Begreppet en funktion av många variabler

Låt det finnas n-variabler och varje x 1, x 2 ... x n från en viss uppsättning av x är associerad med en definition. nummer Z, då ges funktionen Z = f (x 1, x 2 ... x n) för många variabler på mängden x.

X – område för funktionsdefinition

x 1, x 2 ... x n – oberoende variabel (argument)

Z – funktion Exempel: Z=P x 2 1 *x 2 (cylindervolym)

Betrakta Z=f(x;y) – funktionen av 2 variabler (x 1, x 2 ersatt av x,y). Resultaten överförs analogt till andra funktioner av många variabler. Området för att bestämma funktionen av 2 variabler är hela sladden (oh) eller en del av den. Antalet värden för funktionen av 2 variabler är en yta i det tredimensionella rummet.

Tekniker för att konstruera grafer: - Betrakta ytans tvärsnitt i kvadrater || koordinatrutor.

Exempel: x = x 0, zn. kvadrat X || 0уz y = y 0 0хz Typ av funktion: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Till exempel: Z=x2 +y2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabol surround(center(0,1)

Gränser och kontinuitet för funktioner för två variabler

Låt Z=f(x;y) ges, då är A gränsen för funktionen i m.(x 0 ,y 0), om för någon godtyckligt liten mängd. nummer E>0 är ett positivt tal b>0, som för alla x, y uppfyller |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y) är kontinuerlig i ett t (x 0 , y 0) om: - det är definierat i detta t.; - har en final gräns vid x, tenderar till x 0 och y till y 0; - denna gräns = värde

fungerar i t (x 0 ,y 0), dvs. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Om funktionen är kontinuerlig i varje t. mn-va X, då är det kontinuerligt i detta område

Differentialfunktion, dess geombetydelse. Tillämpning av differential i ungefärliga värden.

dy=f’(x)∆x – differentialfunktion

dy=dx, dvs. dy=f ’(x)dx om y=x

Ur en geologisk synvinkel är differentialen för en funktion ökningen av ordinatan för tangenten ritad till grafen för funktionen vid punkten med abskissan x 0

Dif-l används vid beräkning av ca. funktionsvärden enligt formeln: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Ju närmare ∆x är x, desto mer exakt blir resultatet

Partiella derivator av första och andra ordningen

Första ordningens derivata (som kallas partiell)

A. Låt x, y vara inkrementen av de oberoende variablerna x och y någon gång från regionen X. Då kallas värdet lika med z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) totalen inkrement i punkten x 0, y 0. Om vi ​​fixar variabeln x och ger inkrementet y till variabeln y, så får vi zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Den partiella derivatan av variabeln y bestäms på liknande sätt, dvs.

Den partiella derivatan av en funktion av 2 variabler hittas med samma regler som för funktioner av en variabel.

Skillnaden är att när man differentierar en funktion med avseende på variabeln x, betraktas y som const, och när man differentierar med avseende på y, x, betraktas det som const.

Isolerade konst är kopplade till en funktion med hjälp av addition/subtraktion.

Bundna konst är kopplade till en funktion genom multiplikation/divisionsoperationer.

Derivata av isolerad const = 0

1.4.Fullständig differential av en funktion av 2 variabler och dess tillämpningar

Låt z = f(x,y), då

tz = - kallas fullt inkrement

2:a ordningens partiell derivata

För kontinuerliga funktioner av 2 variabler sammanfaller de blandade partiella derivatorna av 2:a ordningen.

Tillämpningen av partiella derivator för bestämning av partiella derivator av max- och min-funktioner kallas extrema.

A. Punkter kallas max eller min z = f(x,y) om det finns några segment så att för alla x och y från detta område f(x,y)

T. Om en extrempunkt för en funktion av 2 variabler ges, så är värdet av partiella derivator vid denna punkt lika med 0, d.v.s. ,

Punkterna där första ordningens partiella derivator kallas stationära eller kritiska.

Därför, för att hitta extremumpunkterna för en funktion av 2 variabler, används tillräckliga extremumförhållanden.

