Metodele matematice în economie sunt un instrument important de analiză. Ele sunt utilizate în construcția de modele teoretice care ne permit să afișam conexiunile existente în viața de zi cu zi. De asemenea, folosind aceste metode, comportamentul entităților de afaceri și dinamica indicatorilor economici din țară sunt prezise destul de exact.

Aș dori să mă opresc mai detaliat asupra prognozei indicatorilor obiectelor economice, care este un instrument al teoriei decizionale. Prognozele dezvoltării socio-economice a oricărei țări se bazează pe anumiți indicatori (dinamica inflației, produsul intern brut etc.). Formarea indicatorilor așteptați se realizează folosind metode de statistică și econometrie aplicate precum analiza de regresie și corelație.

Domeniul de cercetare „Economie și metode matematice” a fost întotdeauna destul de interesant pentru oamenii de știință din acest domeniu. Astfel, academicianul Nemchinov a identificat cinci matematice în planificare și prognoză:

Metoda modelării matematice;

Metoda vector-matrice;

Metoda aproximării succesive;

Metoda evaluărilor sociale optime.

Un alt academician, Kantorovich, a împărțit metodele matematice în patru grupuri:

Modele de interacțiune între unități economice;

Modele macroeconomice, inclusiv modele de cerere și metoda bilanțului;

Modele de optimizare;

Modelare liniară.

Sistemul este folosit pentru a lua decizii eficiente și corecte în sfera economică. În acest caz, se utilizează în principal tehnologia computerizată modernă.

Procesul de modelare în sine ar trebui să fie efectuat în următoarea ordine:

1. Enunțarea problemei. Este necesar să se formuleze clar problema, să se determine obiectele legate de problema care se rezolvă și situația realizată ca urmare a soluționării acesteia. În această etapă se realizează cantitativele și subiectele, obiectele și situațiile legate de acestea.

2. Analiza de sistem a problemei. Toate obiectele trebuie împărțite în elemente cu o definiție a relației dintre ele. În această etapă, cel mai bine este să folosiți metode matematice în economie, cu ajutorul cărora se efectuează o analiză cantitativă și calitativă a proprietăților elementelor nou formate și în urma căreia sunt derivate anumite inegalități și ecuații. Cu alte cuvinte, se obține un sistem de indicatori.

3. Sinteza de sistem este o formulare matematică a unei probleme, în timpul organizării căreia se formează un model matematic al unui obiect și se determină algoritmi de rezolvare a problemei. În această etapă, există posibilitatea ca modelele acceptate ale etapelor anterioare să se dovedească a fi incorecte, iar pentru a obține rezultatul corect va trebui să reveniți cu unul sau chiar doi pași.

Odată ce modelul matematic este format, puteți trece la dezvoltarea unui program pentru a rezolva problema pe un computer. Dacă aveți un obiect destul de complex, care constă dintr-un număr mare de elemente, va trebui să creați o bază de date și instrumente disponibile pentru a lucra cu el.

Dacă problema ia o formă standard, atunci se folosesc orice metode matematice adecvate în economie și un produs software gata făcut.

Etapa finală este operarea directă a modelului format și obținerea rezultatelor corecte.

Metodele matematice din economie trebuie utilizate într-o anumită secvență și cu utilizarea tehnologiilor moderne de informare și de calcul. Numai în această ordine devine posibilă excluderea deciziilor volitive subiective bazate pe interes personal și emoții.

Economie matematică. Kolemaev V.A.

Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare - M.: 2002. - 399 p.

O viziune sistematică asupra economiei este oferită folosind modele matematice atât ale macro- și microeconomiei, cât și subsistemele de producție și financiar-credit ale economiei.

Manualul este format din secțiuni: „Modele matematice ale macroeconomiei”, „Modele matematice ale microeconomiei” și „Modele de analiză, previziune și reglementare a economiei”. Structura funcțională a economiei se reflectă prin modelarea prețurilor, impozitării etc. Sunt reflectate cele mai importante rezultate obținute de școlile de economie matematică interne și străine în secolul al XX-lea, precum și noi rezultate obținute de autor (ed. I - UNITI, 1998).

Sunt oferite întrebări și sarcini pentru soluții independente.

Pentru studenți, studenți absolvenți și profesori ai universităților economice, precum și cercetători.

