2(Fig. 3). Aceasta rezultă din sensul geometric al integralei definite (15) Curba f(X) se numește curbă de distribuție.
Din (15) rezultă că dacă funcţia este cunoscută f(X), apoi, prin modificarea limitelor de integrare, putem găsi probabilitatea pentru orice intervale de interes pentru noi. Prin urmare, este sarcina funcției f(X) determină complet legea distribuției pentru variabile aleatoare continue.
Pentru densitatea de probabilitate f(X) condiția de normalizare trebuie îndeplinită sub forma:
f(X) dx = 1, (16)
dacă se ştie că toate valorile X se află în interval ( O,b), sau sub forma:
f(X) dx = 1, (17)
dacă limitele intervalului pentru valori X categoric nesigur. Condițiile pentru normalizarea densității de probabilitate (16) sau (17) sunt o consecință a faptului că valorile variabilei aleatoare X se află în mod sigur în ( O,b) sau (-¥, +¥). Din (16) și (17) rezultă că aria figurii delimitată de curba de distribuție și de axa x este întotdeauna egală cu 1 .
2.4. Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare
Rezultatele prezentate în paragrafele 2.2 și 2.3 arată că o descriere completă a variabilelor aleatoare discrete și continue poate fi obținută prin cunoașterea legilor distribuției lor. Cu toate acestea, în multe situații practic semnificative, se folosesc așa-numitele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare, scopul principal al acestor caracteristici este de a exprima într-o formă concisă cele mai semnificative caracteristici ale distribuției variabilelor aleatoare; Este important ca acești parametri să reprezinte valori specifice (constante) care pot fi evaluate folosind datele obținute în experimente. Aceste estimări sunt tratate de „Statistici descriptive”.
În teoria probabilităților și statistica matematică, sunt folosite destul de multe caracteristici diferite, dar le vom lua în considerare doar pe cele mai utilizate. Mai mult, doar pentru unele dintre ele vom prezenta formulele prin care se calculează valorile lor, în alte cazuri, vom lăsa calculele pe seama calculatorului.
Să luăm în considerare caracteristicile poziției - așteptare matematică, mod, mediană.
Ele caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor , adică indică o valoare aproximativă în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale variabilei aleatoare. Dintre acestea, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică M(X).
Scurtă teorie
Pentru a compara cantitativ evenimentele în funcție de gradul de posibilitate al apariției lor, se introduce o măsură numerică, care se numește probabilitatea unui eveniment. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr care exprimă măsura posibilității obiective a producerii unui eveniment.
Mărimile care determină cât de semnificative sunt motivele obiective de a aștepta apariția unui eveniment sunt caracterizate de probabilitatea evenimentului. Trebuie subliniat faptul că probabilitatea este o mărime obiectivă care există independent de cunoscător și este condiționată de întregul set de condiții care contribuie la apariția unui eveniment.
Explicațiile pe care le-am dat pentru conceptul de probabilitate nu sunt o definiție matematică, deoarece nu cuantifică conceptul. Există mai multe definiții ale probabilității unui eveniment aleatoriu, care sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea unor probleme specifice (definiție clasică, geometrică a probabilității, statistică etc.).
Definiția clasică a probabilității evenimentului reduce acest concept la conceptul mai elementar de evenimente la fel de posibile, care nu mai este supus definiției și se presupune că este intuitiv clar. De exemplu, dacă un zar este un cub omogen, atunci pierderea oricăreia dintre fețele acestui cub va fi evenimente la fel de posibile.
Să fie împărțit un eveniment de încredere în cazuri la fel de posibile, a căror sumă dă evenimentul. Adică cazurile din care se descompune sunt numite favorabile evenimentului, întrucât apariția unuia dintre ele asigură producerea.
Probabilitatea unui eveniment va fi indicată prin simbol.
Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile acestuia, din numărul total de cazuri unic posibile, la fel de posibile și incompatibile, la numărul, i.e.
