Bestämning av vinkel med ben och hypotenusa. Rätt triangellösning. Vad är en rätvinklig triangel

Instruktioner

Vinklarna mittemot benen a och b kommer att betecknas med A respektive B. Hypotenusan är per definition sidan av en rätvinklig triangel som är motsatt den räta vinkeln (medan hypotenusan bildar spetsiga vinklar med de andra sidorna av. triangeln). Vi betecknar hypotenusans längd med c.

Du behöver:
Kalkylator.

Använd följande uttryck för benet: a=sqrt(c^2-b^2), om du känner till värdena för hypotenusan och det andra benet. Detta uttryck kommer från Pythagoras sats, som säger att kvadraten på hypotenusan i en triangel lika med summan fyrkanter av ben. Operatorn sqrt står för att ta kvadratroten. Tecknet "^2" betyder höjning till andra potens.

Använd formeln a=c*sinA om du känner till hypotenusan (c) och vinkeln motsatt det önskade benet (vi betecknade denna vinkel som A).
Använd uttrycket a=c*cosB för att hitta ett ben om du känner till hypotenusan (c) och vinkeln intill det önskade benet (vi betecknade denna vinkel som B).
Beräkna benet med formeln a=b*tgA i det fall där benet b och vinkeln motsatt det önskade benet ges (vi kom överens om att beteckna denna vinkel som A).

Observera:
Om benet i ditt problem inte hittas på något av de beskrivna sätten, kan det troligen reduceras till ett av dem.

Användbara tips:
Alla dessa uttryck erhålls från välkända definitioner trigonometriska funktioner, därför, även om du har glömt en av dem, kan du alltid snabbt hämta den genom enkla operationer. Det är också användbart att känna till värdena för trigonometriska funktioner för de vanligaste vinklarna på 30, 45, 60, 90, 180 grader.

Efter att ha studerat ett ämne om räta trianglar glömmer eleverna ofta all information om dem. Inklusive hur man hittar hypotenusan, för att inte tala om vad det är.

Och förgäves. För i framtiden visar sig diagonalen för rektangeln vara just denna hypotenusa, och den måste hittas. Eller diametern på en cirkel sammanfaller med den största sidan av en triangel, vars ena vinklar är rät. Och det är omöjligt att hitta det utan denna kunskap.

Det finns flera alternativ för att hitta hypotenusan för en triangel. Valet av metod beror på den initiala datamängden i problemet med kvantiteter.

Metod nummer 1: båda sidorna anges

Detta är den mest minnesvärda metoden eftersom den använder Pythagoras sats. Bara ibland glömmer eleverna att denna formel används för att hitta kvadraten på hypotenusan. Det betyder att för att hitta själva sidan måste du ta kvadratroten. Därför kommer formeln för hypotenusan, som vanligtvis betecknas med bokstaven "c," att se ut så här:

c = √ (a 2 + b 2), där bokstäverna "a" och "b" representerar båda benen i en rätvinklig triangel.

Metod nummer 2: benet och vinkeln intill det är kända

För att lära dig hur man hittar hypotenusan måste du komma ihåg trigonometriska funktioner. Nämligen cosinus. För enkelhetens skull kommer vi att anta att benet "a" och vinkeln α intill den är givna.

Nu måste vi komma ihåg att cosinus för vinkeln i en rätvinklig triangel är lika med förhållandet mellan de två sidorna. Täljaren kommer att innehålla värdet på benet, och nämnaren kommer att innehålla hypotenusan. Det följer av detta att det senare kan beräknas med formeln:

c = a/cos α.

Metod nummer 3: ges ett ben och en vinkel som ligger mitt emot det

För att inte bli förvirrad i formlerna, låt oss introducera beteckningen för denna vinkel - β och lämna sidan samma "a". I det här fallet behöver du en annan trigonometrisk funktion - sinus.

Som i föregående exempel är sinus lika med förhållandet mellan benet och hypotenusan. Formeln för denna metod ser ut så här:

c = a/sin β.

För att inte bli förvirrad i trigonometriska funktioner kan du komma ihåg en enkel mnemonik: om du har ett problem vi pratar om o pr O motsatt vinkel, då måste du använda den med Och ja, om - oh pr Och liggandes, sedan till O sinus. Var uppmärksam på de första vokalerna i nyckelord. De bildar par o-i eller och-o.

