1. Să aflăm ce transformări energetice au loc în timpul vibrațiilor pendul de primăvară(vezi Fig. 80). Când un arc este întins, energia sa potențială crește și la întindere maximă are valoarea E n = .
Pe măsură ce sarcina se deplasează spre poziția de echilibru, energia potențială a arcului scade și energie kinetică sarcina creste. În poziția de echilibru, energia cinetică a sarcinii este maximă E k = , iar energia potențială a arcului este zero.
Când un arc este comprimat, energia sa potențială crește și energia cinetică a sarcinii scade. La compresiune maximă, energia potențială a arcului este maximă, iar energia cinetică a sarcinii este zero.
Dacă neglijăm forța de frecare, atunci în orice moment de timp suma energiilor potențiale și cinetice rămâne neschimbată
E = E n + E k = const.
În prezența unei forțe de frecare, energia este cheltuită pentru a lucra împotriva acestei forțe, amplitudinea oscilațiilor scade și oscilațiile se sting.
Astfel, oscilațiile libere ale pendulului, care apar datorită alimentării inițiale de energie, sunt întotdeauna decolorare.
2. Se pune întrebarea ce trebuie făcut pentru a se asigura că fluctuațiile nu se opresc în timp. Evident, a primi oscilații amortizate este necesar să se compenseze pierderile de energie. Acest lucru se poate face în moduri diferite. Să luăm în considerare una dintre ele.
Știi bine că vibrațiile unui leagăn nu se vor stinge dacă îl împingi constant, adică acționezi asupra lui cu o oarecare forță. În acest caz, vibrațiile leagănului nu mai sunt libere, ele vor apărea sub influența unei forțe externe. Lucrarea acestei forțe externe completează cu exactitate pierderea de energie cauzată de frecare.
Să aflăm care ar trebui să fie forța externă? Să presupunem că mărimea și direcția forței sunt constante. Evident, în acest caz oscilațiile se vor opri, deoarece corpul, trecând de poziția de echilibru, nu se va mai întoarce la ea. Prin urmare, mărimea și direcția forței externe trebuie să se schimbe periodic.
Prin urmare,
oscilațiile forțate sunt oscilații care apar sub influența unei forțe externe, care se schimbă periodic.
Vibrații forțate, spre deosebire de cele gratuite, pot apărea cu orice frecvență. Frecvența oscilațiilor forțate este egală cu frecvența modificării forței care acționează asupra corpului, in acest caz se numeste forțând.
3. Să facem un experiment. Atârnăm mai multe pendule de lungimi diferite de o frânghie fixată în rafturi (Fig. 82). Să deviam pendulul A din pozitia de echilibru si lasa-l singur. Acesta va oscila liber, acționând cu o anumită forță periodică asupra frânghiei. Funia, la randul sau, va actiona asupra pendulilor ramasi. Ca urmare, toate pendulele vor începe să efectueze oscilații forțate cu frecvența oscilațiilor pendulului. A.
Vom vedea că toate pendulele vor începe să oscileze cu o frecvență egală cu frecvența oscilațiilor pendulului. A. Cu toate acestea, amplitudinea oscilațiilor lor, cu excepția pendulului C, va fi mai mică decât amplitudinea oscilațiilor pendulului A. Pendulul C, a cărui lungime este egală cu lungimea pendulului A, se va balansa foarte puternic. În consecință, pendulul are cea mai mare amplitudine de oscilație, a cărei frecvență naturală a oscilațiilor coincide cu frecvența forței motrice. În acest caz ei spun că se respectă rezonanţă.
Rezonanța este fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate atunci când frecvența forței motrice coincide cu frecvența naturală a sistemului oscilator (pendul).
Rezonanța poate fi observată atunci când leagănul oscilează. Acum puteți explica că leagănul se va balansa mai puternic dacă este împins în timp cu propriile vibrații. În acest caz, frecvența forței externe este egală cu frecvența de oscilație a balansării. Orice împingere împotriva mișcării leagănului va determina o scădere a amplitudinii acestuia.
4 * . Să aflăm ce transformări energetice au loc în timpul rezonanței.
Dacă frecvența forței motrice diferă de frecvența naturală a vibrației corpului, atunci forța motrice va fi direcționată fie în direcția de mișcare a corpului, fie împotriva acestuia. În consecință, munca acestei forțe va fi fie negativă, fie pozitivă. În general, munca forței motrice în acest caz modifică ușor energia sistemului.
Fie acum frecvența forței exterioare egală cu frecvența naturală a oscilațiilor corpului. În acest caz, direcția forței motrice coincide cu direcția vitezei corpului, iar forța de rezistență este compensată de o forță externă. Corpul vibrează doar sub influență forțe interne. Cu alte cuvinte, munca negativă împotriva forței de rezistență este egală cu munca pozitivă a forței externe. Prin urmare, oscilațiile apar cu amplitudine maximă.
5. Fenomenul de rezonanță trebuie luat în considerare în practică. În special, mașinile-unelte și mașinile suferă ușoare vibrații în timpul funcționării. Dacă frecvența acestor vibrații coincide cu frecvența naturală a părților individuale ale mașinilor, atunci amplitudinea vibrațiilor poate fi foarte mare. Mașina sau suportul pe care stă se va prăbuși.
Sunt cunoscute cazuri când, din cauza rezonanței, un avion s-a prăbușit în aer, elicele navelor s-au rupt, iar șinele de cale ferată s-au prăbușit.
