ojämlikhetslösning i läge online lösning nästan vilken ojämlikhet som helst online. Matematisk ojämlikheter på nätet att lösa matematik. Hitta snabbt ojämlikhetslösning i läge online. Webbplatsen www.site låter dig hitta lösning nästan vilken som helst algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ojämlikhet på nätet. När du studerar nästan vilken gren av matematik som helst i olika stadier måste du bestämma dig ojämlikheter på nätet. För att få ett svar omedelbart, och viktigast av allt ett korrekt svar, behöver du en resurs som låter dig göra detta. Tack vare sajten www.site lösa ojämlikhet online kommer att ta några minuter. Den största fördelen med www.site när man löser matematiska ojämlikheter på nätet- det här är hastigheten och noggrannheten för svaret som tillhandahålls. Sajten kan lösa alla algebraiska ojämlikheter på nätet, trigonometriska ojämlikheter på nätet, transcendentala ojämlikheter på nätet, och även ojämlikheter med okända parametrar i läge online. Ojämlikheter tjäna som en kraftfull matematisk apparat lösningar praktiska problem. Med hjälpen matematiska ojämlikheter det är möjligt att uttrycka fakta och relationer som kan verka förvirrande och komplexa vid första anblicken. Okända mängder ojämlikheter kan hittas genom att formulera problemet i matematisk språk i formen ojämlikheter Och besluta mottagen uppgift i läge online på webbplatsen www.site. Några algebraisk ojämlikhet, trigonometrisk ojämlikhet eller ojämlikheter innehållande transcendentala funktioner du enkelt kan besluta online och få det exakta svaret. Studerande naturvetenskap, möter du oundvikligen behovet lösningar på ojämlikheter. I det här fallet måste svaret vara korrekt och måste erhållas omedelbart i läget online. Därför för lösa matematiska ojämlikheter online vi rekommenderar webbplatsen www.site, som kommer att bli din oumbärliga kalkylator för lösa algebraiska ojämlikheter online, trigonometriska ojämlikheter online, och även transcendentala ojämlikheter på nätet eller ojämlikheter med okända parametrar. För praktiska problem med att hitta onlinelösningar på olika matematiska ojämlikheter resurs www.. Lösa ojämlikheter på nätet själv är det användbart att kontrollera det mottagna svaret med hjälp av onlinelösning ojämlikheter på webbplatsen www.site. Du måste skriva ojämlikheten korrekt och omedelbart få onlinelösning, varefter allt som återstår är att jämföra svaret med din lösning på ojämlikheten. Att kontrollera svaret tar inte mer än en minut, det räcker lösa ojämlikhet online och jämför svaren. Detta hjälper dig att undvika misstag beslut och rätta svaret i tid när lösa ojämlikheter online var det så algebraisk, trigonometrisk, transcendentala eller olikhet med okända parametrar.
Ett av de ämnen som kräver maximal uppmärksamhet och uthållighet från eleverna är att lösa ojämlikheter. Så lika ekvationer och samtidigt väldigt olika dem. För att lösa dem kräver ett speciellt tillvägagångssätt.
Egenskaper som kommer att behövas för att hitta svaret
Alla används för att ersätta en befintlig post med en motsvarande. De flesta av dem liknar det som fanns i ekvationerna. Men det finns också skillnader.
- En funktion som är definierad i ODZ, eller vilket nummer som helst, kan läggas till på båda sidor av den ursprungliga olikheten.
- På samma sätt är multiplikation möjlig, men endast med en positiv funktion eller ett tal.
- Om denna åtgärd utförs med en negativ funktion eller siffra, måste olikhetstecknet ersättas med det motsatta.
- Funktioner som är icke-negativa kan höjas till en positiv effekt.
Ibland åtföljs lösning av ojämlikheter av åtgärder som ger främmande svar. De måste elimineras genom att jämföra DL-domänen och uppsättningen av lösningar.
Använda intervallmetoden
Dess essens är att reducera ojämlikheten till en ekvation där det finns en nolla på höger sida.
- Bestäm området där de tillåtna värdena för variablerna, det vill säga ODZ, ligger.
- Transformera ojämlikheten med matematiska operationer så att den högra sidan har en nolla.
- Byt ut olikhetstecknet med "=" och lös motsvarande ekvation.
- På den numeriska axeln, markera alla svar som erhölls under lösningen, samt OD-intervallen. Vid strikt ojämlikhet ska poängen dras som punkterade. Om det finns ett likhetstecken ska de målas över.
- Bestäm tecknet för den ursprungliga funktionen för varje intervall som erhålls från punkterna i ODZ och svaren som delar den. Om tecknet för funktionen inte ändras när man passerar genom en punkt, så ingår det i svaret. Annars är det uteslutet.