Metod nummer 4: längs radien av den omskrivna cirkeln

Nu, för att ta reda på hur man hittar hypotenusan, måste du komma ihåg egenskapen för cirkeln som är omskriven runt en rätvinklig triangel. Den lyder som följer. Cirkelns centrum sammanfaller med mitten av hypotenusan. För att uttrycka det på ett annat sätt är den längsta sidan av en rätvinklig triangel lika med cirkelns diagonal. Det vill säga dubbla radien. Formeln för detta problem kommer att se ut så här:

c = 2 * r, där bokstaven r betecknar den kända radien.

Dessa är alla möjliga sätt att hitta hypotenusan i en rätvinklig triangel. För varje specifik uppgift måste du använda den metod som är mest lämplig för datamängden.

Exempeluppgift nr 1

Tillstånd: i en rätvinklig triangel dras medianerna åt båda sidor. Längden på den som ritas till den större sidan är √52. Den andra medianen har en längd på √73. Du måste beräkna hypotenusan.

Eftersom medianerna är ritade i en triangel delar de upp benen i två lika stora segment. För att underlätta resonemang och sökning efter hur man hittar hypotenusan måste du införa flera notationer. Låt båda halvorna av det större benet betecknas med bokstaven "x" och den andra med "y".

Nu måste vi överväga två räta trianglar vars hypotenusa är de kända medianerna. För dem måste du skriva formeln för Pythagoras sats två gånger:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Dessa två ekvationer bildar ett system med två okända. Efter att ha löst dem kommer det att vara lätt att hitta benen på den ursprungliga triangeln och från dem dess hypotenusa.

Först måste du höja allt till den andra makten. Det visar sig:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Från den andra ekvationen är det tydligt att y 2 = 73 - 4x 2. Detta uttryck måste ersättas med det första och beräknas "x":

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Efter konvertering:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 eller 15 x 2 = 240.

Från det sista uttrycket x = √16 = 4.

Nu kan du beräkna "y":

y2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Enligt villkoren visar det sig att benen i den ursprungliga triangeln är lika med 6 och 8. Det betyder att du kan använda formeln från den första metoden och hitta hypotenusan:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Svar: hypotenusa är lika med 10.

Exempeluppgift nr 2

Villkor: beräkna diagonalen som ritas i en rektangel med en kortare sida lika med 41. Om det är känt att det delar upp vinkeln i de som är relaterade till 2 till 1.

I det här problemet är en rektangels diagonal den längsta sidan i en 90º triangel. Så allt handlar om hur man hittar hypotenusan.

Problemet handlar om vinklar. Det betyder att du måste använda en av formlerna som innehåller trigonometriska funktioner. Först måste du bestämma storleken på en av de spetsiga vinklarna.

Låt den minsta av vinklarna som diskuteras i villkoret betecknas α. Då blir den räta vinkeln som divideras med diagonalen lika med 3α. Den matematiska notationen för detta ser ut så här:

Från denna ekvation är det lätt att bestämma α. Det kommer att vara lika med 30º. Dessutom kommer den att ligga mittemot den mindre sidan av rektangeln. Därför behöver du formeln som beskrivs i metod nr 3.

Hypotenusan är lika med förhållandet mellan benet och sinus för den motsatta vinkeln, det vill säga:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Svar: Hypotenusan är 82.

Innan du hittar hypotenusan för en triangel måste du förstå vilka egenskaper den här figuren har. Låt oss överväga de viktigaste:

I en rätvinklig triangel summeras båda spetsiga vinklarna till 90º.
Ett ben som ligger mitt emot en vinkel på 30º kommer att vara lika med ½ storleken på hypotenusan.
Om benet är lika med ½ av hypotenusan, kommer den andra vinkeln att ha samma värde - 30º.

Det finns flera sätt att hitta hypotenusan i en rätvinklig triangel. Det mesta enkel lösningär en beräkning genom ben. Låt oss säga att du känner till värdena på benen på sidorna A och B. Då kommer Pythagoras sats till undsättning och säger att om vi kvadraterar varje värde på benet och summerar de erhållna uppgifterna, kommer vi att ta reda på vad hypotenusan är lika med. Så vi behöver bara extrahera kvadratrotsvärdet:

Till exempel, om ben A = 3 cm och ben B = 4 cm, kommer beräkningen att se ut så här:

Hur hittar man hypotenusan genom en vinkel?

Ett annat sätt att ta reda på vad hypotenusan är i en rätvinklig triangel är att räkna genom en given vinkel. För att göra detta måste vi härleda värdet genom sinusformeln. Låt oss säga att vi vet storleken på benet (A) och värdet på den motsatta vinkeln (α). Då finns hela lösningen i en formel: C=A/sin(α).