Rezonanța poate fi prevenită prin schimbarea fie a frecvenței naturale a sistemului, fie a frecvenței forței care provoacă oscilațiile. În acest scop, de exemplu, soldații care traversează un pod nu merg în pas, ci în ritm liber. În caz contrar, frecvența pașilor lor poate coincide cu frecvența naturală a podului și se va prăbuși. Acest lucru s-a întâmplat în 1750 în Franța, când un detașament de soldați a trecut peste un pod lung de 102 m atârnat pe lanțuri. Un incident similar a avut loc la Sankt Petersburg în 1906. Când o escadrilă de cavalerie a traversat Podul Egiptean peste râul Fontanka, frecvența pasului clar al cailor a coincis cu frecvența de vibrație a podului.
Pentru a preveni rezonanța, trenurile traversează podurile la viteze mici sau foarte mari, astfel încât frecvența impactului roților asupra îmbinărilor șinei este semnificativ mai mică sau semnificativ mai mare decât frecvența naturală a podului.
Fenomenul de rezonanță nu este întotdeauna dăunător. Uneori poate fi util, deoarece vă permite să obțineți o creștere mare a amplitudinii vibrațiilor chiar și cu ajutorul unei forțe mici.
Acțiunea unui dispozitiv care vă permite să măsurați frecvența oscilațiilor se bazează pe fenomenul de rezonanță. Acest dispozitiv este numit frecvențămetru. Munca lui poate fi ilustrată prin următorul experiment. La mașina centrifugă este atașat un model de frecvență, care constă dintr-un set de plăci (limbi) de lungimi diferite (Fig. 83). La capetele plăcilor sunt steaguri de tablă acoperite cu vopsea albă. Puteți observa că atunci când schimbați viteza de rotație a mânerului mașinii, diferite plăci încep să vibreze. Acele plăci a căror frecvență naturală este egală cu frecvența de rotație încep să vibreze.
Întrebări de autotest
1. Ce determină amplitudinea oscilațiilor libere ale unui pendul cu arc?
2. Amplitudinea oscilațiilor pendulului rămâne constantă în prezența forțelor de frecare?
3. Ce transformări energetice au loc atunci când un pendul cu arc oscilează?
4. De ce sunt amortizate oscilațiile libere?
5. Ce vibrații se numesc forțate? Dați exemple de oscilații forțate.
6. Ce este rezonanța?
7. Dați exemple de manifestări dăunătoare ale rezonanței. Ce trebuie făcut pentru a preveni rezonanța?
8. Dați exemple de utilizare a fenomenului de rezonanță.
Sarcina 26
1. Completați tabelul 14, notând ce forță acționează asupra sistemului oscilator dacă efectuează oscilații libere sau forțate; care sunt frecvența și amplitudinea acestor oscilații; indiferent dacă sunt amortizate sau nu.
Tabelul 14
|
Caracteristicile oscilației |
Tipul de vibrații |
|
|
Disponibil |
Forţat |
|
|
Forța de acțiune |
||
|
Frecvență |
||
|
Amplitudine |
||
|
Atenuare |
||
2 e.Propuneți un experiment pentru observarea oscilațiilor forțate.
3 e.Studiați experimental fenomenul de rezonanță folosind pendulele matematice pe care le-ați realizat.
4. La o anumită viteză de rotație a roții mașinii de cusut, masa pe care stă uneori se leagănă puternic. De ce?
Pentru ca sistemul să efectueze oscilații neamortizate, este necesar să se compenseze pierderea energiei de oscilație din cauza frecării din exterior. Pentru a ne asigura că energia de oscilație a sistemului nu scade, de obicei se introduce o forță care acționează periodic asupra sistemului (vom numi o astfel de forță forțată, iar oscilațiile sunt forțate).
DEFINIȚIE: forţat Acestea sunt oscilațiile care apar într-un sistem oscilator sub influența unei forțe externe care se schimbă periodic.
Această forță joacă de obicei un dublu rol:
În primul rând, afectează sistemul și îi oferă o anumită cantitate de energie;
În al doilea rând, completează periodic pierderile de energie (consumul de energie) pentru a depăși forțele de rezistență și frecare.
Lăsați forța motrice să se schimbe în timp conform legii:
Să compunem o ecuație de mișcare pentru un sistem care oscilează sub influența unei astfel de forțe. Presupunem că sistemul este afectat și de o forță cvasi-elastică și de forța de rezistență a mediului (ceea ce este adevărat în ipoteza unor oscilații mici).
Atunci ecuația de mișcare a sistemului va arăta astfel:
Sau 
.
După efectuarea substituțiilor , , - frecvența naturală a oscilațiilor sistemului, obținem o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul 2:
Din teoria ecuaţiilor diferenţiale se ştie că decizie comună Nu ecuație omogenă este egală cu suma soluției generale a ecuației omogene și a soluției particulare a ecuației neomogene.
Soluția generală a ecuației omogene este cunoscută:
,
Unde 
; A 0 și A- const. arbitrar.
.
Folosind o diagramă vectorială, puteți verifica dacă această ipoteză este adevărată și, de asemenea, puteți determina valorile lui „ A" Și " j”.
Amplitudinea oscilațiilor este determinată de următoarea expresie:
.
Sens " j”, care este mărimea decalajului de fază al oscilației forțate 
din forța motrice care a determinat-o, se determină și din diagrama vectorială și se ridică la:
.
În cele din urmă, o soluție specială a ecuației neomogene va lua forma:
 |
(8.18) |
Această funcție, combinată cu
 |
(8.19) |
dă o soluţie generală la neomogen ecuație diferențială, descriind comportamentul sistemului sub oscilații forțate. Termenul (8.19) joacă un rol semnificativ în etapa inițială a procesului, în timpul așa-numitei stabiliri a oscilațiilor (Fig. 8.10).