- Gränspunkterna för ODZ måste kontrolleras ytterligare och först då inkluderas eller inte i svaret.
- Det resulterande svaret måste skrivas i form av kombinerade uppsättningar.
Lite om dubbla ojämlikheter
De använder två ojämlikhetstecken samtidigt. Det vill säga, vissa funktioner begränsas av villkor två gånger samtidigt. Sådana ojämlikheter löses som ett system av två, när originalet är uppdelat i delar. Och i intervallmetoden anges svaren från att lösa båda ekvationerna.
För att lösa dem är det också tillåtet att använda egenskaperna som anges ovan. Med deras hjälp är det bekvämt att minska ojämlikheten till noll.
Hur är det med ojämlikheter som har en modul?
I det här fallet använder lösningen av ojämlikheterna följande egenskaper, och de är giltiga för ett positivt värde på "a".
Om "x" tar algebraiskt uttryck, då är följande ersättningar giltiga:
- |x|< a на -a < х < a;
- |x| > a till x< -a или х >a.
Om ojämlikheterna inte är strikta, är formlerna också korrekta, bara i dem, förutom det större eller mindre tecknet, visas "=".
Hur löser man ett system av ojämlikheter?
Dessa kunskaper kommer att krävas i de fall då en sådan uppgift ges eller det finns en registrering av dubbel ojämlikhet eller en modul förekommer i posten. I en sådan situation kommer lösningen att vara värdena på variablerna som skulle tillfredsställa alla ojämlikheter i posten. Om det inte finns några sådana siffror har systemet inga lösningar.
Planen enligt vilken lösningen av systemet med ojämlikheter utförs:
- lös var och en av dem separat;
- avbilda alla intervall på talaxeln och bestämma deras skärningspunkter;
- skriv ner systemets svar, som kommer att vara en kombination av det som hände i andra stycket.
Vad ska man göra med bråkdelar ojämlikheter?
Eftersom att lösa dem kan kräva att tecknet på ojämlikhet ändras, måste du mycket noggrant och noggrant följa alla punkter i planen. Annars kan du få det motsatta svaret.
Att lösa bråkmässiga ojämlikheter använder också intervallmetoden. Och handlingsplanen kommer att se ut så här:
- Använd de beskrivna egenskaperna och ge bråket en sådan form att endast noll återstår till höger om tecknet.
- Ersätt olikheten med "=" och bestäm punkterna där funktionen kommer att vara lika med noll.
- Markera dem på koordinataxeln. I det här fallet kommer siffrorna som erhålls som ett resultat av beräkningar i nämnaren alltid att stansas ut. Alla andra är baserade på villkoret ojämlikhet.
- Bestäm tecknets konstansintervall.
- Som svar, skriv ner föreningen av de intervall vars tecken motsvarar det i den ursprungliga ojämlikheten.
Situationer när irrationalitet dyker upp i ojämlikhet
Det finns med andra ord en matematisk rot i notationen. Sedan i skolkurs I algebra är de flesta uppgifterna för kvadratroten, så det är detta som kommer att övervägas.
Lösningen på irrationella ojämlikheter handlar om att få ett system med två eller tre som kommer att motsvara det ursprungliga.
| Ursprunglig ojämlikhet | skick | motsvarande system |
| √ n(x)< m(х) | m(x) mindre än eller lika med 0 | inga lösningar |
| m(x) större än 0 | n(x) är större än eller lika med 0 n(x)< (m(х)) 2 |
|
| √ n(x) > m(x) | m(x) större än eller lika med 0 n(x) > (m(x)) 2 |
|
n(x) är större än eller lika med 0 m(x) mindre än 0 |
||
| √n(x) ≤ m(x) | m(x) mindre än 0 | inga lösningar |
| m(x) större än eller lika med 0 | n(x) är större än eller lika med 0 n(x) ≤ (m(x)) 2 |
|
| √n(x) ≥ m(x) | m(x) större än eller lika med 0 n(x) ≥ (m(x)) 2 |
|
n(x) är större än eller lika med 0 m(x) mindre än 0 |
||
| √ n(x)< √ m(х) | n(x) är större än eller lika med 0 n(x) mindre än m(x) |
|
| √n(x) * m(x)< 0 | n(x) större än 0 m(x) mindre än 0 |
|
| √n(x) * m(x) > 0 | n(x) större än 0 m(x) större än 0 |
|
| √n(x) * m(x) ≤ 0 | n(x) större än 0 |
|
n(x) är lika med 0 m(x) - vilken som helst |
||
| √n(x) * m(x) ≥ 0 | n(x) större än 0 |
|
n(x) är lika med 0 m(x) - vilken som helst |
Exempel på att lösa olika typer av ojämlikheter
För att ge klarhet i teorin om att lösa ojämlikheter ges exempel nedan.
