În matematică, orice colecție de numere care se succed, organizate într-un fel, se numește șir. Dintre toate secvențele de numere existente, două se disting cazuri interesante: progresii algebrice și geometrice.
Ce este o progresie aritmetică?
Ar trebui spus imediat că progresia algebrică este adesea numită aritmetică, deoarece proprietățile sale sunt studiate de ramura matematicii - aritmetica.
Această progresie este o succesiune de numere în care fiecare membru ulterior diferă de cel anterior printr-un anumit număr constant. Se numește diferența unei progresii algebrice. Pentru certitudine, îl notăm cu litera latină d.
Un exemplu de astfel de succesiune ar putea fi următorul: 3, 5, 7, 9, 11 ..., aici puteți vedea că numărul este 5 mai mult număr 3 este 2, 7 este mai mult decât 5 este, de asemenea, 2 și așa mai departe. Astfel, în exemplul prezentat, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.
Care sunt tipurile de progresii aritmetice?
Natura acestor șiruri ordonate de numere este determinată în mare măsură de semnul numărului d. Se disting următoarele tipuri de progresii algebrice:
- crescând când d este pozitiv (d>0);
- constantă când d = 0;
- descrește când d este negativ (d<0).
Exemplul dat în paragraful anterior arată o progresie crescândă. Un exemplu de succesiune descrescătoare este următoarea succesiune de numere: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... O progresie constantă, după cum reiese din definiția sa, este o colecție de numere identice.
al n-lea termen de progresie
Datorită faptului că fiecare număr ulterior din progresia luată în considerare diferă printr-o constantă d de cel precedent, al n-lea termen al său poate fi ușor determinat. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți nu numai d, ci și un 1 - primul termen al progresiei. Folosind o abordare recursivă, se poate obține o formulă de progresie algebrică pentru găsirea celui de-al n-lea termen. Arată astfel: a n = a 1 + (n-1)*d. Această formulă este destul de simplă și poate fi înțeleasă intuitiv.
De asemenea, nu este greu de utilizat. De exemplu, în progresia dată mai sus (d=2, a 1 =3), definim al 35-lea termen. Conform formulei, va fi egal cu: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.
Formula pentru cantitate
Când i se oferă o progresie aritmetică, suma primilor n termeni ai săi este o problemă frecvent întâlnită, împreună cu determinarea valorii celui de-al n-lea termen. Formula pentru suma unei progresii algebrice se scrie sub următoarea formă: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, aici simbolul ∑ n 1 indică faptul că termenii de la 1 la al n-lea sunt însumați.
Expresia de mai sus poate fi obținută recurgând la proprietățile aceleiași recursiuni, dar există o modalitate mai ușoară de a dovedi validitatea acesteia. Să notăm primii 2 și ultimii 2 termeni ai acestei sume, exprimându-i în numere a 1, a n și d și obținem: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Acum rețineți că dacă adăugați primul termen la ultimul, acesta va fi exact egal cu suma celui de-al doilea și penultimul termen, adică a 1 +a n. În mod similar, se poate demonstra că aceeași sumă poate fi obținută prin adăugarea celui de-al treilea și penultimul termen și așa mai departe. În cazul unei perechi de numere din șir, obținem n/2 sume, fiecare dintre ele egală cu a 1 +a n. Adică, obținem formula de mai sus pentru progresia algebrică pentru suma: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.
Pentru un număr nepereche de termeni n, se obține o formulă similară dacă urmați raționamentul descris. Nu uitați să adăugați termenul rămas, care se află în centrul progresiei.
Să arătăm cum să folosiți formula de mai sus folosind exemplul unei progresii simple care a fost introdusă mai sus (3, 5, 7, 9, 11 ...). De exemplu, este necesar să se determine suma primilor săi 15 termeni. Mai întâi, să definim un 15. Folosind formula pentru al n-lea termen (vezi paragraful anterior), obținem: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Acum putem aplica formula pentru suma unei progresii algebrice: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.
Este interesant de citat un fapt istoric interesant. Formula pentru suma unei progresii aritmetice a fost obținută pentru prima dată de Carl Gauss (celemul matematician german al secolului al XVIII-lea). Când avea doar 10 ani, profesorul a cerut problemei să găsească suma numerelor de la 1 la 100. Ei spun că micuțul Gauss a rezolvat această problemă în câteva secunde, observând că prin însumarea numerelor de la începutul și sfârșitul succesiune în perechi, puteți obține întotdeauna 101 și, deoarece există 50 de astfel de sume, a dat rapid răspunsul: 50*101 = 5050.