Format: djvu

Mărimea: 26,1 MB

Descarca: yandex.disc

Conţinut
Prefață 3
Introducere. Economia ca obiect al modelării matematice 4
PARTEA 1. MODELE MATEMATICE DE MACROECONOMIE 14
Capitolul 1. Modele statice de macroeconomie 15
1.1. Funcții de producție macroeconomice 16
1.2. Leontiev model 28
Capitolul 2. Modele dinamice liniare ale macroeconomiei cu timp discret 35
2.1. Economia ca sistem dinamic 36
Modelul dinamic al lui Keynes 38
Samuelson-Hicks model 40
2.2. Modelul dinamic al lui Leontiev 44
2.3. Modelul Neumann 46
Capitolul 3. Modele dinamice liniare ale macroeconomiei cu timp continuu 52
3.1. Metode matematice pentru studiul sistemelor dinamice economice 53
3.1.1. Element dinamic liniar 54
3.1.2. Multiplicatorul 55
3.1.3. Acceleratorul 56
3.1.4. Legătura inerțială 57
3.1.5. Economia sub forma modelului dinamic al lui Keynes ca legătură inerțială 59
3.1.6. Funcția de transfer 60
3.1. 7. Legătură oscilativă 62
3.1.8. Economia sub forma modelului Samuelson-Hicks ca o legătură dinamică liniară de ordinul doi 67
3.1.9. Caracteristicile legăturii dinamice 68
3.2. Analiza și sinteza sistemelor dinamice, procese tranzitorii în ele 72
3.2.1. Funcția de transfer a conexiunii seriale 74
3.2.2. Funcția de transfer a conexiunii în paralel 75
3.2.3. Funcție de transfer în buclă închisă cu feedback 76
3.2.4. Introducerea multiplicatorului în bucla de feedback cu modelul dinamic 77 al lui Keynes
3.2.5. Introducerea unui accelerator într-o buclă de feedback pozitiv cu modelul dinamic 80 al lui Keynes
3.2.5. Stabilitatea sistemelor dinamice liniare 82
3.2. 7. Condiții pentru stabilitatea economică sub forma modelului Samuelson-Hicks 84
3.3. Sisteme dinamice liniare multiplă conectate 85
Economia sub forma unui echilibru intersectorial dinamic ca sistem dinamic liniar multiconectat 88
3.4. Sisteme dinamice neliniare. Ciclurile pieței în economie 90
3.4.1. Modelul dinamic neliniar al lui Keynes 92
3.4.2. Ciclurile pieței în economie 94
3.5. Controlul optim al sistemelor dinamice 98
3.5.1. Principiul maxim al lui Pontryagin 99
3.5.2. Condiții necesare optimității (principiul maxim) 101
Capitolul 4. Modele dinamice neliniare pentru sectorul mic de macroeconomie 103
4.1. Model Solow 105
4.1.1. Regimul de tranziție în modelul Solow 108
4.1.2. Regula de aur a acumulării de VP
4.1.3. Câștig, în consum curent - pierdere, pe termen scurt 111
4.2. Contabilizarea întârzierilor la introducerea fondurilor 112
4.3. Model unic de creștere economică optimă 116
4.4. Modelul economic cu trei sectoare 122
4.5. Funcțiile de producție ale sectoarelor economiei ruse 126
4.6. Modelarea stagnării și a creșterii economice echilibrate 130
4.6.1. Stagnare 131
4.6.2. Creștere economică echilibrată 134
4.7. Studiul stărilor de echilibru echilibrate 147
4.7.1. Regula de aur pentru distribuirea muncii și a investițiilor între sectoare 149
4.7.3. O modalitate alternativă de a determina optimul tehnologic 157
PARTEA II. MODELE MATEMATICE DE MICROECONOMIE 163
Capitolul 5. Modele de comportament al consumatorului 164
5.1. Preferințele consumatorului și funcția sa de utilitate 165
Modelul comportamentului consumatorului 167
5.2. Ecuația lui Slutsky 168
5.2.1. Modificarea cererii cu o creștere a prețului cu compensație 169
5.2.2. Modificarea cererii atunci când venitul se modifică 170
Capitolul 6. Modele de comportament al producătorilor 173
6.1. Modelul companiei 174
6.1. 1 Reacția producătorului la o modificare a prețului de producție 180
6.1.2. Răspunsul producătorului la modificările prețurilor la resurse 181
6.2. Comportamentul firmelor pe piețele competitive 185
6.2.1. Echilibrul Cournot 187
Capitolul 7. Modele de interacțiune între consumatori și producători 191
7.1. Modele de stabilire a prețurilor de echilibru 192
7.1.1. Modelul web 193
7.1. 2. Modelul Evans 195
7.2. Walras model 197
PARTEA III. MODELE DE ANALIZĂ, PREVIZIONARE ȘI REGLEMENTARE ECONOMICĂ 201
Capitolul 8. Modele matematice ale economiilor de piață 202
8.1. Modelul clasic al economiei de piata 203
8.1.1. Piața muncii 204
8.1.2. Piața monetară 206
8.2. Modelul Keynes 208
8.3. Modele matematice ale pieței financiare 212
8.3.1. Tranzacții financiare 213
8.3.2. Riscul financiar 217
8.3.3. Echilibrul pe piața valorilor mobiliare 230
8.4. Prognoza crizelor valutare și a riscurilor financiare 232
8.4.1. Model de prognoză a riscurilor financiare 233
8.4.2. Prognoza crizelor valutare 236
Capitolul 9. Modelarea inflației 239
9.1. Esența inflației 240
9.2. Studiul inflației folosind un model economic cu trei sectoare 244
9.2.1. Prima jumătate de întoarcere a inflației 246
9.2.2. A doua jumătate a inflației 247
9.3. Condiții pentru apariția și autosusținerea inflației 249
9.4. Impactul inflației asupra producției 250
Capitolul 10. Modele matematice de reglementare de stat a economiei 260
10.1. Rolul și funcțiile impozitelor în societate 261
10.2. Impozite într-o economie cu trei sectoare 266
10.3. Impactul majorărilor de taxe asupra producției și consumului 274
Capitolul 11. Modelarea comerțului exterior 280
11.1. Modelul unei economii deschise cu trei sectoare 281
11.2. Condiții pentru posibilitatea și fezabilitatea intrării economiei naționale pe piața mondială 285
11.2.1. Intrarea pe piața mondială în timp ce se fixează cotele de resurse care intră în sectorul de creare de fonduri 287
11.3. Regula de aur a comerțului exterior 292
11.3.1. Regula de aur a alocării resurselor 295
11.4. Influența comerțului exterior asupra economiei naționale 300
11.4.1. Redistribuirea resurselor între sectorul material și cel de consum 301
11.4.2. Redistribuirea resurselor între sectorul material și cel care generează active 305
Capitolul 12. Modelarea scopului dezvoltării sociale 308
12.1. Teoria matematică a alegerii publice 311
12.2. Modele de cooperare și competiție 327
12.2.1. Jocuri cooperative 328
12.2.2. Cooperare și concurență într-o economie cu trei sectoare* 332
12.3. Modelarea progresului științific și tehnologic 337
12.3.1. Modele evolutive ale progresului științific și tehnologic 338
12.3.2. Modelul schimbării tehnologice 339
12.3.3. Model de rearmare a unei economii cu trei sectoare 344
Aplicații 349
Anexa 1. Proprietățile unei matrice de cost direct necompunebil 350
Anexa 2. Ecuații diferențiale liniare și sisteme de ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți 353
Anexa 3. Studiul expresiilor care determină comportamentul unei economii cu trei sectoare în stare staționară 358
Anexa 4. Creștere optimă echilibrată într-o economie cu trei sectoare 364
Anexa 5. Condiții Kuhn-Tucker 382
Literatura 386

Magnitogorsk 2005

Culegere de probleme pentru cursul „Economie matematică”. - Magnitogorsk: MaSU, 2005. – 184 p.