Första exemplet. 2x - 4 > 1 + x
Lösning: För att bestämma ADI är allt du behöver göra att titta noga på ojämlikhet. Den är bildad av linjära funktioner, därför definierad för alla värden av variabeln.
Nu måste du subtrahera (1 + x) från båda sidor av olikheten. Det visar sig: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Efter att hakparenteserna har öppnats och liknande termer har angetts, kommer olikheten att ha följande form: x - 5 > 0.
Genom att likställa det med noll är det lätt att hitta lösningen: x = 5.
Nu ska denna punkt med siffran 5 markeras på koordinatstråle. Kontrollera sedan tecknen på den ursprungliga funktionen. På det första intervallet från minus oändlighet till 5 kan du ta talet 0 och ersätta det med olikheten som erhålls efter transformationerna. Efter beräkningar visar det sig -7 >0. under intervallets båge måste du skriva ett minustecken.
På nästa intervall från 5 till oändligt kan du välja talet 6. Då visar det sig att 1 > 0. Det finns ett "+"-tecken under bågen. Detta andra intervall kommer att vara svaret på ojämlikheten.
Svar: x ligger i intervallet (5; ∞).
Andra exemplet. Det krävs att lösa ett system med två ekvationer: 3x + 3 ≤ 2x + 1 och 3x - 2 ≤ 4x + 2.
Lösning. VA för dessa ojämlikheter ligger också i området för alla tal, eftersom linjära funktioner är givna.
Den andra olikheten kommer att ha formen av följande ekvation: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Efter transformation: -x - 4 =0. Detta ger ett värde för variabeln lika med -4.
Dessa två siffror måste markeras på axeln, som visar intervall. Eftersom ojämlikheten inte är strikt måste alla punkter skuggas. Det första intervallet är från minus oändlighet till -4. Låt siffran -5 väljas. Den första olikheten ger värdet -3 och den andra 1. Detta betyder att detta intervall inte ingår i svaret.
Det andra intervallet är från -4 till -2. Du kan välja talet -3 och ersätta det med båda olikheterna. I första och andra är värdet -1. Detta betyder att under bågen "-".
I det sista intervallet från -2 till oändligt är det bästa talet noll. Du måste ersätta den och hitta värdena för ojämlikheterna. Den första av dem ger ett positivt tal, och den andra en nolla. Denna lucka måste också uteslutas från svaret.
Av de tre intervallen är bara ett en lösning på ojämlikheten.
Svar: x tillhör [-4; -2].
Tredje exemplet. |1 - x| > 2 |x - 1|.
Lösning. Det första steget är att bestämma de punkter där funktionerna försvinner. För den vänstra kommer detta nummer att vara 2, för den högra - 1. De måste markeras på strålen och tecknets konstansintervall måste bestämmas.
På det första intervallet, från minus oändlighet till 1, tar funktionen på vänster sida av ojämlikheten positiva värden och funktionen på höger sida får negativa värden. Under bågen måste du skriva två tecken "+" och "-" sida vid sida.
Nästa intervall är från 1 till 2. På det tar båda funktionerna positiva värden. Det betyder att det finns två plus under bågen.
Det tredje intervallet från 2 till oändligt ger följande resultat: den vänstra funktionen är negativ, den högra funktionen är positiv.
Med hänsyn till de resulterande tecknen måste du beräkna ojämlikhetsvärdena för alla intervall.
Den första ger följande olikhet: 2 - x > - 2 (x - 1). Minuset före de två i den andra olikheten beror på att denna funktion är negativ.
Efter transformation ser olikheten ut så här: x > 0. Den ger omedelbart variabelns värden. Det vill säga från detta intervall kommer endast intervallet från 0 till 1 att besvaras.
På den andra: 2 - x > 2 (x - 1). Transformationerna kommer att ge följande olikhet: -3x + 4 är större än noll. Dess noll blir x = 4/3. Med hänsyn till olikhetstecknet visar det sig att x måste vara mindre än detta tal. Detta innebär att detta intervall reduceras till ett intervall från 1 till 4/3.
Den senare ger följande olikhet: - (2 - x) > 2 (x - 1). Dess transformation leder till följande: -x > 0. Det vill säga, ekvationen är sann när x är mindre än noll. Det betyder att ojämlikheten inte ger lösningar på det intervall som krävs.
I de två första intervallen visade sig gränstalet vara 1. Det måste kontrolleras separat. Det vill säga ersätta den med den ursprungliga ojämlikheten. Det visar sig: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Beräkning visar att 1 är större än 0. Detta är sant uttalande, så en ingår i svaret.