Aceasta este definiția clasică a probabilității. Astfel, pentru a afla probabilitatea unui eveniment, este necesar, luând în considerare diferitele rezultate ale testului, să găsim un set de cazuri unic posibile, la fel de posibile și incompatibile, să calculăm numărul lor total n, numărul de cazuri m favorabil pt. un anumit eveniment și apoi efectuați calculul folosind formula de mai sus.
Probabilitatea unui eveniment egală cu raportul dintre numărul de rezultate experimentale favorabile evenimentului și numărul total de rezultate experimentale se numește probabilitate clasică eveniment aleatoriu.
Următoarele proprietăți ale probabilității decurg din definiție:
Proprietatea 1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Proprietatea 2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Proprietatea 3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Proprietatea 4. Probabilitatea de apariție a evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu.
Proprietatea 5. Probabilitatea apariției evenimentului opus este determinată în același mod ca și probabilitatea apariției evenimentului A.
Numărul de cazuri care favorizează apariția unui eveniment opus. Prin urmare, probabilitatea de apariție a evenimentului opus este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea de apariție a evenimentului A:
Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul ei, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a recurge la experiență, ci pe baza raționamentului logic.
Când sunt îndeplinite un set de condiții, se va întâmpla cu siguranță un eveniment de încredere, dar cu siguranță nu se va întâmpla un eveniment imposibil. Printre evenimentele care pot să apară sau nu atunci când se creează un set de condiții, apariția unora poate fi contată cu un motiv întemeiat, iar apariția altora cu mai puțin motiv. Dacă, de exemplu, într-o urnă există mai multe bile albe decât bile negre, atunci există mai multe motive să sperăm la apariția unei bile albe atunci când sunt extrase la întâmplare din urnă decât la apariția unei bile negre.
Pagina următoare discută.
Exemplu de rezolvare a problemei
Exemplul 1
O cutie conține 8 bile albe, 4 negre și 7 roșii. Se extrag la întâmplare 3 bile. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente: – se extrage cel puțin 1 bilă roșie, – există cel puțin 2 bile de aceeași culoare, – există cel puțin 1 bilă roșie și 1 albă.
Rezolvarea problemei
Găsim numărul total de rezultate ale testului ca număr de combinații de 19 (8+4+7) elemente de 3:
Să aflăm probabilitatea evenimentului– se extrage cel puțin 1 bile roșie (1, 2 sau 3 bile roșii)
Probabilitate necesară:
Lasă evenimentul– sunt cel puțin 2 bile de aceeași culoare (2 sau 3 bile albe, 2 sau 3 bile negre și 2 sau 3 bile roșii)
Numărul de rezultate favorabile evenimentului:
Probabilitate necesară:
Lasă evenimentul– există cel puțin o bilă roșie și 1 albă
(1 roșu, 1 alb, 1 negru sau 1 roșu, 2 alb sau 2 roșii, 1 alb)
Numărul de rezultate favorabile evenimentului:
Probabilitate necesară:
Răspuns: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068
Exemplul 2
Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor să fie de cel puțin 5.
Soluţie
Fie evenimentul să aibă un scor de cel puțin 5
Să folosim definiția clasică a probabilității:
Numărul total de rezultate posibile ale testului
Numărul de încercări care favorizează evenimentul de interes
Pe partea aruncată a primului zar, pot apărea un punct, două puncte..., șase puncte. în mod similar, șase rezultate sunt posibile la aruncarea celui de-al doilea zar. Fiecare dintre rezultatele aruncării primului zar poate fi combinat cu fiecare dintre rezultatele celui de-al doilea. Astfel, numărul total de rezultate posibile ale testului elementar este egal cu numărul de plasări cu repetări (alegere cu plasări a 2 elemente dintr-un set de volum 6):
Să găsim probabilitatea evenimentului opus - suma punctelor este mai mică de 5
Următoarele combinații de puncte pierdute vor favoriza evenimentul:
| № | primul os | al 2-lea os | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Medie costul rezolvării unui test este de 700 - 1200 de ruble (dar nu mai puțin de 300 de ruble pentru întreaga comandă). Pretul este foarte influentat de urgenta deciziei (de la o zi la cateva ore). Costul ajutorului online pentru un examen/test este de la 1000 de ruble. pentru rezolvarea biletului.
