Ce este o funcție elementară? Funcția elementară. Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr par

1) Domeniul funcției și domeniul de funcții.

Domeniul unei funcții este setul tuturor valorilor argumentelor valide x(variabilă x), pentru care funcția y = f(x) determinat. Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor reale y, pe care funcția îl acceptă.

În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.

2) Zerourile funcției.

Funcția zero este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.

3) Intervale de semn constant al unei funcții.

Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt seturi de valori ale argumentelor pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.

4) Monotonitatea funcției.

O funcţie crescătoare (într-un anumit interval) este o funcţie pentru care valoare mai mare argumentului din acest interval îi corespunde o valoare mai mare a funcției.

O funcție descrescătoare (într-un anumit interval) este o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mici a funcției.

5) Funcția par (impar)..

O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = f(x).

Graficul unei funcții pare este simetric față de ordonată. X O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare din domeniul definiției egalitatea este adevărată f(-x) = - f(x

)..

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

6) Funcții limitate și nelimitate.

O funcție se numește mărginită dacă există un număr M pozitiv astfel încât |f(x)| ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă un astfel de număr nu există, atunci funcția este nelimitată. 7) Periodicitatea funcției O funcție f(x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul de definire al funcției se respectă următoarele: f(x+T) = f(x). Acest număr cel mai mic se numește perioada funcției. Toate

funcții trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice)., proprietățile și graficele lor. Aplicarea funcțiilor în economie.

Funcții elementare de bază. Proprietățile și graficele lor

1. Funcția liniară.

Funcția liniară se numește funcție de forma , unde x este o variabilă, a și b sunt numere reale.

Număr O numită panta dreptei, este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei linii la direcția pozitivă a axei x. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Este definit de două puncte.

Proprietățile unei funcții liniare

1. Domeniul definirii este multimea tuturor numere reale: D(y)=R

2. Mulțimea valorilor este mulțimea tuturor numerelor reale: E(y)=R

3. Funcția ia o valoare zero când sau.

4. Funcția crește (descrește) pe întregul domeniu de definire.

5. O funcție liniară este continuă pe întregul domeniu al definiției, diferențiabilă și .

2. Funcția pătratică.

O funcție de forma, unde x este o variabilă, coeficienții a, b, c sunt numere reale, se numește pătratică

Lista completă a funcțiilor elementare de bază

Clasa de funcții elementare de bază include următoarele:

Funcția constantă $y=C$, unde $C$ este o constantă. O astfel de funcție ia aceeași valoare $C$ pentru orice $x$.
Funcția de putere $y=x^(a) $, unde exponentul $a$ este un număr real.
Funcția exponențială $y=a^(x) $, unde baza este gradul $a>0$, $a\ne 1$.
Funcția logaritmică $y=\log _(a) x$, unde baza logaritmului este $a>0$, $a\ne 1$.
Funcții trigonometrice $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sec\,x$.
Funcții trigonometrice inverse $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Funcții de putere

Vom lua în considerare comportamentul funcției de putere $y=x^(a) $ pentru acele mai simple cazuri când exponentul său determină exponențiarea întregului și extragerea rădăcinilor.

Cazul 1

Exponent al funcției $y=x^(a) $ -- număr natural, adică $y=x^(n) $, $n\în N$.

Dacă $n=2\cdot k$ este un număr par, atunci funcția $y=x^(2\cdot k) $ este par și crește la infinit ca și cum argumentul $\left(x\to +\infty \ right )$ și cu scăderea sa nelimitată $\left(x\to -\infty \right)$. Acest comportament al funcției poate fi descris prin expresiile $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ și $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, ceea ce înseamnă că funcția în ambele cazuri crește fără limită ($\lim $ este limita). Exemplu: graficul funcției $y=x^(2) $.

Dacă $n=2\cdot k-1$ este un număr impar, atunci funcția $y=x^(2\cdot k-1) $ este impară, crește la infinit pe măsură ce argumentul crește la nesfârșit și scade la infinit ca argument scade la infinit. Acest comportament al funcției poate fi descris prin expresiile $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ și $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Exemplu: graficul funcției $y=x^(3) $.

Cazul 2

Exponentul funcției $y=x^(a) $ este un întreg negativ, adică $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\în N$.

