eseuri. Rezumate. Rapoarte
Eşti aici: » »

Cum se rezolvă ecuațiile de gradul 4. Ecuația gradului al patrulea. Rezolvarea ecuațiilor biquadratice de gradul al patrulea

2. Ecuație Dacă o egalitate include o literă, atunci egalitatea se numește ecuație.
Ecuația poate fi adevărată pentru unele valori ale acestei scrisori
și incorectă pentru celelalte semnificații ale sale.

De exemplu, ecuația x + 6 = 7
adevărat pentru x = 1
și fals pentru x = 2.

3. Ecuații echivalente Ecuația liniară este ax + by + c = 0.
De exemplu: 5x – 4y + 6 = 0.
Să exprimăm y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =

5x+6
4

⇒ y = 1,25x + 1,5.
Ecuația rezultată, echivalentă cu prima, are forma
y = kx + m,
unde: x - variabilă independentă (argument);
y - variabilă dependentă (funcție);
k și m sunt coeficienți (parametri).

4 Ecuații echivalente

Cele două ecuații sunt numite echivalent (echivalent), dacă mulțimile tuturor soluțiilor lor coincid sau ambele nu au soluții și notează .

5/Ecuația de gradul I.

Ecuația de gradul întâi poate fi redusă la forma:

topor+b = 0,

Unde x- variabilă, oŞi b– câteva numere și o ≠ 0.

De aici este ușor să obținem valoarea x:

b
x = – -
o

Acesta este sensul x este rădăcina ecuației.

Ecuațiile de gradul întâi au o singură rădăcină.

Ecuația de gradul doi.

Ecuația de gradul doi poate fi redusă la forma:

ax 2 + bx + c = 0,

Unde x- variabilă, a, b, c– câteva numere și o ≠ 0.

Numărul de rădăcini ale ecuației de gradul doi depinde de discriminant:

Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini;

Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină;

Daca D< 0, то уравнение корней не имеет.

O ecuație de gradul doi nu poate avea mai mult de două rădăcini.

(despre ce este un discriminant și cum să găsiți rădăcinile unei ecuații, consultați secțiunile „Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Discriminant” și „O altă modalitate de a rezolva o ecuație pătratică”).

Ecuația de gradul trei.

Ecuația de gradul trei poate fi redusă la forma:

topor 3 + bx 2 + cx + d = 0,

Unde x- variabilă, a, b, c, d– câteva numere și o ≠ 0.

O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de trei rădăcini.

Ecuația gradului al patrulea.

Ecuația de gradul al patrulea poate fi redusă la forma:

topor 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

Unde x- variabilă, a, b, c, d, e– câteva numere și o ≠ 0.

O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de patru rădăcini.

Rezumat:

1) ecuația a cincea, a șasea etc. grade pot fi obținute cu ușurință independent, urmând diagrama de mai sus;


2) ecuația n- gradul nu mai poate avea n rădăcini.

6/O ecuație cu o variabilă este o egalitate care conține o singură variabilă. Rădăcina (sau soluția) unei ecuații este valoarea variabilei la care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată.

1. 8/-11/Sisteme ecuații liniare: concepte de bază Sistem de ecuații liniare.

Sisteme inconsistente și nedefinite de ecuații liniare. Set de ecuații liniare.

Sistem de ecuații liniare este o uniune a n ecuații liniare, fiecare dintre ele conține k variabile. Este scris astfel:

Mulți, când întâlnesc algebră superioară pentru prima dată, cred în mod eronat că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de variabile. În algebra școlară acest lucru se întâmplă de obicei, dar pentru algebra superioară acest lucru nu este, în general, adevărat.

Rezolvarea unui sistem de ecuații este o succesiune de numere ( k 1 , k 2 , ..., k n), care este soluția fiecărei ecuații a sistemului, adică când se substituie în această ecuație în loc de variabile x 1 , x 2 , ..., x n dă egalitatea numerică corectă.

În consecință, rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale sau demonstrarea că această mulțime este goală. Deoarece numărul de ecuații și numărul de necunoscute pot să nu coincidă, sunt posibile trei cazuri:

1. Sistemul este inconsecvent, adică setul tuturor soluțiilor este gol. Un caz destul de rar care este ușor de detectat indiferent de metoda folosită pentru a rezolva sistemul.

2. Sistemul este consistent și definit, adică are exact o solutie. Varianta clasică, cunoscută încă de la școală.

3. Sistemul este consistent și nedefinit, adică are o infinitate de solutii. Aceasta este cea mai grea varianta. Nu este suficient să indicați că „sistemul are un set infinit de soluții” - este necesar să descriem modul în care este structurat acest set.

Variabilă x i numit permis, dacă este inclus într-o singură ecuație a sistemului, și cu un coeficient de 1. Cu alte cuvinte, în ecuațiile rămase coeficientul variabilei x i trebuie să fie egal cu zero.

