Un pendul cu arc este un punct material cu o masă atașată de un arc absolut elastic fără greutate, cu o rigiditate 
. Există două cazuri cele mai simple: orizontal (Fig. 15, A) și verticală (Fig. 15, b) pendulelor.
A)
Pendul orizontal(Fig. 15, a). Când sarcina se mișcă 
din pozitia de echilibru 
prin suma 
acţionează asupra ei în direcţie orizontală restabilirea forței elastice
(Legea lui Hooke).
Se presupune că suportul orizontal de-a lungul căruia alunecă sarcina 
în timpul vibrațiilor sale, este absolut netedă (fără frecare).
b) Pendul vertical(Fig. 15, b). Poziția de echilibru în acest caz este caracterizată de condiția:
Unde 
- mărimea forţei elastice care acţionează asupra sarcinii 
când arcul este întins static de 
sub influența gravitației sarcinii 
.
|
A |
|
Fig. 15. Pendul cu arc: A– orizontală și b– verticală
Dacă întindeți arcul și eliberați sarcina, acesta va începe să oscileze vertical. Dacă deplasarea la un moment dat în timp este 
,
atunci forța elastică se va scrie acum ca 
.
În ambele cazuri luate în considerare, pendulul cu arc efectuează oscilații armonice cu o perioadă
(27)
și frecvența ciclică
.
(28)
Folosind exemplul unui pendul cu arc, putem concluziona că oscilațiile armonice sunt mișcări cauzate de o forță care crește proporțional cu deplasarea 
. Prin urmare, dacă forța de restabilire seamănă cu legea lui Hooke
(ea a primit numeleforță cvasielastică
), atunci sistemul trebuie să efectueze oscilații armonice.În momentul depășirii poziției de echilibru, asupra corpului nu acționează nicio forță de restabilire; totuși, corpul, prin inerție, trece de poziția de echilibru, iar forța de restabilire își schimbă direcția în sens opus.
Pendul de matematică
Fig. 16. Pendul de matematică
, care face mici oscilații sub influența gravitației (Fig. 16).
Oscilații ale unui astfel de pendul la unghiuri mici de deviere 
(care nu depășește 5º) poate fi considerată armonică, iar frecvența ciclică a unui pendul matematic:
,
(29)
si perioada:
.
(30)
2.3. Energia corpului în timpul oscilațiilor armonice
Energia transmisă sistemului oscilator în timpul împingerii inițiale va fi transformată periodic: energia potențială a arcului deformat se va transforma în energia cinetică a sarcinii în mișcare și înapoi.
Lăsați pendulul cu arc să efectueze oscilații armonice cu faza inițială 
, adică 
(Fig. 17).
Fig. 17. Legea conservării energiei mecanice
când un pendul arc oscilează
La abaterea maximă a sarcinii de la poziția de echilibru, energia mecanică totală a pendulului (energia unui arc deformat cu o rigiditate). 
) este egal cu 
. La trecerea de poziția de echilibru ( 
) energia potențială a arcului va deveni egală cu zero, iar energia mecanică totală a sistemului oscilator va fi determinată ca 
.
Figura 18 prezintă grafice ale dependențelor energiei cinetice, potențiale și totale în cazurile în care vibrațiile armonice sunt descrise prin funcții trigonometrice sinus (linie întreruptă) sau cosinus (linie continuă).
Fig. 18. Grafice ale dependenței de timp a cineticii
și energia potențială în timpul oscilațiilor armonice
Din grafice (Fig. 18) rezultă că frecvența modificării energiei cinetice și potențiale este de două ori mai mare decât frecvența naturală a oscilațiilor armonice.
Definiția 1
Vibrațiile libere pot apărea sub influența forțelor interne numai după ce întregul sistem este scos din poziția de echilibru.
Pentru ca oscilațiile să apară conform legii armonice, este necesar ca forța de întoarcere a corpului în poziția de echilibru să fie proporțională cu deplasarea corpului din poziția de echilibru și îndreptată în direcția opusă deplasării.
F (t) = m a (t) = - m ω 2 x (t) .
Relația spune că ω este frecvența unei oscilații armonice. Această proprietate este caracteristică forței elastice în limitele de aplicabilitate ale legii lui Hooke:
F y p r = - k x .