Dacă $n=2\cdot k$ este un număr par, atunci funcția $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ este par și asimptotic (treptat) se apropie de zero ca și cu argumentul de creștere nelimitată , și cu scăderea sa nelimitată. Acest comportament al funcției poate fi descris printr-o singură expresie $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, ceea ce înseamnă că cu o creştere nelimitată a argumentului By valoare absolută limita funcției este zero. În plus, deoarece argumentul tinde spre zero atât în stânga $\left(x\to 0-0\right)$ cât și în dreapta $\left(x\to 0+0\right)$, funcția crește fără limită. Prin urmare, expresiile $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ și $\mathop(\lim )\ limitele_ sunt valide (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, ceea ce înseamnă că funcția $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ în ambele cazuri are o limită infinită egală cu $+\infty $. Exemplu: graficul funcției $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Dacă $n=2\cdot k-1$ este un număr impar, atunci funcția $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ este impar și se apropie asimptotic de zero, ca și cum ambele atunci când argumentul crește și când scade fără limită. Acest comportament al funcției poate fi descris printr-o singură expresie $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. În plus, pe măsură ce argumentul se apropie de zero în stânga, funcția scade fără limită, iar pe măsură ce argumentul se apropie de zero în dreapta, funcția crește fără limită, adică $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ și $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Exemplu: graficul funcției $y=\frac(1)(x) $.

Cazul 3

Exponentul funcției $y=x^(a) $ este inversul numărului natural, adică $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\în N$.

Dacă $n=2\cdot k$ este un număr par, atunci funcția $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ are două valori și este definită numai pentru $x\ge 0 $. Cu o creștere nelimitată a argumentului, valoarea funcției $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ crește nelimitat, iar valoarea funcției $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ scade nelimitat, adică $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ și $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Exemplu: graficul funcției $y=\pm \sqrt(x) $.

Dacă $n=2\cdot k-1$ este un număr impar, atunci funcția $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ este impar, crește nelimitat cu o creștere nelimitată a argumentului și scade nelimitat atunci când este nelimitat, scade, adică $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ și $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Exemplu: graficul funcției $y=\sqrt[(3)](x) $.

Funcții exponențiale și logaritmice

Funcțiile exponențiale $y=a^(x) $ și logaritmice $y=\log _(a) x$ sunt reciproc inverse. Graficele lor sunt simetrice față de bisectoarea comună a primului și a treilea unghi de coordonate.

Pe măsură ce argumentul $\left(x\to +\infty \right)$ crește la nesfârșit, funcția exponențială sau $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ crește la nesfârșit, dacă $a>1$, sau se apropie asimptotic de zero $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, dacă $a1$ sau $\mathop crește fără limită (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, dacă $a

Valoarea caracteristică pentru funcția $y=a^(x) $ este valoarea $x=0$. În acest caz, toate funcțiile exponențiale, indiferent de $a$, intersectează în mod necesar axa $Oy$ la $y=1$. Exemple: grafice ale funcțiilor $y=2^(x) $ și $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Funcția logaritmică $y=\log _(a) x$ este definită numai pentru $x > 0$.

Pe măsură ce argumentul $\left(x\to +\infty \right)$ crește la nesfârșit, funcția logaritmică sau $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ crește la infinit la infinit $, dacă $a>1$, sau scade fără limită $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, dacă $a1 $, sau fără limită $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ crește dacă $a

Valoarea caracteristică pentru funcția $y=\log _(a) x$ este valoarea $y=0$. În acest caz, toate funcțiile logaritmice, indiferent de $a$, intersectează în mod necesar axa $Ox$ la $x=1$. Exemple: grafice ale funcțiilor $y=\log _(2) x$ și $y=\log _(1/2) x$.

Unele funcții logaritmice au notație specială. În special, dacă baza logaritmului este $a=10$, atunci un astfel de logaritm se numește zecimal, iar funcția corespunzătoare este scrisă ca $y=\lg x$. Și dacă numărul irațional $e=2,7182818\ldots $ este ales ca bază a logaritmului, atunci un astfel de logaritm se numește natural, iar funcția corespunzătoare este scrisă ca $y=\ln x$. Inversa sa este funcția $y=e^(x) $, numită exponent.