Dacă selectăm o variabilă permisă în fiecare ecuație, obținem un set de variabile permise pentru întregul sistem de ecuații. Sistemul în sine, scris în această formă, va fi numit și rezolvat. În general, unul și același sistem original poate fi redus la altele permise diferite, dar deocamdată nu ne preocupă acest lucru. Iată exemple de sisteme permise:

Ambele sisteme sunt rezolvate variabil x 1 , x 3 și x 4. Totuși, cu același succes se poate argumenta că al doilea sistem este permis relativ x 1 , x 3 și x 5. Este suficient să rescrieți ultima ecuație în formă x 5 = x 4 .

Acum să luăm în considerare un caz mai general. Să avem totul k variabile, dintre care r sunt permise. Atunci sunt posibile două cazuri:

1. Numărul de variabile permise r egal cu numărul total de variabile k: r = k. Obținem sistemul de la k ecuaţii în care r = k variabile permise. Un astfel de sistem este comun și definit, pentru că x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k;

2. Numărul de variabile permise r mai mic decât numărul total de variabile k: r < k. Restul ( k − r) variabilele sunt numite libere - pot lua orice valoare, din care variabilele permise pot fi calculate cu ușurință.

Deci, în sistemele de mai sus variabilele x 2 , x 5 , x 6 (pentru primul sistem) și x 2 , x 5 (pentru al doilea) sunt gratuite. Cazul în care există variabile libere este mai bine formulat ca o teoremă:

Vă rugăm să rețineți: acest lucru este foarte punct important! În funcție de modul în care scrieți sistemul rezultat, aceeași variabilă poate fi fie permisă, fie liberă. Majoritatea profesorilor superiori de matematică recomandă să scrieți variabilele în ordine lexicografică, de exemplu. indice ascendent. Cu toate acestea, nu aveți nicio obligație să urmați acest sfat.

Teorema. Dacă sistemul este de la n variabilele ecuației x 1 , x 2 , ..., x r- permis și x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- gratuit, atunci:

1. Dacă setați valorile variabilelor libere ( x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), apoi găsiți valorile x 1 , x 2 , ..., x r, obținem una dintre soluții.

2. Dacă în două soluții coincid valorile variabilelor libere, atunci coincid și valorile variabilelor permise, adică. solutiile sunt egale.

Care este sensul acestei teoreme? Pentru a obține toate soluțiile unui sistem de ecuații rezolvat, este suficient să izolați variabilele libere. Apoi, atribuind diferite valori variabilelor libere, vom obține soluții gata făcute. Asta e tot - în acest fel poți obține toate soluțiile sistemului. Nu există alte soluții.

Concluzie: sistemul de ecuații rezolvat este întotdeauna consistent. Dacă numărul de ecuații dintr-un sistem rezolvat este egal cu numărul de variabile, sistemul va fi definit dacă este mai mic, va fi nedefinit.

Se formează mai multe ecuații Set de ecuații

2. 12,13/ Inegalitatea liniară./ Inegalități stricte și nestrictive Ce este inegalitate? Se ia orice ecuație, semnul „=" („egal”) este înlocuit cu un alt semn ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) și se obține o inegalitate.) Ecuația poate fi orice: liniară, pătratică, fracțională, exponențială, trigonometrică, logaritmică etc. etc. În consecință, inegalitățile noastre vor fi liniare, pătratice etc.

Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități cu pictograma Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mare sau egal cu (≥ ), mai mic sau egal cu (≤ ) sunt numite nu strict. Pictogramă nu egali (≠ ) se deosebește, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu această pictogramă. Și vom decide.)

Pictograma în sine nu are o influență prea mare asupra procesului de soluție. Dar la finalul deciziei, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! Aceasta este ceea ce vom vedea mai jos în exemple. Sunt niste glume acolo...

Inegalitățile, ca și egalitățile, există credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este o inegalitate adevărată. 5 < 2 - incorect.

Inegalitățile liniare, pătratice, fracționale, exponențiale, trigonometrice și alte inegalități sunt rezolvate în moduri diferite. Fiecare tip are propria sa metodă, propria sa tehnică specială. Dar! Toate aceste tehnici speciale pot fi folosite numai cuiva vedere standard inegalităților. Aceste. inegalitatea de orice fel trebuie mai întâi pregăti să-ți folosești metoda.

3. 14,16/Proprietățile de bază ale inegalităților/. Acțiuni cu două inegalități.