Definiția 2
Se numesc forțe de orice natură care satisfac condiția cvasielastică.
Adică, o sarcină cu masa m atașată la un arc de rigiditate k cu un capăt fix, prezentat în figura 2. 2. 1, constituie un sistem capabil să efectueze vibrații libere armonice în absența frecării.
Definiția 3
O greutate plasată pe un arc se numește oscilator armonic liniar.
Desen 2 . 2 . 1 . Oscilațiile unei sarcini pe un arc. Nu există frecare.
Frecvența circulară
Frecvența circulară ω 0 se găsește prin aplicarea formulei celei de-a doua legi a lui Newton:
m a = - k x = m ω 0 2 x .
Deci obținem:
Definiția 4
Se numește frecvența ω 0 frecvența naturală a sistemului oscilator.
Perioada de oscilații armonice a sarcinii pe arcul T este determinată din formula:
T = 2 π ω 0 = 2 π m k .
Dispunerea orizontală a sistemului de sarcină cu arc, forța gravitațională este compensată de forța de reacție a suportului. Când atârnați o sarcină de un arc, direcția gravitației merge de-a lungul liniei de mișcare a sarcinii. Poziția de echilibru a arcului întins este egală cu:
x 0 = m g k , în timp ce oscilațiile apar în jurul unei noi stări de echilibru. Sunt valabile formulele pentru frecvența naturală ω 0 și perioada de oscilație T din expresiile de mai sus.
Definiția 5
Având în vedere legătura matematică existentă între accelerația corpului a și coordonata x, comportamentul sistemului oscilator este caracterizat printr-o descriere strictă: accelerația este derivata a doua a coordonatei corpului x în raport cu timpul t:
Descrierea celei de-a doua legi a lui Newton cu o sarcină pe un arc va fi scrisă astfel:
m a - m x = - k x, sau x ¨ + ω 0 2 x = 0, unde frecvența liberă ω 0 2 = k m.
Dacă sistemele fizice depind de formula x ¨ + ω 0 2 x = 0, atunci ele sunt capabile să efectueze mișcări armonice oscilatorii libere cu amplitudini diferite. Acest lucru este posibil deoarece se utilizează x = x m cos (ω t + φ 0).
Definiția 6Se numește o ecuație de forma x ¨ + ω 0 2 x = 0 ecuații ale vibrațiilor libere. Proprietățile lor fizice pot determina doar frecvența naturală a oscilațiilor ω 0 sau perioada T.
Amplitudinea x m și faza inițială φ 0 se găsesc folosind o metodă care le-a scos din starea de echilibru a momentului inițial de timp.
Exemplul 1
În prezenţa unei sarcini deplasate din poziţia de echilibru la o distanţă ∆ l şi un moment de timp egal cu t = 0, aceasta se coboară fără o viteză iniţială. Atunci x m = ∆ l, φ 0 = 0. Dacă sarcina era într-o poziție de echilibru, atunci viteza inițială ± υ 0 este transmisă în timpul împingerii, deci x m = m k υ 0, φ 0 = ± π 2.
Amplitudinea x m cu faza inițială φ 0 este determinată de prezența condițiilor inițiale.
Figura 2. 2. 2. Model de oscilații libere ale unei sarcini pe un arc.
Sistemele oscilatorii mecanice se disting prin prezența forțelor elastice de deformare în fiecare dintre ele. Figura 2. 2. 2 prezintă analogul unghiular al unui oscilator armonic care efectuează oscilații de torsiune. Discul este poziționat orizontal și atârnă de un fir elastic atașat de centrul său de masă. Dacă este rotită printr-un unghi θ, atunci apare un moment de forță de deformare elastică de torsiune M y p p:
M y p r = - x θ .
Această expresie nu corespunde legii lui Hooke pentru deformarea de torsiune. Valoarea x este similară cu rigiditatea arcului k. Înregistrarea celei de-a doua legi a lui Newton pentru mișcarea de rotație a unui disc ia forma
I ε = M y p p = - x θ sau I θ ¨ = - x θ, unde momentul de inerție este notat cu I = IC, iar ε este accelerația unghiulară.
Similar cu formula pendulului cu arc:
ω 0 = x I , T = 2 π I x .