Exemplu de rezolvare a problemei
Pentru a completa tema progresiei algebrice, vom oferi un exemplu de rezolvare a unei alte probleme interesante, întărind astfel înțelegerea subiectului luat în considerare. Să fie dată o anumită progresie pentru care se cunoaște diferența d = -3, precum și al 35-lea termen a 35 = -114. Este necesar să găsim al 7-lea termen al progresiei a 7 .
După cum se poate vedea din condițiile problemei, valoarea unui 1 este necunoscută, așa că nu puteți utiliza direct formula pentru al n-lea termen. Metoda recursiunii este, de asemenea, incomodă, care este dificil de implementat manual și există o mare probabilitate de a face o greșeală. Să procedăm după cum urmează: scrieți formulele pentru a 7 și a 35, avem: a 7 = a 1 + 6*d și a 35 = a 1 + 34*d. Scădeți a doua din prima expresie, obținem: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Rezultă: a 7 = a 35 - 28*d. Rămâne să înlocuiți datele cunoscute din enunțul problemei și să scrieți răspunsul: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.
Progresie geometrică
Pentru a dezvălui mai pe deplin subiectul articolului, oferim o scurtă descriere a unui alt tip de progresie - geometrică. În matematică, acest nume este înțeles ca o succesiune de numere în care fiecare termen ulterior diferă de cel anterior printr-un anumit factor. Să notăm acest factor cu litera r. Se numește numitor al tipului de progresie luată în considerare. Un exemplu al acestei secvențe de numere ar fi: 1, 5, 25, 125, ...
După cum se poate vedea din definiția de mai sus, progresiile algebrice și geometrice sunt similare ca idee. Diferența dintre ele este că primul se schimbă mai lent decât al doilea.
Progresia geometrică poate fi, de asemenea, crescătoare, constantă sau descrescătoare. Tipul său depinde de valoarea numitorului r: dacă r>1, atunci există o progresie crescătoare, dacă r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.
Formule de progresie geometrică
Ca și în cazul algebricii, formulele unei progresii geometrice se reduc la determinarea al n-lea termen al acesteia și a sumei n termeni. Mai jos sunt aceste expresii:
- a n = a 1 *r (n-1) - această formulă rezultă din definiția progresiei geometrice.
- ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Este important de reținut că, dacă r = 1, atunci formula de mai sus dă incertitudine, deci nu poate fi utilizată. În acest caz, suma n termeni va fi egală cu produsul simplu a 1 *n.
De exemplu, să găsim suma a doar 10 termeni ai șirului 1, 5, 25, 125, ... Știind că a 1 = 1 și r = 5, obținem: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. Valoarea rezultată este un exemplu clar al cât de repede crește progresia geometrică.
Poate că prima mențiune despre această progresie în istorie este legenda cu tabla de șah, când un prieten al unui sultan, după ce l-a învățat să joace șah, a cerut cereale pentru serviciul său. Mai mult, cantitatea de cereale ar fi trebuit să fie după cum urmează: pe primul pătrat al tablei de șah trebuie așezat un bob, de două ori mai mult pe al doilea decât pe primul, pe al treilea de două ori mai mult decât pe al doilea și așa mai departe . Sultanul a acceptat de bunăvoie să îndeplinească această cerere, dar nu știa că va trebui să golească toate coșurile țării sale pentru a se ține de cuvânt.
Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :) Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi ajunge direct la obiect.
În primul rând, câteva exemple. Să ne uităm la mai multe seturi de numere:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Ce au în comun toate aceste seturi? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.
Judecă singur. Primul set este pur și simplu numere consecutive, fiecare următor fiind cu unul mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja de cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există rădăcini cu totul. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ și $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă fie teamă că acest număr este irațional).
Deci: toate astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:
Definiţie. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.
Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.
Și doar câteva note importante. În primul rând, progresia este luată în considerare ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Numerele nu pot fi rearanjate sau schimbate.
În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva în spirit (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Elipsele de după cele patru par să sugereze că mai urmează destul de multe numere. Infinit multe, de exemplu.