Låt funktionen z = f(x,y) vara två gånger differentierbar, och en stationär punkt,

1) och maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Full differential. Geometrisk betydelse av differential. Tillämpning av differential i ungefärliga beräkningar

A. Låt funktionen y = f(x) definieras i ett visst område vid punkterna. En funktion f(x) sägs vara differentierbar vid en punkt om dess inkrement vid denna punkt är , där den presenteras i formen (1)

Där A är ett konstant värde oberoende av , vid en fast punkt x, och är oändligt vid . En relativt linjär funktion A kallas differentialen för funktionen f(x) i en punkt och betecknas df() eller dy.

Således kan uttryck (1) skrivas som ().

Funktionens differential i uttryck (1) har formen dy = A. Liksom alla linjära funktioner är den definierad för vilket värde som helst medan ökningen av funktionen endast måste beaktas för de för vilka + hör till definitionsdomänen för funktionen f(x).

För att underlätta att skriva differentialen betecknas inkrementet med dx och kallas differentialen för den oberoende variabeln x. Därför skrivs differentialen som dy = Adx.

Om funktionen f(x) är differentierbar vid varje punkt i ett visst intervall, är dess differential en funktion av två variabler - punkten x och variabeln dx:

T. För att funktionen y = g(x) ska vara differentierbar någon gång är det nödvändigt och tillräckligt att den har en derivata vid denna punkt, och

(*)Bevis. Nödvändighet.

Låt funktionen f(x) vara differentierbar vid punkten, dvs. . Sedan

Därför finns derivatan f’() och är lika med A. Därför dy = f’()dx

Lämplighet.

Låt det finnas en derivata f’(), dvs. = f'(). Då är kurvan y = f(x) ett tangentsegment. För att beräkna värdet av en funktion vid en punkt x, ta en punkt i någon granne av den, så att det inte är svårt att hitta f() och f’()/

Partiella derivator av en funktion av två variabler.
Koncept och exempel på lösningar

I den här lektionen kommer vi att fortsätta vår bekantskap med två variablers funktion och överväga den kanske vanligaste tematiska uppgiften - att hitta partiella derivator av första och andra ordningen, samt funktionens totala differential. Deltidsstuderande möter i regel partiella derivator i 1:a året i 2:a terminen. Dessutom, enligt mina observationer, förekommer uppgiften att hitta partiella derivator nästan alltid på tentamen.

För att effektivt studera materialet nedan, du nödvändig kunna mer eller mindre säkert hitta "vanliga" derivator av funktioner av en variabel. Du kan lära dig hur du hanterar derivator korrekt på lektionerna Hur hittar man derivatan? Och Derivat av en komplex funktion. Vi kommer också att behöva en tabell med derivator av elementära funktioner och differentieringsregler. Det är bekvämast om det finns till hands i tryckt form. Du kan få referensmaterial på sidan Matematiska formler och tabeller.

Låt oss snabbt upprepa konceptet med en funktion av två variabler, jag ska försöka begränsa mig till ett minimum. En funktion av två variabler skrivs vanligtvis som , där variablerna kallas oberoende variabler eller argument.

Exempel: – funktion av två variabler.

Ibland används notationen. Det finns även uppgifter där bokstaven används istället för bokstav.

Ur geometrisk synvinkel representerar en funktion av två variabler oftast en yta i det tredimensionella rummet (plan, cylinder, sfär, paraboloid, hyperboloid, etc.). Men i själva verket är detta mer analytisk geometri, och på vår agenda är matematisk analys, som min universitetslärare aldrig lät mig skriva av mig och är min "starka sida".

Låt oss gå vidare till frågan om att hitta partiella derivator av första och andra ordningen. Jag har några goda nyheter för dem som har druckit några koppar kaffe och håller på att ställa in ofattbart svårt material: partiella derivator är nästan samma sak som "vanliga" derivator av en funktion av en variabel.

För partiella derivator är alla differentieringsregler och tabellen över derivator av elementära funktioner giltiga. Det finns bara ett par små skillnader som vi kommer att lära känna just nu:

...ja, förresten, för det här ämnet jag skapade liten pdf-bok, vilket gör att du kan "sätta i tänderna" på bara ett par timmar. Men genom att använda sajten får du förstås också resultatet - bara kanske lite långsammare:

Exempel 1

Hitta första och andra ordningens partiella derivator av funktionen

Låt oss först hitta första ordningens partiella derivator. Det finns två av dem.

Beteckningar:
eller – partiell derivata med avseende på "x"
eller – partiell derivata med avseende på "y"

Låt oss börja med . När vi hittar den partiella derivatan med avseende på "x" anses variabeln vara en konstant (konstant tal).