Colecția oferă o privire de ansamblu asupra categoriilor și prevederilor cheie utilizate în cursul de Economie matematică. Sunt prezentate exemple de rezolvare a problemelor tipice și sunt oferite întrebări pentru autotest pe materialul studiat. Materialele manualului pot fi folosite la cursurile „Matematică financiară”, „Metode matematice de analiză financiară”, „Management financiar”, „Analiza financiară”, etc.

Lucrarea se adresează profesorilor, studenților absolvenți și studenților cu normă întreagă și cu frecvență redusă, cercetători și practicieni specializați în domeniul managementului financiar și al proiectelor de investiții, aplicarea metodelor și modelelor matematice în studiul sistemelor și fenomenelor economice.

Compilatoare. G.N. Chusavitina,

V.B. Lapshina.

 Chusavitina G.N., Lapshina V.B. 2005

 Universitatea de Stat Magnitogorsk, 2005

INTRODUCERE 5

Capitolul 1 dobânda simplă 7

1.1. Determinarea ratelor și calcularea dobânzii 7

1.2. Rata simplă a dobânzii 10

1.3. Rata de reducere simplă 21

1.4. Rambursarea împrumutului și cheltuielile de amortizare 32

1.5. Calcularea mediilor 41

1.6. Plăți în valută 48

1.7. Impozitul pe venit 53

1.8. Inflația 56

1.9. Înlocuirea și consolidarea plăților 64

Capitolul 2 DOBÂNDĂ COMPUSĂ 73

2.1. Rata dobânzii compusă 73

2.2. Rata de actualizare complexă 91

2.3. Rată continuă 101

2.4. Echivalența ratei 107

2.5. Inflația și dobânda compusă și continuă 112

2.6. Înlocuirea plăților și termenii plăților acestora 125

Capitolul 3 RENITE 132

3.1. Renta permanenta 132

3.2. Anuități continue și variabile 148

3.3. Evaluarea unei rente cu o perioadă mai mare de un an 157

INTRODUCERE

„Economia matematică” este numele disciplinei inventată de matematicieni. Economiștii preferă un alt nume - „Modele și metode economice și matematice”. Acest nume se găsește adesea în programele și standardele departamentelor de economie. În opinia noastră, aceste două denumiri transmit la fel de exact conținutul intern al materiei, unde aspectele economice și matematice sunt îmbinate armonios. Din păcate, în practică, programul de curs EMM&M este adesea compilat în întregime din secțiuni separate din „Cercetarea operațională și programare matematică”, care, în primul rând, au fost deja finalizate înainte de acest curs și, în al doilea rând, conțin modele matematice de luare a deciziilor și optimizare și nu modele economico-matematice ca atare.

Economia matematică este o știință care folosește matematica ca metodă de studiere a sistemelor și fenomenelor economice.

Astfel, obiectul de studiu (sau domeniul de studiu) al economiei matematice este economia - ca parte a ființei sau parte a unei vaste arii de activitate umană.

Ca și alte științe care studiază economia ca întreg sau componentele ei, economia matematică folosește o anumită metodologie și are specificul ei. Specificul economiei matematice, trăsătura sa metodologică, este că studiază nu obiectele și fenomenele economice în sine, ci modelele lor matematice. Scopul său este de a obține informații economice obiective și de a elabora recomandări de importanță practică importantă. Formal, economia matematică poate fi clasificată atât ca științe economice, cât și ca științe matematice. În primul caz, trebuie înțeles ca acea secțiune de economie care studiază categoriile cantitative și calitative, precum și aspectele comportamentale ale entităților economice. Considerând economia matematică ca fiind una dintre domeniile matematicii, o putem atribui acelor secțiuni ale matematicii aplicate care se ocupă cu probleme de optimizare și probleme de luare a deciziilor.

Prin natura sa, economia este știința socială cea mai apropiată de matematică. Deja în definiția însuși conceptului de economie, sarcinile sale principale, se pot vedea concepte și terminologie matematice.

Într-adevăr, economia este știința socială a utilizării resurselor limitate pentru a maximiza satisfacerea nevoilor materiale nelimitate ale populației. Problemele centrale ale științei economice - managementul rațional al economiei, repartizarea optimă a resurselor limitate, studiul mecanismelor de management economic, dezvoltarea metodelor de calcul economic - sunt, în esență, probleme rezolvate în cadrul științelor matematice. Metodele cantitative și calitative ale matematicii sunt cel mai bun aparat auxiliar pentru obținerea de răspunsuri la întrebările de bază ale economiei:

Ce ar trebui produs (adică ce bunuri și servicii ar trebui produse și în ce cantități)?

Cum vor fi produse bunurile (adică de către cine și cu ce resurse și cu ce tehnologie)?

Cui sunt destinate aceste bunuri (adică, de către cine și cum vor fi consumate aceste bunuri)?