De asemenea, aș dori să remarc că progresiile pot fi în creștere sau în scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:
Definiţie. Progresie aritmetică numit:
- crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
- descrescătoare dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.
În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).
Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:
- Dacă $d \gt 0$, atunci progresia crește;
- Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
- În sfârșit, există cazul $d=0$ - în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare prezentate mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți numărul din stânga din numărul din dreapta. Va arata asa:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
După cum putem vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit a fi de fapt negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.
Termeni de progresie și formula de recurență
Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate, ele pot fi numerotate:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]
Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai unei progresii. Ele sunt indicate printr-un număr: primul membru, al doilea membru etc.
În plus, după cum știm deja, termenii învecinați ai progresiei sunt legați prin formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Pe scurt, pentru a găsi termenul $n$ al unei progresii, trebuie să cunoașteți termenul $n-1$-lea și diferența $d$. Această formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr doar cunoscând-o pe precedentul (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai vicleană care reduce orice calcul la primul termen și diferența:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]
Probabil că ați întâlnit deja această formulă. Le place să-l ofere în tot felul de cărți de referință și cărți de soluții. Și în orice manual de matematică sensibil este unul dintre primele.
Totuși, vă sugerez să exersați puțin.
Sarcina nr. 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.
Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Răspuns: (8; 3; −2)
Asta este! Vă rugăm să rețineți: progresul nostru este în scădere.
Desigur, $n=1$ nu a putut fi înlocuit - primul termen este deja cunoscut de noi. Totuși, înlocuind unitatea, am fost convinși că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.
Sarcina nr. 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este egal cu -40 și al șaptesprezecelea termen este egal cu -50.
Soluţie. Să scriem condiția problemei în termeni familiari:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \corect.\]
Am pus semnul de sistem pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Acum să observăm că, dacă o scădem pe prima din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Așa este de ușor să găsești diferența de progresie! Tot ce rămâne este să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]
Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Gata! Problema este rezolvată.
Răspuns: (−34; −35; −36)
Observați proprietatea interesantă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de celălalt, obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care neapărat trebuie să o cunoști - cu ajutorul ei poți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Iată un exemplu clar în acest sens:
Sarcina nr. 3. Al cincilea termen al unei progresii aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.
Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, din care avem:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Răspuns: 20.4
Asta este! Nu a fost nevoie să creăm sisteme de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost rezolvat în doar câteva linii.
Acum să ne uităm la un alt tip de problemă - căutarea termenilor negativi și pozitivi ai unei progresii. Nu este un secret că, dacă o progresie crește, iar primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii în scădere vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.
În același timp, nu este întotdeauna posibil să găsiți acest moment „în față” parcurgând secvențial elementele. Adesea, problemele sunt scrise în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe coli de hârtie – pur și simplu am adormi în timp ce găsim răspunsul. Prin urmare, să încercăm să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.
Sarcina nr. 4. Câți termeni negativi există în progresia aritmetică −38,5; −35,8; ...?
Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de unde găsim imediat diferența:
Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia crește. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.
Să încercăm să aflăm cât timp (adică până la ce număr natural $n$) rămâne negativitatea termenilor:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Ultima linie necesită câteva explicații. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, ne mulțumim doar cu valori întregi ale numărului (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16 .
Sarcina nr. 5. În progresie aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.
Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:
În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen prin primul și diferența folosind formula standard:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Acum procedăm prin analogie cu sarcina anterioară. Să aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.
Vă rugăm să rețineți: în ultima sarcină totul s-a rezumat la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.
Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor :)
Media aritmetică și indentări egale
Să luăm în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe linia numerică:
Termenii unei progresii aritmetice pe dreapta numericăAm marcat în mod special termeni arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, și nu niște $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula despre care vă voi spune acum funcționează la fel pentru orice „segment”.
Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recurentă și să o notăm pentru toți termenii marcați:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Şi ce dacă? Și faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ la aceeași distanță egală cu $2d$. Putem continua la infinit, dar sensul este bine ilustrat de imagine
Termenii progresiei se află la aceeași distanță de centru Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că $((a)_(n))$ poate fi găsit dacă numerele învecinate sunt cunoscute:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Am obținut o afirmație excelentă: fiecare termen al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a termenilor învecinați! Mai mult decât atât: ne putem întoarce de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și formula va fi în continuare corectă:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Aceste. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe probleme sunt special adaptate pentru a utiliza media aritmetică. Aruncă o privire:
Sarcina nr. 6. Găsiți toate valorile lui $x$ pentru care numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ sunt termeni consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea indicată).
Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.
Răspuns: −3; 2.
Sarcina nr. 7. Găsiți valorile lui $$ pentru care numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ formează o progresie aritmetică (în această ordine).
Soluţie. Să exprimăm din nou termenul mijlociu prin media aritmetică a termenilor vecini:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Din nou ecuația cuadratică. Și din nou există două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.
Răspuns: 1; 6.
Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme vii cu niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există o tehnică minunată care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?
Să presupunem că în problema nr. 6 am primit răspunsurile −3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care trebuie să formeze o progresie aritmetică. Să înlocuim $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Am obținut numerele −54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema a fost rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua problemă, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.
În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant, care trebuie de asemenea reținut:
Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media aritmetică a primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.
În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza condițiilor problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja discutat.
Gruparea și însumarea elementelor
Să revenim din nou la axa numerelor. Să notăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. valorează mulți alți membri:
Pe linia numerică sunt marcate 6 elementeSă încercăm să exprimăm „coada din stânga” prin $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” prin $((a)_(k))$ și $d$. Este foarte simplu:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, și apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul către celălalt sau invers pentru a se îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai clar reprezentat grafic:
Indentațiile egale dau cantități egale Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:
Sarcina nr. 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.
Soluţie. Să scriem tot ce știm:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Deci, nu cunoaștem diferența de progresie $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Pentru cei din rezervor: am luat multiplicatorul total de 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul necesar este o funcție pătratică față de variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă extindem parantezele, obținem:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
După cum puteți vedea, coeficientul celui mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:
graficul unei funcții pătratice - parabolă
Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă folosind schema standard (există formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să remarcăm că vârful dorit se află pe axa de simetrie a parabolei, prin urmare punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma lor originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Ce ne oferă numărul descoperit? Cu ea, produsul solicitat capătă cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat niciodată $((y)_(\min ))$ - nu ni se cere acest lucru). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul :)
Răspuns: −36
Sarcina nr. 9. Între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ introduceți trei numere astfel încât împreună cu aceste numere să formeze o progresie aritmetică.
Soluţie. În esență, trebuie să facem o secvență de cinci numere, cu primul și ultimul număr deja cunoscute. Să notăm numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în prezent nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Să ne amintim media aritmetică:
Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între numerele $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ pe care tocmai le-am găsit. De aceea
Folosind un raționament similar, găsim numărul rămas:
Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le scriem în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.
Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Sarcina nr. 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu aceste numere, formează o progresie aritmetică, dacă știți că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.
Soluţie. O problemă și mai complexă, care, însă, se rezolvă după aceeași schemă ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere trebuie introduse. Prin urmare, să presupunem pentru certitudine că după ce ați inserat totul vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică necesară poate fi reprezentată sub forma:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 de la margini cu un pas unul spre celălalt, adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Dar atunci expresia scrisă mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența progresiei:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]
Tot ce rămâne este să găsiți termenii rămași:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței – numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Probleme de cuvinte cu progresii
În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simplu: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste probleme pot părea grele. Cu toate acestea, acestea sunt tipurile de probleme care apar în OGE și examenul de stat unificat la matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.
Sarcina nr. 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în luna precedentă. Câte piese a produs echipa în noiembrie?
Soluţie. Evident, numărul de piese enumerate pe lună va reprezenta o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. În plus:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Prin urmare, în noiembrie vor fi produse 202 piese.
Sarcina nr. 12. Atelierul de legătorie a legat 216 cărți în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a legat cu 4 cărți mai multe decât în luna precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?
Soluţie. Totul este la fel:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.
Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânărului luptător” în progresii aritmetice. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula pentru suma progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.
Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:
Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:
Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.
De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .
In cazul nostru: 
Să presupunem că avem o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu: 
etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.
Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.
Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:
o)
b)
c)
d)
Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
este progresie aritmetică - b, c.
nu este progresie aritmetică - a, d.
Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există două mod de a-l găsi.
1. Metoda
Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:
Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.
2. Metoda
Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:
De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice: 
Cu alte cuvinte:
Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.
ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:
Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:
|
Ecuația de progresie aritmetică. |
Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.
În creștere- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:
Descendent- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:
Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:
De atunci:
Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.
Să comparăm rezultatele:
Proprietatea progresiei aritmetice
Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:
Să, ah, atunci:
Absolut adevărat. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.
Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Atunci:
- termenul anterior al progresiei este:
- următorul termen al progresiei este:
Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:
Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.
Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.
Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss...
Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a cerut următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la până la (conform altor surse până la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...
Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?
Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele. 
L-ai incercat? Ce ai observat? Corect! Sumele lor sunt egale
Acum spuneți-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ne este dată? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:
În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?
Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la -th și suma numerelor începând de la -th.
Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?
De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile unei progresii aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia. 
Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei. 
De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?
În acest caz, progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).
Metoda 1.
Metoda 2.
Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Te-ai descurcat?
Răspunsul corect este blocurile:
Antrenamentul
Sarcini:
- Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
- Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
- Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?
Raspunsuri:
- Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni = zile).Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.
- Primul număr impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:Numerele conțin numere impare.
Să înlocuim datele disponibile în formula:Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.
- Să ne amintim problema despre piramide. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
Să înlocuim datele în formula:Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.
Să rezumam
- - o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
- Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
- Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
- Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
, unde este numărul de valori.
PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU
Secvență de numere
Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.
Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.
Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.
Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.
De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .
Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula
stabilește secvența:
Și formula este următoarea succesiune:
De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).
al n-lea termen formulă
Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:
Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:
Ei bine, este clar acum care este formula?
În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:
Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:
Decide pentru tine:
Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.
Soluţie:
Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:
(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).
Deci, formula:
Atunci al sutelea termen este egal cu:
Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?
Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Aşa,
Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:
Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.
Soluţie:
Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.
Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:
Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?
Foarte usor: .
Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:
Raspuns: .
Acum decideți singuri:
- În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
- Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. De câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
- Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.
Raspunsuri:
- Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
.
Răspuns: - Aici este dat: , trebuie găsit.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
.
Înlocuiți valorile:Evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
Să calculăm calea parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
(km).
Răspuns: - Având în vedere: . Găsiți: .
Mai simplu nu poate fi:
(freca).
Răspuns:
PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE
Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().
De exemplu:
Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice
se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.
Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice
Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.
Suma termenilor unei progresii aritmetice
Există două moduri de a găsi suma:
Unde este numărul de valori.
Unde este numărul de valori.
RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!
Deveniți student YouClever,
Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,
De asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de pregătire „100gia” (cartea de rezolvare), o probă nelimitată Unified State Exam și Unified State Exam, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și alte servicii YouClever și 100gia.
Conceptul de succesiune de numere implică faptul că fiecărui număr natural îi corespunde o anumită valoare reală. O astfel de serie de numere poate fi fie arbitrară, fie poate avea anumite proprietăți - o progresie. În acest din urmă caz, fiecare element (membru) ulterior al secvenței poate fi calculat folosind cel anterior.
O progresie aritmetică este o succesiune de valori numerice în care membrii săi vecini diferă unul de celălalt prin același număr (toate elementele seriei, începând cu a 2-a, au o proprietate similară). Acest număr - diferența dintre termenii anterior și următor - este constant și se numește diferență de progresie.
Diferența de progresie: definiție
Să considerăm o succesiune formată din j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j aparține mulțimii numerelor naturale N. O aritmetică progresia, conform definiției sale, este o succesiune , în care a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Valoarea d este diferența dorită a acestei progresii.
d = a(j) – a(j-1).
Evidențiați:
- O progresie crescătoare, caz în care d > 0. Exemplu: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Progresie descrescătoare, apoi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Progresia diferențelor și elementele sale arbitrare
Dacă se cunosc 2 termeni arbitrari ai progresiei (i-th, k-th), atunci diferența pentru o anumită secvență poate fi determinată pe baza relației:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ceea ce înseamnă d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Diferența de progresie și primul său termen
Această expresie va ajuta la determinarea unei valori necunoscute numai în cazurile în care numărul elementului de secvență este cunoscut.
Diferența de progresie și suma ei
Suma unei progresii este suma termenilor ei. Pentru a calcula valoarea totală a primelor sale j elemente, utilizați formula corespunzătoare:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, dar din moment ce a(j) = a(1) + d(j – 1), apoi S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