Secțiunea conține materiale de referință despre principalele funcții elementare și proprietățile acestora. Este dată o clasificare a funcțiilor elementare. Mai jos sunt legături către subsecțiuni care discută proprietățile funcțiilor specifice - grafice, formule, derivate, antiderivate (integrale), extinderi de serie, expresii prin variabile complexe.

Conţinut

Pagini de referință pentru funcțiile de bază

Clasificarea funcţiilor elementare

Funcția algebrică este o funcție care satisface ecuația:
,
unde este un polinom în variabila dependentă y și variabila independentă x.
,
Se poate scrie ca:

unde sunt polinoame.

Funcțiile algebrice sunt împărțite în polinoame (funcții raționale întregi), funcții raționale și funcții iraționale.Întreaga funcție rațională , care se mai numește polinom sau polinom
.

, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere) și înmulțire. După deschiderea parantezelor, polinomul este redus la forma canonică: Funcție rațională fracțională , sau doar funcţie raţională
,
, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere), înmulțire și împărțire. Funcția rațională poate fi redusă la forma

unde și sunt polinoame. Funcția irațională
.
este o funcție algebrică care nu este rațională. De regulă, o funcție irațională este înțeleasă ca rădăcini și compozițiile lor cu funcții raționale. O rădăcină de grad n este definită ca soluție a ecuației
.

Este desemnată astfel: Funcții transcendentale

se numesc funcţii non-algebrice. Acestea sunt exponențiale, trigonometrice, hiperbolice și funcțiile lor inverse.

Prezentare generală a funcțiilor elementare de bază
Toate funcțiile elementare pot fi reprezentate ca un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire efectuate pe o expresie de forma:
z t .

Funcțiile inverse pot fi exprimate și în termeni de logaritmi. Funcțiile elementare de bază sunt enumerate mai jos.
Funcția de putere:
unde p este exponentul. Depinde de baza gradului x.
Înapoi la functie de putere este, de asemenea, o funcție de putere:
.
Pentru o valoare întreagă nenegativă a exponentului p, este un polinom. Pentru o valoare întreagă p - o funcție rațională. Cu un sens rațional - o funcție irațională.

Funcții transcendentale

Funcția exponențială:
y(x) = a x ,
unde a este baza gradului. Depinde de exponentul x.
Funcția inversă- logaritm la baza a:
x = log a y.

Exponent, e la puterea x:
y(x) = e x ,
Aceasta este o funcție exponențială a cărei derivată este egală cu funcția în sine:
.
Baza exponentului este numărul e:
≈ 2,718281828459045... .
Funcția inversă este logaritmul natural - logaritmul la baza numărului e:
x = ln y ≡ log e y.

Funcții trigonometrice:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Tangenta: ;
Cotangentă: ;
Aici i este unitatea imaginară, i 2 = -1.

Funcții trigonometrice inverse:
Arcsinus: x = arcsin y, ;
Arccosinus: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Arc tangentă: x = arcctg y, .

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele acestora nu mai puțin important decât cunoașterea tabelelor înmulțirii. Sunt ca fundația, totul se bazează pe ele, totul se construiește din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol vom enumera toate funcțiile elementare principale, vom oferi graficele lor și vom da fără concluzie sau dovezi proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

comportamentul funcției la granițele domeniului de definiție, asimptote verticale(dacă este necesar, a se vedea articolul clasificarea punctelor de întrerupere a unei funcții);
par și impar;
intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi articolul convexitatea unei funcții, direcția de convexitate, punctele de inflexiune, condițiile de convexitate și inflexiune);
înclinat şi asimptote orizontale;
puncte singulare de funcții;
proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: funcția constantă (constant), rădăcina a n-a, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. O funcție constantă asociază fiecare valoare reală a variabilei independente x cu aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea C. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece prin punctul cu coordonatele (0,C). De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5, y=-2 și, care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

Domeniu: întregul set de numere reale.
Funcția constantă este pară.
Interval de valori: set format din singular CU .
O funcție constantă nu crește și nu descrește (de aceea este constantă).
Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea unei constante.
Nu există asimptote.
Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Să luăm în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n.

Ca exemplu, iată o imagine cu imagini ale graficelor de funcții și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii de grad par au un aspect similar pentru alte valori ale exponentului.

Proprietățile funcției de rădăcină a n-a pentru n chiar.

Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr impar.

Funcția a n-a rădăcină cu un exponent rădăcină impar n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, aici sunt graficele funcțiilor și , acestea corespund curbelor negre, roșii și albastre.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției rădăcină a n-a pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția putere este dată de o formulă de forma .

Să luăm în considerare forma graficelor unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a. În acest caz, tipul de grafice ale funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de uniformitatea sau ciudata exponentului, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, vom lua în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a, apoi pentru exponenții pozitivi pari, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a.

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale unor astfel de funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, pentru a de la zero la unu, în al doilea rând, pentru a mai mare decât unu, în al treilea rând, pentru a de la minus unu la zero, în al patrulea rând, pentru un mai mic de minus unu.

La sfârșitul acestei secțiuni, pentru a fi completă, vom descrie o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a = 1,3,5,....

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere – linie neagră, – linie albastră, – linie roșie, – linie verde. Pentru a=1 avem funcţie liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcția de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu exponent pozitiv par, adică pentru a = 2,4,6,....

Ca exemplu, oferim grafice ale funcțiilor de putere – linie neagră, – linie albastră, – linie roșie. Pentru a=2 avem funcţie pătratică, al cărui grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv egal.

Funcția de putere cu exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției de putere pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru a = -1, -3, -5,....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu exponent chiar negativ.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere – linie neagră, – linie albastră, – linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de unu.

Fiţi atenți! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră că domeniul de definire al funcției de putere este intervalul. Se stipulează că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și principii de analiză NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera tocmai la acest punct de vedere, adică vom considera mulțimea ca fiind domeniile de definire a funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționali. Recomandăm elevilor să afle părerea profesorului dumneavoastră cu privire la acest punct subtil pentru a evita neînțelegerile.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a și .

Să prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreger a și .

Să prezentăm grafice ale funcțiilor de putere date prin formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

Pentru alte valori ale exponentului a, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere la .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Fiţi atenți! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră că domeniul de definire al unei funcții de putere este intervalul . Se stipulează că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și principii de analiză NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera tocmai la acest punct de vedere, adică vom considera domeniile de definire a funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționali ca fiind, respectiv, o mulțime. Recomandăm elevilor să afle părerea profesorului dumneavoastră cu privire la acest punct subtil pentru a evita neînțelegerile.

Să trecem la funcția de putere, kgod.

Pentru a avea o idee bună despre forma graficelor funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru, respectiv verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a, .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , ele sunt reprezentate prin linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a = 0, avem o funcție - aceasta este o dreaptă din care punctul (0;1) este exclus (s-a convenit să nu se acorde nicio semnificație expresiei 0 0).

Funcția exponențială.

Una dintre funcțiile elementare principale este funcția exponențială.

Programa functie exponentiala, unde primește fel diferitîn funcţie de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

Ca exemplu, prezentăm grafice ale funcției exponențiale pentru a = 1/2 – linie albastră, a = 5/6 – linie roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din interval.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Să trecem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linie albastră și - linie roșie. Pentru alte valori ale bazei mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Programa funcţie logaritmică ia forme diferite in functie de valoarea bazei a.

Funcțiile elementare de bază, proprietățile lor inerente și graficele corespunzătoare sunt unul dintre elementele de bază ale cunoștințelor matematice, similare ca importanță cu tabla înmulțirii. Funcțiile elementare sunt baza, suportul pentru studiul tuturor problemelor teoretice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Articolul de mai jos oferă material cheie pe tema funcțiilor elementare de bază. Vom introduce termeni, le vom da definiții; Să studiem în detaliu fiecare tip de funcții elementare și să le analizăm proprietățile.

Se disting următoarele tipuri de funcții elementare de bază:

Definiția 1

funcție constantă (constant);
a n-a rădăcină;
funcția de putere;
funcția exponențială;
funcția logaritmică;
funcții trigonometrice;
funcţii trigonometrice fraterne.

O funcție constantă este definită prin formula: y = C (C este un anumit număr real) și are și un nume: constantă. Această funcție determină corespondența oricărei valori reale a variabilei independente x cu aceeași valoare a variabilei y - valoarea lui C.

