posedă proprietatea principală a fracției:
Nota 1
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții se înmulțesc sau se împart la același număr natural, atunci rezultatul este o fracție egală cu originalul:
$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$
$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$
Exemplul 1
Să ni se dă un pătrat împărțit în $4$ părți egale. Dacă umbrim $2$ din $4$ părți, obținem umbrirea $\frac(2)(4)$ din întregul pătrat. Dacă te uiți la acest pătrat, este evident că exact jumătate din el este umbrit, adică. $(1)(2)$. Astfel, obținem $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Să factorizăm numerele $2$ și $4$:
Să înlocuim aceste expansiuni în egalitate:
$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,
$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,
$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.
Exemplul 2
Este posibil să se obțină o fracție egală dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții date sunt înmulțiți cu $18$ și apoi împărțiți la $3$?
Soluţie.
Să fie dată o fracție obișnuită $\frac(a)(b)$. Conform condiției, numărătorul și numitorul acestei fracții au fost înmulțite cu $18$, am obținut:
$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$
$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$
$\frac(a\div 3)(b\div 3)$
Conform proprietății de bază a fracției:
$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$
Astfel, rezultatul a fost o fracție egală cu cea inițială.
Răspuns: Puteți obține o fracție egală cu cea inițială.
Aplicarea proprietății de bază a unei fracții
Proprietatea principală a unei fracții este folosită cel mai adesea pentru:
- conversia fracțiilor la un nou numitor:
- reducerea fracțiilor.
Reducerea unei fracții la un nou numitor- inlocuirea unei fractii date cu o fractie care va fi egala cu aceasta, dar are un numarator mai mare si un numitor mai mare. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul fracției sunt înmulțite cu același număr natural, în urma căruia, conform proprietății de bază a fracției, se obține o fracție egală cu cea inițială, dar cu o mai mare. numărător și numitor.
Reducerea unei fracții- inlocuirea unei fractii date cu o fractie care va fi egala cu aceasta, dar avand un numarator mai mic si un numitor mai mic. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la divizorul comun pozitiv al numărătorului și numitorului, diferit de zero, în urma căruia, conform proprietății de bază a fracției, se obține o fracție egală. la cel original, dar cu un numărător și un numitor mai mici.
Dacă împărțim (reducem) numărătorul și numitorul cu mcd-ul lor, rezultatul este forma ireductibilă a fracției originale.
Fracții reducătoare
După cum știți, fracțiile obișnuite sunt împărțite în contractilăŞi ireductibil.
Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției la divizorul comun pozitiv care nu este zero. Când o fracție este redusă, se obține o nouă fracție cu un numărător și un numitor mai mici, care este egal în proprietățile sale de bază cu cea inițială.
Exemplul 3
Reduceți fracția $\frac(15)(25)$.
Soluţie.
Să reducem fracția cu $5$ (împărțim numărătorul și numitorul ei la $5$):
$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$
Răspuns: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.
Obținerea unei fracții ireductibile
Cel mai adesea, o fracție este redusă pentru a obține o fracție ireductibilă egală cu fracția redusă inițială. Acest rezultat poate fi obținut prin împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale la mcd-ul lor.
$\frac(a\div mcd (a,b))(b\div mcd (a,b))$ este o fracție ireductibilă, deoarece Conform proprietăților mcd, numărătorul și numitorul unei fracții date sunt numere prime reciproce.
GCD(a,b) este cel mai mare număr cu care pot fi împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției $\frac(a)(b)$. Astfel, pentru a reduce o fracție la o formă ireductibilă, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la mcd-ul lor.
Nota 2
Regula reducerii fracțiilor: 1. Aflați mcd a două numere care sunt la numărătorul și numitorul fracției. 2. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la mcd găsit.
Exemplul 4
Reduceți fracția $6/36$ la forma sa ireductibilă.
Soluţie.
Să reducem această fracție cu GCD$(6.36)=6$, deoarece $36\div 6=6$. Primim:
$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$
Răspuns: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.