Kommentarer om utförda åtgärder:

(1) Det första vi gör när vi hittar den partiella derivatan är att dra slutsatser alla funktion inom parentes under primtal med abonnemang.

OBS, viktigt! VI FÖRLOR INTE prenumerationer under lösningsprocessen. I det här fallet, om du ritar ett "slag" någonstans utan , kan läraren åtminstone lägga det bredvid uppgiften (bita omedelbart bort en del av poängen för ouppmärksamhet).

(2) Vi använder reglerna för differentiering , . För ett enkelt exempel som detta kan båda reglerna enkelt tillämpas i ett steg. Var uppmärksam på den första termen: sedan anses vara en konstant, och vilken konstant som helst kan tas ur derivattecknet, sedan lägger vi den utanför parentes. Det vill säga, i det här läget är det inte bättre än ett vanligt nummer. Låt oss nu titta på den tredje termen: här, tvärtom, finns det inget att ta ut. Eftersom det är en konstant är det också en konstant, och i denna mening är det inte bättre än den sista termen - "sju".

(3) Vi använder tabellderivat och .

(4) Låt oss förenkla, eller, som jag gillar att säga, "justera" svaret.

Nu. När vi hittar den partiella derivatan med avseende på "y", då variabelnbetraktas som en konstant (konstant tal).

(1) Vi använder samma differentieringsregler , . I den första termen tar vi konstanten ur tecknet för derivatan, i den andra termen kan vi inte ta ut någonting eftersom den redan är en konstant.

(2) Vi använder tabellen över derivator av elementära funktioner. Låt oss mentalt ändra alla "X" i tabellen till "jag". Det vill säga, den här tabellen är lika giltig för (och faktiskt för nästan vilken bokstav som helst). Särskilt formlerna vi använder ser ut så här: och .

Vad betyder partiella derivator?

I huvudsak liknar 1:a ordningens partiella derivator "vanligt" derivat:

- Det här funktioner, som kännetecknar förändringstakt fungerar i riktning mot respektive axlar och. Så till exempel funktionen kännetecknar brantheten av "stigningar" och "sluttningar" ytor i abskissaxelns riktning, och funktionen berättar om "reliefen" av samma yta i ordinataaxelns riktning.

! Notera : här menar vi riktningar som parallell koordinataxlar.

För bättre förståelse, låt oss överväga en specifik punkt på planet och beräkna värdet på funktionen ("höjd") vid den:
– och föreställ dig nu att du är här (PÅ ytan).

Låt oss beräkna den partiella derivatan med avseende på "x" vid en given punkt:

Det negativa tecknet på "X"-derivatan berättar om minskar fungerar i en punkt i abskissaxelns riktning. Med andra ord, om vi gör en liten, liten (oändligt liten) steg mot axelspetsen (parallellt med denna axel), då går vi nerför ytans sluttning.

Nu tar vi reda på arten av "terrängen" i riktning mot ordinataaxeln:

Derivatan med avseende på "y" är positiv, därför, vid en punkt i axelns riktning funktionen ökar. För att uttrycka det enkelt, här väntar vi en uppförsbacke.

Dessutom karaktäriserar den partiella derivatan vid en punkt förändringstakt fungerar i motsvarande riktning. Desto större blir resultatet modulo– ju brantare yta, och vice versa, ju närmare noll den är, desto plattare yta. Så i vårt exempel är "lutningen" i abskissaxelns riktning brantare än "berget" i riktning mot ordinataaxeln.

Men det var två privata vägar. Det är helt klart att från den punkt vi är vid, (och i allmänhet från vilken punkt som helst på en given yta) vi kan gå i någon annan riktning. Det finns alltså ett intresse av att skapa en allmän "navigationskarta" som skulle informera oss om ytans "landskap" om möjligt vid varje punkt definitionsdomän för denna funktion längs alla tillgängliga stigar. Jag kommer att prata om detta och andra intressanta saker i en av följande lektioner, men låt oss nu återgå till den tekniska sidan av problemet.

Låt oss systematisera de elementära tillämpade reglerna:

1) När vi differentierar med avseende på anses variabeln vara en konstant.

2) När differentiering utförs enl, anses då vara en konstant.

3) Reglerna och tabellen över derivator av elementära funktioner är giltiga och tillämpliga för alla variabler (eller andra) genom vilka differentiering utförs.