În sfârșit, sarcina teoriei economice asociată cu sistematizarea, interpretarea și generalizarea comportamentului participanților economici în procesul de producție, schimb și consum revine la problemele matematice de optimizare și luare a deciziilor.

Luând în considerare cele de mai sus, putem vorbi despre următoarele sarcini principale cu care se confruntă economia matematică:

dezvoltarea de modele matematice de obiecte, sisteme și fenomene economice (probleme generale și specifice ale economiei în diverse condiții, premise și la diferite niveluri);

studierea comportamentului participanților economici (condițiile de existență a soluțiilor optime și caracteristicile acestora, precum și metodele de calcul a acestora în modele de consum, de firmă, de concurență perfectă și imperfectă etc.);

studiul modelelor descriptive ale economiei (modele de planificare, input-output, economie în expansiune, economia bunăstării și creșterii etc.);

analiza valorilor economice și a datelor statistice (elasticitate, valori medii și marginale, analiza de regresie și corelație și previziunea factorilor și indicatorilor economici).

ECONOMIE MATEMATICĂ

O disciplină matematică al cărei subiect este modelele economice. obiectele şi procesele şi metodele cercetării lor. Totuși, conceptele, rezultatele, metodele lui M. e. este convenabil și obișnuit să le prezentăm în strânsă legătură cu economia lor. origine, interpretare și caracter practic. aplicatii. Legătura cu economia este deosebit de semnificativă. știință și practică.

Pe mine. ca parte a matematicii a început să se dezvolte abia în secolul al XX-lea. Anterior existau doar episoade. cercetări care nu pot fi, în sens strict, clasificate drept matematică.

Caracteristici ale modelării economice și matematice. Caracteristica economică modelarea constă în diversitatea și eterogenitatea excepțională a subiectului modelării. Economia conține elemente de controlabilitate și spontaneitate, certitudine rigidă și ambiguitate semnificativă și libertate de alegere, procese tehnice. caracterul și procesele sociale, unde comportamentul uman iese în prim-plan. Nivelurile diferite ale economiei (de exemplu, atelierul și economia națională) necesită descrieri semnificativ diferite. Toate acestea conduc la o mare eterogenitate a modelelor matematice. aparat. O problemă subtilă este reflectarea tipului de socio-economic. sistemele, marginile sunt modelate, ținând cont de sistemul social. Se dovedește adesea că matematica abstractă. unul sau altul economic obiectul sau procesul poate fi aplicat cu succes atât economiilor capitaliste cât și socialiste. Totul este despre metoda de utilizare și interpretarea rezultatelor analizei.

Productie, productie eficienta. Economia se ocupă de bunuri sau produse, care sunt înțelese în economie. extrem de lată. Termenul general ingrediente este folosit pentru ele. Ingredientele sunt servicii, resurse naturale, factori de mediu care afectează negativ oamenii, confortul din sistemul de securitate existent etc. De obicei se crede că există desigur ingrediente și produse - un spațiu euclidian în care l - numarul de ingrediente. Punctul z din condițiile potrivite poate fi considerat un mod de „producție”, componentele pozitive indicând volumele de producție ale ingredientelor relevante, iar componentele negative indicând costurile. Cuvântul „producție” este între ghilimele deoarece producția este înțeleasă în sensul său cel mai larg. Setul de posibilități de producție disponibile (date, existente) este: O metodă de producție este eficientă dacă nu există așa ceva strict. Sarcina de a identifica metode eficiente este una dintre cele mai importante în economie. De obicei se presupune, și în multe cazuri acest lucru este de acord cu realitatea, că Z- convex Prin extinderea spațiului de produs, problema analizei metodelor eficiente poate fi redusă la cazul când Z- convex închis

O sarcină tipică de identificare a unei metode eficiente este sarcina principală a planificării producției. Având în vedere metodele de producție și un vector de nevoi și limitări de resurse, este necesar să se găsească o cale astfel încât pentru toată lumea Dacă Z- convex închis, atunci aceasta este o problemă generală programare convexă. Dacă Z este dat de un număr finit de generatoare (așa-numitele metode de bază), atunci aceasta este o problemă generală programare liniară. Soluţie se află la graniță Z. Fie p coeficienții hiperplanului suport pentru Z în punctul, adică pentru toate și. Programarea principală convexă găsește condițiile în care p l>0. De exemplu, o condiție suficientă: există un vector (așa-numita condiție Slater). Coeficienții I, care caracterizează metoda eficientă, au implicații economice importante. sens. Ele sunt interpretate ca prețuri care măsoară rentabilitatea și producția de ingrediente individuale. Metoda este eficientă dacă și numai dacă costul producției este egal cu costul intrărilor. Aceste metode eficiente de producție și caracterizarea lor cu ajutorul lui p au avut un impact revoluționar asupra teoriei și practicii planificării socialiste. economie. A stat la baza metodelor cantitative obiective de determinare a prețurilor și a evaluărilor publice ale resurselor, făcând posibilă selectarea celor mai eficiente economice. decizii în condiţii socialiste. ferme. Teoria se generalizează în mod natural la un număr infinit de ingrediente. Apoi, spațiul pentru ingrediente se dovedește a fi un spațiu funcțional ales corespunzător.

Creștere eficientă. Ingredientele aparținând unor momente sau intervale de timp diferite pot fi considerate formal diferite. Prin urmare, descrierea producției în dinamică, în principiu, se încadrează în schema de mai sus, constând din obiecte (X,Z, b), Unde X- spațiu pentru ingrediente, Z- multe posibilități de producție, b- stabilirea cerinţelor şi restricţiilor asupra economiei. Cu toate acestea, studiul în sine este dinamic. aspectul producției necesită forme mai speciale de descriere a capacităților de producție.