Till exempel, om benlängden är 40 cm och vinkeln är 45°, kan längden på hypotenusan härledas enligt följande:

Det erforderliga värdet kan också bestämmas genom cosinus för en given vinkel. Låt oss säga att vi vet värdet av ett ben (B) och en spetsig intilliggande vinkel (α). Sedan för att lösa problemet behöver du en formel: C=B/ cos(α).

Till exempel, om benlängden är 50 cm och vinkeln är 45°, kan hypotenusan beräknas enligt följande:

Därför tittade vi på de viktigaste sätten att ta reda på hypotenusan i en triangel. När man löser ett problem är det viktigt att koncentrera sig på tillgänglig data, då blir det ganska enkelt att hitta den okända kvantiteten. Du behöver bara känna till ett par formler och processen att lösa problem blir enkel och rolig.

I livet kommer vi ofta att behöva ta itu med matematiska problem: i skolan, på universitetet och sedan hjälpa vårt barn med att slutföra läxa. Personer vissa yrken kommer att möta matematik dagligen. Därför är det användbart att memorera eller återkalla matematiska regler. I den här artikeln kommer vi att titta på en av dem: att hitta benet på en rätvinklig triangel.

Vad är en rätvinklig triangel

Låt oss först komma ihåg vad en rätvinklig triangel är. En rätvinklig triangel är geometrisk figur av tre segment som förbinder punkter som inte ligger på samma räta linje, och en av vinklarna i denna figur är 90 grader. Sidorna som bildar en rät vinkel kallas ben, och sidan som ligger mittemot rät vinkel– hypotenusa.

Hitta benet på en rätvinklig triangel

Det finns flera sätt att ta reda på längden på benet. Jag skulle vilja överväga dem mer i detalj.

Pythagoras sats för att hitta sidan av en rätvinklig triangel

Exempel. Hypotenusan är 5 cm, och benet är 3 cm. Vi transformerar formeln: c²=a²+b² → a²=c²-b². Därefter löser vi: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometriska förhållanden för att hitta benet i en rätvinklig triangel

Det är också möjligt att hitta en okänd sida om någon annan sida och någon spetsig vinkel rät triangel. Det finns fyra alternativ för att hitta ett ben med hjälp av trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangens. Tabellen nedan hjälper oss att lösa problem. Låt oss överväga dessa alternativ.

Hitta benet i en rätvinklig triangel med sinus

Sinus för en vinkel (sin) är förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan. Formel: sin=a/c, där a är benet mitt emot den givna vinkeln och c är hypotenusan. Därefter transformerar vi formeln och får: a=sin*c.

Exempel. Hypotenusan är 10 cm, vinkeln A är 30 grader. Med hjälp av tabellen beräknar vi sinus för vinkel A, det är lika med 1/2. Sedan, med hjälp av den transformerade formeln, löser vi: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Hitta benet på en rätvinklig triangel med hjälp av cosinus

Cosinus för en vinkel (cos) är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan. Formel: cos=b/c, där b är benet intill en given vinkel, och c är hypotenusan. Låt oss transformera formeln och få: b=cos*c.

Exempel. Vinkel A är lika med 60 grader, hypotenusan är lika med 10 cm Med hjälp av tabellen beräknar vi cosinus för vinkel A, den är lika med 1/2. Därefter löser vi: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Hitta benet på en rätvinklig triangel med tangent

Tangent av en vinkel (tg) är förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan. Formel: tg=a/b, där a är den sida som är motsatt vinkeln och b är den intilliggande sidan. Låt oss omvandla formeln och få: a=tg*b.

Exempel. Vinkel A är lika med 45 grader, hypotenusan är lika med 10 cm Med hjälp av tabellen beräknar vi tangenten för vinkel A, den är lika med Lös: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Hitta benet på en rätvinklig triangel med hjälp av cotangens

Vinkelkotangens (ctg) är förhållandet mellan den intilliggande sidan och den motsatta sidan. Formel: ctg=b/a, där b är sidan som gränsar till vinkeln och är den motsatta sidan. Med andra ord är cotangens en "inverterad tangent." Vi får: b=ctg*a.

Exempel. Vinkel A är 30 grader, det motsatta benet är 5 cm Enligt tabellen är tangensen för vinkeln A √3. Vi beräknar: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Så nu vet du hur man hittar ett ben i en rätvinklig triangel. Som du kan se är det inte så svårt, det viktigaste är att komma ihåg formlerna.