Utilizarea unui pendul de torsiune este observată la ceasurile mecanice. Se numește echilibru, în care momentul forțelor elastice este creat cu ajutorul unui arc spiralat.
Figura 2. 2. 3. Pendul de torsiune.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Scopul lucrării. Familiarizați-vă cu principalele caracteristici ale vibrațiilor mecanice libere neamortizate și amortizate.
Sarcină. Determinați perioada oscilațiilor naturale ale pendulului cu arc; verificați liniaritatea dependenței pătratului perioadei de masă; determinați rigiditatea arcului; determinați perioada oscilațiilor amortizate și decrementul de amortizare logaritmică a unui pendul cu arc.
Dispozitive și accesorii. Un trepied cu cântar, un arc, un set de greutăți de diferite greutăți, un vas cu apă, un cronometru.
1. Oscilații libere ale unui pendul cu arc. Informații generale
Oscilațiile sunt procese în care una sau mai multe mărimi fizice care descriu aceste procese se modifică periodic. Oscilațiile pot fi descrise prin diferite funcții periodice ale timpului. Cele mai simple oscilații sunt oscilațiile armonice - astfel de oscilații în care mărimea oscilante (de exemplu, deplasarea unei sarcini pe un arc) se modifică în timp conform legii cosinusului sau sinusului. Oscilațiile care apar după acțiunea unei forțe externe de scurtă durată asupra sistemului se numesc libere.
Dacă sarcina este îndepărtată din poziţia de echilibru prin deformare cu o cantitate X, atunci forta elastica creste: F Control = – kx 2= – k(X 1 + X). Ajunsă în poziția de echilibru, sarcina va avea o viteză diferită de zero și va trece prin inerție de poziția de echilibru. Pe măsură ce mișcarea continuă, abaterea de la poziția de echilibru va crește, ceea ce va duce la o creștere a forței elastice, iar procesul se va repeta în sens invers. Astfel, mișcarea oscilativă a sistemului se datorează a două motive: 1) dorinței corpului de a reveni la poziția de echilibru și 2) inerției, care nu permite corpului să se oprească instantaneu în poziția de echilibru. În absența forțelor de frecare, oscilațiile ar continua la nesfârșit. Prezența forțelor de frecare duce la faptul că o parte din energia de oscilație se transformă în energie internă, iar oscilațiile se sting treptat. Astfel de oscilații se numesc amortizate.
Oscilații libere neamortizate
În primul rând, să luăm în considerare oscilațiile unui pendul cu arc, care nu este afectat de forțele de frecare - oscilații libere neamortizate. Conform celei de-a doua legi a lui Newton, luând în considerare semnele proiecțiilor pe axa X
Din starea de echilibru, deplasarea cauzată de gravitație: . Înlocuind în ecuația (1), obținem: Ecuația diferențială" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">
https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">. (3)
Această ecuație se numește ecuație armonică. Cea mai mare abatere a sarcinii de la poziția de echilibru A 0 numită amplitudinea oscilaţiilor. Se numește mărimea din argumentul cosinus faza de oscilatie. Constanta φ0 reprezintă valoarea fazei la momentul inițial ( t= 0) și se numește faza iniţială a oscilaţiilor. Magnitudinea
este circular sau ciclic? frecventa naturalaîn legătură cu perioada de oscilatie T raport https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">. (5)
Oscilații amortizate
Să considerăm oscilațiile libere ale unui pendul cu arc în prezența forței de frecare (oscilații amortizate). În cel mai simplu și în același timp cel mai comun caz, forța de frecare este proporțională cu viteza υ miscari:
Ftr = – ru, (6)
Unde r– o constantă numită coeficient de rezistență. Semnul minus arată că forța de frecare și viteza sunt în direcții opuse. Ecuația celei de-a doua legi a lui Newton în proiecție pe axa X în prezența forței elastice și a forței de frecare
ma = – kx – ru. (7)
Această ecuație diferențială ținând cont υ = dx/ dt poate fi notat
https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – coeficient de atenuare; – frecvența ciclică a oscilațiilor libere neamortizate ale unui sistem oscilator dat, adică în absența pierderilor de energie (β = 0). Ecuația (8) se numește ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate.