Capacitățile de producție ale unui model economic destul de general. difuzoarele sunt specificate folosind o mapare punct-set (funcție cu mai multe valori) Iată spațiul (fazelor) al economiei, interpretat ca starea economiei la un moment sau altul, unde x k - cantitatea de produs k disponibilă în acest moment. Mulțimea a(x) este formată din toate stările economiei, în care poate merge de la stat la X. Vom suna

afiseaza graficul a. Puncte ( X y).- procese de producţie admise.

Sunt luate în considerare diverse opțiuni pentru stabilirea posibilelor traiectorii de dezvoltare economică. În special, consumul populației este luat în considerare fie în afișajul propriu-zis, fie este evidențiat în mod explicit. De exemplu, în al doilea caz, o traiectorie admisibilă este astfel încât

Pentru toate t. Sunt studiate diferite concepte de eficiență a traiectoriei. O traiectorie este eficientă din punct de vedere al consumului dacă nu există altă traiectorie fezabilă ( X, C), părăsind aceeași stare inițială, pentru care o traiectorie este efectivă intern dacă nu există altă traiectorie admisibilă (X, C) părăsind aceeași stare inițială, timp t 0 și număr l>1, astfel încât

Optimitatea unei traiectorii este determinată de obicei în funcție de funcția de utilitate și coeficientul de reducere a utilității în timp (vezi mai jos pentru funcția de utilitate). Traiectoria se numește (u, m)-despre ptpmal dacă

pentru orice traiectorie admisibilă ( X, C), ieșind din aceeași stare inițială. Există teoreme de existență destul de generale pentru traiectoriile corespunzătoare.

Traiectorii care sunt eficiente în diverse sensuri sunt caracterizate de o succesiune de prețuri în același mod în care o metodă eficientă a fost caracterizată de prețuri (coeficienții hiperplanului de referință) P. Adică, dacă pentru metoda eficientă costul intrărilor este egal cu costul producției la prețuri optime, atunci pe traiectoria eficientă costul stărilor este constant și maxim, iar pe toate celelalte traiectorii admisibile nu poate crește.

Toate definițiile de mai sus se generalizează cu ușurință în cazul în care producția a, funcția u și m depind de timp. Timpul în sine poate fi continuu sau, în general, parametrul t poate rula printr-un set de forme destul de arbitrare.

Cu economic Dintr-un punct de vedere, traiectoriile care prezintă interes sunt cele care realizează rata maximă posibilă de creștere economică, pe care o poate susține pe o perioadă nedeterminată. Se dovedește că atunci când a și și sunt constante în timp, astfel de traiectorii sunt staționare, adică au

unde a este rata de creștere (expansiune) a economiei. Sunt numite traiectorii staționare eficiente într-un sens sau altul, precum și staționare optime. autostrăzi.

Sub ipoteze foarte largi, au loc teoremele despre autostradă, afirmând că orice efectiv, indiferent de starea inițială, se apropie de autostradă în timp. Există un număr mare de teoreme diferite despre autostradă, care diferă în definiția eficienței sau optimității, metoda de măsurare a distanței până la autostradă, tipul de convergență și, în final, intervalul de timp finit sau infinit.

Model economic dinamica, ale cărei capacități de producție sunt stabilite de un con convex cu mai multe fațete, numită. Modelul Neumann. Un caz special al modelului Neumann este modelul Leontief închis, sau (în altă terminologie) un echilibru inter-industrial dinamic închis (termenul „închis” este folosit aici ca o caracteristică a proprietății economiei, care constă în absența de produse ireproductibile), care este specificat de trei matrice cu elemente nenegative Ф, Ау Proces ordonat dacă și numai dacă există vectori v, astfel încât să fie satisfăcute următoarele inegalități:

Modelul de echilibru intrare-ieșire a devenit larg răspândit datorită confortului de a obține informații inițiale pentru construcția sa.

Modele economice dinamica este considerată și în timp continuu. Modelele în timp continuu au fost printre primele care au fost studiate. În special, o serie de lucrări au fost dedicate celui mai simplu model cu un singur produs dat de ecuație

Unde X - volumul fondurilor pe unitatea de resurse de muncă, c - consumul pe cap de locuitor, f- functia de productie (creste, concava). Funcții non-negative satisfacerea acestei ecuaţii caracterizează traiectoria admisibilă. Pentru o funcție de utilitate dată și factorul de reducere se determină m. Traiectorii optime (și numai ele) satisfac un analog al ecuației lui Euler

unde este numărul maxim care îndeplinește condiția f(x) -c=x.

Modelul lui Leontief a fost, de asemenea, formulat pentru prima dată în timp continuu ca un sistem de ecuații diferențiale

Unde X- fluxuri de produse, AI IN - matrice ale costurilor curente și, respectiv, de capital, CU - fluxurile de consum final.

Traiectorii eficiente și optime în modelele în timp continuu sunt studiate folosind metode de calcul al variațiilor, control optim și matematică. programare în spații infinit-dimensionale. Se iau în considerare și modele în care traiectoriile admisibile sunt specificate prin incluziuni diferențiale ale formei (x) , Unde A - afișaj de producție.