Steg två. Vi hittar andra ordningens partiella derivator. Det finns fyra av dem.

Beteckningar:
eller – andraderivata med avseende på "x"
eller – andraderivata med avseende på "y"
eller - blandad derivata av "x av igr"
eller - blandad derivata av "Y"

Det finns inga problem med andraderivatan. Enkelt uttryckt, den andra derivatan är derivatan av den första derivatan.

För enkelhetens skull kommer jag att skriva om de första ordningens partiella derivator som redan hittats:

Låt oss först hitta blandade derivat:

Som du kan se är allt enkelt: vi tar den partiella derivatan och differentierar den igen, men i det här fallet - den här gången enligt "Y".

Likaledes:

I praktiska exempel kan du fokusera på följande jämställdhet:

Genom andra ordningens blandade derivator är det alltså mycket bekvämt att kontrollera om vi har hittat första ordningens partiella derivator korrekt.

Hitta andraderivatan med avseende på "x".
Inga uppfinningar, låt oss ta det och särskilj det med "x" igen:

Likaledes:

Det bör noteras att när du hittar måste du visa ökad uppmärksamhet, eftersom det inte finns några mirakulösa jämlikheter för att verifiera dem.

Andraderivator finner också breda praktiska tillämpningar, i synnerhet används de i problemet med att hitta extrema av en funktion av två variabler. Men allt har sin tid:

Exempel 2

Beräkna första ordningens partiella derivator av funktionen vid punkten. Hitta andra ordningens derivator.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen). Om du har svårt att särskilja rötter, gå tillbaka till lektionen Hur hittar man derivatan? I allmänhet kommer du ganska snart att lära dig att hitta sådana derivat "i farten."

Låt oss bli bättre på mer komplexa exempel:

Exempel 3

Kolla det. Skriv ner första ordningens totala skillnad.

Lösning: Hitta första ordningens partiella derivator:

Var uppmärksam på underskriften: , bredvid "X" är det inte förbjudet att skriva inom parentes att det är en konstant. Den här anteckningen kan vara mycket användbar för nybörjare för att göra det lättare att navigera i lösningen.

Ytterligare kommentarer:

(1) Vi flyttar alla konstanter bortom derivatans tecken. I det här fallet, och , och därför anses deras produkt vara ett konstant antal.

(2) Glöm inte hur man korrekt differentierar rötter.

(1) Vi tar bort alla konstanter från derivatans tecken i detta fall är konstanten .

(2) Under primtal har vi produkten av två funktioner kvar, därför måste vi använda regeln för att differentiera produkten .

(3) Glöm inte att detta är en komplex funktion (om än den enklaste av komplexa). Vi använder motsvarande regel: .

Nu hittar vi blandade derivator av andra ordningen:

Det betyder att alla beräkningar utfördes korrekt.

Låt oss skriva ner den totala skillnaden. Inom ramen för den aktuella uppgiften är det meningslöst att säga vad den totala differentialen för en funktion av två variabler är. Det är viktigt att just denna skillnad mycket ofta behöver skrivas ner i praktiska problem.

Första ordningens totala skillnad funktion av två variabler har formen:

I det här fallet:

Det vill säga, du behöver bara dumt ersätta de redan hittade första ordningens partiella derivator i formeln. I denna och liknande situationer är det bäst att skriva differentialtecken i täljare:

Och enligt upprepade förfrågningar från läsare, andra ordningens fullständiga differential.

Det ser ut så här:

Låt oss FÖRSIKTIGT hitta "enbokstavs"-derivatorna av den andra ordningen:

och skriv ner "monstret", "fästa" försiktigt rutorna, produkten och glöm inte att dubbla den blandade derivatan:

Det är okej om något verkar svårt, du kan alltid komma tillbaka till derivator senare, efter att du har bemästrat differentieringstekniken:

Exempel 4

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion . Kolla det. Skriv ner första ordningens totala skillnad.

Låt oss titta på en serie exempel med komplexa funktioner:

Exempel 5

Hitta första ordningens partiella derivator av funktionen.

Lösning:

Exempel 6

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion .
Skriv ner den totala skillnaden.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen). Jag kommer inte att ge dig en komplett lösning eftersom det är ganska enkelt.

Ganska ofta tillämpas alla ovanstående regler i kombination.