Pentru a obține dependența de deplasare X din timp t, este necesar să se rezolve ecuația diferențială (8)..gif" width="172" height="27">, (9)
Unde A 0 și φ0 – amplitudinea inițială și faza inițială a oscilațiilor; 
– frecvența ciclică a oscilațiilor amortizate la ω >> https://pandia.ru/text/77/494/images/image019_12.gif" width="96" height="27 src=">. (10)
Pe graficul funcției (9), Fig. 2, liniile punctate arată modificarea amplitudinii (10) a oscilațiilor amortizate.
Orez. 2. Dependența de deplasare Xîncărcă din când în când tîn prezența forței de frecare
Pentru a caracteriza cantitativ gradul de atenuare a oscilațiilor, se introduce o valoare egală cu raportul amplitudinilor care diferă cu o perioadă și se numește scăderea amortizarii:
. (11)
Este adesea folosit logaritmul natural al acestei cantități. Acest parametru este numit scădere logaritmică de amortizare:
Amplitudinea scade în n ori, apoi din ecuația (10) rezultă că
De aici obținem expresia pentru decrementul logaritmic
Dacă în timpul timpului t" amplitudinea scade în e o singura data ( e= 2,71 – baza logaritmului natural), atunci sistemul va avea timp să completeze numărul de oscilații
Orez. 3. Schema de instalare
Instalația constă dintr-un trepied 1 cu scara de masura 2 . La un trepied cu arc 3 sarcinile sunt suspendate 4 de diverse mase. Când se studiază oscilațiile amortizate în sarcina 2, se folosește un inel pentru a îmbunătăți amortizarea 5 , care se pune într-un recipient transparent 6 cu apă.
În sarcina 1 (efectuată fără vas cu apă și inel), la o primă aproximare, amortizarea oscilațiilor poate fi neglijată și considerată armonică. După cum rezultă din formula (5) pentru oscilațiile armonice, dependența T 2 = f (m) – liniar, din care se poate determina coeficientul de rigiditate a arcului k conform formulei
unde este panta dreptei T 2 din m.
Exercitiul 1. Determinarea dependenței perioadei de oscilații naturale a unui pendul cu arc de masa sarcinii.
1. Determinați perioada de oscilație a pendulului cu arc la diferite valori ale masei sarcinii m. Pentru a face acest lucru, utilizați un cronometru pentru fiecare valoare m măsoară timpul de trei ori t deplin n fluctuatii ( n≥10) și în funcție de valoarea medie a timpului https://pandia.ru/text/77/494/images/image030_6.gif" width="57 height=28" height="28">. Introduceți rezultatele în tabel 1.
2. Pe baza rezultatelor măsurătorilor, construiți un grafic al pătratului perioadei T2 după greutate m. Din panta graficului, determinați rigiditatea arcului k conform formulei (16).
tabelul 1
Rezultatele măsurătorilor pentru a determina perioada de oscilații naturale
3. Sarcină suplimentară. Estimați ε aleatoriu, total și relativ t erori de măsurare a timpului pentru valoarea masei m = 400 g.
Sarcina 2. Determinarea decrementului de amortizare logaritmică a unui pendul arc.
1. Atârnă o masă pe un arc m= 400 g cu inel si se pune intr-un vas cu apa astfel incat inelul sa fie complet scufundat in apa. Determinați perioada oscilațiilor amortizate pentru o valoare dată m conform metodei prezentate în paragraful 1 al sarcinii 1. Repetați măsurătorile de trei ori și introduceți rezultatele în partea stângă a tabelului. 2.
2. Scoateți pendulul din poziția de echilibru și, notând amplitudinea sa inițială pe o riglă, măsurați timpul t" , timp în care amplitudinea oscilațiilor scade de 2 ori. Faceți măsurători de trei ori. Introduceți rezultatele în partea dreaptă a tabelului. 2.
masa 2
Rezultatele măsurătorilor
pentru a determina decrementul de amortizare logaritmică
Măsurarea perioadei de oscilație | Măsurarea timpului reducând amplitudinea de 2 ori |
|||||
4. Întrebări și sarcini de testare
1. Ce oscilații se numesc armonice? Definiți principalele lor caracteristici.
2. Ce oscilații se numesc amortizate? Definiți principalele lor caracteristici.
3. Explicați semnificația fizică a decrementului de amortizare logaritmică și a coeficientului de amortizare.
4. Deduceți dependența de timp a vitezei și accelerației unei sarcini de un arc care efectuează oscilații armonice. Furnizați grafice și analizați.