În practică, expresia „reduceți o fracție” implică faptul că trebuie să reduceți fracția la forma sa ireductibilă.
Când vorbim despre matematică, nu se poate să nu-ți amintești fracțiile. Multă atenție și timp este dedicat studiului lor. Amintiți-vă câte exemple a trebuit să rezolvați pentru a învăța anumite reguli de lucru cu fracțiile, cum ați memorat și aplicat proprietatea de bază a unei fracții. Cât nerv s-a cheltuit pentru a găsi numitorul comun, mai ales dacă exemplele au avut mai mult de doi termeni!
Să ne amintim ce este și un pic de reîmprospătare cu privire la informațiile de bază și regulile de lucru cu fracții.
Definiţia fractions
Să începem, poate, cu cel mai important lucru - definiția. O fracție este un număr care este format din una sau mai multe părți ale unei unități. Un număr fracționar este scris ca două numere separate prin orizontală sau oblică. În acest caz, partea de sus (sau primul) se numește numărător, iar partea de jos (al doilea) se numește numitor.
Este de remarcat faptul că numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea, iar numărătorul arată numărul de acțiuni sau părți luate. Adesea, fracțiile, dacă sunt adecvate, sunt mai mici de unu.
Acum să ne uităm la proprietățile acestor numere și la regulile de bază care sunt folosite atunci când lucrați cu ele. Dar înainte de a examina un astfel de concept ca „proprietatea principală a unei fracții raționale”, să vorbim despre tipurile de fracții și despre caracteristicile lor.
Ce sunt fracțiile?
Există mai multe tipuri de astfel de numere. În primul rând, acestea sunt obișnuite și zecimale. Primele reprezintă tipul de înregistrare pe care l-am indicat deja folosind o orizontală sau o bară oblică. Al doilea tip de fracții este indicat folosind așa-numita notație pozițională, atunci când este indicată mai întâi partea întreagă a numărului, iar apoi, după virgulă zecimală, este indicată partea fracțională.
Este demn de remarcat aici că în matematică atât fracțiile zecimale, cât și fracțiile ordinare sunt folosite în mod egal. Proprietatea principală a fracției este valabilă doar pentru a doua opțiune. În plus, fracțiile obișnuite sunt împărțite în numere regulate și improprii. Pentru primul, numărătorul este întotdeauna mai mic decât numitorul. De asemenea, rețineți că o astfel de fracție este mai mică de unu. Într-o fracție improprie, dimpotrivă, numărătorul este mai mare decât numitorul, iar fracția în sine este mai mare decât unu. În acest caz, un număr întreg poate fi extras din acesta. În acest articol vom lua în considerare numai fracții obișnuite.
Proprietățile fracțiilor
Orice fenomen, chimic, fizic sau matematic, are propriile caracteristici și proprietăți. Numerele fracționale nu au făcut excepție. Au o caracteristică importantă, cu ajutorul căreia se pot efectua anumite operațiuni asupra lor. Care este proprietatea principală a unei fracții? Regula prevede că dacă numărătorul și numitorul lui se înmulțesc sau se împart la același număr rațional, vom obține o nouă fracție, a cărei valoare va fi egală cu valoarea celei inițiale. Adică, înmulțind două părți ale numărului fracționar 3/6 cu 2, obținem o nouă fracție 6/12 și vor fi egale.
Pe baza acestei proprietăți, puteți reduce fracțiile, precum și selectați numitori comuni pentru o anumită pereche de numere.
Operațiuni
Deși fracțiile par mai complexe, ele pot fi folosite și pentru a efectua operații matematice de bază, cum ar fi adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. În plus, există o acțiune specifică precum reducerea fracțiilor. Desigur, fiecare dintre aceste acțiuni este efectuată în conformitate cu anumite reguli. Cunoașterea acestor legi face lucrul cu fracții mai ușor, mai ușor și mai interesant. De aceea, în continuare ne vom uita la regulile de bază și la algoritmul acțiunilor atunci când lucrăm cu astfel de numere.