Exempel 7

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion .

(1) Vi använder regeln för att differentiera summan

(2) Den första termen i detta fall anses vara en konstant, eftersom det inte finns något i uttrycket som beror på "x" - bara "y". Du vet, det är alltid trevligt när en bråkdel kan omvandlas till noll). För den andra termen tillämpar vi produktdifferentieringsregeln. Förresten, i denna mening hade ingenting förändrats om en funktion hade getts istället - det viktiga är att här produkt av två funktioner, VARJE som beror på "X", och därför måste du använda produktdifferentieringsregeln. För den tredje termen tillämpar vi regeln om differentiering av en komplex funktion.

(1) Den första termen i både täljaren och nämnaren innehåller ett "y", därför måste du använda regeln för att differentiera kvoter: . Den andra termen beror ENDAST på "x", vilket betyder att den anses vara en konstant och blir noll. För den tredje termen använder vi regeln för att differentiera en komplex funktion.

För de läsare som modigt kom nästan till slutet av lektionen, ska jag berätta en gammal Mekhmatov-anekdot för avkoppling:

En dag dök en ond derivata upp i funktionerna och började särskilja alla. Alla funktioner är utspridda åt alla håll, ingen vill transformera! Och bara en funktion springer inte iväg. Den derivata närmar sig henne och frågar:

- Varför flyr du inte ifrån mig?

- Ha. Men jag bryr mig inte, för jag är "e to the power of X", och du kommer inte att göra mig något!

Till vilket den onda derivatan med ett lömskt leende svarar:

- Det är här du har fel, jag kommer att särskilja dig med "Y", så du borde vara en nolla.

Den som förstod skämtet har bemästrat derivator, åtminstone till "C"-nivån).

Exempel 8

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion .

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Den fullständiga lösningen och exemplet på problemet finns i slutet av lektionen.

Tja, det är nästan allt. Slutligen kan jag inte låta bli att behaga matematikälskare med ytterligare ett exempel. Det handlar inte ens om amatörer, alla har olika matematiska förberedelser - det finns människor (och inte så sällsynta) som gillar att tävla med svårare uppgifter. Även om det sista exemplet i den här lektionen inte är så komplicerat som det är besvärligt ur beräkningssynpunkt.

Varje partiell derivata (av x och av y) av en funktion av två variabler är den vanliga derivatan av en funktion av en variabel för ett fast värde av den andra variabeln:

(Där y= konst),

(Där x= konst).

Därför beräknas partiella derivat med hjälp av formler och regler för beräkning av derivator av funktioner av en variabel samtidigt som den andra variabelns konstant beaktas.

Om du inte behöver en analys av exempel och den minsta teori som krävs för detta, utan bara behöver en lösning på ditt problem, gå till online partiell derivatberäknare .

Om det är svårt att koncentrera sig för att hålla reda på var konstanten är i funktionen, så kan du i exemplets utkast till lösning istället för en variabel med ett fast värde ersätta vilket tal som helst - då kan du snabbt räkna ut den partiella derivatan som den vanliga derivatan av en funktion av en variabel. Du behöver bara komma ihåg att returnera konstanten (en variabel med ett fast värde) till sin plats när du avslutar den slutliga designen.

Egenskapen hos partiella derivator som beskrivs ovan följer av definitionen av en partiell derivata, som kan förekomma i tentamensfrågor. Därför, för att bekanta dig med definitionen nedan, kan du öppna den teoretiska referensen.

Begreppet kontinuitet i funktion z= f(x, y) vid en punkt definieras på liknande sätt som detta koncept för en funktion av en variabel.

Fungera z = f(x, y) kallas kontinuerlig vid en punkt if

Skillnaden (2) kallas för funktionens totala ökning z(det erhålls som ett resultat av ökningar av båda argumenten).

Låt funktionen ges z= f(x, y) och period

Om funktionen ändras z inträffar när endast ett av argumenten ändras, t.ex. x, med ett fast värde för ett annat argument y, då kommer funktionen att få en ökning

kallas partiell funktionsökning f(x, y) Av x.

Överväger en funktionsändring z beroende på att endast ett av argumenten ändras, ändrar vi effektivt till en funktion av en variabel.

