Acest articol dezvăluie cum să obțineți ecuația unei drepte care trece prin doi puncte date V sistem dreptunghiular coordonate situate pe plan. Să derivăm ecuația unei drepte care trece prin două puncte date într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Vom arăta și rezolva clar câteva exemple legate de materialul acoperit.
Înainte de a obține ecuația unei drepte care trece prin două puncte date, este necesar să se acorde atenție unor fapte. Există o axiomă care spune că prin două puncte divergente dintr-un plan se poate trasa o dreaptă și numai una. Cu alte cuvinte, două puncte date dintr-un plan sunt definite de o dreaptă care trece prin aceste puncte.
Dacă planul este definit de sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy, atunci orice linie dreaptă descrisă în el va corespunde ecuației unei linii drepte pe plan. Există, de asemenea, o legătură cu vectorul de direcție al dreptei. Aceste date sunt suficiente pentru a compila ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.
Să ne uităm la un exemplu de rezolvare a unei probleme similare. Este necesar să se creeze o ecuație pentru o dreaptă a care trece prin două puncte divergente M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2), situate în sistemul de coordonate carteziene.
În ecuația canonică a unei drepte pe un plan, având forma x - x 1 a x = y - y 1 a y, se specifică un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu o dreaptă care se intersectează cu ea într-un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) cu un vector de ghidare a → = (a x , a y) .
Este necesar să se creeze o ecuație canonică a unei drepte a, care va trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2).
Dreapta a are un vector de direcție M 1 M 2 → cu coordonate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), deoarece intersectează punctele M 1 și M 2. Am obținut datele necesare pentru a transforma ecuația canonică cu coordonatele vectorului de direcție M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) și coordonatele punctelor M 1 aflate pe acestea. (x1, y1) şi M2 (x2, y2). Obținem o ecuație de forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 sau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Luați în considerare figura de mai jos.
În urma calculelor, notăm ecuațiile parametrice ale unei drepte pe un plan care trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2). Obținem o ecuație de forma x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ sau x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Să aruncăm o privire mai atentă la rezolvarea mai multor exemple.
Exemplul 1
Scrieți ecuația unei drepte care trece prin 2 puncte date cu coordonatele M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Soluţie
Ecuația canonică pentru o dreaptă care se intersectează în două puncte cu coordonatele x 1, y 1 și x 2, y 2 ia forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Conform condițiilor problemei, avem că x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Este necesar să înlocuiți valorile numerice în ecuația x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De aici rezultă că ecuația canonică ia forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Răspuns: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Dacă trebuie să rezolvați o problemă cu un alt tip de ecuație, atunci mai întâi puteți merge la cea canonică, deoarece este mai ușor să veniți de la ea la oricare alta.
Exemplul 2
Compune ecuație generală o linie dreaptă care trece prin puncte cu coordonatele M 1 (1, 1) și M 2 (4, 2) în sistemul de coordonate O x y.
Soluţie
În primul rând, trebuie să scrieți ecuația canonică a unei linii date care trece prin două puncte date. Obținem o ecuație de forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Să aducem ecuația canonică la forma dorită, apoi obținem:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Răspuns: x - 3 y + 2 = 0 .
Exemple de astfel de sarcini au fost discutate în manualele școlare în timpul lecțiilor de algebră. Problemele școlare diferă prin aceea că se cunoaște ecuația unei drepte cu coeficient de unghi, având forma y = k x + b. Dacă trebuie să găsiți valoarea pantei k și numărul b, pentru care ecuația y = k x + b definește o dreaptă în sistemul O x y care trece prin punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) , unde x 1 ≠ x 2. Când x 1 = x 2 , atunci coeficientul unghiular ia valoarea infinitului, iar linia dreaptă M 1 M 2 este definită de generalul ecuație incompletă de forma x - x 1 = 0 .
Pentru că punctele M 1Și M 2 sunt pe o linie dreaptă, atunci coordonatele lor satisfac ecuația y 1 = k x 1 + b și y 2 = k x 2 + b. Este necesar să se rezolve sistemul de ecuații y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pentru k și b.
Pentru a face acest lucru, găsim k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 sau k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Cu aceste valori ale lui k și b, ecuația unei drepte care trece prin cele două puncte date devine y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 sau y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Este imposibil să ne amintim un număr atât de mare de formule simultan. Pentru a face acest lucru, este necesar să creșteți numărul de repetări în rezolvarea problemelor.
Exemplul 3
Scrieți ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular care trece prin puncte cu coordonatele M 2 (2, 1) și y = k x + b.
Soluţie
Pentru a rezolva problema, folosim o formulă cu un coeficient unghiular de forma y = k x + b. Coeficienții k și b trebuie să ia o astfel de valoare încât această ecuație să corespundă unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (- 7, - 5) și M 2 (2, 1).