Svar: x ligger i intervallet (0; 4/3).
Att lösa ojämlikheter online
Innan du löser ojämlikheter måste du ha en god förståelse för hur ekvationer löses.
Det spelar ingen roll om olikheten är strikt () eller icke-strikt (≤, ≥), det första steget är att lösa ekvationen genom att ersätta olikhetstecknet med likhet (=).
Låt oss förklara vad det innebär att lösa en ojämlikhet?
Efter att ha studerat ekvationerna framträder följande bild i elevens huvud: han måste hitta värden för variabeln så att båda sidor av ekvationen får samma värden. Med andra ord, hitta alla punkter där jämlikhet gäller. Allt stämmer!
När vi talar om ojämlikheter menar vi att hitta intervall (segment) som ojämlikheten håller i sig. Om det finns två variabler i olikheten, så blir lösningen inte längre intervaller, utan några områden på planet. Gissa själv vad som blir lösningen på en ojämlikhet i tre variabler?
Hur löser man ojämlikheter?
Ett universellt sätt att lösa ojämlikheter anses vara intervallmetoden (även känd som intervallmetoden), som består i att bestämma alla intervall inom vars gränser en given ojämlikhet kommer att uppfyllas.
Utan att gå in på typen av ojämlikhet, i det här fallet är det inte meningen, du måste lösa motsvarande ekvation och bestämma dess rötter, följt av beteckningen av dessa lösningar på talaxeln.
Hur man korrekt skriver lösningen på en ojämlikhet?
När du har bestämt lösningsintervallen för ojämlikheten måste du skriva ut själva lösningen korrekt. Det finns en viktig nyans - ingår gränserna för intervallen i lösningen?
Allt är enkelt här. Om lösningen till ekvationen uppfyller ODZ och olikheten inte är strikt, så ingår gränsen för intervallet i lösningen till ojämlikheten. Annars nej.
Med tanke på varje intervall kan lösningen på ojämlikheten vara själva intervallet, eller ett halvintervall (när en av dess gränser uppfyller olikheten), eller ett segment - intervallet tillsammans med dess gränser.
Tro inte att bara intervall, halvintervall och segment kan lösa ojämlikheten. Nej, lösningen kan även innehålla enskilda punkter.
Till exempel har olikheten |x|≤0 bara en lösning - det här är punkt 0.
Och ojämlikheten |x|
Varför behöver man en ojämlikhetsräknare?
Ojämlikhetsberäknaren ger det korrekta slutsvaret. I de flesta fall tillhandahålls en illustration av en nummeraxel eller ett plan. Det syns om gränserna för intervallen ingår i lösningen eller inte - punkterna visas som skuggade eller punkterade.
Tack vare kalkylator online För ojämlikheter kan du kontrollera om du korrekt hittat ekvationens rötter, markerat dem på talaxeln och kontrollerat på intervallen (och gränserna) om villkoret för ojämlikheten är uppfyllt?
Om ditt svar skiljer sig från räknarens svar, måste du definitivt dubbelkolla din lösning och identifiera felet.
Idag, vänner, kommer det inte att finnas någon snor eller sentimentalitet. Istället kommer jag att skicka dig, inga frågor ställda, i strid med en av de mest formidabla motståndarna i algebrakursen 8-9.
Ja, du förstod allt rätt: vi pratar om ojämlikheter med modul. Vi kommer att titta på fyra grundläggande tekniker med vilka du lär dig att lösa cirka 90 % av sådana problem. Hur är det med de återstående 10%? Tja, vi ska prata om dem i en separat lektion. :)
Men innan jag analyserar någon av teknikerna vill jag påminna dig om två fakta som du redan behöver veta. Annars riskerar du att inte förstå materialet i dagens lektion alls.
Vad du redan behöver veta
Captain Obviousness verkar antyda att för att lösa ojämlikheter med modul behöver du veta två saker:
- Hur ojämlikheter löses;
- Vad är en modul?
Låt oss börja med den andra punkten.
Moduldefinition
Allt är enkelt här. Det finns två definitioner: algebraisk och grafisk. Till att börja med - algebraisk:
Definition. Modulen för ett tal $x$ är antingen själva talet, om det är icke-negativt, eller talet mitt emot det, om den ursprungliga $x$ fortfarande är negativ.
Det är skrivet så här:
\[\vänster| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Tal på ett enkelt språk, är modulen "ett tal utan minus". Och det är i denna dualitet (på vissa ställen behöver du inte göra något med det ursprungliga numret, men på andra måste du ta bort någon form av minus) som är där hela svårigheten ligger för nybörjarelever.
