Sats om förändringen i kinetisk energi i ett system. Sats om förändringen i kinetisk energi. I uppgiften att acceptera

Om vi betraktar någon punkt i systemet med massa , ha fart , då för denna punkt kommer det att vara

var och - elementärt arbete av yttre och inre krafter som verkar på en punkt. Genom att sammanställa sådana ekvationer för var och en av systemets punkter och addera dem term för term, får vi

. (2)

Jämlikhet uttrycker satsen om förändringen i systemets kinetiska energi i differentiell form.

Om det resulterande uttrycket är relaterat till det elementära tidsintervall under vilket rörelsen i fråga inträffade, kan vi få den andra formuleringen för satsens differentialform: tidsderivata av kinetisk energi mekaniskt system lika med summan av krafterna av alla yttre () och inre () krafter, d.v.s.

Differentiella former av satsen om förändringen i kinetisk energi kan användas för att kompilera differentialekvationer rörelser, men detta görs ganska sällan, eftersom det finns mer bekväma tekniker.

Att ha integrerat båda sidor av likhet (2) inom de gränser som motsvarar systemets rörelse från någon initial position, där den kinetiska energin är lika med , till en position där värdet av den kinetiska energin blir lika , vi kommer att ha

Den resulterande ekvationen uttrycker satsen om förändringen i kinetisk energi i slutlig form: förändringen i systemets kinetiska energi under någon rörelse är lika med summan av det arbete som utförs på denna rörelse av alla yttre och inre krafter som appliceras på systemet.

Till skillnad från tidigare satser, inre krafterär inte uteslutna från ekvationerna. I själva verket, om och är krafterna för interaktion mellan punkter och systemet (se fig. 51), då . Men samtidigt kan punkten , röra sig mot , och punkten - mot . Arbetet som utförs av varje kraft blir då positivt och summan av arbetet blir inte noll. Ett exempel är fenomenet rollback. Inre krafter (tryckkrafter), som verkar på både projektilen och de rullande delarna, gör positivt arbete här. Summan av dessa arbeten, som inte är lika med noll, ändrar systemets kinetiska energi från värdet i början av skottet till värdet i slutet.

Ett annat exempel: två punkter förbundna med en fjäder. När avståndet mellan punkterna ändras kommer de elastiska krafterna som appliceras på punkterna att fungera. Men om systemet består av absolut fasta ämnen och kopplingarna mellan dem är oföränderliga, icke-elastiska, idealiska, då kommer arbetet med inre krafter att vara lika med noll och de kan ignoreras och inte visas alls på designdiagrammet.

Låt oss överväga två viktiga specialfall.

1) Oföränderligt system. Oföränderlig vi kallar ett system där avstånden mellan appliceringspunkterna för inre krafter inte ändras när systemet rör sig. I synnerhet är ett sådant system en absolut stel kropp eller en outtöjbar tråd.

Fig. 51

Låt två punkter i ett oföränderligt system (fig. 51), som verkar på varandra med krafter och () ha i just nu hastighet och . Sedan över en tid dt dessa punkter kommer att göra elementära rörelser och , riktad längs vektorerna och . Men eftersom segmentet är oföränderligt, så, enligt den välkända kinematiksatsen, projektionen av vektorer och , och därför kommer både förskjutningarna och segmentets riktning att vara lika med varandra, dvs. . Då blir krafternas elementära arbete lika i storlek och motsatt i tecken och kommer att summera till noll. Detta resultat gäller för alla inre krafter för alla rörelser i systemet.

Av detta drar vi slutsatsen att för ett oföränderligt system är summan av det arbete som utförs av alla inre krafter noll och ekvationerna tar formen

2) System med idealiska anslutningar. Låt oss överväga ett system som påtvingas anslutningar som inte förändras över tiden. Låt oss dela in alla yttre och inre krafter som verkar på punkter i systemet i aktiv Och anslutningsreaktioner. Sedan

var pågår det elementära arbetet k- punkten i systemet av yttre och inre aktiva krafter, a är det elementära reaktionsarbetet som påtvingas samma punkt av yttre och inre förbindelser.

Som vi ser beror förändringen i systemets kinetiska energi på bindningars arbete och aktiva krafter och reaktioner. Det är dock möjligt att introducera konceptet med sådana "ideala" mekaniska system där närvaron av anslutningar inte påverkar förändringen i systemets kinetiska energi under dess rörelse. För sådana anslutningar måste uppenbarligen följande villkor vara uppfyllt:

Om för anslutningar som inte förändras med tiden, summan av det arbete som utförs av alla reaktioner under en elementär förskjutning av systemet är lika med noll, kallas sådana anslutningar idealisk. För ett mekaniskt system på vilket endast idealiska anslutningar som inte förändras med tiden påtvingas, kommer vi uppenbarligen att ha

Således är förändringen i den kinetiska energin för ett system med idealiska anslutningar som inte förändras över tiden under någon rörelse av det lika med summan av arbetet med denna rörelse som tillämpas på systemets externa och interna aktiva krafter.

Det mekaniska systemet kallas konservativ(dess energi är så att säga bevarad och förändras inte), om det finns en energiintegral för den

eller (3)

Det är där lagen om bevarande av mekanisk energi: när ett system rör sig i ett potentiellt fält förblir dess mekaniska energi (summan av potential och kinetisk) oförändrad och konstant hela tiden.

Ett mekaniskt system kommer att vara konservativt om krafterna som verkar på det är potentiella, till exempel gravitation, elastiska krafter. I konservativa mekaniska system kan energiintegralen användas för att kontrollera korrektheten av differentialekvationerna för rörelse. Om systemet är konservativt och villkor (3) inte är uppfyllt, gjordes ett fel vid sammanställningen av rörelseekvationerna.

Energiintegralen kan användas för att kontrollera ekvationers korrekthet på annat sätt, utan att beräkna derivatan. För att göra detta, efter att ha utfört numerisk integration av rörelseekvationerna, beräkna värdet av den totala mekaniska energin för två olika tidpunkter, till exempel initial och slutlig. Om skillnaden i värden visar sig vara jämförbar med beräkningsfelen, kommer detta att indikera riktigheten av de använda ekvationerna.

Alla tidigare satser gjorde det möjligt att utesluta inre krafter från rörelseekvationerna, men alla yttre krafter, inklusive tidigare okända reaktioner av yttre samband, behölls i ekvationerna. Det praktiska värdet av satsen om förändringen i kinetisk energi är att, med idealiska samband som inte förändras över tiden, kommer det att tillåta en att utesluta från rörelseekvationerna Alla tidigare okända reaktioner av anslutningar.

Denna sats fastställer ett kvantitativt samband mellan en krafts (orsak) arbete och den kinetiska energin hos en materiell punkt (effekt).

Kinetisk energi för en materialpunktär en skalär kvantitet lika med hälften av produkten av en punkts massa och kvadraten på dess hastighet

. (43)

Kinetisk energi kännetecknar kraftens mekaniska verkan, som kan omvandlas till andra typer av energi, till exempel termisk.

Kraftarbete på en given rörelse kallas egenskapen för det kraftåtgärd, vilket leder till en förändring av hastighetsmodulen.

Elementärt kraftarbete definieras som skalärprodukten av kraftvektorn och den elementära förskjutningsvektorn vid den tidpunkt de appliceras

, (44)

Där
- elementär rörelse.

Modulen för elementärt arbete bestäms av formeln

Där  - vinkeln mellan kraftvektorn och den elementära förskjutningsvektorn; - projektion av kraftvektorn på tangenten.

Det totala arbetet på någon finit förskjutning bestäms av integralen

. (46)

Av (46) följer att det totala arbetet kan beräknas i två fall, då kraften är konstant eller beror på förskjutningen.

På F=konst vi får
.

När man löser problem är det ofta bekvämt att använda den analytiska metoden för att beräkna kraft

Där F x , F y , F z– kraftprojektioner på koordinataxlarna.

Låt oss bevisa följande teorem.

Sats: Förändringen i den kinetiska energin för en materialpunkt vid en del av dess förskjutning är lika med arbetet av kraften som verkar på punkten vid samma förskjutning.

Låt materialet punkt M av massa m rör sig under inflytande av våld F från position M 0 till position M 1.

OUD:
. (47)

Låt oss introducera substitutionen
och projicera (47) på tangenten

. (48)

Vi separerar variablerna i (48) och integrerar

Som ett resultat får vi

. (49)

Ekvation (49) bevisar satsen ovan.

Satsen är bekväm att använda när de givna och sökta parametrarna inkluderar massan av en punkt, dess initiala och slutliga hastighet, krafter och förskjutning.

Beräkning av karaktäristiska krafters arbete.

1. Tyngdkraftsarbete beräknas som produkten av kraftmodulen och den vertikala förskjutningen av dess appliceringspunkt

. (50)

När man flyttar upp är verket positivt, när man flyttar ner är det negativt.

2. Arbete av elastisk kraft av en fjäder F=-cx lika med

, (51)

Där x 0 – initial förlängning (kompression) av fjädern;

x 1 – slutlig förlängning (kompression) av fjädern.

Tyngdkraften och den elastiska kraften beror inte på rörelsebanan för deras appliceringspunkter. Sådana krafter, vars arbete inte beror på banan, kallas potentiella krafter.

3. Arbete av friktionskraft.

Eftersom friktionskraften alltid är riktad i motsatt riktning mot rörelseriktningen är dess arbete lika med

Arbetet som utförs av friktionskraften är alltid negativt. Krafter vars arbete alltid är negativt kallas.

dissipativ

Den kinetiska energin i ett mekaniskt system är summan av de kinetiska energierna för alla dess materiella punkter:

Låt oss beräkna skillnaden från uttrycket av kinetisk energi och utföra några enkla transformationer:

Så skillnaden mellan den kinetiska energin i ett mekaniskt system är lika med summan av de elementära verken av alla yttre och inre krafter som verkar på punkter i systemet. Detta är innehållet i satsen om förändringen i kinetisk energi.

Observera att summan av det arbete som utförs av systemets inre krafter inte är lika med noll i det allmänna fallet. Det försvinner endast i vissa speciella fall: när systemet är en absolut stel kropp; ett system av absolut styva kroppar som samverkar med hjälp av icke-deformerbara element (ideala gångjärn, absolut styva stavar, outtöjbara gängor, etc.). Av denna anledning är satsen om förändringen i kinetisk energi den enda allmänna satser dynamik, som tar hänsyn till effekten av inre krafter.

Man kan vara intresserad av förändringen i kinetisk energi inte över en oändlig tidsperiod, som gjorts ovan, utan över en viss begränsad tidsperiod. Med hjälp av integration kan vi få:

Här - värdena för kinetisk energi, respektive vid tidpunkter - summan av det totala arbetet av yttre och inre krafter under den betraktade tidsperioden.

Den resulterande likheten uttrycker satsen om förändringen i kinetisk energi i en slutlig (integral) form, som kan formuleras på följande sätt: förändringen i kinetisk energi under övergången av ett mekaniskt system från en position till en annan är lika med summan av det totala arbetet av alla yttre och inre krafter.

Den kinetiska energin i ett mekaniskt system består av de kinetiska energierna för alla dess punkter:

Genom att differentiera varje del av denna jämlikhet med avseende på tid får vi

Att använda dynamikens grundläggande lag för att Till systemets punkt m k 2i k= Fj., vi komma fram till jämställdheten

Den skalära produkten av kraften F och hastigheten v vid dess appliceringspunkt kallas tvinga makt och beteckna R:

Med denna nya notation representerar vi (11.6) i följande form:

Den resulterande likheten uttrycker differentialformen för satsen om förändringen i kinetisk energi: förändringshastigheten för den kinetiska energin i ett mekaniskt system är lika med summan j av potenserna av alla cm som verkar på systemet.

Presentation av derivatan f i (8.5) i bråkform -- och presterande

När vi sedan separerar variablerna får vi:

Där dT- kinetisk energiskillnad, dvs. dess förändring över en oändlig tidsperiod dr, dr k = k dt - elementär rörelse Till- systemets punkter, dvs. rörelse i tiden dt.

Skalär produkt av kraft F och elementär förskjutning dr dess tillämpningspunkter kallas grundläggande arbete krafter och beteckna dA:

Använda egenskaper prickprodukt det elementära kraftverket kan också representeras i formen

Här ds = dr - båglängden för kraftanbringningspunktens bana, motsvarande dess elementära förskjutning s/g; A - vinkeln mellan riktningarna för kraftvektorn F och den elementära förskjutningsvektorn c/r; F„ F y , F,- projektioner av kraftvektorn F på de kartesiska axlarna; dx, dy, dz - projektioner på de kartesiska axlarna för vektorn för elementär förskjutning s/g.

Med hänsyn till notation (11.9) kan jämlikhet (11.8) representeras i följande form:

dessa. differentialen för systemets kinetiska energi är lika med summan av de elementära verken av alla krafter som verkar på systemet. Denna likhet, liksom (11.7), uttrycker differentialformen av satsen om förändringen i kinetisk energi, men skiljer sig från (11.7) genom att den inte använder derivator, utan infinitesimala inkrement - differentialer.

Genom att utföra integrering av jämlikhet termin för termin (11.12), får vi

där följande används som integrationsgränser: 7 0 - systemets kinetiska energi vid ett ögonblick? 0 ; 7) - systemets kinetiska energi vid tidpunkten tx.

Bestämda integraler efter tidsperiod eller A(F):

Not 1. För att beräkna arbete är det ibland bekvämare att använda en icke-bågeparameterisering av banan M(s), och samordna M(x(t), y(/), z(f)). I detta fall är det för elementärt arbete naturligt att ta representation (11.11) och representera den krökta integralen i formen:

Med hänsyn till notationen (11.14) för arbete med en ändlig förskjutning, antar likheten (11.13) formen

och representerar den slutliga formen av satsen om förändringen i kinetisk energi i ett mekaniskt system.

Sats 3. Förändringen i den kinetiska energin för ett mekaniskt system när det rör sig från utgångsläget till slutläget är lika med summan av arbetet av alla krafter som verkar på punkter i systemet under denna rörelse.

Kommentar 2. Den högra sidan av jämlikhet (11.16) tar hänsyn till arbetet med all vår kraft, som agerar på systemet, både externt och internt. Ändå finns det mekaniska system för vilka det totala arbetet som utförs av alla inre krafter är noll. Egon så kallade oföränderliga system, där avstånden mellan interagerande materialpunkter inte ändras. Till exempel ett system av solida kroppar förbundna med friktionsfria gångjärn eller flexibla outtöjbara gängor. För sådana system är det i jämlikhet (11.16) tillräckligt att endast ta hänsyn till externa krafters arbete, d.v.s. teorem (11.16) har formen:

Teoremet som bevisats i § 89 är giltigt för vilken punkt som helst i systemet. Därför, om vi betraktar någon punkt i systemet med massa och hastighet, så kommer det att vara det för denna punkt

var är de elementära verken av yttre och inre krafter som verkar på en punkt. Genom att sammanställa sådana ekvationer för var och en av systemets punkter och lägga till dem term för term, finner vi att

Likhet (49) uttrycker satsen om förändringen i systemets kinetiska energi i differentialform. Efter att ha integrerat båda sidor av denna jämlikhet inom de gränser som motsvarar systemets rörelse från någon initial position, där den kinetiska energin är lika med en position där värdet av den kinetiska energin blir lika, får vi

Denna ekvation uttrycker satsen om förändringen i kinetisk energi i en annan (integral) form: förändringen i den kinetiska energin i ett system under någon rörelse är lika med summan av det arbete som utförs på denna rörelse av alla yttre och inre krafter som appliceras på systemet.

Till skillnad från tidigare satser är interna krafter i ekvationerna (49) eller (50) inte uteslutna. I själva verket, om är interaktionskrafterna mellan punkter i systemet (Fig. 309), då

Men i detta fall kan punkten röra sig i riktning mot och punkten kan röra sig i riktning mot. Arbetet för var och en av krafterna blir då positiv och summan av arbetet blir inte noll. Till exempel, under ett skott (se uppgift 127 i § 112), gör tryckkrafterna från pulvergaserna, som är interna för projektil-rekyldelarnas system, arbete och ger hastighet till systemets kroppar.

Låt oss överväga två viktiga specialfall.

1. Oföränderligt system. Vi kommer att kalla ett oföränderligt mekaniskt system där avståndet mellan varje två samverkande punkter förblir konstant under hela rörelsen.

Låt oss betrakta två punkter i ett oföränderligt system som verkar på varandra med krafter (se fig. 309). Sedan, eftersom när segmentet rör sig bör det finnas (se § 55), då och sedan - respektive, hastigheter och elementära förskjutningar av punkter. Som ett resultat får vi för summan av dessa krafters elementära verk

Detsamma kommer att hända för alla andra interagerande punkter i systemet. Som ett resultat kommer vi till slutsatsen att i fallet med ett oföränderligt system är summan av arbetet för alla inre krafter lika med noll och ekvationerna (49) eller (50) har formen

2. System med idealiska anslutningar. Låt oss överväga ett system som påtvingas anslutningar som inte förändras över tiden. Låt oss dela upp alla yttre och inre krafter som verkar på systemets punkter i aktiva och reaktionsförbindelser. Då kan ekvation (49) representeras som

var är det elementära arbetet av yttre och inre aktiva krafter som verkar på en punkt i systemet, och är det elementära arbetet av reaktioner som påtvingas samma punkt av yttre och inre förbindelser.

Om för anslutningar som inte förändras med tiden är summan av arbetet för alla reaktioner under en elementär förskjutning av systemet lika med noll, så är sådana anslutningar idealiska. Låt oss ange ett antal typer av ideala anslutningar som vi känner till.

I § 89 fastställdes att om förbindelsen är en stationär yta (eller kurva), vars friktion kan försummas, då när kroppar glider längs en sådan yta (kurva), är reaktionsarbetet N lika med noll. Sedan i § 122 visas att om vi försummar deformationer, då när en kropp rullar utan att glida på en grov yta, blir arbetet normal reaktion N och friktionskraften (d.v.s. den tangentiella komponenten av reaktionen) är noll. Vidare kommer gångjärnets reaktionsarbete R (se fig. 10 och 11), om vi bortser från friktion, också att vara lika med noll, eftersom anbringningspunkten för kraften R förblir stationär för alla rörelser av systemet. Slutligen, om i fig. 309 betrakta materialpunkter som förbundna med en stel (otöjbar) stav, då kommer krafterna att vara reaktioner från staven; arbetet med var och en av dessa reaktioner när systemet flyttas är inte lika med noll, men summan av dessa arbeten ger noll, vilket bevisats. Således kan alla ovanstående anslutningar anses vara idealiska, med hänsyn till de reservationer som gjorts.

För ett mekaniskt system som endast idealiska anslutningar som inte förändras över tiden påtvingas, kommer det att finnas

Således är förändringen i den kinetiska energin för ett system med idealiska anslutningar som inte förändras över tiden under någon rörelse av det lika med summan av arbetet med denna rörelse av yttre och inre aktiva krafter som appliceras på systemet.

Alla tidigare satser gjorde det möjligt att utesluta inre krafter från rörelseekvationerna, men alla yttre krafter, inklusive tidigare okända reaktioner av yttre samband, behölls i ekvationerna. Det praktiska värdet av satsen om förändringen i kinetisk energi är att, med idealiska kopplingar som inte förändras över tiden, gör det att man kan utesluta alla tidigare okända reaktioner av förbindelser från rörelseekvationerna.