În timp, din cauza factorului exponenţial, rolul celui de-al doilea termen (8.19) scade din ce în ce mai mult, iar după un timp suficient poate fi neglijat, reţinându-se doar termenul (8.18) în soluţie.
Astfel, funcția (8.18) descrie oscilații forțate în regim de echilibru. Ei reprezintă vibratii armonice cu o frecvenţă egală cu frecvenţa forţei motrice. Amplitudinea oscilațiilor forțate este proporțională cu amplitudinea forței motrice. Pentru un sistem oscilator dat (definit prin w 0 și b), amplitudinea depinde de frecvența forței motrice. Oscilațiile forțate rămân în urma forței motrice în fază, iar mărimea decalajului „j” depinde și de frecvența forței motrice.
Dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice duce la faptul că la o anumită frecvență determinată pentru un sistem dat, amplitudinea oscilațiilor atinge o valoare maximă. Sistemul oscilator se dovedește a fi deosebit de sensibil la acțiunea forței motrice la această frecvență. Acest fenomen se numește rezonanță, iar frecvența corespunzătoare este frecvența de rezonanță.
DEFINIȚIE: un fenomen în care se observă o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate se numește rezonanţă.
Frecvența de rezonanță este determinată din condiția maximă pentru amplitudinea oscilațiilor forțate:
. (8.20)
Apoi, înlocuind această valoare în expresia pentru amplitudine, obținem:
. (8.21)
În absența rezistenței medii, amplitudinea oscilațiilor la rezonanță s-ar transforma la infinit; frecvența de rezonanță în aceleași condiții (b = 0) coincide cu frecvența naturală a oscilațiilor.
Dependenţa amplitudinii oscilaţiilor forţate de frecvenţa forţei motrice (sau, ceea ce este la fel, de frecvenţa de oscilaţie) poate fi reprezentată grafic (Fig. 8.11). Curbele individuale corespund sensuri diferite„b”. Cu cât „b” este mai mic, cu atât este mai mare și la dreapta maximul acestei curbe (vezi expresia pentru w res.). Cu o amortizare foarte mare, rezonanța nu se observă - cu frecvența crescândă, amplitudinea oscilațiilor forțate scade monoton (curba inferioară în Fig. 8.11).
Se numește setul de grafice prezentate corespunzătoare diferitelor valori ale lui b curbe de rezonanță.
Note referitor la curbele de rezonanță:
Pe măsură ce w®0 tinde, toate curbele ajung la aceeași valoare diferită de zero, egală cu . Această valoare reprezintă deplasarea față de poziția de echilibru pe care o primește sistemul sub influența unei forțe constante F 0 .
Pentru w®¥, toate curbele tind asimptotic spre zero, deoarece la frecvențe înalte, forța își schimbă direcția atât de repede încât sistemul nu are timp să se schimbe vizibil din poziția sa de echilibru.
Cu cât b este mai mic, cu atât amplitudinea aproape de rezonanță se schimbă cu frecvența, cu atât este mai „ascuțit” maxim.
Exemple:
Fenomenul de rezonanță se dovedește adesea a fi util, mai ales în acustică și inginerie radio.
Pierderile de energie mecanică în orice sistem oscilator din cauza prezenței forțelor de frecare sunt inevitabile, prin urmare, fără „pomparea” energiei din exterior, oscilațiile vor fi amortizate. Există mai multe moduri fundamental diferite de a crea sisteme oscilatorii de oscilații continue. Să aruncăm o privire mai atentă la oscilații neamortizate sub influența unei forțe periodice externe. Astfel de oscilații se numesc forțate. Să continuăm să studiem mișcarea pendul armonic(Fig. 6.9).
În plus față de forțele de elasticitate și de frecare vâscoasă discutate anterior, mingea este acționată asupra unui convingătoare forta periodica variind dupa o lege armonica
frecvența, care poate diferi de frecvența naturală de oscilație a pendulului ω o. Natura acestei forțe în acest caz nu este importantă pentru noi. O astfel de forță poate fi creată în diferite moduri, de exemplu, prin transmiterea unei sarcini electrice mingii și plasarea acesteia într-un câmp electric alternativ extern. Ecuația de mișcare a mingii în cazul în cauză are forma
Să o împărțim la masa mingii și să folosim notația anterioară pentru parametrii sistemului. Ca rezultat obținem ecuația de oscilație forțată:
Unde f o = F o /m− raportul dintre valoarea amplitudinii forței motrice externe și masa mingii. Soluția generală a ecuației (3) este destul de greoaie și, desigur, depinde de condițiile inițiale. Natura mișcării mingii, descrisă de ecuația (3), este clară: sub influența forței motrice, vor apărea oscilații, a căror amplitudine va crește. Acest regim de tranziție este destul de complex și depinde de condițiile inițiale. După o anumită perioadă de timp, modul oscilator va fi stabilit și amplitudinea acestora va înceta să se mai schimbe. Exact stare constantă de oscilație, în multe cazuri este de interes primordial. Nu vom lua în considerare trecerea sistemului la o stare de echilibru, ci ne vom concentra pe descrierea și studierea caracteristicilor acestui mod. Cu această formulare a problemei, nu este nevoie să precizăm condițiile inițiale, deoarece starea staționară de care ne interesează nu depinde de condițiile inițiale, caracteristicile sale sunt complet determinate de ecuația însăși. Am întâlnit o situație similară când am studiat mișcarea unui corp sub acțiunea unei forțe externe constante și a forței de frecare vâscoasă.