Dar înainte de a vorbi despre operații matematice precum adunarea și scăderea, să ne uităm la o operație precum reducerea la numitor comun. Aici este utilă cunoașterea proprietăților de bază ale unei fracții.
Numitor comun
Pentru a reduce un număr la un numitor comun, mai întâi trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al celor doi numitori. Adică cel mai mic număr care este divizibil simultan cu ambii numitori fără rest. Cel mai simplu mod de a găsi LCM (cel mai mic multiplu comun) este să scrieți pe o linie pentru un numitor, apoi pentru al doilea și să găsiți numărul potrivit dintre ele. Dacă LCM nu este găsit, adică aceste numere nu au un multiplu comun, ar trebui să le înmulțiți, iar valoarea rezultată este considerată LCM.
Deci, am găsit LCM, acum trebuie să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți alternativ LCM în numitorii fracțiilor și să scrieți numărul rezultat peste fiecare dintre ele. Apoi, ar trebui să înmulțiți numărătorul și numitorul cu factorul suplimentar rezultat și să scrieți rezultatele ca o nouă fracție. Dacă vă îndoiți că numărul primit este egal cu cel anterior, amintiți-vă de proprietatea de bază a fracției.
Plus
Acum să trecem direct la operații matematice pe numere fracționale. Să începem cu cel mai simplu. Există mai multe opțiuni pentru a adăuga fracții. În primul caz, ambele numere au același numitor. În acest caz, tot ce rămâne este să adunăm numărătorii. Dar numitorul nu se schimbă. De exemplu, 1/5 + 3/5 = 4/5.
Dacă fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le reduceți la un numitor comun și abia apoi să efectuați adunarea. Am discutat cum să facem acest lucru puțin mai sus. În această situație, proprietatea de bază a unei fracții va fi utilă. Regula vă va permite să aduceți numerele la un numitor comun. Valoarea nu se va schimba în niciun fel.
Alternativ, se poate întâmpla ca fracția să fie amestecată. Apoi ar trebui să adăugați mai întâi părțile întregi, apoi pe cele fracționale.
Multiplicare
Nu necesită trucuri, iar pentru a efectua această acțiune, nu este necesar să cunoașteți proprietatea de bază a unei fracții. Este suficient să înmulțiți mai întâi numărătorii și numitorii împreună. În acest caz, produsul numărătorilor va deveni noul numărător, iar numitorii vor deveni noul numitor. După cum puteți vedea, nimic complicat.
Singurul lucru care ți se cere este cunoașterea tabelelor înmulțirii, precum și atenție. În plus, după ce ați primit rezultatul, trebuie neapărat să verificați dacă acest număr poate fi redus sau nu. Vom vorbi despre cum să reducem fracțiile puțin mai târziu.
Scădere
Când executați, ar trebui să vă ghidați după aceleași reguli ca și atunci când adăugați. Deci, în numerele cu același numitor, este suficient să scădem numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului. Dacă fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le reduceți la un numitor comun și apoi să efectuați această operație. Ca și în plus, va trebui să utilizați proprietatea de bază fracție algebrică, precum și abilități de a găsi LCM și factori comuni pentru fracții.
Diviziune
Iar ultima, cea mai interesantă operație atunci când lucrați cu astfel de numere este împărțirea. Este destul de simplu și nu provoacă dificultăți deosebite chiar și pentru cei care nu înțeleg cum să lucreze cu fracțiile, în special cu adunarea și scăderea. La împărțire, se aplică aceeași regulă ca și înmulțirea cu o fracție reciprocă. Proprietatea principală a unei fracții, ca în cazul înmulțirii, nu va fi folosită pentru această operație. Să aruncăm o privire mai atentă.
La împărțirea numerelor, dividendul rămâne neschimbat. Fracția divizor se transformă în inversul ei, adică numărătorul și numitorul își schimbă locurile. După aceasta, numerele sunt înmulțite între ele.