Puteți lăsa o solicitare direct în chat, după ce ați trimis în prealabil condițiile sarcinii și v-a informat cu privire la intervalul de timp pentru soluția de care aveți nevoie. Timpul de răspuns este de câteva minute.
Probabilitatea este unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Există mai multe definiții ale acestui concept. Să dăm o definiție care se numește clasică.
Probabilitate eveniment este raportul dintre numărul de rezultate elementare favorabile pentru un anumit eveniment și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experienței în care poate apărea acest eveniment.
Probabilitatea evenimentului A se notează cu P(A)(Aici R– prima literă a unui cuvânt francez probabilitate- probabilitate).
Conform definiţiei
unde este numărul de rezultate ale testelor elementare favorabile apariției evenimentului;
Numărul total de rezultate posibile ale testului elementar.
Această definiție a probabilității se numește clasic. A apărut în stadiul inițial al dezvoltării teoriei probabilităților.
Numărul este adesea numit frecvența relativă de apariție a unui eveniment O in experienta.
Cu cât probabilitatea unui eveniment este mai mare, cu atât acesta are loc mai des și invers, cu atât probabilitatea unui eveniment este mai mică, cu atât se întâmplă mai puțin des. Când probabilitatea unui eveniment este apropiată sau egală cu unu, atunci aceasta apare în aproape toate încercările. Se spune că un astfel de eveniment este aproape sigur, adică că se poate conta cu siguranță pe apariția lui.
Dimpotrivă, când probabilitatea este zero sau foarte mică, atunci evenimentul are loc extrem de rar; se spune că un astfel de eveniment este aproape imposibil.
Uneori probabilitatea este exprimată ca procent: P(A) 100% este procentul mediu din numărul de apariții ale unui eveniment O.
Exemplul 2.13.În timp ce forma un număr de telefon, abonatul a uitat o cifră și a format-o la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca numărul corect să fie format.
Soluţie.
Să notăm prin O eveniment - „numărul necesar a fost format”.
Abonatul poate forma oricare dintre cele 10 cifre, astfel încât numărul total de rezultate elementare posibile este de 10. Aceste rezultate sunt incompatibile, la fel de posibile și formează un grup complet. Favorizează evenimentul O un singur rezultat (există un singur număr necesar).
Probabilitatea necesară este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului și numărul tuturor rezultatelor elementare:
Formula clasică de probabilitate oferă o modalitate foarte simplă, fără experimente, de a calcula probabilitățile. Cu toate acestea, simplitatea acestei formule este foarte înșelătoare. Faptul este că atunci când îl utilizați, apar de obicei două întrebări foarte dificile:
1. Cum să alegeți un sistem de rezultate experimentale astfel încât acestea să fie la fel de posibile și este posibil să faceți acest lucru?
2. Cum să găsești numere mŞi n?
Dacă într-un experiment sunt implicate mai multe obiecte, nu este întotdeauna ușor să vezi rezultate la fel de posibile.
Marele filozof și matematician francez D'Alembert a intrat în istoria teoriei probabilităților cu faimoasa sa greșeală, a cărei esență a fost că a determinat incorect echiposibilitatea rezultatelor într-un experiment cu doar două monede!
Exemplul 2.14. ( eroarea lui d'Alembert). Două monede identice sunt aruncate. Care este probabilitatea ca ei să cadă de aceeași parte?
Soluția lui D'Alembert.
Experimentul are trei rezultate la fel de posibile:
1. Ambele monede vor ateriza pe capete;
2. Ambele monede vor ateriza pe cozi;
3. Una dintre monede va ateriza pe capete, cealaltă pe cozi.
Decizia corectă.