După ceva timp, corpul se mișcă cu o viteză constantă v = F o /β , care nu depinde de condițiile inițiale și este complet determinată de ecuația mișcării. Condițiile inițiale determină regimul de tranziție la mișcare constantă. Pe baza bunului simț, este rezonabil să presupunem că într-un mod constant de oscilație bila va oscila la frecvența forței motrice externe. Prin urmare, soluția ecuației (3) ar trebui căutată într-o funcție armonică cu frecvența forței motrice. Mai întâi, să rezolvăm ecuația (3), neglijând forța de rezistență
Să încercăm să-i găsim soluția sub forma unei funcții armonice
Pentru a face acest lucru, calculăm dependența vitezei și accelerației corpului în timp, ca derivate ale legii mișcării.
și înlocuiți valorile lor în ecuația (4)
Acum îl puteți reduce cu cosωt. În consecință, această expresie se transformă în identitatea corectă în orice moment, sub rezerva îndeplinirii condiției.
Astfel, ipoteza noastră despre soluția ecuației (4) în forma (5) a fost justificată: starea staționară a oscilațiilor este descrisă de funcția
Rețineți că coeficientul A conform expresiei rezultate (6) poate fi fie pozitiv (cu ω < ω o), și negativ (cu ω > ω o). Schimbarea semnului corespunde unei schimbări a fazei oscilațiilor prin π (motivul acestei modificări va fi clarificat puțin mai târziu), prin urmare amplitudinea oscilațiilor este modulul acestui coeficient |A|. Amplitudinea oscilațiilor în regim staționar, așa cum ar fi de așteptat, este proporțională cu mărimea forței motrice. În plus, această amplitudine depinde într-un mod complex de frecvența forței motrice. Un grafic schematic al acestei relații este prezentat în Fig. 6.10
Orez. 6.10 Curba de rezonanță
După cum rezultă din formula (6) și este clar vizibil pe grafic, pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a sistemului, amplitudinea crește brusc. Motivul acestei creșteri a amplitudinii este clar: forța motrice „în timpul” împinge mingea, când frecvențele coincid complet, modul stabilit este absent - amplitudinea crește la infinit. Desigur, în practică este imposibil de observat o astfel de creștere infinită: in primul rand, acest lucru poate duce la distrugerea sistemului oscilator în sine, În al doilea rând, la amplitudini mari de oscilații, forțele de rezistență ale mediului nu pot fi neglijate. O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a oscilațiilor sistemului se numește fenomen de rezonanță. Să trecem acum la căutarea unei soluții la ecuația oscilațiilor forțate ținând cont de forța de rezistență
Desigur, și în acest caz, soluția trebuie căutată sub forma unei funcții armonice cu frecvența forței motrice. Este ușor de observat că căutarea unei soluții în forma (5) în acest caz nu va duce la succes. Într-adevăr, ecuația (8), spre deosebire de ecuația (4), conține viteza particulelor, care este descrisă de funcția sinus. Prin urmare, partea de timp din ecuația (8) nu va fi redusă. Prin urmare, soluția ecuației (8) ar trebui reprezentată sub forma generală a unei funcții armonice
în care există doi parametri A oȘi φ trebuie găsit folosind ecuația (8). Parametru A o este amplitudinea oscilațiilor forțate, φ − defazare între coordonatele în schimbare și forța motrice variabilă. Folosind formula trigonometrică pentru cosinusul sumei, funcția (9) poate fi reprezentată sub forma echivalentă
care contine si doi parametri B=A o cosφȘi C = −A o sinφ a fi determinat. Folosind funcția (10), scriem expresii explicite pentru dependențele vitezei și accelerației unei particule în timp
și înlocuiți în ecuația (8):
Să rescriem această expresie sub forma
Pentru ca egalitatea (13) să fie satisfăcută în orice moment, este necesar ca coeficienții cosinusului și sinusului să fie egali cu zero. Pe baza acestei condiții, obținem două ecuații liniare pentru determinarea parametrilor funcției (10):
Soluția acestui sistem de ecuații are forma
Pe baza formulei (10), determinăm caracteristicile oscilațiilor forțate: amplitudine
schimbare de fază
La atenuare scăzută, această dependență are un maxim ascuțit pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie ω la frecvenţa naturală a sistemului ω o. Astfel, în acest caz, poate apărea și rezonanța, motiv pentru care dependențele reprezentate sunt adesea numite curbă de rezonanță. Luând în considerare atenuarea slabă arată că amplitudinea nu crește la infinit, valoarea sa maximă depinde de coeficientul de atenuare - pe măsură ce acesta din urmă crește, amplitudinea maximă scade rapid. Dependența rezultată a amplitudinii oscilației de frecvența forței de antrenare (16) conține prea mulți parametri independenți ( f o , ω o , γ ) pentru a construi o familie completă de curbe de rezonanță. Ca în multe cazuri, această relație poate fi simplificată semnificativ prin trecerea la variabile „adimensionale”. Să transformăm formula (16) în următoarea formă
si denota
− frecvența relativă (raportul dintre frecvența forței motrice și frecvența naturală a oscilațiilor sistemului);
− amplitudine relativă (raportul dintre amplitudinea oscilației și valoarea abaterii A o = f/ω o 2 la frecvență zero);
− parametru adimensional care determină cantitatea de atenuare. Folosind aceste notații, funcția (16) este simplificată semnificativ
întrucât conţine un singur parametru − δ . O familie de curbe de rezonanță cu un parametru descrisă de funcția (16 b) poate fi construită, mai ales cu ușurință folosind un computer. Rezultatul acestei construcții este prezentat în Fig. 629.
orez. 6.11
Rețineți că trecerea la unitățile de măsură „convenționale” poate fi efectuată prin simpla schimbare a scării axelor de coordonate. De remarcat că frecvența forței motrice, la care amplitudinea oscilațiilor forțate este maximă, depinde și de coeficientul de amortizare, scăzând ușor pe măsură ce acesta din urmă crește. În sfârșit, subliniem că o creștere a coeficientului de amortizare duce la o creștere semnificativă a lățimii curbei de rezonanță. Defazajul rezultat între oscilațiile punctului și forța motrice depinde și de frecvența oscilațiilor și de coeficientul lor de amortizare. Vom deveni mai familiarizați cu rolul acestei schimbări de fază atunci când luăm în considerare conversia energiei în procesul de oscilații forțate.
frecvența oscilațiilor libere neamortizate coincide cu frecvența naturală, frecvența oscilațiilor amortizate este puțin mai mică decât cea naturală, iar frecvența oscilațiilor forțate coincide cu frecvența forței motrice, și nu cu frecvența naturală.
Oscilații electromagnetice forțate
Forţat Acestea sunt oscilațiile care apar într-un sistem oscilator sub influența unei influențe periodice externe.
Fig.6.12. Circuit cu oscilații electrice forțate
Să luăm în considerare procesele care au loc într-un circuit oscilator electric ( Fig.6.12), conectat la o sursă externă, a cărei fem variază în funcție de legea armonică
,
Unde m– amplitudinea EMF externă,
– frecvența ciclică a CEM.
Să notăm prin U C tensiune pe condensator și prin i - puterea curentului în circuit. În acest circuit, în plus față de EMF variabilă (t) este activă și fem-ul autoindus Lîn inductor.
FEM de auto-inducție este direct proporțională cu rata de schimbare a curentului din circuit
.
Pentru retragere ecuația diferențială a oscilațiilor forțate apărând într-un astfel de circuit, folosim a doua regulă a lui Kirchhoff
.
Tensiune peste rezistența activă R găsiți prin legea lui Ohm
.
Puterea curentului electric este egală cu sarcina care curge pe unitatea de timp prin secțiunea transversală a conductorului
.
Prin urmare
.
Voltaj U C de pe condensator este direct proporțională cu sarcina de pe plăcile condensatorului
.
FEM de auto-inducție poate fi reprezentată prin derivata a doua a sarcinii în raport cu timpul
.
Înlocuirea tensiunii și a EMF în a doua regulă a lui Kirchhoff
.
Împărțind ambele părți ale acestei expresii prin Lși distribuind termenii în funcție de gradul de ordine descrescătoare a derivatei, obținem o ecuație diferențială de ordinul doi
.
Să introducem următoarea notație și să obținem
- coeficient de atenuare,
– frecvența ciclică a oscilațiilor naturale ale circuitului.
.
(1)
Ecuația (1) este eterogen ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Acest tip de ecuație descrie comportamentul unei clase largi de sisteme oscilatoare (electrice, mecanice) sub influența influenței periodice externe (emf externă sau forță externă).
Soluția generală a ecuației (1) constă din soluția generală q 1 omogen ecuație diferențială (2)
(2)
și orice soluție privată q 2 eterogen ecuații (1)
.
Tipul soluției generale omogen ecuația (2) depinde de valoarea coeficientului de atenuare . Ne va interesa cazul atenuării slabe << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Unde BȘi 0 – constante specificate de condițiile inițiale.
Soluția (3) descrie oscilațiile amortizate în circuit. Valori incluse în (3):
– frecvența ciclică a oscilațiilor amortizate;
– amplitudinea oscilațiilor amortizate;
–faza oscilaţiilor amortizate.
Căutăm o soluție particulară a ecuației (1) sub forma unei oscilații armonice care se produce cu o frecvență egală cu frecvența influență periodică externă - EMF, și întârziere în fază de De la el
Unde 
– amplitudinea oscilațiilor forțate, în funcție de frecvență.
Să substituim (4) în (1) și să obținem identitatea
Pentru a compara fazele oscilațiilor, folosim formule de reducere trigonometrice
.
Apoi ecuația noastră va fi rescrisă ca
Să reprezentăm oscilațiile din partea stângă a identității rezultate în formă diagrama vectoriala (orez.6.13)..
Al treilea termen corespunzător oscilațiilor asupra capacității CU, având fază (
t
–
) și amplitudine 
, îl reprezentăm ca un vector orizontal îndreptat spre dreapta.
Fig.6.13. Diagrama vectorială
Primul termen din partea stângă, corespunzător oscilațiilor în inductanță L, va fi reprezentat pe diagrama vectorială ca un vector îndreptat orizontal spre stânga (amplitudinea acestuia 
).
Al doilea termen corespunzător oscilațiilor în rezistență R, îl reprezentăm ca un vector îndreptat vertical în sus (amplitudinea sa 
), deoarece faza sa este /2 în spatele fazei primului termen.
Deoarece suma a trei vibrații la stânga semnului egal dă o vibrație armonică 
, apoi suma vectorială de pe diagramă (diagonala dreptunghiului) prezintă o oscilație cu o amplitudine 
si faza
t, care este pornit
avansează faza de oscilație a celui de-al treilea termen.
Dintr-un triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora, puteți găsi amplitudinea A( )
(5)
Și tg ca raport dintre latura opusă și latura adiacentă.
.
(6)
În consecință, soluția (4) ținând cont de (5) și (6) va lua forma
.
(7)
Soluție generală a unei ecuații diferențiale(1) este suma q 1 și q 2
.
(8)
Formula (8) arată că atunci când un circuit este expus la un EMF extern periodic, în el apar oscilații a două frecvențe, i.e. oscilații neamortizate cu frecvența EMF externă
și oscilații amortizate cu frecvența 
. Amplitudinea oscilațiilor amortizate 
În timp, devine neglijabil de mic și în circuit rămân doar oscilații forțate, a căror amplitudine nu depinde de timp. În consecință, oscilațiile forțate în regim de echilibru sunt descrise de funcția (4). Adică, în circuit apar oscilații armonice forțate, cu o frecvență egală cu frecvența influenței externe și a amplitudinii 
, în funcție de această frecvență ( orez. 3A) conform legii (5). În acest caz, faza oscilației forțate rămâne în urmă cu
din influența coercitivă.
Având expresia diferențiată (4) în funcție de timp, găsim puterea curentului în circuit
Unde 
– amplitudinea curentului.
Să scriem această expresie pentru puterea curentă în formă
,
(9)
Unde 
–defazaj între curent și f.e.m. externă.
În conformitate cu (6) și orez. 2
.
(10)
Din această formulă rezultă că defazarea dintre curent și fem-ul extern depinde, la rezistență constantă R, din relația dintre frecvența EMF de conducere și frecvența naturală a circuitului 0 .
Dacă < 0, apoi schimbarea de fază între curent și EMF extern < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Dacă > 0 atunci > 0. Fluctuațiile curente sunt în urmă cu un unghi în urma fluctuațiilor EMF în fază .
Dacă = 0 (frecvența de rezonanță), Acea = 0, adică puterea curentului și fem oscilează în aceeași fază.
Rezonanţă– acesta este fenomenul de creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor când frecvența forței motrice externe coincide cu frecvența naturală a sistemului oscilator.
La rezonanţă = 0 și perioada de oscilație
.
Având în vedere că coeficientul de atenuare
,
obţinem expresii pentru factorul de calitate la rezonanţă T = T 0
,
pe cealaltă parte
.
Amplitudinile tensiunii pe inductanță și capacitatea la rezonanță pot fi exprimate prin factorul de calitate al circuitului
,
(15)
.
(16)
Din (15) și (16) este clar că atunci când
=
0, amplitudinea tensiunii pe condensator și inductanța în Q ori mai mare decât amplitudinea fem-ului extern. Aceasta este o proprietate a secvenţialului RLC circuitul este folosit pentru a izola un semnal radio de o anumită frecvență 
din spectrul de frecvențe radio la reconstrucția receptorului radio.
La practică RLC circuitele sunt conectate la alte circuite, instrumente de măsură sau dispozitive de amplificare care introduc o atenuare suplimentară în RLC circuit. Prin urmare, valoarea reală a factorului de calitate a încărcat RLC circuitul se dovedește a fi mai mic decât valoarea factorului de calitate, estimată prin formulă
.
Valoarea reală a factorului de calitate poate fi estimată ca
Fig.6.14. Determinarea factorului de calitate din curba de rezonanță
,
unde f– lățimea de bandă a frecvențelor în care amplitudinea este de 0,7 din valoarea maximă ( orez. 4).
Tensiunea condensatorului U C, pe rezistența activă U R iar pe inductor U L atinge un maxim la frecvențe diferite, respectiv
,
,
.
Dacă atenuarea este scăzută 0 >> , atunci toate aceste frecvențe practic coincid și putem presupune că
.
Să ne întoarcem din nou la Figura 53. Deplasând mingea din punctul O (poziție de echilibru) în punctul B, întindem arcul. În același timp, lucrăm pentru a depăși forța elasticității sale, datorită căreia arcul capătă energie potențială. Dacă acum eliberați bila, atunci pe măsură ce se apropie de punctul O, deformarea arcului și energia potențială a pendulului vor scădea, iar viteza și energia cinetică vor crește.
Să presupunem că pierderea de energie pentru a depăși forțele de frecare în timpul mișcării pendulului este neglijabilă. Apoi, conform legii conservării energiei, energia mecanică totală a pendulului (adică E p + E k) în orice moment de timp poate fi considerată aceeași și egală cu energia potențială pe care am impartit-o inițial arcului, întinzându-l pe lungimea segmentului OB. În acest caz, pendulul ar putea oscila atât timp cât se dorește cu o amplitudine constantă egală cu OB.
Acesta ar fi cazul dacă nu ar exista pierderi de energie în timpul mișcării.
Dar, în realitate, există întotdeauna pierderi de energie. Energia mecanică este cheltuită, de exemplu, pentru a efectua lucrări pentru a depăși forțele de rezistență a aerului, transformându-se în energie internă. Amplitudinea oscilațiilor scade treptat, iar după un timp oscilațiile se opresc. Astfel de oscilații se numesc amortizate (Fig. 66).
Orez. 66. Grafice ale amplitudinii oscilațiilor libere care apar în apă și aer în funcție de timp
Cu cât rezistența la mișcare este mai mare, cu atât vibrațiile se opresc mai repede. De exemplu, vibrațiile se degradează mai repede în apă decât în aer (Fig. 66, a, b).
Până acum, am luat în considerare oscilațiile libere, adică oscilațiile care apar datorită rezervei inițiale de energie.
Oscilațiile libere sunt întotdeauna amortizate, deoarece întreaga sursă de energie transmisă inițial sistemului oscilator este în cele din urmă să lucreze pentru a depăși forțele de frecare și rezistență ale mediului (adică, energia mecanică se transformă în energie internă). Prin urmare, vibrațiile libere nu au aproape nicio aplicație practică.
Pentru ca oscilațiile să nu fie amortizate, este necesar să se reînnoiască energia pierdută în fiecare perioadă de oscilație. Acest lucru se poate realiza acționând asupra unui corp oscilant cu o forță care se schimbă periodic. De exemplu, împingând de fiecare dată un leagăn în timp cu vibrațiile sale, vă puteți asigura că vibrațiile nu se estompează.
- Oscilațiile efectuate de un corp sub influența unei forțe externe care se schimbă periodic se numesc oscilații forțate
Forța externă care variază periodic care provoacă aceste oscilații se numește forță coercitivă.
Dacă o forță de forțare care se schimbă periodic începe să acționeze asupra unei balansări staționare, atunci pentru o perioadă de timp amplitudinea oscilațiilor forțate ale balansării va crește, adică amplitudinea fiecărei oscilații ulterioare va fi mai mare decât cea anterioară. Creșterea amplitudinii se va opri atunci când energia pierdută de balansare pentru a depăși forța de frecare devine egală cu energia pe care o primește din exterior (datorită muncii forței motrice).
În cele mai multe cazuri, o frecvență constantă a oscilațiilor forțate nu se stabilește imediat, ci la ceva timp după debutul lor.
Când amplitudinea și frecvența oscilațiilor forțate încetează să se schimbe, se spune că oscilațiile sunt stabilite.
Frecvența oscilațiilor forțate în regim staționar este egală cu frecvența forței motrice.
Oscilațiile forțate pot fi efectuate chiar și de corpuri care nu sunt sisteme oscilatorii, de exemplu, acul unei mașini de cusut, pistoanele într-un motor cu ardere internă și multe altele. Vibrațiile unor astfel de corpuri apar și la frecvența forței motrice.
Oscilațiile forțate sunt neamortizate. Ele apar atâta timp cât funcționează forța convingătoare.
Întrebări
- Ce se poate spune despre energia mecanică totală a unui pendul oscilant în orice moment în timp, presupunând că nu există pierderi de energie? După ce lege se poate afirma acest lucru?
- Cum are loc amplitudinea oscilațiilor libere în conditii reale? Care este motivul acestei schimbări?
- Unde va înceta pendulul să oscileze mai repede - în aer sau în apă? De ce? (Rezerva de energie inițială este aceeași în ambele cazuri.)
- Pot fi neamortizate oscilațiile libere? De ce? Ce trebuie făcut pentru a vă asigura că oscilațiile nu sunt amortizate?
- Ce se poate spune despre frecvența oscilațiilor forțate în regim de echilibru și frecvența forței motrice?
- Pot corpurile care nu sunt sisteme oscilatorii să efectueze oscilații forțate? Dă exemple.
- Cât timp apar oscilațiile forțate?
Exercițiul 25
În această lecție, toată lumea va putea studia tema „Transformarea energiei în timpul mișcării oscilatorii. Oscilații amortizate. Vibrații forțate.” În această lecție ne vom uita la ce transformare de energie are loc în timpul mișcării oscilatorii. Pentru a face acest lucru, vom efectua un experiment important cu un sistem de pendul cu arc orizontal. Vom discuta, de asemenea, probleme legate de oscilațiile amortizate și oscilațiile forțate.
Lecția este dedicată subiectului „Transformarea energiei în timpul mișcării oscilatorii”. În plus, vom lua în considerare problema legată de oscilațiile amortizate și forțate.
Să începem să ne familiarizăm cu această problemă cu următorul experiment important. De arc este atașat un corp, care poate efectua oscilații orizontale. Acest sistem se numește pendul cu arc orizontal. În acest caz, efectul gravitației poate fi ignorat.
Orez. 1. Pendul cu arc orizontal
Vom presupune că nu există forțe de frecare sau rezistență în sistem. Când acest sistem este în echilibru și nu are loc nicio oscilație, viteza corpului este 0 și nu există nicio deformare a arcului. În acest caz, acest pendul nu are energie. Dar de îndată ce corpul este deplasat față de punctul de echilibru la dreapta sau la stânga, în acest caz vom face munca de comunicare a energiei în acest sistem oscilator. Ce se întâmplă în acest caz? Se întâmplă următoarele: arcul este deformat, lungimea acestuia se modifică. Impartim energie potentiala izvorului. Dacă acum eliberați sarcina fără a o ține, aceasta va începe să se miște spre poziția de echilibru, arcul va începe să se îndrepte și deformarea arcului va scădea. Viteza corpului va crește, iar conform legii conservării energiei, energia potențială a arcului va fi transformată în energie cinetică de mișcare a corpului.
Orez. 2. Etapele oscilației unui pendul cu arc
Deformare∆x al arcului se determină astfel: ∆x = x 0 - x. Având în vedere deformarea, putem spune că toată energia potențială este stocată în primăvară: .
În timpul oscilațiilor, energia potențială este constant convertită în energie cinetică a blocului: .
De exemplu, când blocul trece de punctul de echilibru x 0, deformarea arcului este 0, adică. ∆х=0, prin urmare, energia potențială a arcului este 0 și toată energia potențială a arcului s-a transformat în energia cinetică a blocului: E p (în punctul B) = E k (în punctul A). Sau 
.