Använd en miniräknare, extrahera kvadratrot från skillnaden mellan hypotenusan i kvadrat och det kända benet, också i kvadrat. Benet är sidan av en rätvinklig triangel som gränsar till rät vinkel. Detta uttryck kommer från Pythagoras sats, som säger att kvadraten på hypotenusan i en triangel är lika med summan av benens kvadrater.

Innan vi tittar på de olika sätten att hitta ett ben i en rätvinklig triangel, låt oss anta lite notation. Kontrollera vilket av de listade fallen som motsvarar skicket för din uppgift och, beroende på detta, följ lämpligt stycke. Ta reda på vilka mängder du känner till i triangeln i fråga. Använd följande uttryck för att beräkna benet: a=sqrt(c^2-b^2), om du känner till värdena för hypotenusan och det andra benet.

Relationerna mellan sidorna och vinklarna på denna geometriska figur diskuteras i detalj i den matematiska disciplinen trigonometri. För att tillämpa denna ekvation måste du veta längden på två sidor i en rätvinklig triangel.

Beräkna längden på ett av benen om dimensionerna på hypotenusan och det andra benet är kända. Om problemet anger hypotenusan och en av de spetsiga vinklarna intill den, använd Bradis-tabeller.

Den inre triangeln kommer att likna den yttre, eftersom mittlinjerna är parallella med benen och hypotenusan och är lika med deras halvor. Eftersom hypotenusan är okänd, för att hitta mittlinjen M_c måste du ersätta radikalen från Pythagoras sats.

Hypotenusan är den längsta sidan av en rätvinklig triangel. Den ligger mitt emot en rät vinkel. Längden på hypotenusan kan hittas på olika sätt. Om längden på båda benen är känd, beräknas dess storlek med hjälp av Pythagoras sats: summan av kvadraterna på de två benen är lika med kvadraten på hypotenusan. Att veta att summan av alla vinklar är 180°, subtrahera den räta vinkeln och den redan kända.

När man beräknar parametrarna för en rätvinklig triangel är det viktigt att vara uppmärksam på de kända värdena och lösa problemet med den enklaste formeln. Låt oss först komma ihåg vad en rätvinklig triangel är. En rät triangel är en geometrisk figur av tre segment som förbinder punkter som inte ligger på samma räta linje, och en av vinklarna i denna figur är 90 grader. Det finns flera sätt att ta reda på längden på benet.

Formel: c²=a²+b², där c är hypotenusan, a och b är benen

Om vi känner till hypotenusan och benet kan vi hitta längden på det okända benet med hjälp av Pythagoras sats. Det låter så här: "Kvadraten på hypotenusan är lika med summan av benens kvadrater." Det finns fyra alternativ för att hitta ett ben med hjälp av trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangens. Sinus för en vinkel (sin) är förhållandet mellan den motsatta sidan och hypotenusan. Formel: sin=a/c, där a är benet mitt emot den givna vinkeln och c är hypotenusan.

De ovanliga egenskaperna hos räta trianglar upptäcktes av den antika grekiska vetenskapsmannen Pythagoras, som upptäckte att kvadraten på hypotenusan i sådana trianglar är lika med summan av benens kvadrater

Höjd är den vinkelräta som sträcker sig från valfri vertex av triangeln till den motsatta sidan (eller dess fortsättning, för en triangel med en trubbig vinkel). En triangels höjder skär varandra vid en punkt, som kallas ortocentrum. Om det är en godtycklig rätvinklig triangel finns det inte tillräckligt med data.

Det är också användbart att känna till värdena för trigonometriska funktioner för de vanligaste vinklarna på 30, 45, 60, 90, 180 grader. Om förhållandena anger benens mått, hitta längden på hypotenusan. I livet kommer vi ofta att behöva ta itu med matematiska problem: i skolan, på universitetet och sedan hjälpa vårt barn med läxor.

Därefter transformerar vi formeln och får: a=sin*c

Tabellen nedan hjälper oss att lösa problem. Låt oss överväga dessa alternativ. Intressant specialfall, när en av de spetsiga vinklarna är 30 grader.

Människor i vissa yrken kommer att möta matematik dagligen.

Du kan också hitta ett okänt ben om någon annan sida och någon spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är känd. Hitta sidan av en rätvinklig triangel med hjälp av Pythagoras sats. Dessutom kan sidorna i en rätvinklig triangel hittas med hjälp av olika formler beroende på antalet kända variabler.