Graficul unei constante este o dreaptă care este paralelă cu axa absciselor și trece printr-un punct având coordonatele (0, C). Pentru claritate, prezentăm grafice ale funcțiilor constante y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (indicate cu culorile negru, roșu și, respectiv, albastru în desen).

Definiția 2

Această funcție elementară este definită prin formula y = x n (n este un număr natural mai mare decât unu).

Să luăm în considerare două variante ale funcției.

a n-a rădăcină, n – număr par

Pentru claritate, indicăm un desen care prezintă grafice ale unor astfel de funcții: y = x, y = x 4 și y = x8. Aceste caracteristici sunt codificate prin culori: negru, roșu și, respectiv, albastru.

Graficele unei funcții de grad par au un aspect similar pentru alte valori ale exponentului.

Definiția 3

Proprietăți ale funcției a n-a rădăcină, n este un număr par

domeniu de definiție – mulțimea tuturor numerelor reale nenegative [ 0 , + ∞) ;
când x = 0, funcția y = x n are o valoare egală cu zero;
dat funcţie-funcţie vedere generală(nu este nici par, nici impar);
interval: [ 0 , + ∞) ;
această funcție y = x n pentru exponenții rădăcinii pare crește pe întregul domeniu de definiție;
funcția are o convexitate cu o direcție ascendentă pe întregul domeniu de definiție;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
graficul funcției pentru n par trece prin punctele (0; 0) și (1; 1).

a n-a rădăcină, n – număr impar

O astfel de funcție este definită pe întregul set de numere reale. Pentru claritate, luați în considerare graficele funcțiilor y = x 3 , y = x 5 și x 9 . În desen sunt indicate prin culori: negru, roșu și, respectiv, albastru sunt culorile curbelor.

Alte valori impare ale exponentului rădăcină al funcției y = x n vor da un grafic de tip similar.

Definiția 4

Proprietăți ale funcției a n-a rădăcină, n este un număr impar

domeniu de definiție – mulțimea tuturor numerelor reale;
această funcție este impară;
interval de valori – setul tuturor numerelor reale;
funcția y = x n pentru exponenții rădăcinii impari crește pe întregul domeniu de definiție;
funcția are concavitate pe intervalul (- ∞ ; 0 ] și convexitate pe intervalul [ 0 , + ∞);
punctul de inflexiune are coordonatele (0; 0);
nu există asimptote;
Graficul funcției pentru n impar trece prin punctele (- 1 ; - 1), (0 ; 0) și (1 ; 1).

Funcția de putere

Definiția 5

Funcția de putere este definită de formula y = x a.

Aspectul graficelor și proprietățile funcției depind de valoarea exponentului.

când o funcție de putere are un exponent întreg a, atunci tipul de grafic al funcției de putere și proprietățile sale depind de dacă exponentul este par sau impar, precum și de semnul exponentului. Să luăm în considerare toate aceste cazuri speciale mai detaliat mai jos;
exponentul poate fi fracționar sau irațional - în funcție de aceasta, variază și tipul de grafice și proprietățile funcției. Vom analiza cazuri speciale prin stabilirea mai multor condiții: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
o funcție de putere poate avea un exponent zero vom analiza și acest caz mai detaliat mai jos.

Să analizăm funcția de putere y = x a, când a este un număr pozitiv impar, de exemplu, a = 1, 3, 5...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y = x (culoarea grafică negru), y = x 3 (culoarea albastră a graficului), y = x 5 (culoarea roșie a graficului), y = x 7 (culoarea grafică verde). Când a = 1, obținem funcția liniară y = x.

Definiția 6

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este impar pozitiv

funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funcția are convexitate pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și concavitate pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) (excluzând funcția liniară);
punctul de inflexiune are coordonatele (0 ; 0) (excluzând funcția liniară);
nu există asimptote;
punctele de trecere ale funcției: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Să analizăm funcția de putere y = x a, când a este un număr pozitiv par, de exemplu, a = 2, 4, 6...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y = x 2 (culoarea grafică negru), y = x 4 (culoarea albastră a graficului), y = x 8 (culoarea roșie a graficului). Când a = 2, obținem o funcție pătratică, al cărei grafic este o parabolă pătratică.