1) Dacă

2) Proprietatea tranzitivității. Dacă

3) Dacă adăugați același număr la ambele părți ale unei inegalități adevărate, obțineți o inegalitate adevărată, i.e. Dacă

4) Dacă transferăm orice termen dintr-o parte a unei inegalități adevărate în alta, schimbându-i semnul în opus, atunci obținem o inegalitate adevărată, i.e. Dacă

5) Dacă ambele părți ale unei inegalități adevărate sunt înmulțite cu același număr pozitiv, obțineți o inegalitate adevărată. De exemplu, dacă

6) Dacă ambele părți ale unei inegalități adevărate sunt înmulțite cu același număr negativ și schimba semnul de inegalitate dimpotrivă, rezultatul este o adevărată inegalitate. De exemplu, dacă

7) Similar regulilor 5) și 6), se aplică regulile de împărțire la același număr. Dacă

Soluția Descartes-Euler

După ce am făcut înlocuirea, obținem o ecuație sub următoarea formă (se numește „incompletă”):

y 4 + py 2 + qy + r = 0 .

Rădăcini y 1 , y 2 , y 3 , y 4 dintr-o astfel de ecuație sunt egale cu una dintre următoarele expresii:

în care combinațiile de caractere sunt selectate astfel încât să fie satisfăcută următoarea relație:

,

şi z 1 , z 2 și z 3 sunt rădăcini ecuația cubică

Soluția Ferrari

Articolul principal: metoda Ferrari

Să reprezentăm ecuația de gradul al patrulea sub forma:

Ox 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,

Soluția sa poate fi găsită din următoarele expresii:

dacă β = 0, se rezolvă u 4 + α u 2 + γ = 0și, efectuarea înlocuirii , să găsim rădăcinile: . , (orice semn rădăcină pătrată va face), (trei rădăcini complexe, dintre care una va face) Doi ± s trebuie să aibă același semn, ± t - sunt independenți. Pentru a găsi toate rădăcinile, trebuie să găsiți x pentru combinațiile cu semne ± s ,± t = +,+ pentru +,− pentru −,+ pentru −,−. Rădăcinile duble vor apărea de două ori, rădăcinile triple de trei ori și rădăcinile cuaternare de patru ori. Ordinea rădăcinilor depinde de ce rădăcină cubă U selectat.

Vezi de asemenea

  • Tipuri de ecuații de gradul 4 ușor de rezolvat: ecuație biquadratică, ecuație reciprocă de gradul al patrulea

Literatură

  • Korn G., Korn T. (1974) Manual de matematică.

Legături

  • Decizia lui Ferrari

Fundația Wikimedia.

2010.

Obiective:

  1. Sistematizați și generalizați cunoștințele și abilitățile pe tema: Rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV.
  2. Aprofundați-vă cunoștințele prin finalizarea unui număr de sarcini, dintre care unele nu sunt familiare nici ca tip sau metoda de soluție.
  3. Formarea interesului pentru matematică prin studiul unor noi capitole de matematică, cultivarea unei culturi grafice prin construirea de grafice de ecuații.

Tipul de lecție: combinat.

Echipament: proiector grafic.

Vizibilitate: tabelul „Teorema lui Viete”.

Progresul lecției

1. Numărarea orală

a) Care este restul împărțirii polinomului p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 cu binomul x-a?

b) Câte rădăcini poate avea o ecuație cubică?

c) Cum rezolvăm ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea?

d) Dacă b număr parîntr-o ecuație pătratică, ceea ce este egal cu D și x 1;

2. Munca independentă(în grupuri)

Scrieți o ecuație dacă rădăcinile sunt cunoscute (răspunsurile la sarcini sunt codificate) se folosește „Teorema lui Vieta”

1 grup

Rădăcini: x 1 = 1; x2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Alcătuiți o ecuație:

B=1-2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(această ecuație este apoi rezolvată de grupul 2 de pe tablă)

Soluţie . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Numărul 1 satisface ecuația, prin urmare =1 este rădăcina ecuației. Conform schemei lui Horner

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 = -3, x 4 =6

Răspuns: 1;-2;-3;6 suma rădăcinilor 2 (P)

a 2-a grupă

Rădăcini: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Alcătuiți o ecuație:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (grupa 3 rezolvă această ecuație pe tablă)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 =5

Răspuns: -1;2;2;5 suma rădăcinilor 8(P)

3 grupa

Rădăcini: x 1 = -1; x2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Alcătuiți o ecuație:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(grupul 4 rezolvă această ecuație mai târziu pe tablă)

Soluţie. Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului 6.

р = ±1;±2;±3;±6

p4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Răspuns: -1;1;-2;3 Suma rădăcinilor 1(O)

4 grupa

Rădăcini: x 1 = -2; x2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Alcătuiți o ecuație:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(această ecuație este apoi rezolvată de grupa 5 de pe tablă)

Soluţie. Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului -36

р = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Răspuns: -2; -2; -3; 3 Suma rădăcinilor-4 (F)

5 grupa

Rădăcini: x 1 = -1; x2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Scrieți o ecuație

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(această ecuație este apoi rezolvată de grupa 6 de pe tablă)

Soluţie . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului 24.