Experimentul are patru rezultate la fel de posibile:
1. Prima monedă va cădea pe capete, a doua va cădea tot pe capete;
2. Prima monedă va ateriza pe cozi, a doua va ateriza tot pe cozi;
3. Prima monedă va cădea pe capete, iar a doua pe cozi;
4. Prima monedă va ateriza pe cozi, iar a doua pe capete.
Dintre acestea, două rezultate vor fi favorabile pentru evenimentul nostru, deci probabilitatea necesară este egală cu .
D'Alembert a făcut una dintre cele mai frecvente greșeli făcute la calcularea probabilității: a combinat două rezultate elementare într-unul singur, făcându-l astfel inegal ca probabilitate cu rezultatele rămase ale experimentului.
Probabilitatea unui eveniment este înțeleasă ca o anumită caracteristică numerică a posibilității producerii acestui eveniment. Există mai multe abordări pentru a determina probabilitatea.
Probabilitatea evenimentului O este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile care formează grupul complet. Deci, probabilitatea evenimentului O este determinat de formula
Unde m– numărul de rezultate elementare favorabile O, n– numărul tuturor rezultatelor posibile ale testelor elementare.
Exemplul 3.1.Într-un experiment care implică aruncarea unui zar, numărul tuturor rezultatelor n este egal cu 6 și toate sunt la fel de posibile. Lasă evenimentul Oînseamnă apariția unui număr par. Apoi, pentru acest eveniment, rezultatele favorabile vor fi apariția numerelor 2, 4, 6. Numărul lor este 3. Prin urmare, probabilitatea evenimentului O egal cu
Exemplul 3.2. Care este probabilitatea ca un număr de două cifre ales la întâmplare să aibă aceleași cifre?
Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99, există în total 90 de astfel de numere, 9 numere au cifre identice (acestea sunt numerele 11, 22, ..., 99). Întrucât în acest caz m=9, n=90, atunci
Unde O– eveniment, „un număr cu aceleași cifre”.
Exemplul 3.3.Într-un lot de 10 părți, 7 sunt standard. Găsiți probabilitatea ca dintre șase părți luate la întâmplare, 4 să fie standard.
Numărul total de rezultate posibile ale testului elementar este egal cu numărul de moduri în care 6 părți pot fi extrase din 10, adică numărul de combinații a 10 elemente a câte 6 elemente fiecare. Să stabilim numărul de rezultate favorabile evenimentului care ne interesează O(dintre cele șase părți luate există 4 standard). Patru părți standard pot fi luate din șapte părți standard în moduri diferite; în același timp, restul de 6-4=2 părți trebuie să fie non-standard, dar puteți lua două părți non-standard din 10-7=3 părți non-standard în moduri diferite. Prin urmare, numărul de rezultate favorabile este egal cu .
Atunci probabilitatea necesară este egală cu
Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:
1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Într-adevăr, dacă evenimentul este de încredere, atunci fiecare rezultat elementar al testului favorizează evenimentul. În acest caz m=n, prin urmare
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Într-adevăr, dacă un eveniment este imposibil, atunci niciunul dintre rezultatele elementare ale testului nu favorizează evenimentul. În acest caz înseamnă
3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Într-adevăr, doar o parte din numărul total de rezultate elementare ale testului este favorizată de un eveniment aleatoriu. În acest caz< m< n, înseamnă 0 < m/n < 1, adică 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Construcția unei teorii a probabilității complete din punct de vedere logic se bazează pe definiția axiomatică a unui eveniment aleatoriu și a probabilității acestuia. În sistemul de axiome propus de A. N. Kolmogorov, conceptele nedefinite sunt un eveniment și probabilitate elementară. Iată axiomele care definesc probabilitatea:
1. Fiecare eveniment O atribuit un număr real nenegativ P(A). Acest număr se numește probabilitatea evenimentului O.
2. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
3. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile în perechi este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.
Pe baza acestor axiome, proprietățile probabilităților și dependențele dintre ele sunt derivate ca teoreme.
Întrebări de autotest
1. Cum se numește caracteristica numerică a posibilității de a se produce un eveniment?
2. Care este probabilitatea unui eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment de încredere?
4. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
5. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?
6. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?
7. Ce definiție a probabilității se numește clasică?