Definiția 7

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este chiar pozitiv:

domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
descrescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funcția are concavitate pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
punctele de trecere ale funcției: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de putere y = x a când a este un număr negativ impar: y = x - 9 (culoarea grafică negru); y = x - 5 (culoarea albastră a graficului); y = x - 3 (culoarea roșie a graficului); y = x - 1 (culoarea grafică verde). Când a = - 1, obținem proporționalitate inversă, al cărei grafic este o hiperbolă.

Definiția 8

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este impar negativ:

Când x = 0, se obține o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pentru a = - 1, - 3, - 5, …. Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

interval: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funcția este impară deoarece y (- x) = - y (x);
funcţia este descrescătoare pentru x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funcția are convexitate pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și concavitate pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, când a = - 1, - 3, - 5, . . . .

punctele de trecere ale funcției: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de putere y = x a când a este un număr negativ par: y = x - 8 (culoarea grafică negru); y = x - 4 (culoarea albastră a graficului); y = x - 2 (culoarea roșie a graficului).

Definiția 9

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este chiar negativ:

domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Când x = 0, se obține o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pentru a = - 2, - 4, - 6, …. Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

funcția este pare deoarece y(-x) = y(x);
funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și descrescătoare pentru x ∈ 0; + ∞ ;
funcția are concavitate la x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nu există puncte de inflexiune;
asimptotă orizontală – linie dreaptă y = 0, deoarece:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

puncte de trecere ale funcției: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Încă de la început, atenție la următorul aspect: în cazul în care a este o fracție pozitivă cu numitor impar, unii autori iau intervalul - ∞ ca domeniu de definiție al acestei funcții de putere; + ∞ , stipulând că exponentul a este o fracție ireductibilă. Pe în acest moment Autorii multor publicații educaționale despre algebră și principii de analiză NU DEFINEȘTE funcțiile de putere, unde exponentul este o fracție cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. În continuare vom adera exact la această poziție: vom lua setul [ 0 ; + ∞). Recomandare pentru elevi: aflați punctul de vedere al profesorului asupra acestui punct pentru a evita neînțelegerile.

Deci, să ne uităm la funcția de putere y = x a , când exponentul este un număr rațional sau irațional, cu condiția ca 0< a < 1 .

Să ilustrăm funcțiile de putere cu grafice y = x a când a = 11 12 (culoarea grafică negru); a = 5 7 (culoarea roșie a graficului); a = 1 3 (culoarea albastră a graficului); a = 2 5 (culoarea verde a graficului).

Alte valori ale exponentului a (cu condiția ca 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definiția 10

Proprietățile funcției de putere la 0< a < 1:

interval: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funcția este convexă pentru x ∈ (0 ; + ∞);
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;

Să analizăm funcția de putere y = x a, când exponentul este un număr rațional sau irațional neîntreg, cu condiția ca a > 1.

Să ilustrăm cu grafice funcția de putere y = x a în condiții date folosind următoarele funcții ca exemplu: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (grafice negru, roșu, albastru, respectiv verde).

Alte valori ale exponentului a, cu condiția a > 1, vor da un grafic similar.

Definiția 11

Proprietăți ale funcției de putere pentru a > 1:

domeniu de definire: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
interval: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funcția are concavitate pentru x ∈ (0 ; + ∞) (când 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
puncte de trecere ale funcției: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Vă rugăm să rețineți când a este o fracție negativă cu un numitor impar, în lucrările unor autori există o opinie că domeniul de definiție în acest caz este intervalul - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) cu avertismentul că exponentul a este o fracție ireductibilă. În prezent autorii materiale educaționaleîn algebră și principii de analiză, funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu numitor impar pentru valorile negative ale argumentului NU sunt DETERMINATE. Mai mult, aderăm exact la această vedere: luăm mulțimea (0 ; + ∞) ca domeniu de definire a funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari. Recomandare pentru elevi: clarificați viziunea profesorului în acest moment pentru a evita dezacordurile.

Să continuăm subiectul și să analizăm funcția de putere y = x a cu condiția: - 1< a < 0 .

Să prezentăm un desen de grafice ale următoarelor funcții: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (culoarea negru, roșu, albastru, verde a liniile, respectiv).

Definiția 12

Proprietățile funcției de putere la - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

interval: y ∈ 0 ; + ∞ ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
nu există puncte de inflexiune;

Desenul de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (culorile curbelor, respectiv, negru, roșu, albastru, verde).