5. Deduceți dependența de timp a energiei cinetice, potențiale și totale pentru o sarcină care oscilează pe un arc. Furnizați grafice și analizați.
6. Obține ecuația diferențială a vibrațiilor libere și soluția acesteia.
7. Construiți grafice ale oscilațiilor armonice cu fazele inițiale π/2 și π/3.
8. În ce limite poate varia decrementul de amortizare logaritmică?
9. Dați ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate ale unui pendul cu arc și soluția acestuia.
10. După ce lege se modifică amplitudinea oscilațiilor amortizate? Oscilațiile amortizate sunt periodice?
11. Ce mișcare se numește aperiodă? In ce conditii se respecta?
12. Care este frecvența naturală a oscilațiilor? Cum depinde de masa corpului oscilant pentru un pendul cu arc?
13. De ce frecvența oscilațiilor amortizate este mai mică decât frecvența oscilațiilor naturale ale sistemului?
14. O bilă de cupru suspendată de un arc efectuează oscilații verticale. Cum se va schimba perioada de oscilație dacă în loc de o bilă de cupru, o bilă de aluminiu de aceeași rază este suspendată de un arc?
15. La ce valoare a decrementului de amortizare logaritmică oscilațiile se diminuează mai repede: la θ1 = 0,25 sau θ2 = 0,5? Furnizați grafice ale acestor oscilații amortizate.
Bibliografie
1. ȘI. Curs de fizică / . – Ed. a 11-a. – M.: Academia, 2006. – 560 p.
2. ÎN. Curs de fizică generală: 3 volume / . - St.Petersburg. : Lan, 2008. – T. 1. – 432 p.
3. CU. Atelier de laborator de fizică / .
– M.: Mai sus. şcoală, 1980. – 359 p.
10.4. Legea conservării energiei în timpul oscilațiilor armonice
10.4.1. Conservarea energiei la vibratii armonice mecanice
Conservarea energiei în timpul oscilațiilor unui pendul matematic
În timpul vibrațiilor armonice, energia mecanică totală a sistemului este conservată (rămâne constantă).
Energia mecanică totală a unui pendul matematic
E = W k + W p ,
unde W k este energia cinetică, W k = = mv 2 /2; W p - energie potenţială, W p = mgh; m este masa sarcinii; g - modul de accelerare în cădere liberă; v - modulul vitezei de sarcină; h este înălțimea sarcinii deasupra poziției de echilibru (Fig. 10.15).
În timpul oscilațiilor armonice, un pendul matematic trece printr-un număr de stări succesive, de aceea este recomandabil să se ia în considerare energia unui pendul matematic în trei poziții (vezi Fig. 10.15):
Orez. 10.15
1) în poziție de echilibru
energia potențială este zero; Energia totală coincide cu energia cinetică maximă:
E = W k max ;
2) în situație de urgență(2) corpul este ridicat deasupra nivelului inițial la înălțimea maximă h max, prin urmare energia potențială este și ea maximă:
W p max = m g h max ;
energia cinetică este zero; energia totală coincide cu energia potențială maximă:
E = W p max ;
3) în poziție intermediară(3) corpul are o viteză instantanee v și este ridicat deasupra nivelului inițial la o anumită înălțime h, prin urmare energia totală este suma
E = m v 2 2 + m g h ,
unde mv 2 /2 este energia cinetică; mgh - energie potenţială; m este masa sarcinii; g - modul de accelerare în cădere liberă; v - modulul vitezei de sarcină; h este înălțimea sarcinii deasupra poziției de echilibru.
În timpul oscilațiilor armonice ale unui pendul matematic, energia mecanică totală este conservată:
E = const.
Valorile energiei totale a pendulului matematic în cele trei poziții ale sale sunt reflectate în tabel. 10.1.
| № | Poziţie | W p | Sapt | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Echilibru | 0 | m v max 2 / 2 | m v max 2 / 2 |
| 2 | Extrem | mgh max | 0 | mgh max |
| 3 | Intermediar (instantaneu) | mgh | mv 2 /2 | mv 2 /2 + mgh |
Valorile energiei mecanice totale prezentate în ultima coloană a tabelului. 10.1, au valori egale pentru orice poziție a pendulului, care este o expresie matematică:
m v max 2 2 = m g h max;
m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h ;
m g h max = m v 2 2 + m g h ,
unde m este masa sarcinii; g - modul de accelerare în cădere liberă; v este modulul vitezei instantanee a sarcinii în poziţia 3; h - înălţimea de ridicare a sarcinii deasupra poziţiei de echilibru în poziţia 3; v max - modulul vitezei maxime a sarcinii în poziţia 1; h max - înălțimea maximă de ridicare a sarcinii deasupra poziției de echilibru în poziția 2.
Unghiul de deviere al firului pendulul matematic din verticală (Fig. 10.15) este determinat de expresie
cos α = l − hl = 1 − hl ,
unde l este lungimea firului; h este înălțimea sarcinii deasupra poziției de echilibru.
Unghiul maxim abaterea α max este determinată de înălțimea maximă de ridicare a sarcinii deasupra poziției de echilibru h max:
cos α max = 1 − h max l .
Exemplul 11. Perioada micilor oscilații ale unui pendul matematic este de 0,9 s. Care este unghiul maxim la care firul se va abate de la verticală dacă, trecând de poziția de echilibru, mingea se mișcă cu o viteză de 1,5 m/s? Nu există frecare în sistem.
Soluție. Figura prezintă două poziții ale pendulului matematic:
- pozitia de echilibru 1 (caracterizata prin viteza maxima a mingii v max);
- pozitia extrema 2 (caracterizata prin inaltimea maxima de ridicare a mingii h max peste pozitia de echilibru).
Unghiul necesar este determinat de egalitate
cos α max = l − h max l = 1 − h max l ,
unde l este lungimea firului pendulului.
Găsim înălțimea maximă a bilei pendulului deasupra poziției de echilibru din legea conservării energiei mecanice totale.
Energia totală a pendulului în poziția de echilibru și în poziția extremă este determinată de următoarele formule:
- într-o poziție de echilibru -
E 1 = m v max 2 2,
unde m este masa bilei pendulului; v max - modulul vitezei bilei în poziţia de echilibru (viteza maximă), v max = 1,5 m/s;
- in pozitie extrema -
E 2 = mgh max,
unde g este modulul de accelerație gravitațională; h max este înălțimea maximă a mingii care se ridică deasupra poziției de echilibru.
Legea conservării energiei mecanice totale:
m v max 2 2 = m g h max .
Să exprimăm de aici înălțimea maximă a ridicării mingii deasupra poziției de echilibru:
h max = v max 2 2 g .
Determinăm lungimea firului din formula pentru perioada de oscilație a unui pendul matematic
T = 2 π l g ,
acestea. lungimea firului
l = T 2 g 4 π 2 .
Să substituim h max și l în expresia pentru cosinusul unghiului dorit:
cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2
și efectuați calculul ținând cont de egalitatea aproximativă π 2 = 10:
cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5 .
Rezultă că unghiul maxim de deviere este de 60°.
Strict vorbind, la un unghi de 60° oscilațiile mingii nu sunt mici și este ilegală utilizarea formulei standard pentru perioada de oscilație a unui pendul matematic.
Conservarea energiei în timpul oscilațiilor unui pendul cu arc
Energia mecanică totală a unui pendul cu arc constă din energie cinetică și energie potențială:
E = W k + W p ,
unde W k este energia cinetică, W k = mv 2 /2; W p - energie potenţială, W p = k (Δx ) 2 /2; m este masa sarcinii; v - modulul vitezei de sarcină; k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului; Δx - deformarea (tensionarea sau compresia) arcului (Fig. 10.16).
În Sistemul Internațional de Unități, energia unui sistem oscilator mecanic este măsurată în jouli (1 J).