Puncte M 1Și M 2 sunt situate pe o linie dreaptă, atunci coordonatele lor trebuie să facă din ecuația y = k x + b o egalitate adevărată. De aici rezultă că - 5 = k · (- 7) + b și 1 = k · 2 + b. Să combinăm ecuația în sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b și să rezolvăm.
La înlocuire obținem asta
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Acum, valorile k = 2 3 și b = - 1 3 sunt înlocuite în ecuația y = k x + b. Constatăm că ecuația necesară care trece prin punctele date va fi o ecuație de forma y = 2 3 x - 1 3 .
Această metodă de soluție predetermina cheltuielile cantitate mare timp. Există o modalitate prin care sarcina este rezolvată în literalmente doi pași.
Să scriem ecuația canonică a dreptei care trece prin M 2 (2, 1) și M 1 (- 7, - 5), având forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Acum să trecem la ecuația pantei. Obținem că: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Răspuns: y = 2 3 x - 1 3 .
Dacă în spațiul tridimensional există un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z cu două puncte date necoincidente cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), dreapta M trecând prin ele 1 M 2 , este necesar să se obţină ecuaţia acestei drepte.
Avem că ecuațiile canonice de forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z și ecuații parametrice de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sunt capabili să definească o dreaptă în sistemul de coordonate O x y z, trecând prin puncte având coordonate (x 1, y 1, z 1) cu un vector de direcție a → = (a x, a y, a z).
Drept M 1 M 2 are un vector de direcție de forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), unde dreapta trece prin punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2 , y 2 , z 2), deci ecuația canonică poate fi de forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 sau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, la rândul său parametric x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ sau x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Luați în considerare un desen care arată 2 puncte date în spațiu și ecuația unei drepte.
Exemplul 4
Scrieți ecuația unei drepte definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional, care trece prin două puncte date cu coordonatele M 1 (2, - 3, 0) și M 2 (1, - 3, - 5).
Soluţie
Este necesar să găsim ecuația canonică. Deoarece despre care vorbim despre spațiul tridimensional, ceea ce înseamnă că atunci când o dreaptă trece prin puncte date, ecuația canonică dorită va lua forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Prin condiție avem că x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Rezultă că ecuațiile necesare se vor scrie după cum urmează:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Răspuns: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Să ne uităm la cum să creăm o ecuație pentru o dreaptă care trece prin două puncte folosind exemple.
Exemplul 1.
Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctele A(-3; 9) și B(2;-1).
Metoda 1 - creați o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi.
Ecuația unei drepte cu coeficient unghiular are forma . Substituind coordonatele punctelor A și B în ecuația dreptei (x= -3 și y=9 - în primul caz, x=2 și y= -1 - în al doilea), obținem un sistem de ecuații din care găsim valorile lui k și b:
Adunând ecuațiile 1 și 2 termen cu termen, obținem: -10=5k, de unde k= -2. Înlocuind k= -2 în a doua ecuație, găsim b: -1=2·(-2)+b, b=3.
Astfel, y= -2x+3 este ecuația necesară.
Metoda 2 - să creăm o ecuație generală a unei linii drepte.
Ecuația generală a unei drepte are forma . Înlocuind coordonatele punctelor A și B în ecuație, obținem sistemul:
Din moment ce numărul de necunoscute mai multa cantitate ecuații, sistemul nu este rezolvabil. Dar toate variabilele pot fi exprimate printr-o singură. De exemplu, prin b.
Înmulțind prima ecuație a sistemului cu -1 și adunând termen cu termen cu a doua:
obținem: 5a-10b=0. Prin urmare a=2b.
Să substituim expresia rezultată în a doua ecuație: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Înlocuiți a=2b, c= -3b în ecuația ax+by+c=0:
2bx+de-3b=0. Rămâne să împărțim ambele părți la b:
Ecuația generală a unei linii drepte poate fi ușor redusă la ecuația unei drepte cu o pantă:
Metoda 3 - creați o ecuație a unei linii drepte care trece prin 2 puncte.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte este:
Să substituim coordonatele punctelor A(-3; 9) și B(2;-1) în această ecuație
(adică x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):
si simplifica:
de unde 2x+y-3=0.
ÎN curs şcolar Ecuația unei drepte cu coeficient de pantă este folosită cel mai des. Dar cel mai simplu mod este să derivați și să utilizați formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte.
Cometariu.
Dacă, la înlocuirea coordonatelor punctelor date, unul dintre numitorii ecuației
se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația necesară este obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.
Exemplul 2.
Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin două puncte C(5; -2) și D(7;-2).
Inlocuim coordonatele punctelor C si D in ecuatia unei drepte care trece prin 2 puncte.