Reducere
Deci, am examinat deja definiția și structura fracțiilor, tipurile lor, regulile de operații asupra acestor numere și am aflat principala proprietate a unei fracții algebrice. Acum să vorbim despre o astfel de operațiune precum reducerea. Reducerea unei fracții este procesul de conversie a acesteia - împărțirea numărătorului și numitorului la același număr. Astfel, fracția este redusă fără a-și modifica proprietățile.
De obicei, atunci când efectuați o operație matematică, ar trebui să vă uitați cu atenție la rezultatul rezultat și să aflați dacă este posibil să reduceți fracția rezultată sau nu. Amintiți-vă că rezultatul final conține întotdeauna un număr fracționar care nu necesită reducere.
Alte operațiuni
În sfârșit, observăm că nu am enumerat toate operațiile pe numere fracționale, menționându-le doar pe cele mai cunoscute și necesare. De asemenea, fracțiile pot fi comparate, convertite în zecimale și invers. Dar în acest articol nu am luat în considerare aceste operații, deoarece în matematică ele sunt efectuate mult mai rar decât cele prezentate mai sus.
Concluzii
Am vorbit despre numere fracționale și despre operații cu ele. Am examinat, de asemenea, proprietatea principală, dar să remarcăm că toate aceste probleme au fost luate în considerare în treacăt. Am dat doar cele mai cunoscute și folosite reguli și am dat cele mai importante, în opinia noastră, sfaturi.
Acest articol are scopul de a reîmprospăta informațiile despre fracțiile pe care le-ați uitat, mai degrabă decât de a oferi informații noi și de a vă încurca capul. reguli nesfârșite si formule care, cel mai probabil, nu iti vor fi niciodata de folos.
Sperăm că materialul prezentat în articol, simplu și concis, v-a fost de folos.
Fracțiile unei unități și este reprezentată ca \frac(a)(b).
Numeratorul fracției (a)- numărul situat deasupra liniei de fracțiuni și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.
Numitorul fracției (b)- numărul aflat sub linia fracției și care arată în câte părți este împărțită unitatea.
Ascundeți afișarea
Proprietatea principală a unei fracții
Dacă ad=bc atunci două fracții \frac(a)(b)Şi \frac(c)(d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \frac35Şi \frac(9)(15), deoarece 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)Şi \frac(24)(14), deoarece 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile vor fi egale \frac(a)(b)Şi \frac(am)(bm), deoarece a(bm)=b(am) este un exemplu clar de utilizare a proprietăților asociative și comutative ale înmulțirii numerelor naturale în acțiune.
Mijloace \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- așa arată proprietatea principală a fracției.
Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.
Reducerea unei fracții este procesul de înlocuire a unei fracții în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.
Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății de bază a fracției.
De exemplu, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numeratorul și numitorul se împart la numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \frac(15)(20)=\frac 34.
Fracție ireductibilă este o fracțiune a formei \frac 34, unde numărătorul și numitorul sunt reciproce numere prime. Scopul principal al reducerii unei fracții este de a face fracția ireductibilă.
Reducerea fracțiilor la un numitor comun
Să luăm ca exemplu două fracții: \frac(2)(3)Şi \frac(5)(8) cu numitori diferiți 3 și 8. Pentru a aduce aceste fracții la un numitor comun, înmulțim mai întâi numărătorul și numitorul fracției \frac(2)(3) pana la 8. Obtinem urmatorul rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției \frac(5)(8) de 3. Ca rezultat obținem: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun 24.
Operații aritmetice pe fracții obișnuite
Adunarea fracțiilor obișnuite
a) Dacă numitorii sunt aceiași, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum puteți vedea în exemplu:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Când numitori diferiti Fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, apoi numărătorii sunt adăugați conform regulii a):
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Scăderea fracțiilor
a) Dacă numitorii sunt aceiași, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile sunt aduse la un numitor comun, iar apoi acțiunile se repetă ca la punctul a).