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Raspuns: -1;-2;-3;-4 suma-10 (I)

6 grupa

Rădăcini: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Scrieți o ecuație

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24=-43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (această ecuație este apoi rezolvată de grupul 1 de pe tablă)

Soluţie . Căutăm rădăcini întregi printre divizorii numărului -24.

p4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Raspuns: 1;1;-3;8 suma 7 (L)

3. Rezolvarea ecuațiilor cu un parametru

1. Rezolvați ecuația x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; dacă una dintre rădăcini este egală cu (-1)

Scrieți răspunsul în ordine crescătoare

R=P3(-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

După condiția x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Răspuns: - 1 -5; 3

În ordine crescătoare: -5;-1;3. (b N S)

2. Aflați toate rădăcinile polinomului x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, dacă resturile din împărțirea lui în binoamele x-1 și x +2 sunt egale.

Rezolvare: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Scrieți o ecuație

1 grup. Rădăcini: -4; -2; 1; 7;

a 2-a grupă. Rădăcini: -3; -2; 1; 2;

3 grupa. Rădăcini: -1; 2; 6; 10;

4 grupa. Rădăcini: -3; 2; 2; 5;

5 grupa. Rădăcini: -5; -2; 2; 4;

6 grupa. Rădăcini: -8; -2; 6; 7.

Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.

Produsul unui număr o apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale – sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem să renunțăm la baza și să le echivalăm puterile.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreaptă bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să convertim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă x.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Prin urmare,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti pune intrebari de interes in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

La scurt timp după ce Cardano a publicat o metodă de rezolvare a ecuațiilor cubice, studenții și adepții săi au găsit modalități de a reduce ecuația generală de gradul al patrulea la o ecuație cubică. Să prezentăm cea mai simplă metodă, care îi aparține lui L. Ferrari.

Când prezentați metoda, va trebui să utilizați următoarea lemă elementară.

Lema. Pentru a trinom pătratic a fost pătratul unui binom liniar, este necesar și suficient ca discriminantul acestuia să fie egal cu zero.

Dovada. Necesitate. Lasă . Apoi Suficiență. Lasă Atunci

Ideea metodei prezentate este de a prezenta partea stângă a ecuației ca diferență a două pătrate. Apoi poate fi descompus în doi factori de gradul doi, iar soluția ecuației va duce la rezolvarea a doi ecuații pătratice. Pentru a atinge scopul, să reprezentăm partea stângă sub forma:

Aici y este o necunoscută auxiliară, care trebuie selectată astfel încât expresia dintre paranteze pătrate să se dovedească a fi pătratul unui binom liniar. În virtutea lemei, pentru aceasta este necesară și suficientă satisfacerea condiției

Această condiție este o ecuație de gradul trei în raport cu y. După deschiderea parantezelor, acesta este convertit în formular

Fie una dintre rădăcinile acestei ecuații. Atunci condiția va fi îndeplinită, așa că este valabilă

pentru unele k și I. Ecuația inițială ia forma

Echivalând fiecare dintre factori cu zero, vom găsi cele patru rădăcini ale ecuației inițiale.

Să mai facem o remarcă. Fie rădăcinile primului factor și fie rădăcinile celui de-al doilea. Apoi, adăugând aceste egalități, obținem asta

Astfel, am obținut o expresie pentru rădăcina ecuației cubice auxiliare în termeni de rădăcini ale ecuației originale de gradul al patrulea.

Exemplu. Rezolvați ecuația. Conform metodei prezentate mai sus, transformăm partea stângă:

Acum să punem. După formații obținem ecuația

Este ușor de observat că una dintre rădăcinile acestei ecuații este numărul . Înlocuind-o în partea stângă transformată a ecuației originale, obținem:

Echivalând factorii cu zero, obținem

În ceea ce privește ecuațiile mai mari decât gradul al patrulea, erau cunoscute unele clase de ecuații de o formă relativ particulară, admițând soluții algebriceîn radicali, adică sub forma rezultatelor operațiilor aritmetice și a acțiunii de extragere a rădăcinii. Cu toate acestea, încearcă să ofere o soluție ecuații generale gradul al cincilea și mai sus au fost nereușite, până, în cele din urmă, la începutul secolului al XIX-lea. Ruffini și Abel nu au demonstrat că o soluție de acest fel pentru ecuațiile generale de peste gradul al patrulea este imposibilă. În cele din urmă, în 1830, genialul matematician francez E. Galois a reușit să găsească necesarul și conditii suficiente(care sunt destul de greu de verificat) pentru solvabilitatea unei anumite ecuații în radicali. În același timp, Galois a creat și folosit teoria grupurilor de permutare, care era nouă pentru vremea lui.




Titlu: Tolstoi L.N.
Distribuie