Constând din n puncte materiale. Să selectăm un anumit punct din acest sistem M j cu masa m j. După cum se știe, forțele externe și interne acționează în acest punct.
Să o aplicăm la obiect M j rezultatul tuturor forțe interne F j iși rezultanta tuturor forțelor externe F j e(Figura 2.2). Pentru un punct material selectat M j(ca pentru un punct liber) scriem teorema despre modificarea impulsului în formă diferențială (2.3):
Să scriem ecuații similare pentru toate punctele sistem mecanic (j=1,2,3,…,n).
Figura 2.2
Să adunăm totul bucată cu bucată n ecuatii:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Aici ∑m j ×V j =Q– cantitatea de mișcare a sistemului mecanic;
∑F j e = R e– vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului mecanic;
∑F j i = R i =0– vectorul principal al forțelor interne ale sistemului (după proprietatea forțelor interne, este egal cu zero).
În sfârșit, pentru sistemul mecanic obținem
dQ/dt = R e. (2.11)
Expresia (2.11) este o teoremă despre modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială (în expresie vectorială): derivata în timp a vectorului de impuls al unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.
Proiectând egalitatea vectorială (2.11) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în expresie de coordonate (scalare):
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
aceste. derivata în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția pe această axă a vectorului principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra acestui sistem mecanic.
Înmulțirea ambelor părți ale egalității (2.12) cu dt, obținem teorema într-o altă formă diferențială:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
aceste. impulsul diferențial al unui sistem mecanic este egal cu impulsul elementar al vectorului principal (suma impulsurilor elementare) al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.
Integrarea egalității (2.13) în intervalul de timp de la 0 la t, obținem o teoremă despre modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă finală (integrală) (în expresie vectorială):
Q - Q 0 = S e,
aceste. modificarea impulsului unui sistem mecanic pe o perioadă finită de timp este egală cu impulsul total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp..
Proiectând egalitatea vectorială (2.14) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema în proiecții (într-o expresie scalară):
aceste. modificarea proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă pe o perioadă finită de timp este egală cu proiecția pe aceeași axă a impulsului total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe. acţionând asupra sistemului mecanic în aceeaşi perioadă de timp.
Din teorema considerată (2.11) – (2.15) rezultă următoarele corolare:
- Dacă R e = ∑F j e = 0, Asta Q = const– avem legea conservării vectorului de impuls al unui sistem mecanic: dacă vectorul principal R e dintre toate forțele externe care acționează asupra unui sistem mecanic este egal cu zero, atunci vectorul de impuls al acestui sistem rămâne constant în mărime și direcție și egal cu valoarea sa inițială Q 0, adică Q = Q 0.
- Dacă R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Asta Q x = const– avem legea conservării proiecției pe axa impulsului unui sistem mecanic: dacă proiecția vectorului principal al tuturor forțelor care acționează asupra unui sistem mecanic pe orice axă este nulă, atunci proiecția pe aceeași axă a vectorul moment al acestui sistem va fi o valoare constantă și egală cu proiecția pe această axă vectorul inițial al impulsului, i.e. Q x = Q 0x.
Forma diferențială a teoremei schimbării impulsului sistem material are aplicații importante și interesante în mecanică continuum. Din (2.11) putem obține teorema lui Euler.
Vedere: acest articol a fost citit de 14066 ori
Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză
Întregul material este descărcat mai sus, după selectarea limbii
Cantitatea de mișcare
Momentul unui punct material - cantitatea vectorială, egal cu produsul masa unui punct prin vectorul său viteză.
Unitatea de măsură pentru impuls este (kg m/s).
Momentul sistemului mecanic - o mărime vectorială egală cu suma geometrică (vector principal) a impulsului unui sistem mecanic este egală cu produsul dintre masa întregului sistem și viteza centrului său de masă.
Când un corp (sau sistem) se mișcă astfel încât centrul său de masă să fie staționar, atunci cantitatea de mișcare a corpului este egală cu zero (de exemplu, rotația corpului în jurul axă fixă trecând prin centrul de masă al corpului).
În cazul în care mișcare complexă, cantitatea de mișcare a sistemului nu va caracteriza partea de rotație a mișcării atunci când se rotește în jurul centrului de masă. Adică, cantitatea de mișcare caracterizează doar mișcarea de translație a sistemului (împreună cu centrul de masă).
Forța de impuls
Impulsul unei forțe caracterizează acțiunea unei forțe într-o anumită perioadă de timp.
Impulsul de forță pe o perioadă finită de timp este definită ca suma integrală a impulsurilor elementare corespunzătoare.
Teorema privind modificarea impulsului unui punct material
(în forme diferențiale e ):
Derivata în timp a impulsului unui punct material este egală cu suma geometrică a forțelor care acționează asupra punctelor.
(V formă integrală ):
Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor aplicate punctului în această perioadă de timp.
Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic
(în formă diferenţială ):
Derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.
(în formă integrală ):
Modificarea impulsului unui sistem într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor forțelor externe care acționează asupra sistemului în această perioadă de timp.
Teorema permite excluderea forțelor interne evident necunoscute din considerare.
Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic și teorema mișcării centrului de masă sunt două forme diferite ale aceleiași teoreme.
Legea conservării impulsului unui sistem
- Dacă suma tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului este egală cu zero, atunci vectorul impulsului sistemului va fi constant în direcție și mărime.
- Dacă suma proiecțiilor tuturor forțelor externe care acționează pe orice axă arbitrară este egală cu zero, atunci proiecția impulsului pe această axă este o valoare constantă.
Concluzii:
- Legile de conservare indică faptul că forțele interne nu pot modifica cantitatea totală de mișcare a sistemului.
- Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic nu caracterizează mișcarea de rotație a unui sistem mecanic, ci doar mișcarea de translație.
Este dat un exemplu: Determinați impulsul unui disc de o anumită masă dacă sunt cunoscute viteza unghiulară și dimensiunea acestuia.
Exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. Au fost efectuate alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme de îndoire a fasciculului
În exemplu, au fost construite diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, a fost găsită o secțiune periculoasă și a fost selectată o grindă în I. Problema a analizat construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale, realizată analiză comparativă diferite secțiuni transversale ale fasciculului.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme de torsiune a arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore din oțel la un diametru dat, material și efort admisibil. În timpul soluției, se construiesc diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare
Un exemplu de rezolvare a unei probleme de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei bare de oțel la solicitările admisibile specificate. În timpul rezolvării, se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, stres normalși mișcări. Greutatea proprie a lansetei nu este luată în considerare
Aplicarea teoremei privind conservarea energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic
Determinarea vitezei și accelerației unui punct folosind ecuații de mișcare date
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina viteza și accelerația unui punct folosind ecuații de mișcare date
Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralel
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina vitezele și accelerațiile punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralele
Determinarea forțelor în barele unei ferme plane
Un exemplu de rezolvare a problemei determinării forțelor în tijele unei ferme plane folosind metoda Ritter și metoda nodurilor de tăiere
Aplicarea teoremei asupra modificării momentului unghiular
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind modificarea momentului unghiular pentru a determina viteza unghiulara un corp care se rotește în jurul unei axe fixe.
Să considerăm un sistem format din puncte materiale. Să compunem pentru acest sistem ecuații diferențiale mișcările (13) și însumați-le termen cu termen. Apoi primim
Ultima sumă, datorită proprietății forțelor interne, este egală cu zero. In plus,
In sfarsit gasim
Ecuația (20) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă diferențială: derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului. În proiecțiile pe axe de coordonate vor exista:
Să găsim o altă expresie pentru teoremă. Fie în momentul de față cantitatea de mișcare a sistemului să fie egală și în momentul de față egală cu . Apoi, înmulțind ambele părți ale egalității (20) cu și integrând, obținem
întrucât integralele din dreapta dau impulsuri ale forţelor externe.
Ecuația (21) exprimă teorema despre modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor care acționează asupra sistemului de forțe externe peste aceeași perioadă de timp.
În proiecțiile pe axe de coordonate vor exista:
Să subliniem legătura dintre teorema dovedită și teorema asupra mișcării centrului de masă. Din moment ce , atunci, înlocuind această valoare în egalitatea (20) și ținând cont că obținem , adică ecuația (16).
În consecință, teorema privind mișcarea centrului de masă și teorema privind modificarea impulsului sistemului sunt în esență două forme diferite ale aceleiași teoreme. În cazurile în care se studiază mișcarea unui corp rigid (sau a unui sistem de corpuri), oricare dintre aceste forme poate fi utilizată în mod egal, iar ecuația (16) este de obicei mai convenabil de utilizat. Pentru un mediu continuu (lichid, gaz), atunci când rezolvă probleme, se utilizează de obicei teorema privind modificarea impulsului sistemului. Această teoremă are și aplicații importante în teoria impactului (vezi capitolul XXXI) și în studiul propulsie cu reacție(vezi § 114).
Teoreme generale privind dinamica unui sistem de corpuri. Teoreme despre mișcarea centrului de masă, despre modificarea momentului, despre modificarea momentului unghiular principal, despre modificarea energiei cinetice. Principiile lui D'Alembert și posibilele mișcări. Ecuația generală a dinamicii. Ecuații Lagrange.
ConţinutMunca făcută de forță, este egal produs scalar vectori de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare a acestuia:
,
adică produsul valorilor absolute ale vectorilor F și ds cu cosinusul unghiului dintre ei.
Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor de cuplu și unghiul infinitezimal de rotație:
.
principiul lui d'Alembert
Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, sunt introduse forțe inerțiale și (sau) momente ale forțelor inerțiale, care sunt egale ca mărime și opuse ca direcție forțelor și momentelor forțelor care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații date sau accelerații unghiulare.
Să ne uităm la un exemplu. Corpul suferă mișcare de translație și este acționat de forțe externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă o forță ar acționa asupra corpului. În continuare introducem forța de inerție:
.
După aceasta, problema de dinamică:
.
;
.
Pentru mișcarea de rotație procedați în același mod. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și să fie acționat de momentele exterioare de forță M e zk . Presupunem că aceste momente creează accelerație unghiulară
.
ε z .
;
.
În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z.
După aceasta, problema de dinamică: Se transformă într-o problemă de statică: Principiul mișcărilor posibile
Principiul deplasărilor posibile este utilizat pentru rezolvarea problemelor de statică. În unele probleme, dă mai mult.
soluție scurtă
decât întocmirea ecuaţiilor de echilibru. Acest lucru este valabil mai ales pentru sistemele cu conexiuni (de exemplu, sisteme de corpuri conectate prin fire și blocuri) constând din mai multe corpuri Principiul mișcărilor posibile
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu conexiuni ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă mișcare a sistemului să fie egală cu zero. Posibilă mutare a sistemului
- aceasta este o mica miscare in care conexiunile impuse sistemului nu sunt intrerupte.
Conexiuni ideale
- acestea sunt conexiuni care nu efectuează lucru atunci când sistemul se mișcă. Mai precis, cantitatea de muncă efectuată de conexiunile în sine la mutarea sistemului este zero..
Ecuația generală a dinamicii (principiul D'Alembert - Lagrange)
.
Principiul D'Alembert-Lagrange este o combinație a principiului D'Alembert cu principiul mișcărilor posibile. Adică, atunci când rezolvăm o problemă dinamică, introducem forțe inerțiale și reducem problema la o problemă statică, pe care o rezolvăm folosind principiul posibilelor deplasări. Principiul D'Alembert-Lagrange Atunci când un sistem mecanic cu conexiuni ideale se mișcă, în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor inerțiale asupra oricărei mișcări posibile a sistemului este zero:.
Această ecuație se numește
ecuație generală difuzoare Ecuații Lagrange
Coordonate q generalizate
1 , q 2 , ..., q n este o mulțime de n mărimi care determină în mod unic poziția sistemului.
Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului. Viteze generalizate
.
Să considerăm o posibilă mișcare a sistemului, la care coordonata q k va primi o mișcare δq k.
Coordonatele rămase rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări. Apoi
.
δA k = Q k δq k sau
Dacă, cu o posibilă mișcare a sistemului, toate coordonatele se schimbă, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de mișcări are forma: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.
Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrului asupra deplasărilor: Pentru forțele potențiale
.
cu potențial Π, Ecuații Lagrange
- acestea sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate: Aici T - energie cinetică . Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonate generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții ale timpului. Prin urmare, pentru a găsi derivata totală în funcție de timp, trebuie să aplicați regula de diferențiere:
.
functie complexa
Literatura folosita: S. M. Targ, Curs scurt mecanică teoretică," facultate