Om det finns en ändlig gräns

då kallas det för den partiella derivatan av funktionen f(x, y) genom argument x och indikeras av en av symbolerna

(4)

Den partiella ökningen bestäms på liknande sätt z Av y:

och partiell derivat f(x, y) Av y:

(6)

Exempel 1.

Lösning. Vi hittar den partiella derivatan med avseende på variabeln "x":

(y fast);

Vi hittar den partiella derivatan med avseende på variabeln "y":

(x fast).

Som du kan se spelar det ingen roll i vilken utsträckning variabeln är fixerad: i det här fallet är det helt enkelt ett visst tal som är en faktor (som i fallet med den vanliga derivatan) till variabeln som vi hittar den partiella derivatan med . Om den fasta variabeln inte multipliceras med variabeln med vilken vi hittar partialderivatan, så försvinner denna ensamma konstant, oavsett i vilken utsträckning, som i fallet med den vanliga derivatan.

Exempel 2. Givet en funktion

Hitta partiella derivator

(med X) och (med Y) och beräkna deras värden vid punkten A (1; 2).

Lösning. Vid fast y derivatan av den första termen hittas som derivatan av potensfunktionen ( tabell över derivatfunktioner för en variabel):

.

Vid fast x derivatan av den första termen hittas som derivatan av exponentialfunktionen, och den andra - som derivatan av en konstant:

Låt oss nu beräkna värdena för dessa partiella derivator vid punkten A (1; 2):

Du kan kontrollera lösningen på partiella derivatproblem på online partiell derivatberäknare .

Exempel 3. Hitta partiella derivator av funktioner

Lösning. I ett steg finner vi

(y x, som om argumentet för sinus var 5 x: på samma sätt visas 5 före funktionstecknet);

(xär fast och är i detta fall en multiplikator vid y).

Du kan kontrollera lösningen på partiella derivatproblem på online partiell derivatberäknare .

De partiella derivatorna av en funktion av tre eller flera variabler definieras på liknande sätt.

Om varje uppsättning värden ( x; y; ...; t) oberoende variabler från uppsättningen D motsvarar ett specifikt värde u från många E, Det u kallas en funktion av variabler x, y, ..., t och beteckna u= f(x, y, ..., t).

För funktioner av tre eller fler variabler finns ingen geometrisk tolkning.

Partiella derivator av en funktion av flera variabler bestäms och beräknas också under antagandet att endast en av de oberoende variablerna ändras, medan de andra är fasta.

Exempel 4. Hitta partiella derivator av funktioner

.

Lösning. y Och z fast:

x Och z fast:

x Och y fast:

Hitta partiella derivator själv och titta sedan på lösningarna

Exempel 5.

Exempel 6. Hitta partiella derivator av en funktion.

Partialderivatan av en funktion av flera variabler har samma mekanisk betydelse är detsamma som derivatan av en funktion av en variabel, är förändringshastigheten för funktionen i förhållande till en förändring i ett av argumenten.

Exempel 8. Flödes kvantitativa värde P järnvägsresenärer kan uttryckas med funktionen

Där P– antal passagerare, N– antal invånare i korrespondentpunkter, R– avstånd mellan punkter.

Partiell derivata av en funktion P Av R, lika

visar att minskningen av passagerarflödet är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan motsvarande punkter med samma antal invånare i poäng.

Partiell derivat P Av N, lika

visar att ökningen av passagerarflödet är proportionell mot dubbelt så många invånare i tätorter på samma avstånd mellan punkter.

Du kan kontrollera lösningen på partiella derivatproblem på online partiell derivatberäknare .

Full differential

Produkten av en partiell derivata och ökningen av motsvarande oberoende variabel kallas en partiell differential. Partiella skillnader betecknas enligt följande:

Summan av partiella differentialer för alla oberoende variabler ger den totala differentialen. För en funktion av två oberoende variabler uttrycks den totala differentialen av likheten

(7)

Exempel 9. Hitta den fullständiga differentialen för en funktion

Lösning. Resultatet av att använda formel (7):

En funktion som har en total differential vid varje punkt i en viss domän sägs vara differentierbar i den domänen.

Hitta den totala skillnaden själv och titta sedan på lösningen

Precis som i fallet med en funktion av en variabel, innebär differentierbarheten av en funktion i en viss domän dess kontinuitet i denna domän, men inte vice versa.

Låt oss utan bevis formulera ett tillräckligt villkor för en funktions differentierbarhet.

Sats. Om funktionen z= f(x, y) har kontinuerliga partiella derivator

i en given region är den differentierbar i denna region och dess differential uttrycks med formel (7).

Det kan visas att precis som i fallet med en funktion av en variabel är funktionens differential den huvudsakliga linjära delen av funktionens inkrement, så är den totala differentialen i fallet med en funktion av flera variabler. den huvudsakliga, linjära med avseende på inkrementen av oberoende variabler, en del av den totala ökningen av funktionen.

För en funktion av två variabler har den totala ökningen av funktionen formen

(8)

där α och β är oändligt små vid och .

Partiella derivator av högre ordning

Partiella derivator och funktioner f(x, y) själva är några funktioner av samma variabler och kan i sin tur ha derivator med avseende på olika variabler, som kallas partiella derivator av högre ordning.

Partiella derivator används i problem som involverar funktioner hos flera variabler. Reglerna för att hitta är exakt desamma som för funktioner för en variabel, med den enda skillnaden att en av variablerna måste betraktas som en konstant (konstant tal) vid tidpunkten för differentieringen.

Formel

Partiella derivator för en funktion av två variabler $ z(x,y) $ skrivs i följande form $ z"_x, z"_y $ och hittas med formlerna:

Första ordningens partiella derivator

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Andra ordningens partiella derivator

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Blandat derivat

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Partiell derivata av en komplex funktion

a) Låt $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, då bestäms derivatan av en komplex funktion av formeln:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Låt $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, då hittas funktionens partiella derivator av formeln:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Partiella derivator av en implicit funktion

a) Låt $ F(x,y(x)) = 0 $, sedan $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Låt $ F(x,y,z)=0 $, sedan $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Exempel på lösningar

Exempel 1

Hitta första ordningens partiella derivator $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Lösning

För att hitta den partiella derivatan med avseende på $ x $, kommer vi att betrakta $ y $ som ett konstant värde (tal): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ För att hitta den partiella derivatan av en funktion med avseende på $y$, definierar vi $y$ med en konstant: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Om du inte kan lösa ditt problem, skicka det till oss. Vi kommer att tillhandahålla en detaljerad lösning. Du kommer att kunna se framstegen i beräkningen och få information. Detta hjälper dig att få ditt betyg från din lärare i tid!

Svar

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Exempel 2

Hitta de partiella derivatorna av andra ordningens funktion $ z = e^(xy) $

Lösning

Först måste du hitta de första derivatorna, och genom att känna till dem kan du hitta andra ordningens derivator. Låt $y$ vara en konstant: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Låt oss nu ställa in $ x $ som ett konstant värde: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Genom att känna till de första derivatorna hittar vi på samma sätt den andra. Sätt $y$ till konstant: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Vi sätter $ x $ till en konstant: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Nu återstår bara att hitta den blandade derivatan. Du kan särskilja $ z"_x $ med $ y $, och du kan skilja $ z"_y $ med $ x $, eftersom genom satsen $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Svar

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Exempel 4

Låt $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definiera den implicita funktionen $ F(x,y,z) = 0 $. Hitta första ordningens partiella derivator.

Lösning

Vi skriver funktionen i formatet: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ och hittar derivatorna: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Svar

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Låt oss sammanfatta hur att hitta partiella derivator skiljer sig från att hitta "vanliga" derivator av en funktion av en variabel:

1) När vi hittar den partiella derivatan, Det variabel anses vara en konstant.

2) När vi hittar den partiella derivatan, Det variabel anses vara en konstant.

3) Reglerna och tabellen över derivator av elementära funktioner är giltiga och tillämpliga för alla variabler ( , eller någon annan) genom vilken differentiering utförs.

Steg två. Vi hittar andra ordningens partiella derivator. Det finns fyra av dem.

Beteckningar:

Eller – andraderivatan med avseende på "x"

Eller – andraderivatan med avseende på "Y"

Eller - blandad derivata "av x igrek"

Eller - blandad derivata "av igrek x"

Det är inget komplicerat med begreppet andraderivatan. Enkelt uttryckt, den andra derivatan är derivatan av den första derivatan.

För tydlighetens skull kommer jag att skriva om de redan hittade första ordningens partiella derivator:

Låt oss först hitta blandade derivat:

Som du kan se är allt enkelt: vi tar den partiella derivatan och differentierar den igen, men i det här fallet - den här gången enligt "Y".

Likaledes:

För praktiska exempel, när alla partiella derivator är kontinuerliga, gäller följande likhet:

Genom andra ordningens blandade derivator är det alltså mycket bekvämt att kontrollera om vi har hittat första ordningens partiella derivator korrekt.

Hitta andraderivatan med avseende på "x".

Inga uppfinningar, låt oss ta det och särskilj det med "x" igen:

Likaledes:

Det bör noteras att när du hittar måste du visa ökad uppmärksamhet, eftersom det inte finns några underbara jämlikheter att kontrollera.

Exempel 2

Hitta första och andra ordningens partiella derivator av funktionen

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen).

Med viss erfarenhet kommer partiella derivator från exempel nr 1 och 2 att lösas av dig muntligen.

Låt oss gå vidare till mer komplexa exempel.

Exempel 3

Kolla det. Skriv ner första ordningens totala skillnad.

Lösning: Hitta första ordningens partiella derivator:

Var uppmärksam på underskriften: , bredvid "X" är det inte förbjudet att skriva inom parentes att det är en konstant. Den här anteckningen kan vara mycket användbar för nybörjare för att göra det lättare att navigera i lösningen.

Ytterligare kommentarer:

(1) Vi flyttar alla konstanter bortom derivatans tecken. I det här fallet, och , och därför anses deras produkt vara ett konstant antal.

(2) Glöm inte hur man korrekt differentierar rötter.

(1) Vi tar bort alla konstanter från derivatans tecken i detta fall är konstanten .

(2) Under primtal har vi produkten av två funktioner kvar, därför måste vi använda regeln för att differentiera produkten .

(3) Glöm inte att detta är en komplex funktion (om än den enklaste av komplexa). Vi använder motsvarande regel: .

Nu hittar vi blandade derivator av andra ordningen:

Det betyder att alla beräkningar utfördes korrekt.

Låt oss skriva ner den totala skillnaden. Inom ramen för den aktuella uppgiften är det meningslöst att säga vad den totala differentialen för en funktion av två variabler är. Det är viktigt att just denna skillnad mycket ofta behöver skrivas ner i praktiska problem.

Den totala differentialen av första ordningen för en funktion av två variabler har formen:

I det här fallet:

Det vill säga, du behöver bara ersätta de redan hittade första ordningens partiella derivator i formeln. I denna och liknande situationer är det bäst att skriva differentialtecken i täljare:

Exempel 4

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion . Kolla det. Skriv ner första ordningens totala skillnad.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand. Den fullständiga lösningen och exemplet på problemet finns i slutet av lektionen.

Låt oss titta på en serie exempel som involverar komplexa funktioner.

Exempel 5

Hitta första ordningens partiella derivator av funktionen.

(1) Vi tillämpar regeln om differentiering av komplexa funktioner . Från klass Derivat av en komplex funktion en mycket viktig punkt bör komma ihåg: när vi förvandlar en sinus (extern funktion) till en cosinus med hjälp av tabellen, då har vi en inbäddning (intern funktion) ändras inte.

(2) Här använder vi rötters egenskap: , vi tar konstanten ur derivatans tecken, och vi presenterar roten i den form som är nödvändig för differentiering.

Likaledes:

Låt oss skriva ner första ordningens fullständiga differential:

Exempel 6

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion .

Skriv ner den totala skillnaden.

Detta är ett exempel för dig att lösa på egen hand (svar i slutet av lektionen). Jag kommer inte att ge dig en komplett lösning eftersom det är ganska enkelt.

Ganska ofta tillämpas alla ovanstående regler i kombination.

Exempel 7

Hitta första ordningens partiella derivator av en funktion .

(1) Vi använder regeln om differentiering av summan.

(2) Den första termen i detta fall anses vara en konstant, eftersom det inte finns något i uttrycket som beror på "x" - bara "y".

(Du vet, det är alltid trevligt när en bråkdel kan omvandlas till noll).

För den andra termen tillämpar vi produktdifferentieringsregeln. Förresten, ingenting hade förändrats i algoritmen om en funktion hade getts istället - det är viktigt att vi här har produkt av två funktioner, var och en av dem beror på "x", så du måste använda produktdifferentieringsregeln. För den tredje termen tillämpar vi regeln om differentiering av en komplex funktion.