Ca urmare a unei astfel de mișcări, energia potențială este transformată în energie cinetică. Apoi intră în joc așa-numitul fenomen al inerției. Un corp care are o anumită masă trece printr-un punct de echilibru prin inerție. Viteza corpului începe să scadă, iar deformarea și alungirea arcului crește. Putem concluziona că energia cinetică a corpului scade, iar energia potențială a izvorului începe să crească din nou. Putem vorbi despre conversia energiei cinetice în energie potențială.
Când corpul se oprește în sfârșit, viteza corpului va fi egală cu 0, iar deformarea arcului va deveni maximă, în acest caz putem spune că toată energia cinetică a corpului s-a transformat în energie potențială a arcului. În viitor, totul se repetă de la început. Dacă o condiție este îndeplinită, acest proces va avea loc continuu. Care este această condiție? Această condiție este absența frecării. Dar forța de frecare, forța de rezistență, este prezentă în orice sistem. Prin urmare, cu fiecare mișcare ulterioară a pendulului, are loc o pierdere de energie. Se lucrează pentru a depăși forța de frecare. Forța de frecare conform legii Coulomb-Amonton: F TP = μ .N.
Vorbind despre oscilații, trebuie să ne amintim întotdeauna că forța de frecare duce la faptul că treptat toată energia stocată într-un sistem oscilator dat este convertită în energie internă. Ca urmare, oscilațiile se opresc și, deoarece oscilațiile se opresc, astfel de oscilații se numesc amortizate.
Oscilații amortizate - oscilații, a căror amplitudine scade datorită faptului că energia sistemului oscilator este cheltuită pentru depășirea rezistenței și a forțelor de frecare.
Orez. 3. Graficul oscilațiilor amortizate
Următorul tip de oscilații pe care îl vom lua în considerare este așa-numitul. vibratii fortate. Vibrații forțate se numesc astfel de oscilații care apar sub influența unei forțe externe periodice care acționează asupra unui sistem oscilator dat.
Dacă un pendul oscilează, atunci pentru ca aceste oscilații să continue, asupra pendulului trebuie să acționeze de fiecare dată o forță externă. De exemplu, acționăm pe un pendul cu propria mea mână, îl facem să se miște, îl împingem. Este imperativ să acționați cu o oarecare forță și să umpleți energia pierdută. Deci, oscilațiile forțate sunt acele oscilații care apar sub influența unei forțe motrice externe. Frecvența unor astfel de oscilații va coincide cu frecvența externului forță care acționează. Când o forță externă începe să acționeze asupra pendulului, se întâmplă următoarele: la început oscilațiile vor avea o amplitudine mică, dar treptat această amplitudine va crește. Și când amplitudinea capătă o valoare constantă, frecvența oscilațiilor capătă și o valoare constantă, ei spun că astfel de oscilații s-au stabilit. Se stabilesc oscilații forțate.
Stabil oscilații forțate compensa pierderea de energie tocmai datorită muncii unei forțe motrice externe.
Rezonanţă
Există un fenomen foarte important care este destul de des observat în natură și tehnologie. Acest fenomen se numește rezonanță. „Rezonanță” este un cuvânt latin și este tradus în rusă ca „răspuns”. Rezonanţă (din lat.resono - „răspund”) este fenomenul de creștere a amplitudinii oscilațiilor forțate ale sistemului, care apare atunci când frecvența influenței externe a forței se apropie de frecvența oscilației naturale a pendulului sau a unui sistem oscilator dat. .
Dacă există un pendul care are propria lungime, masă sau rigiditate a arcului, atunci acest pendul are propriile oscilații, care se caracterizează prin frecvență. Dacă o forță motrice externă începe să acționeze asupra acestui pendul și frecvența acestei forțe începe să se apropie de frecvența naturală a pendulului (coincide cu aceasta), atunci are loc o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor. Acesta este fenomenul rezonanței.
Ca urmare a acestui fenomen, vibrațiile pot fi atât de mari încât corpul, sistemul oscilator însuși, va fi distrus. Există un caz cunoscut când o formație de soldați care treceau peste un pod a prăbușit pur și simplu podul ca urmare a unui astfel de fenomen. Un alt caz când, ca urmare a mișcării maselor de aer și a rafalelor de vânt destul de puternice, un pod s-a prăbușit în SUA. Acesta este, de asemenea, un fenomen de rezonanță. Vibrațiile podului, propriile sale vibrații, au coincis cu frecvența rafalelor de vânt, o forță motrice externă. Acest lucru a făcut ca amplitudinea să crească atât de mult încât podul s-a prăbușit.
Ei încearcă să țină cont de acest fenomen atunci când proiectează structuri și mecanisme. De exemplu, atunci când un tren se mișcă, se pot întâmpla următoarele. Dacă un cărucior se deplasează și acesta începe să se balanseze în timp cu mișcarea sa, atunci amplitudinea oscilațiilor poate crește atât de mult încât vasul poate deraia. Va fi o prăbușire. Pentru a caracteriza acest fenomen se folosesc curbe numite curbe de rezonanță.
Orez. 4. Curba de rezonanță. Vârful curbei - amplitudine maximă
Desigur, rezonanța nu este doar combătută, ci și folosită. Este folosit mai ales în acustică. Acolo unde există auditoriu, sală de teatru, sală de concerte, trebuie să ținem cont de fenomenul de rezonanță.
Lista literaturii suplimentare:
Ești atât de familiarizat cu rezonanța? // Quantum. - 2003. - Nr 1. - P. 32-33 Fizica: Mecanica. Clasa a X-a: Manual. pentru studiul aprofundat al fizicii / M.M. Balashov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky și alții; Ed. G.Ya. Miakisheva. - M.: Bustard, 2002. Manual de fizică elementară. Ed. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974