Definiția 13

Proprietățile funcției de putere pentru a< - 1:

domeniu de definire: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
funcția este descrescătoare pentru x ∈ 0; + ∞ ;
funcția are o concavitate pentru x ∈ 0; + ∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
asimptotă orizontală – linie dreaptă y = 0;
punctul de trecere al funcției: (1; 1) .

Când a = 0 și x ≠ 0, obținem funcția y = x 0 = 1, care definește dreapta din care este exclus punctul (0; 1) (s-a convenit că expresiei 0 0 nu i se va da nicio semnificație). ).

Funcția exponențială are forma y = a x, unde a > 0 și a ≠ 1, iar graficul acestei funcții arată diferit în funcție de valoarea bazei a. Să luăm în considerare cazurile speciale.

În primul rând, să ne uităm la situația în care baza funcției exponențiale are o valoare de la zero la unu (0< a < 1) . Un bun exemplu sunt graficele funcțiilor pentru a = 1 2 (culoarea albastră a curbei) și a = 5 6 (culoarea roșie a curbei).

Graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar pentru alte valori ale bazei în condiția 0< a < 1 .

Definiția 14

Proprietățile funcției exponențiale când baza este mai mică de unu:

interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
o funcție exponențială a cărei bază este mai mică de unu este în scădere pe întregul domeniu de definiție;
nu există puncte de inflexiune;
asimptotă orizontală – linie dreaptă y = 0 cu variabila x tinde spre + ∞;

Acum luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale este mai mare decât unu (a > 1).

Să ilustrăm asta caz special graficul funcțiilor exponențiale y = 3 2 x (culoarea albastră a curbei) și y = e x (culoarea roșie a graficului).

Alte valori ale bazei, unități mai mari, vor da un aspect similar graficului funcției exponențiale.

Definiția 15

Proprietățile funcției exponențiale când baza este mai mare decât unu:

domeniu de definiție – întregul set de numere reale;
interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
o funcție exponențială a cărei bază este mai mare decât unu crește cu x ∈ - ∞; + ∞ ;
funcția are o concavitate la x ∈ - ∞; + ∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
asimptotă orizontală – linie dreaptă y = 0 cu variabila x tinde spre - ∞;
punctul de trecere al funcției: (0; 1) .

Funcția logaritmică are forma y = log a (x), unde a > 0, a ≠ 1.

O astfel de funcție este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului: pentru x ∈ 0; + ∞ .

Graficul unei funcții logaritmice are un aspect diferit, în funcție de valoarea bazei a.

Să luăm mai întâi în considerare situația când 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Alte valori ale bazei, nu unități mai mari, vor da un tip similar de grafic.

Definiția 16

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mică de unu:

domeniu de definire: x ∈ 0 ; + ∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre +∞;
interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
logaritmică
funcția are o concavitate pentru x ∈ 0; + ∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;

Acum să ne uităm la cazul special când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu: a > 1 . Desenul de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor logaritmice y = log 3 2 x și y = ln x (culorile albastru și, respectiv, roșu ale graficelor).

Alte valori ale bazei mai mari decât unu vor da un tip similar de grafic.

Definiția 17

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mare decât unu:

domeniu de definire: x ∈ 0 ; + ∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre - ∞ ;
interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ (întregul set de numere reale);
această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
funcția logaritmică este crescătoare pentru x ∈ 0; + ∞ ;
funcția este convexă pentru x ∈ 0; + ∞ ;
nu există puncte de inflexiune;
nu există asimptote;
punctul de trecere al funcției: (1; 0) .

Funcțiile trigonometrice sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să ne uităm la proprietățile fiecăruia dintre ele și la graficele corespunzătoare.

În general, toate funcțiile trigonometrice sunt caracterizate de proprietatea periodicității, adică. atunci când valorile funcțiilor sunt repetate pentru diferite valori ale argumentului, diferând unele de altele prin perioada f (x + T) = f (x) (T este perioada). Astfel, elementul „cea mai mică perioadă pozitivă” este adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice. În plus, vom indica valorile argumentului la care funcția corespunzătoare devine zero.

Funcția sinus: y = sin(x)

Graficul acestei funcții se numește undă sinusoidală.