Det finns fler geometrisk definition. Det är också användbart att veta, men vi kommer bara att vända oss till det i komplexa och vissa speciella fall, där det geometriska tillvägagångssättet är bekvämare än det algebraiska (spoiler: inte idag).
Definition. Låt punkten $a$ markeras på talraden. Sedan modulen $\left| x-a \right|$ är avståndet från punkt $x$ till punkt $a$ på denna linje.
Om du ritar en bild får du något sånt här:
Grafisk moduldefinition På ett eller annat sätt, från definitionen av en modul följer dess nyckelegenskap omedelbart: modulen för ett tal är alltid en icke-negativ storhet. Detta faktum kommer att vara en röd tråd som löper genom hela vår berättelse idag.
Att lösa ojämlikheter. Intervallmetod
Låt oss nu titta på ojämlikheterna. Det finns väldigt många av dem, men vår uppgift nu är att kunna lösa åtminstone de enklaste av dem. De som reducerar till linjära ojämlikheter, samt till intervallmetoden.
Jag har två om detta ämne stor lektion(förresten, väldigt, MYCKET användbart - jag rekommenderar att du studerar):
- Intervallmetod för ojämlikheter (särskilt titta på videon);
- Fraktionella rationella ojämlikheter är en mycket omfattande lektion, men efter den kommer du inte att ha några frågor alls.
Om du vet allt detta, om frasen "låt oss gå från ojämlikhet till ekvation" inte får dig att ha en vag önskan att slå dig själv i väggen, så är du redo: välkommen till helvetet till lektionens huvudämne :)
1. Ojämlikheter i formen "Modul är mindre än funktion"
Detta är ett av de vanligaste problemen med moduler. Det krävs för att lösa en olikhet av formen:
\[\vänster| f\höger| \ltg\]
Funktionerna $f$ och $g$ kan vara vad som helst, men vanligtvis är de polynom. Exempel på sådana ojämlikheter:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \höger| \lt x+7; \\ & \vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0; \\ & \vänster| ((x)^(2))-2\vänster| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]
Alla kan lösas bokstavligen på en rad enligt följande schema:
\[\vänster| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g\quad \left(\Högerpil \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \höger.\höger)\]
Det är lätt att se att vi gör oss av med modulen, men i gengäld får vi en dubbel olikhet (eller, vilket är samma sak, ett system med två olikheter). Men denna övergång tar hänsyn till absolut alla möjliga problem: om talet under modulen är positivt fungerar metoden; om det är negativt fungerar det fortfarande; och även med den mest otillräckliga funktionen i stället för $f$ eller $g$, kommer metoden fortfarande att fungera.
Naturligtvis uppstår frågan: kunde det inte vara enklare? Tyvärr är det inte möjligt. Detta är hela poängen med modulen.
Dock nog med filosoferandet. Låt oss lösa ett par problem:
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\]
Lösning. Så vi har framför oss en klassisk ojämlikhet av formen "modulen är mindre" - det finns inget ens att omvandla. Vi arbetar enligt algoritmen:
\[\begin(align) & \left| f\höger| \lt g\Högerpil -g \lt f \lt g; \\ & \vänster| 2x+3 \höger| \lt x+7\Högerpil -\vänster(x+7 \höger) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Skynda dig inte att öppna parentesen som föregås av ett "minus": det är mycket möjligt att du i din brådska kommer att göra ett stötande misstag.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Problemet reducerades till två elementära ojämlikheter. Låt oss notera deras lösningar på parallella tallinjer:
Skärning av uppsättningar
Skärningspunkten mellan dessa uppsättningar kommer att vara svaret.
Svar: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \höger|+3\vänster(x+1 \höger) \lt 0\]
Lösning. Denna uppgift är lite svårare. Låt oss först isolera modulen genom att flytta den andra termen till höger:
\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]
Uppenbarligen har vi återigen en olikhet av formen "modulen är mindre", så vi blir av med modulen med den redan kända algoritmen:
\[-\vänster(-3\vänster(x+1 \höger) \höger) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\vänster(x+1 \höger)\]
Nu uppmärksamhet: någon kommer att säga att jag är lite av en pervers med alla dessa parenteser. Men låt mig återigen påminna er om att vårt huvudmål är rätt lösa ojämlikheten och få svaret. Senare, när du har bemästrat allt som beskrivs i den här lektionen perfekt, kan du pervertera det själv som du vill: öppna parenteser, lägg till minus, etc.
Till att börja med tar vi helt enkelt bort det dubbla minuset till vänster:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\vänster(x+1 \höger)\]
Låt oss nu öppna alla parenteser i den dubbla olikheten:
Låt oss gå vidare till den dubbla ojämlikheten. Den här gången blir beräkningarna mer seriösa:
\[\vänster\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( justera)\höger.\]
Båda ojämlikheterna är kvadratiska och kan lösas med intervallmetoden (det är därför jag säger: om du inte vet vad detta är, är det bättre att inte ta på sig moduler ännu). Låt oss gå vidare till ekvationen i den första ojämlikheten:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\vänster(x+5 \höger)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]
Som du kan se var utgången ofullständig andragradsekvation, som kan lösas på ett elementärt sätt. Låt oss nu titta på den andra ojämlikheten i systemet. Där måste du tillämpa Vietas teorem:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]
Vi markerar de resulterande talen på två parallella linjer (separera för den första olikheten och separera för den andra):
Återigen, eftersom vi löser ett system av ojämlikheter, är vi intresserade av skärningspunkten mellan de skuggade uppsättningarna: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Detta är svaret.
Svar: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Jag tror att efter dessa exempel är lösningsschemat extremt tydligt:
- Isolera modulen genom att flytta alla andra termer till motsatt sida av olikheten. Därmed får vi en olikhet av formen $\left| f\höger| \ltg$.
- Lös denna ojämlikhet genom att bli av med modulen enligt schemat som beskrivs ovan. Vid något tillfälle kommer det att bli nödvändigt att gå från dubbel olikhet till ett system med två oberoende uttryck, som vart och ett redan kan lösas separat.
- Slutligen, allt som återstår är att skära lösningarna för dessa två oberoende uttryck - och det är det, vi kommer att få det slutliga svaret.
En liknande algoritm finns för ojämlikheter nästa typ, när modulen fler funktioner. Det finns dock ett par allvarliga "men". Vi ska prata om dessa "men" nu.
2. Ojämlikheter i formen "Modul är större än funktion"
De ser ut så här:
\[\vänster| f\höger| \gtg\]
Liknar den förra? Det verkar. Och ändå löses sådana problem på ett helt annat sätt. Formellt är schemat följande:
\[\vänster| f\höger| \gt g\Högerpil \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
Med andra ord, vi överväger två fall:
- Först ignorerar vi helt enkelt modulen och löser den vanliga ojämlikheten;
- Sedan utökar vi i huvudsak modulen med minustecknet och multiplicerar sedan båda sidor av olikheten med −1, medan jag har tecknet.
I det här fallet kombineras alternativen med en vinkelhake, d.v.s. Vi har framför oss en kombination av två krav.
Observera igen: detta är inte ett system, utan en helhet, därför i svaret kombineras mängderna snarare än korsar varandra. Detta är en grundläggande skillnad från föregående punkt!
I allmänhet är många studenter helt förvirrade med fackföreningar och korsningar, så låt oss reda ut denna fråga en gång för alla:
- "∪" är ett fackligt tecken. I huvudsak är detta en stiliserad bokstav "U" som kom till oss från engelska språket och är en förkortning för "Union", dvs. "Föreningar".
- "∩" är korsningstecknet. Den här skiten kom inte någonstans ifrån, utan framstod helt enkelt som en motpol till "∪".
För att göra det ännu lättare att komma ihåg, dra bara benen till dessa tecken för att göra glasögon (bara nu inte anklaga mig för att främja drogberoende och alkoholism: om du på allvar studerar den här lektionen, då är du redan en drogmissbrukare):
Skillnad mellan korsning och förening av uppsättningar Översatt till ryska betyder detta följande: unionen (totaliteten) inkluderar element från båda uppsättningarna, därför är det inte på något sätt mindre än var och en av dem; men skärningspunkten (systemet) inkluderar bara de element som är samtidigt i både den första uppsättningen och den andra. Därför är skärningspunkten mellan mängder aldrig större än källmängderna.
Så det blev tydligare? Det är jättebra. Låt oss gå vidare till praktiken.
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
Lösning. Vi fortsätter enligt schemat:
\[\vänster| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ rätt.\]
Vi löser varje ojämlikhet i befolkningen:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Vi markerar varje resulterande uppsättning på nummerraden och kombinerar dem sedan:
Union av uppsättningar
Det är ganska uppenbart att svaret blir $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Svar: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
Lösning. Väl? Ingenting - allt är sig likt. Vi går från en ojämlikhet med modul till en uppsättning av två olikheter:
\[\vänster| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Högerpil \vänster[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]
Vi löser alla ojämlikheter. Tyvärr kommer rötterna där inte att vara särskilt bra:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]
Den andra ojämlikheten är också lite vild:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]
Nu måste du markera dessa siffror på två axlar - en axel för varje olikhet. Du måste dock markera punkterna i rätt ordning: än större antal, ju längre vi flyttar punkten åt höger.
Och här väntar ett upplägg på oss. Om allt är klart med siffrorna $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termerna i täljaren för den första bråk är mindre än termerna i täljaren för den andra , så summan är också mindre), med talen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ det kommer inte heller att finnas några svårigheter (positivt tal uppenbarligen mer negativt), sedan med det sista paret är allt inte så klart. Vilket är störst: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ eller $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Placeringen av punkter på tallinjerna och faktiskt svaret kommer att bero på svaret på denna fråga.
Så låt oss jämföra:
\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]
Vi isolerade roten, fick icke-negativa tal på båda sidor av ojämlikheten, så vi har rätt att kvadrera båda sidor:
\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]
Jag tror att det är en no brainer att $4\sqrt(13) \gt 3$, så $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, de sista punkterna på axlarna kommer att placeras så här:
Ett fall av fula rötter
Låt mig påminna dig om att vi löser en samling, så svaret blir en förening, inte en korsning av skuggade uppsättningar.
Svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Som du kan se fungerar vårt system utmärkt för båda enkla uppgifter, och för mycket tuffa. Den enda "svaga punkten" i detta tillvägagångssätt är att du måste jämföra korrekt irrationella tal(och tro mig: det är inte bara rötterna). Men en separat (och mycket allvarlig) lektion kommer att ägnas åt jämförelsefrågor. Och vi går vidare.
3. Ojämlikheter med icke-negativa "svansar"
Nu kommer vi till det mest intressanta. Dessa är ojämlikheter i formen:
\[\vänster| f\höger| \gt\vänster| g\right|\]
Generellt sett är algoritmen som vi kommer att prata om nu endast korrekt för modulen. Det fungerar i alla ojämlikheter där det finns garanterat icke-negativa uttryck till vänster och höger:
Vad ska man göra med dessa uppgifter? Kom bara ihåg:
I ojämlikheter med icke-negativa "svansar", kan båda sidor höjas till vilken som helst naturlig grad. Det kommer inte att finnas några ytterligare begränsningar.
Först och främst kommer vi att vara intresserade av att kvadrera - det bränner moduler och rötter:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]
Förväxla inte detta med att ta roten från en kvadrat:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\vänster| f \right|\ne f\]
Otaliga misstag gjordes när en student glömde att installera en modul! Men det är en helt annan historia (det är som irrationella ekvationer), så vi går inte in på detta nu. Låt oss lösa ett par problem bättre:
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| x+2 \höger|\ge \vänster| 1-2x \right|\]
Lösning. Låt oss omedelbart lägga märke till två saker:
- Detta är inte en strikt ojämlikhet. Punkter på tallinjen kommer att punkteras.
- Båda sidorna av ojämlikheten är uppenbarligen icke-negativa (detta är en egenskap hos modulen: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Därför kan vi kvadrera båda sidor av olikheten för att bli av med modulen och lösa problemet med den vanliga intervallmetoden:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]
I det sista steget fuskade jag lite: jag ändrade sekvensen av termer och utnyttjade modulens jämnhet (i själva verket multiplicerade jag uttrycket $1-2x$ med -1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ höger)\höger)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Vi löser med intervallmetoden. Låt oss gå från ojämlikhet till ekvation:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Vi markerar de hittade rötterna på tallinjen. Än en gång: alla punkter är skuggade eftersom den ursprungliga ojämlikheten inte är strikt!
Att bli av med modultecknet
Låt mig påminna er för de som är särskilt envisa: vi tar tecknen från den senaste ojämlikheten, som skrevs ner innan vi gick vidare till ekvationen. Och vi målar över de ytor som krävs i samma ojämlikhet. I vårt fall är det $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Tja, det är allt. Problemet är löst.
Svar: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| ((x)^(2))+x+1 \höger|\le \vänster| ((x)^(2))+3x+4 \höger|\]
Lösning. Vi gör allt likadant. Jag kommer inte kommentera - titta bara på sekvensen av åtgärder.
Kvadra den:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \höger))^(2)); \\ & ((\vänster(((x)^(2))+x+1 \höger))^(2))-((\vänster(((x)^(2))+3x+4 \ höger))^(2))\le 0; \\ & \vänster(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \höger)\ gånger \\ & \ gånger \vänster(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \höger)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Intervallmetod:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Högerpil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Högerpil D=16-40 \lt 0\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]
Det finns bara en rot på talraden:
Svaret är ett helt intervall
Svar: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
En liten notering om den sista uppgiften. Som en av mina elever korrekt noterade är båda submodulära uttrycken i denna ojämlikhet uppenbarligen positiva, så modultecknet kan utelämnas utan att skada hälsan.
Men det här är en helt annan nivå av tänkande och ett annat förhållningssätt - det kan villkorligt kallas konsekvensmetoden. Om det - i en separat lektion. Låt oss nu gå vidare till den sista delen av dagens lektion och titta på en universell algoritm som alltid fungerar. Även när alla tidigare tillvägagångssätt var maktlösa :)
4. Metod för uppräkning av alternativ
Vad händer om alla dessa tekniker inte hjälper? Om ojämlikheten inte kan reduceras till icke-negativa svansar, om det är omöjligt att isolera modulen, om det i allmänhet finns smärta, sorg, melankoli?
Sedan kommer det "tunga artilleriet" av all matematik upp på scenen - brute force-metoden. I förhållande till ojämlikheter med modul ser det ut så här:
- Skriv ut alla submodulära uttryck och sätt dem lika med noll;
- Lös de resulterande ekvationerna och markera rötterna som finns på en tallinje;
- Den raka linjen kommer att delas upp i flera sektioner, inom vilka varje modul har ett fast tecken och därför är unikt avslöjat;
- Lös ojämlikheten på varje sådan sektion (du kan separat överväga rötterna-gränser som erhölls i steg 2 - för tillförlitlighet). Kombinera resultaten - detta kommer att vara svaret :)
Så hur? Svag? Lätt! Bara under lång tid. Låt oss se i praktiken:
Uppgift. Lös ojämlikheten:
\[\vänster| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Lösning. Den här skiten kokar inte ner till ojämlikheter som $\left| f\höger| \lt g$, $\left| f\höger| \gt g$ eller $\left| f\höger| \lt \left| g \right|$, så vi agerar framåt.
Vi skriver ut submodulära uttryck, likställer dem med noll och hittar rötterna:
\[\begin(align) & x+2=0\Högerpil x=-2; \\ & x-1=0\Högerpil x=1. \\\end(align)\]
Totalt har vi två rötter som delar upp tallinjen i tre sektioner, inom vilka varje modul avslöjas unikt:
Partitionering av tallinjen med nollor av submodulära funktioner
Låt oss titta på varje avsnitt separat.
1. Låt $x \lt -2$. Då är båda submodulära uttryck negativa, och den ursprungliga olikheten kommer att skrivas om enligt följande:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]
Vi har en ganska enkel begränsning. Låt oss skära det med det initiala antagandet att $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Uppenbarligen kan variabeln $x$ inte samtidigt vara mindre än −2 och större än 1,5. Det finns inga lösningar på detta område.
1.1. Låt oss betrakta gränsfallet separat: $x=-2$. Låt oss bara ersätta detta nummer med den ursprungliga ojämlikheten och kontrollera: är det sant?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]
Det är uppenbart att beräkningskedjan har lett oss till en felaktig ojämlikhet. Därför är den ursprungliga olikheten också falsk, och $x=-2$ ingår inte i svaret.
2. Låt nu $-2 \lt x \lt 1$. Den vänstra modulen öppnas redan med ett "plus", men den högra öppnas fortfarande med ett "minus". Vi har:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
Återigen korsar vi det ursprungliga kravet:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Och återigen är uppsättningen av lösningar tom, eftersom det inte finns några tal som både är mindre än -2,5 och större än -2.
2.1. Och igen specialfall: $x=1$. Vi ersätter i den ursprungliga ojämlikheten:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \vänster| 3\höger| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Högerpil \varnothing . \\\end(align)\]
I likhet med det tidigare "specialfallet" är talet $x=1$ uppenbarligen inte inkluderat i svaret.
3. Den sista delen av raden: $x \gt 1$. Här öppnas alla moduler med ett plustecken:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]
Och återigen skär vi den hittade uppsättningen med den ursprungliga begränsningen:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
Nåväl, äntligen! Vi har hittat ett intervall som blir svaret.
Svar: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Slutligen, en anteckning som kan rädda dig från dumma misstag när du löser verkliga problem:
Lösningar på ojämlikheter med moduler representerar vanligtvis kontinuerliga mängder på tallinjen - intervall och segment. Isolerade punkter är mycket mindre vanliga. Och ännu mindre ofta händer det att lösningens gräns (slutet av segmentet) sammanfaller med gränsen för det aktuella området.
Följaktligen, om gränser (samma "särskilda fall") inte ingår i svaret, kommer områdena till vänster och höger om dessa gränser nästan säkert inte att inkluderas i svaret. Och vice versa: gränsen in i svaret, vilket innebär att vissa områden runt den också kommer att vara svar.
Tänk på detta när du granskar dina lösningar.