Comportamentul rațional al consumatorului. Gusturile și scopurile consumatorilor, care determină comportamentul lor rațional, sunt date sub forma unui anumit sistem de preferințe în spațiul produsului. Și anume, pentru fiecare consumator i este definită o mapare a punctelor Z- un anumit spațiu de situații în care consumatorul se poate găsi în procesul de selecție, X- setul de vectori disponibile consumatorului.În particular, Z poate include ca subspațiu setul bogat în conținut este format din toți vectorii care sunt (strict) preferați vectorului x în situația z. De exemplu, afișați P i poate fi specificată ca o funcție de utilitate Și, unde u(x) arată utilitatea consumului unui set de produse X. Apoi

Fie ca descrierea situației z să includă prețurile p . pentru toate produsele și veniturile în numerar ale consumatorului d. Apoi sunt multe seturi pe care consumatorul le poate achiziționa într-o situație z. Acestea sunt o mulțime de nume. bugetar. Raționalitatea comportamentului consumatorului constă în faptul că el alege astfel de seturi de xyz B i(z) , pentru care Fie D(z) multimea multimilor de produse alese de luptatorul r in situatia z; D i numit afișat de i-e m (sau funcție în cazul în care D i(z) constă dintr-un punct de cerere. Există o serie de studii dedicate elucidării proprietăților cartografiilor Р i, В i, Di. În special, cazul în care mapările P i pot fi specificate ca funcții. Au fost determinate condițiile în care mapările În iȘi D i sunt continue. Un interes deosebit este studiul proprietăților funcției cererii D i. Faptul este că uneori este mai convenabil să se considere funcțiile de cerere ca fiind primare D i, nu preferințe P i, deoarece sunt mai ușor de construit din informațiile existente despre comportamentul consumatorului. De exemplu, în economie (trading) pot exista valori care estimează aproximativ derivatele parțiale

unde R este prețul produsului p, d- sursa de venit.

Adiacent teoriei comportamentului rațional al consumatorului este teoria alegerii grupului, care se ocupă de obicei cu opțiuni discrete. De obicei, se presupune că există un număr finit de membri ai grupului și un număr finit de, de exemplu, opțiuni alternative. Problema este de a lua o decizie de grup cu privire la alegerea uneia dintre opțiuni având în vedere relațiile de preferință dintre opțiuni pentru fiecare participant. Alegerea grupului oferă diverse scheme de vot, iar abordările axiomatice și teoretice ale jocului sunt, de asemenea, luate în considerare.

Coordonarea intereselor. Purtătorii de interese sunt părți individuale ale economiei. sistemelor, precum și societatea în ansamblu. Astfel de părți sunt consumatorii (grupurile de consumatori): întreprinderi, ministere, organe guvernamentale teritoriale, autorități de planificare și financiare etc. Există două abordări interconectate reciproc ale problemei reconcilierii intereselor - analitică, sau constructivă, și sintetică sau descriptivă. Conform primei abordări, criteriul de optimitate globală (formalizarea intereselor societății în ansamblu) este luat ca fiind inițial. Sarcina este de a deriva criterii locale (private) din cel general, ținând cont de interesele private. În a doua abordare, cele inițiale sunt tocmai interese private și sarcina este de a le combina într-un singur sistem consistent, a cărui funcționare duce la rezultate satisfăcătoare din punctul de vedere al societății în ansamblu.

Prima abordare include direct metode de descompunere ale matematicii. programare. Să presupunem, de exemplu, că există o productivitate în economie și fiecare producător j este dat de setul de posibilități de producție Yj, unde și este o mulțime compactă convexă. Având în vedere V a întregii societăţi în ansamblu, unde - functie concava. Economia trebuie organizată în așa fel încât să se rezolve problema programării convexe: găsiți din condiții

Conform teoremei despre caracteristicile metodelor eficiente de producție, există prețuri astfel încât

pentru toate j,

Valoarea y (j) p este interpretată ca profitul celui de-al j-lea producător la prețuri R. Rezultă că criteriul de maximizare a profitului pentru fiecare dintre producători nu contrazice obiectivul general dacă prețurile curente sunt determinate în mod corespunzător. Schemele legate de a doua abordare au primit o mare dezvoltare în cadrul modelelor economice. echilibru.

Echilibrul economic. Se presupune că economia este formată din părți separate care sunt purtătoare ale propriilor interese: producători, numerotați cu indici j = 1, ..., T,și consumatorii numerotați cu indici i=1, ..., P. Producătorul j este descris de setul de posibilități de producție și de mapare definindu-i sistemul de preferinte. Aici Z- un set de posibile stări ale economiei, specificate mai jos. Consumatorul r este descris de setul de posibile seturi de produse disponibile pentru consum, stocul inițial de produse și preferințe și, în sfârșit, prin funcția de distribuție a venitului, unde a i(z) arată suma de bani care curge către consumatorul i în starea z. Există multe prețuri posibile în economie Q. Atunci setul de stări posibile este Afișarea bugetului B i este definit aici astfel:

Starea de echilibru a economiei descrise este cea care satisface condițiile

În esență, starea de echilibru a economiei coincide cu definiția soluției joc non-cooperativ multe persoane în sensul Neumann-Nash cu condiția suplimentară ca un echilibru să fie satisfăcut pentru toate produsele. Existența unei stări de echilibru a fost dovedită în condiții foarte generale pentru economia inițială. Trebuie impuse condiții mult mai stricte pentru ca starea de echilibru să fie optimă, adică să se realizeze o anumită problemă de optimizare globală cu o funcție obiectivă în funcție de interesele consumatorilor. De exemplu, lasa P i dat de o funcţie concavă continuă A Fj dat de functie

Unde Y j , X i - compacte convexe,

Orice subset S=(i 1 , ..., i r ) indicii de consum formează o sub-economie a economiei originale, în care fiecare consumator este din S îi corespunde (unul și un singur) producător, al cărui ansamblu de posibilități de producție există

Funcțiile de distribuție a venitului au în acest caz forma

Starea numelui echilibrat dacă

Ei spun că o stare echilibrată z economia iniţială este blocată de o coaliţie de consumatori S, dacă într-o subeconomie determinată de coaliţie S, există o stare atât de echilibrată încât Pentru s= 1, ..., r iar pentru cel puţin un indice există o inegalitate strictă. Miezul economiei se numește. ansamblul tuturor statelor echilibrate care nu sunt blocate de nicio coalitie de consumatori. Pentru o economie cu proprietățile descrise, teorema este valabilă: fiecare stare de echilibru aparține nucleului. Nu este adevărat invers, dar s-au găsit o serie de condiții suficiente în care multe stări de echilibru sunt apropiate unele de altele sau chiar coincid. În special, dacă numărul consumatorilor tinde spre infinit și influența fiecărui consumator asupra stării economiei devine din ce în ce mai mică, atunci setul de stări de echilibru tinde spre miez. Coincidența nucleului și a mulțimii stărilor de echilibru are loc într-o economie cu un număr infinit (continuu) de consumatori (teorema lui Aumann).

Fie economia un model de piață (adică nu există producători), setul de participanți (consumatori) este un singur segment închis , denumită în continuare T. Starea economiei este z=(x, p), unde este funcția care afișează TV R + l, fiecare componentă este Lebesgue integrabilă pe interval T. Produsele inițiale dintre participanți sunt specificate de funcție w,. astfel, starea echilibrată z este astfel încât Coaliția de participanți este un subset măsurabil Lebesgue al mulțimii T. Dacă o submulțime are măsura 0, atunci se numește corespunzătoare. nul. Miezul este ansamblul tuturor statelor echilibrate care nu sunt blocate de nicio coaliție non-zero. O stare este un echilibru dacă pentru aproape fiecare participant i

Teorema lui Aumann afirmă că în economia descrisă și mulțimea stărilor de echilibru coincid. Interesantă este problema structurii mulțimii stărilor de echilibru, în special atunci când această mulțime este finită sau este formată dintr-un punct. Teorema lui Debreu se aplică aici. Să fie multe modele de piață unde sunt inventarele inițiale de produse pentru participantul i, vectorul este un parametru care definește un model specific din mulțime Afișajul reprezintă funcția de cerere pentru al-lea participant. Funcțiile D 1, ..., Dn sunt date (nu se modifică) pentru întregul set de economii W. Fie W 0 , - un set de economii în care setul de stări de echilibru este infinit. Teorema lui Debreu afirmă că dacă funcțiile D 1, ..., Dn sunt diferențiabile continuu și nu există puncte de saturație pentru cel puțin unul dintre participanți, atunci W 0 are măsura (Lebesgue) în spațiu W.

Despre metode numerice. Pe mine. are o strânsă legătură cu matematica computațională. Linear, liniar economic. modelele au avut o influență majoră asupra metodelor de calcul din algebra liniară. În esență, datorită programării liniare, inegalitățile din matematica computațională au devenit la fel de comune ca și ecuațiile.

O problemă dificilă și cu mai multe fațete este calculul economiei. echilibru. De exemplu, multe lucrări sunt dedicate condițiilor de convergență la echilibru a unui sistem de ecuații diferențiale

Unde R - vector de preț, F- funcția cererii în exces, adică funcțiile cererii și ofertei. Prețurile de echilibru, prin definiție, asigură egalitatea cererii și ofertei:

Funcția cererii în exces F este specificată fie direct, fie prin mai multe concepte primare ale modelului de echilibru corespunzător. S. Smale a studiat o dinamică semnificativ mai generală. sistem decât (*), în raport cu modelul de piață; împreună cu modificările prețurilor în timp R se consideră o schimbare a stării x; în acest caz, traiectoria admisibilă satisface anumite incluziuni diferentiale de forma in care K(p) si C(p) - set de directii posibile de schimbare X, determinat printr-un model de piata.

Economic un echilibru, o soluție a unui joc, o soluție a uneia sau a altei probleme extreme pot fi definite ca puncte fixe ale unei mapări de puncte formulate corespunzător. În cadrul cercetării asupra M. e. Sunt dezvoltate metode numerice pentru căutarea punctelor fixe din diferite clase de mapări. Cea mai cunoscută este metoda lui Scarf, care este o combinație între ideile lemei lui Sperner și metoda simplex pentru rezolvarea problemelor de programare liniară.

Probleme similare. Pe mine. este strâns legată de multe domenii matematice. disciplinelor. Uneori este dificil de determinat unde se află granițele dintre M. e. şi matematică statistică sau analiză convexă, analiză funcțională, topologie etc. Se poate sublinia, de exemplu, dezvoltarea teoriei matricelor pozitive, a operatorilor liniari pozitivi (și omogene) și proprietățile spectrale ale mapărilor superliniare de seturi de puncte sub influența a nevoilor economiei matematice.

Lit.: Neumann J., Morgenstern O., Teoria jocurilor și comportamentul economic, trad. din engleză, M., 1970; K a n t o r o v i h L. V., Calcul economic al utilizării optime a resurselor, M., 1959; Nikaido X., Structuri convexe și economie matematică, trad. din engleză, M., 1972; M a k a r o v V. L., Rubinov A. M., Teoria matematică a dinamicii economice şi a echilibrului, M., 1973; M i r k i n B. G., Problema alegerii grupului [informații], M., 1974; Scarf H., The Computation of Economic Equilibria, L., 1973; Dantzig J., Programarea liniară, aplicațiile și generalizările sale, trad. din engleză, M., 1966; Smale S., „J. math. Economics”, 1976, nr. 2, p. 107-20. L.V. Kantorovich, V. L. Makarov.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Dicționar economic

Subiectul și metodele teoriei economice

Relațiile economice pătrund în toate sferele vieții umane. Studiul tiparelor lor a ocupat mințile filozofilor din cele mai vechi timpuri. Dezvoltarea treptată a agriculturii și apariția proprietății private au contribuit la complicarea relațiilor economice și la construirea primelor sisteme economice. Progresul științific și tehnologic, care a determinat trecerea de la munca manuală la munca la mașină, a dat un impuls puternic consolidării producției și, prin urmare, extinderii legăturilor și structurilor economice. În lumea modernă, economia este considerată din ce în ce mai mult împreună cu alte științe sociale conexe. Și anume, la joncțiunea a două direcții există diverse soluții care pot fi aplicate în practică.

Direcția fundamentală către economie în sine a luat contur abia la mijlocul secolului al XIX-lea, deși oamenii de știință din multe țări de-a lungul secolelor au creat școli speciale care au studiat tiparele vieții economice ale oamenilor. Abia în acest moment, pe lângă o evaluare calitativă a ceea ce se întâmpla, oamenii de știință au început să studieze și să compare evenimentele reale din economie. Dezvoltarea economiei clasice a contribuit la formarea disciplinelor aplicate care studiază zone mai restrânse ale sistemelor economice.

Obiectul principal de studiu al teoriei economice este căutarea soluțiilor optime pentru economii la diferite niveluri de organizare în ceea ce privește satisfacerea cererii în creștere, cu resurse limitate. Economiștii folosesc diverse metode în cercetarea lor. Dintre acestea, cele mai frecvent utilizate sunt următoarele:

Metode care vă permit să evaluați elemente generale sau să generalizați structuri individuale. Ele se numesc metode de analiză și sinteză.
Inducția și deducția fac posibilă luarea în considerare a dinamicii proceselor de la particular la general și invers.
Abordarea sistemică ajută la analizarea unui element separat al economiei ca structură.
În practică, metoda abstractizării este utilizată pe scară largă. Vă permite să separați obiectul sau fenomenul studiat de relațiile și factorii externi.
Ca și în alte științe, limbajul matematicii este adesea folosit în economie, ceea ce ajută la afișarea vizuală a elementelor economiei studiate, precum și la efectuarea unei analize sau la formarea previziunii necesare a tendințelor.

Esența economiei matematice

Economia modernă se distinge prin complexitatea sistemelor pe care le studiază. De regulă, un agent economic intră în mai multe relații deodată și în fiecare zi. Dacă vorbim despre o întreprindere, atunci numărul interacțiunilor sale interne și externe crește de mii de ori. Pentru a facilita cercetările și sarcinile analitice cu care se confruntă economiștii și oamenii de știință, se folosește limbajul matematicii. Dezvoltarea instrumentelor matematice face posibilă rezolvarea unor probleme care depășesc puterea altor metode utilizate în teoria economică.

Economia matematică este o ramură aplicată a teoriei economice. Esența sa principală constă în utilizarea metodelor, mijloacelor și instrumentelor matematice pentru a descrie, studia și analiza sistemele economice. Cu toate acestea, această disciplină are propriile ei specificități. Nu studiază fenomenele economice ca atare, ci se ocupă de calcule asociate modelelor matematice.

Nota 1

Scopul economiei matematice, ca și majoritatea domeniilor aplicate, poate fi numit formarea de informații obiective și căutarea de soluții la probleme practice. Studiază, în primul rând, indicatorii cantitativi și calitativi, precum și comportamentul agenților economici în dinamică.

Provocările cu care se confruntă economia matematică sunt următoarele:

Construirea de modele matematice care descriu procese și fenomene în sistemele economice.
Studiul comportamentului diverșilor subiecți ai relațiilor economice.
Oferirea de asistență în construirea și evaluarea planurilor, prognozelor și diferitelor tipuri de evenimente de-a lungul timpului.
Efectuarea analizei unor marimi matematice si statistice.

Matematică aplicată în economie

Economia matematică în semnificația sa socială este destul de apropiată de matematică. Dacă luăm în considerare această disciplină din perspectiva științei matematice, atunci pentru ea este o direcție aplicată. Matematica aplicată face posibilă luarea în considerare și analizarea elementelor individuale ale sistemelor economice complexe, deoarece are o funcționalitate largă bazată pe cunoștințe matematice fundamentale. Astfel de posibilități ale matematicii au contribuit la apariția ecologiei matematice, sociologiei, lingvisticii și matematicii financiare.

Să luăm în considerare cele mai importante metode matematice utilizate în studiul sistemelor economice:

Cercetarea operațională se ocupă cu studiul proceselor și fenomenelor din sisteme. Aceasta include munca analitică și optimizarea aplicării practice a rezultatelor obținute.
Modelarea matematică include o gamă largă de metode și instrumente care fac posibilă rezolvarea problemelor cu care se confruntă oamenii de știință și economiștii. Cele mai utilizate sunt teoria jocurilor, teoria serviciilor, teoria programului și teoria inventarului.
Optimizarea în matematică se ocupă de căutarea valorilor extreme, atât maxime cât și minime. Graficele de funcții sunt de obicei utilizate în aceste scopuri.

Metodele de matematică enumerate mai sus fac posibilă studierea situațiilor statistice din economie, sau a proceselor pe perioade scurte. După cum se știe, în prezent scopul principal al entităților economice este găsirea echilibrului pe termen lung. Un factor important în aceste studii este factorul timp, care poate fi luat în considerare prin utilizarea teoriei probabilităților și a teoriei soluțiilor optime pentru calcule.

Nota 2

Astfel, matematica și economia sunt strâns legate între ele. Se obișnuiește să îmbrace dinamica structurilor economice în modele matematice, care pot fi apoi împărțite în subsarcini separate și pot fi aplicate toate metodele posibile de analiză economică, precum și calcule matematice. Luarea deciziilor în sfera economică este o acțiune destul de complexă, deoarece este asociată cu imperfecțiunea și incompletitudinea informațiilor disponibile. Utilizarea modelării matematice face posibilă reducerea riscului deciziilor de management.