Înmulțirea fracțiilor comune
Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
adică înmulțesc separat numărătorii și numitorii.
De exemplu:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Împărțirea fracțiilor
Fracțiile sunt împărțite în felul următor:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
adică o fracţiune \frac(a)(b) inmultit cu o fractiune \frac(d)(c).
Exemplu: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Numerele reciproce
Dacă ab=1, atunci numărul b este număr reciproc pentru numărul a.
Exemplu: pentru numărul 9 reciproca este \frac(1)(9), pentru că 9\cdot\frac(1)(9)=1, pentru numărul 5 - \frac(1)(5), pentru că 5\cdot\frac(1)(5)=1.
zecimale
Zecimal numită fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.
De exemplu: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Numerele neregulate cu numitorul de 10^n sau numerele mixte sunt scrise în același mod.
De exemplu: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.
Orice fracție obișnuită cu un numitor care este un divizor al unei anumite puteri a lui 10 este reprezentată ca o fracție zecimală.
Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci este o fracție \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.
Operatii aritmetice pe zecimale
Adăugarea de zecimale
Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât să existe cifre identice una sub alta și o virgulă sub virgulă, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.
Scăderea zecimalelor
Se efectuează în același mod ca și adăugarea.
Înmulțirea zecimalelor
La înmulțire numere zecimale Este suficient să înmulțiți numerele date, fără să acordați atenție virgulelor (cum ar fi numerele naturale), iar în răspunsul rezultat, o virgulă din dreapta separă atâtea cifre câte cifre sunt după virgulă în ambii factori în total.
Să înmulțim 2,7 cu 1,3. Avem 27 \cdot 13=351 . Separăm două cifre în dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1+1=2). Ca rezultat, obținem 2,7 \cdot 1,3=3,51.
Dacă rezultatul rezultat conține mai puține cifre decât trebuie separate prin virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:
Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, trebuie să mutați punctul zecimal 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).
De exemplu: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.
Împărțire zecimală
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. Virgula din coeficient este plasată după ce s-a încheiat împărțirea întregii părți.
Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:
.png)
Să ne uităm la împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, să înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam punctul zecimal la dreapta în dividend și divizor cu atâtea zecimale câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , doi). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:
.png)
Se întâmplă ca rezultatul final să nu fie întotdeauna obținut zecimal la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o fracție zecimală infinită. În astfel de cazuri, trecem la fracții obișnuite.
2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).
Fracţiune- o formă de reprezentare a unui număr în matematică. Bara de fracții denotă operația de împărțire. Numărător fracția se numește dividend și numitor- separator. De exemplu, într-o fracție, numărătorul este 5 și numitorul este 7.
Corecta Se numește o fracție în care modulul numărătorului este mai mare decât modulul numitorului. Dacă o fracție este proprie, atunci modulul valorii sale este întotdeauna mai mic decât 1. Toate celelalte fracții sunt greşit.
Fracția se numește amestecat, dacă se scrie ca număr întreg și fracție. Aceasta este aceeași cu suma acestui număr și a fracției:
Proprietatea principală a unei fracții
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va schimba, adică, de exemplu,
Reducerea fracțiilor la un numitor comun
Pentru a aduce două fracții la un numitor comun, aveți nevoie de:
- Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua
- Înmulțiți numărătorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei
- Înlocuiți numitorii ambelor fracții cu produsul lor
Operații cu fracții
Plus. Pentru a adăuga două fracții aveți nevoie
- Adăugați noii numărători ai ambelor fracții și lăsați numitorul neschimbat
Exemplu:
Scădere. Pentru a scădea o fracție din alta, aveți nevoie
- Reduceți fracțiile la un numitor comun
- Scădeți numărătorul celei de-a doua din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat
Exemplu:
Multiplicare. Pentru a înmulți o fracție cu alta, înmulțiți numărătorii și numitorii acestora.