În timpul oscilațiilor armonice, pendulul cu arc trece printr-un număr de stări succesive, de aceea este indicat să se ia în considerare energia pendulului cu arc în trei poziții (vezi Fig. 10.16):
1) în poziție de echilibru(1) viteza corpului are o valoare maximă v max, deci și energia cinetică este maximă:
W k max = m v max 2 2 ;
energia potențială a arcului este zero, deoarece arcul nu este deformat; Energia totală coincide cu energia cinetică maximă:
E = W k max ;
2) în situație de urgență(2) arcul are o deformare maximă (Δx max), deci energia potențială are și o valoare maximă:
W p max = k (Δ x max) 2 2 ;
energia cinetică a corpului este zero; energia totală coincide cu energia potențială maximă:
E = W p max ;
3) în poziție intermediară(3) corpul are o viteză instantanee v, arcul are o oarecare deformare în acest moment (Δx), deci energia totală este suma
E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
unde mv 2 /2 este energia cinetică; k (Δx) 2 /2 - energie potenţială; m este masa sarcinii; v - modulul vitezei de sarcină; k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului; Δx - deformarea (tensionarea sau compresia) arcului.
Când sarcina unui pendul cu arc este deplasată din poziția sa de echilibru, aceasta este acționată de restabilirea forței, a cărui proiecție pe direcția de mișcare a pendulului este determinată de formula
F x = −kx ,
unde x este deplasarea sarcinii pendulului arcului din poziția de echilibru, x = ∆x, ∆x este deformația arcului; k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului pendulului.
În timpul oscilațiilor armonice ale unui pendul cu arc, energia mecanică totală este conservată:
E = const.
Valorile energiei totale a pendulului cu arc în cele trei poziții ale sale sunt reflectate în tabel. 10.2.
| № | Poziţie | W p | Sapt | E = W p + W k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Echilibru | 0 | m v max 2 / 2 | m v max 2 / 2 |
| 2 | Extrem | k (Δx max) 2/2 | 0 | k (Δx max) 2/2 |
| 3 | Intermediar (instantaneu) | k (Ax)2/2 | mv 2 /2 | mv2/2 + k (Ax)2/2 |
Valorile energiei mecanice totale prezentate în ultima coloană a tabelului au valori egale pentru orice poziție a pendulului, care este o expresie matematică legea conservării energiei mecanice totale:
m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;
m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;
k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,
unde m este masa sarcinii; v este modulul vitezei instantanee a sarcinii în poziţia 3; Δx - deformarea (tensionarea sau compresiunea) arcului în poziţia 3; v max - modulul vitezei maxime a sarcinii în poziţia 1; Δx max - deformarea maximă (întindere sau compresie) a arcului în poziția 2.
Exemplul 12. Un pendul cu arc efectuează oscilații armonice. De câte ori este energia sa cinetică mai mare decât energia sa potențială în momentul în care deplasarea corpului din poziția de echilibru este un sfert din amplitudine?
Soluție. Să comparăm două poziții ale pendulului cu arc:
- pozitia extrema 1 (caracterizata prin deplasarea maxima a sarcinii pendulului fata de pozitia de echilibru x max);
- pozitia intermediara 2 (caracterizata prin valori intermediare ale deplasarii fata de pozitia de echilibru x si viteza v →).
Energia totală a pendulului în pozițiile extreme și intermediare este determinată de următoarele formule:
- in pozitie extrema -
E 1 = k (Δ x max) 2 2,
unde k este coeficientul de rigiditate (elasticitate) al arcului; ∆x max - amplitudinea oscilațiilor (deplasarea maximă de la poziția de echilibru), ∆x max = A;
- într-o poziție intermediară -
E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,
unde m este masa sarcinii pendulului; ∆x - deplasarea sarcinii din poziția de echilibru, ∆x = A /4.
Legea conservării energiei mecanice totale pentru un pendul cu arc are următoarea formă:
k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .
Să împărțim ambele părți ale egalității scrise la k (∆x) 2 /2:
(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,
unde W k este energia cinetică a pendulului într-o poziție intermediară, W k = mv 2 /2; W p - energia potențială a pendulului într-o poziție intermediară, W p = k (∆x) 2 /2.
Să exprimăm raportul de energie necesar din ecuația:
W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1
si calculeaza-i valoarea:
W k W p = (A A / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15 .
În momentul de timp indicat, raportul dintre energiile cinetice și potențiale ale pendulului este 15.