Să fie date două puncte M 1 (x 1,y 1)Și M 2 (x 2,y 2). Să scriem ecuația dreptei sub forma (5), unde k coeficient încă necunoscut:
De la punctul M 2 aparține unei linii date, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuația (5): . Exprimând de aici și substituind-o în ecuația (5), obținem ecuația necesară:
Dacă 
această ecuație poate fi rescrisă într-o formă care este mai convenabilă pentru memorare:
(6)
Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 (1,2) și M 2 (-2,3)
Soluţie. 
. Folosind proprietatea proporției și efectuând transformările necesare, obținem ecuația generală a unei drepte:
Unghiul dintre două linii drepte
Luați în considerare două linii drepte l 1Și l 2:
l 1: , , Și
l 2: , ,
φ este unghiul dintre ele (). Din fig. 4 reiese clar: .
 |
De aici 
, sau
Folosind formula (7) puteți determina unul dintre unghiurile dintre liniile drepte. Al doilea unghi este egal cu .
Exemplu. Două drepte sunt date de ecuațiile y=2x+3 și y=-3x+2. găsiți unghiul dintre aceste drepte.
Soluţie. Din ecuații este clar că k 1 =2 și k 2 =-3. Înlocuind aceste valori în formula (7), găsim
. Astfel, unghiul dintre aceste drepte este egal cu .
Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte
Dacă drept l 1Și l 2 sunt paralele, atunci φ=0 Și tgφ=0. din formula (7) rezultă că , de unde k 2 = k 1. Astfel, condiția pentru paralelismul a două drepte este egalitatea coeficienților lor unghiulari.
Dacă drept l 1Și l 2 sunt perpendiculare, atunci φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Astfel, condiția pentru perpendicularitatea a două drepte este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn.
Distanța de la punct la linie
Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca
Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:
Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:
A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.
Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
apoi, rezolvand, obtinem:
Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.
Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.
Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.
Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.
Găsim ecuația laturii AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.
k= . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, atunci coordonatele acestuia satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .
Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.
Distanța de la un punct la o linie este determinată de lungimea perpendicularei trasate de la punct la linie.
Dacă linia este paralelă cu planul de proiecție (h | | P 1), apoi pentru a determina distanța de la punct A la o linie dreaptă h este necesară coborârea unei perpendiculare dintr-un punct A la orizontală h.
Să luăm în considerare mai multe exemplu complex, când linia dreaptă ia pozitia generala. Să fie necesar să se determine distanța de la un punct M la o linie dreaptă A pozitia generala.
Sarcina de determinare distanțe dintre liniile paralele se rezolvă în mod similar cu cea precedentă. Un punct este luat pe o dreaptă și o perpendiculară este aruncată de pe o altă dreaptă. Lungimea unei perpendiculare este egală cu distanța dintre liniile paralele.
Curba de ordinul doi numită linie definită de o ecuație de gradul doi în raport cu curentul coordonate carteziene. În cazul general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
unde A, B, C, D, E, F – numere realeși cel puțin unul dintre numerele A 2 +B 2 +C 2 ≠0.
Cerc
Centrul cercului– acesta este locul geometric al punctelor din plan echidistant de un punct din planul C(a,b).
Cercul este dat de următoarea ecuație:
Unde x,y sunt coordonatele unui punct arbitrar de pe cerc, R este raza cercului.
Semnul ecuației unui cerc
1. Lipsește termenul cu x, y
2. Coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali
Elipsă
Elipsă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre care de la două puncte date ale acestui plan se numește focare (o valoare constantă).
Ecuație canonică elipsă:
X și y aparțin elipsei.
a – semiaxa mare a elipsei
b – semiaxa minoră a elipsei
Elipsa are 2 axe de simetrie OX și OU. Axele de simetrie ale unei elipse sunt axele sale, punctul de intersecție a acestora este centrul elipsei. Se numește axa pe care se află focarele axa focală. Punctul de intersecție al elipsei cu axele este vârful elipsei.
Raport de compresie (tensiune): ε = s/a– excentricitatea (caracterizează forma elipsei), cu cât este mai mică, cu atât elipsa este mai puțin extinsă de-a lungul axei focale.
Dacă centrele elipsei nu sunt în centrul C(α, β)
Hiperbolă
Hiperbolă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, valoare absolută diferențele de distanțe, fiecare din două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă diferită de zero.
Ecuația canonică a hiperbolei
O hiperbola are 2 axe de simetrie:
a – semiaxa reală de simetrie
b – semiaxa imaginară de simetrie
Asimptotele unei hiperbole:
Parabolă
Parabolă este locul punctelor din plan echidistant de un punct dat F, numit focar, și de o dreaptă dată, numită directrice.
Ecuația canonică a unei parabole:
У 2 =2рх, unde р este distanța de la focalizare la directrice (parametrul parabolă)
Dacă vârful parabolei este C (α, β), atunci ecuația parabolei (y-β) 2 = 2р(x-α)
Dacă axa focală este luată ca axa ordonatelor, atunci ecuația parabolei va lua forma: x 2 =2qу