Acest subiect este destul de important, toate celelalte matematică și algebra se bazează pe proprietățile de bază ale fracțiilor. Proprietățile fracțiilor considerate, în ciuda importanței lor, sunt foarte simple.
A intelege proprietățile de bază ale fracțiilor Să luăm în considerare un cerc.
Pe cerc puteți vedea că 4 părți sau sunt umbrite din cele opt posibile. Să scriem fracția rezultată \(\frac(4)(8)\)
Pe următorul cerc puteți vedea că una dintre cele două părți posibile este umbrită. Să scriem fracția rezultată \(\frac(1)(2)\)
Dacă ne uităm atent, vom vedea că în primul caz, iar în al doilea caz, avem jumătate de cerc umbrită, deci fracțiile rezultate sunt egale cu \(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), adică este același număr.
Cum să demonstrezi asta matematic? Este foarte simplu, amintiți-vă de tabla înmulțirii și scrieți prima fracție în factori.
\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)
Ce am făcut? Am factorizat numărătorul și numitorul \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), apoi am împărțit fracțiile \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Patru împărțit la patru este 1, iar unul înmulțit cu orice număr este numărul însuși. Ceea ce am făcut în exemplul de mai sus se numește fracții reducătoare.
Să ne uităm la un alt exemplu și să reducem fracția.
\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)
Am factorizat din nou numărătorul și numitorul și aceleasi numere numărătorii și numitorii au fost reduse. Adică, doi împărțiți la doi dă unul, iar unul înmulțit cu orice număr dă același număr.
Proprietatea principală a unei fracții.
Aceasta implică proprietatea principală a unei fracții:
Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt înmulțiți cu același număr (cu excepția zero), atunci valoarea fracției nu se va modifica.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)
De asemenea, puteți împărți numărătorul și numitorul la același număr în același timp.
Să ne uităm la un exemplu:
\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)
Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt împărțite la același număr (cu excepția zero), atunci valoarea fracției nu se va modifica.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)
Se numesc fracțiile care au factori primi comuni atât la numărător, cât și la numitor fracții reductibile.
Exemplu de fracție reductibilă: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)
Există de asemenea fracții ireductibile.
Fracție ireductibilă este o fracție care nu are factori primi comuni în numărătorii și numitorii săi.
Exemplu de fracție ireductibilă: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)
Orice număr poate fi exprimat ca fracție deoarece orice număr este divizibil cu unu. De exemplu:
\(7 = \frac(7)(1)\)
Întrebări la subiect:
Crezi că orice fracție poate fi redusă sau nu?
Răspuns: nu, există fracții reductibile și fracții ireductibile.
Verificați dacă egalitatea este adevărată: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Răspuns: scrieți fracția \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), da, e corect.
Exemplul #1:
a) Găsiți o fracție cu numitorul 15 egal cu fracția \(\frac(2)(3)\).
b) Aflați o fracție cu numărătorul 8 egală cu fracția \(\frac(1)(5)\).
Soluţie:
a) Avem nevoie de numărul 15 la numitor. Acum numitorul are numărul 3. Cu ce număr avem nevoie pentru a înmulți numărul 3 pentru a obține 15? Să ne amintim de tabla înmulțirii 3⋅5. Trebuie să folosim proprietatea de bază a fracțiilor și să înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul fracției \(\frac(2)(3)\) până la 5.
\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)
b) Avem nevoie ca numărul 8 să fie în numărător. Acum, numărul 1 este în numărător. Desigur, 1⋅8. Trebuie să folosim proprietatea de bază a fracțiilor și să înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul fracției \(\frac(1)(5)\) până la 8. Obținem:
\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)
Exemplul #2:
Găsiți o fracție ireductibilă egală cu fracția: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).
Soluţie:
O) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)
b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)
Exemplul #3:
Scrieți numărul ca fracție: a) 13 b)123
Soluţie:
O) \(13 = \frac(13) (1)\)
b) \(123 = \frac(123) (1)\)