Definiția 18

Proprietățile funcției sinus:

domeniu de definiție: întreaga mulțime de numere reale x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funcția dispare când x = π · k, unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
funcția este crescătoare pentru x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
funcția sinus are maxime locale în punctele π 2 + 2 π · k; 1 și minime locale în puncte - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
funcţia sinus este concavă când x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z și convex când x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nu există asimptote.

Funcția cosinus: y = cos(x)

Graficul acestei funcții se numește undă cosinus.

Definiția 19

Proprietățile funcției cosinus:

domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
cea mai mică perioadă pozitivă: T = 2 π;
interval de valori: y ∈ - 1 ; 1;
această funcție este pară, deoarece y (- x) = y (x);
funcția este crescătoare pentru x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
funcţia cosinus are maxime locale în punctele 2 π · k ; 1, k ∈ Z și minime locale în punctele π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
funcția cosinus este concavă când x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z și convex când x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
nu există asimptote.

Funcția tangentă: y = t g (x)

Graficul acestei funcții se numește tangentă.

Definiția 20

Proprietățile funcției tangente:

domeniu de definiție: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
Comportarea funcției tangente la limita domeniului de definiție lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Astfel, dreptele x = π 2 + π · k k ∈ Z sunt asimptote verticale;
funcția dispare când x = π · k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
această funcție este impară, deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcția crește ca - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
funcția tangentă este concavă pentru x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z și convex pentru x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
punctele de inflexiune au coordonatele π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Funcția cotangentă: y = c t g (x)

Graficul acestei funcții se numește cotangentoid. .

Definiția 21

Proprietățile funcției cotangente:

domeniu de definiție: x ∈ (π · k ; π + π · k) , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);

Comportarea funcției cotangente la limita domeniului de definiție lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Astfel, dreptele x = π · k k ∈ Z sunt asimptote verticale;

cea mai mică perioadă pozitivă: T = π;
funcția dispare când x = π 2 + π · k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
această funcție este impară, deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcţia este descrescătoare pentru x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
funcția cotangentă este concavă pentru x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z și convexă pentru x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Nu există asimptote oblice sau orizontale.

Funcțiile trigonometrice inverse sunt arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Adesea, datorită prezenței prefixului „arc” în nume, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc .

Funcția arc sinus: y = a r c sin (x)

Definiția 22

Proprietățile funcției arcsinus:

această funcție este impară, deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcția arcsinus are o concavitate pentru x ∈ 0; 1 și convexitatea pentru x ∈ - 1 ; 0;
punctele de inflexiune au coordonatele (0; 0), care este și zero al funcției;
nu există asimptote.

Funcția arc cosinus: y = a r c cos (x)

Definiția 23

Proprietățile funcției arc cosinus:

domeniu de definire: x ∈ - 1 ; 1;
interval: y ∈ 0 ; π;
această funcţie este de formă generală (nici par, nici impar);
funcția este în scădere pe întregul domeniu de definiție;
funcția arc cosinus are o concavitate la x ∈ - 1; 0 și convexitatea pentru x ∈ 0; 1;
punctele de inflexiune au coordonatele 0; π 2;
nu există asimptote.

Funcția arctangentă: y = a r c t g (x)

Definiția 24

Proprietățile funcției arctangente:

domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
interval de valori: y ∈ - π 2 ; π 2;
această funcție este impară, deoarece y (- x) = - y (x) ;
funcția este în creștere pe întregul domeniu de definire;
funcția arctangentă are concavitate pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și convexitate pentru x ∈ [ 0 ; + ∞);
punctul de inflexiune are coordonatele (0; 0), care este si zero al functiei;
Asimptotele orizontale sunt drepte y = - π 2 ca x → - ∞ și y = π 2 ca x → + ∞ (în figură, asimptotele sunt linii verzi).

Funcția arc tangentă: y = a r c c t g (x)

Definiția 25

Proprietățile funcției arccotangente:

domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
interval: y ∈ (0; π) ;
această funcție este de formă generală;
funcția este în scădere pe întregul domeniu de definiție;
funcţia arc cotangent are o concavitate pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) și convexitatea pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
punctul de inflexiune are coordonatele 0; π 2;
Asimptotele orizontale sunt drepte y = π la x → - ∞ (linia verde în desen) și y = 0 la x → + ∞.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter