Utöva
Beräkna sannolikheten för felfri drift P c system med den struktur och parametrar som anges i avsnitt 6.4, med den logiskt-probabilistiska metoden. Jämför mottagna resultat med de gränsuppskattningar som erhållits i punkt 6.
Delar av teorin
Låt x=(x 1 ,..., x n) vara en n-dimensionell vektor som karakteriserar systemets tillstånd, där x i- Boolesk variabel: x i= 1 om i-th subsystem är i drift, och x i =0 annars.
Genom att ange lämpligt felkriterium för systemet kan du ange en boolesk funktion som beskriver systemets tillstånd eller feltillstånd:
R(x)=1, om systemet är i drift. R(x)=0 om systemet misslyckas.
Om systemet är i ett feltillstånd. om systemet är i drift.
Här är R(x) prestandafunktionen, är felfunktionen i tillståndet X.
Låt oss gå vidare till probabilistiska funktioner:
Här R- sannolikhet för felfri drift av systemet Och F- sannolikheten för systemfel bestäms för fallet när x i motsvarar arbetsskicket i element (delsystem). R Och F här definieras för samma tidpunkt som r(xi) och q(x i) - sannolikhet för felfri drift och fel på element.
Systemets struktur kallas monoton om för funktionen R(x) följande villkor är uppfyllda:
a) R(l)=1, där 1=(1,...,1);
b) R(0) = 0, där O = (0,...,0);
V) R(X) ≥R(y), Om x ≥y,
där villkor (c) förstås som en uppsättning n villkor x i ≥у i.
För att bedöma tillförlitligheten hos sådana system används metoden för minimivägar och minimiavsnitt, den logiska-mellanliggande metoden och andra.
Monotona strukturer inkluderar seriell-parallella och parallell-seriella strukturer, såväl som de som är irreducerbara för dem , som till exempel "bro".
Exempel lösning
Låt oss överväga användningen av den logisk-probabilistiska metoden, som gör att vi kan få det exakta värdet på sannolikheten för felfri drift, med hjälp av exemplet på brostrukturen som visas i fig. 6.1.
Fungera R (X) representera det i disjunktiv normal form (DNF) med en uppsättning minimala vägar (se avsnitt 6.2)
R(x) = x 1 x 4 V x 1 x 3 x 5 V x 2 x 5 V x 2 x 3 x 4,
Där x jag - Boolesk variabel som definierar hälsostatus i-th element. Matrisform av boolesk funktion R(x) visas i fig. 7.1.
Att beräkna R s nödvändig R(x) representera i ortogonal form R ort, dessa. i form av en uppsättning icke-överlappande intervall.
Och i enlighet med matrisen i fig. 7.1 vi har:
För beräkning räcker det i (7.1) x i ersätta med p i , med 1 -pi, konjunktion - efter produkt och disjunktion - efter summa. Efter att ha gjort detta får vi:
Låta sid jag = sid=0,8 då,
Jämförelse med resultatet i avsnitt 6.3. ger:
0,9069<0,9611<0,9692
Bibliografi
1. Kozlov B.A., Ushakov I.A. Handbok för beräkning av tillförlitligheten hos radioelektronik och automationsutrustning. – M.: Sov.radio, 1975. – 472 sid.
2. Iyudu K.A. Tillförlitlighet, kontroll och diagnostik av datorer och system. – M.: Högre skola, 1989. – 216 sid.
3. Tillförlitlighet för tekniska system: Directory / Yu.K. Belyaev, V.A. Bogatyrev, etc.; Ed. I.A. Ushakova. – M.: Radio och kommunikationer, 1985. – 608 sid.
4. Druzhinin G.V. Tillförlitlighet hos automatiserade produktionssystem. – 4:e uppl. – M.: Energoatom-izdat, 1986. – 480 sid.
5. Kagan B.M., Mkrtumyan I.B. Grunderna i datordrift. – M.: Energoatomizdat, 1988. – 432 sid.
Metoden är baserad på logisk algebras matematiska apparat. Att beräkna ett kontrollsystems tillförlitlighet innebär att bestämma förhållandet mellan en komplex händelse (systemfel) och de händelser som den beror på (fel i systemelement). Följaktligen är tillförlitlighetsberäkningar baserade på operationer med händelser och påståenden, vilka tas som påståenden om funktion eller fel hos ett element (system). Varje element i systemet representeras av en logisk variabel som tar värdet 1 eller 0.
Händelser och påståenden som använder operationerna disjunktion, konjunktion och negation kombineras till logiska ekvationer som motsvarar villkoren för att systemet ska fungera. En logisk prestandafunktion kompileras. En beräkning baserad på direkt användning av logiska ekvationer kallas logisk-probabilistisk och utförs i sju steg:
1. Verbal formulering av objektets driftsförhållanden. Beroendet av ett informationssystems prestanda på tillståndet för dess individuella element beskrivs.
2. Rita upp en logisk funktion av funktionsduglighet. Representerar en logisk ekvation som motsvarar tillståndet för drift av styrsystemet
som uttrycks i en disjunktiv form, till exempel:
där x i är prestandavillkoret för i - elementet Fl; X i = 1 – drifttillstånd, X i = 0 – inoperativt tillstånd.
3. Föra den logiska prestationsfunktionen FL till den ortogonala icke-repetitiva formen F LO. En komplex logisk prestationsfunktion måste reduceras till en ortogonal upprepningsfri form.
En funktion av formen (2.2) kallas ortogonal om alla dess termer D i är parvis ortogonala (det vill säga deras produkt är lika med noll), och upprepningsfri om var och en av dess termer Di består av bokstäver x i med olika siffror (det vill säga det finns inga upprepande argument ), till exempel: produkten av elementära konjunktioner x 1, x 2, x 4 och x 3, x 2 är lika med noll, eftersom en av dem innehåller x 2, och den andra - x 2 därför är de ortogonala; D1 = x 1 x x 2 x 2, där x 2 och x 2 har samma nummer, så termen D 1 är inte upprepad.
– ortogonal icke-repetitiv form;
– ortogonal, men inte icke-repetitiv form.
Funktionen F l kan konverteras till en ortogonal upprepningsfri form F lo med hjälp av lagarna och reglerna för att transformera komplexa påståenden. De vanligaste reglerna för beräkningar är:
1) x 1 x x 2 = x 2 x x 1;
4. Aritmetisering av Flo. Från den funna ortogonala upprepningsfria logiska prestationsfunktionen F LO bestäms den aritmetiska funktionen Fa (2.3).
där A i är den aritmetiska formen av termerna Di i funktionen F lo.
Aritmetisering av medlemmarna D i, som i allmänhet innehåller operationerna disjunktion, konjunktion och negation, utförs genom att ersätta logiska operationer med aritmetiska enligt reglerna:
5. Bestämma sannolikheten för felfri drift av systemet.
Sannolikheten för felfri drift av systemet fastställs som sannolikheten för sannolikheten för den logiska funktionsfunktionen, presenterad i en ortogonal icke-repetitionsform, och beräknas som summan av sannolikheterna för sanningen av alla ortogonala termer av denna logiska algebrafunktion. Alla händelser (påståenden) ersätts av deras sannolikheter (sannolikheter för felfri drift av motsvarande element).
I vissa fall kan ett objekt eller system inte tänkas bestå av parallell-seriekopplingar. Detta gäller särskilt digitala elektroniska informationssystem, där korsinformationskopplingar införs för att öka tillförlitligheten. I fig. Figur 9.17 visar en del av strukturen för ett system med korskopplingar (pilar visar möjliga riktningar för informationsrörelse i systemet). För att bedöma tillförlitligheten hos sådana strukturer visar sig den logiskt-probabilistiska metoden vara effektiv.
Ris. 9.17 Bränsleförsörjningskrets;
1-2 – pumpar, 3,4,5 – ventiler
Ris. 9.18 Brokrets för mät- och beräkningskomplexet;
1,2 – lagringsenhet; 3,4 – processorer; 5 – block som tillhandahåller tvåvägsöverföring av digital data.
I metoden föreslås strukturens funktionstillstånd beskrivas med hjälp av matematisk logikapparat, följt av en formell övergång till sannolikheten för felfri drift av systemet eller enheten som utvärderas. Dessutom genom en logisk variabel x j betecknar den händelse som en given i Det e elementet är i drift. Formellt reflekteras drifttillståndet för ett helt system eller objekt av en logisk funktion som kallas hälsofunktionen. För att hitta denna funktion är det nödvändigt att bestämma, efter ingången till utgången av systemstrukturen, alla vägar för rörelse av information och arbetsvätskan som motsvarar systemets drifttillstånd. Till exempel, i fig. 9.17. Det finns fyra sådana vägar: väg 1 – , väg 2 – , väg 3 – , väg 4 – .
Genom att känna till alla vägar som motsvarar strukturens arbetstillstånd kan vi skriva arbetskapacitetsfunktionen (X) i symbolerna för logikens algebra i disjunktiv - konjunktiv form. 9.17 är:
Genom att använda kända minimeringsmetoder förenklas den logiska prestandafunktionen och överförs från den till systemprestandaekvationen i symbolerna för vanlig algebra. Denna övergång utförs formellt med hjälp av kända relationer (logisk notation till vänster, algebraisk till höger):
Sannolikheten för felfri drift av ett objekt (se fig. 9.16, 9.17) bestäms i allmänhet genom att formellt ersätta prestationsfunktionens algebraiska uttryck i stället för variabler med värdet av sannolikheterna för felfri drift för varje i den delen av systemet.
Exempel. Det är nödvändigt att i allmänna termer hitta sannolikheten för felfri drift av objekt, vars struktur presenteras i fig. 9.16 och 9.17. Trots de olika elementbaserna är de strukturella elementen i dessa objekt identiska ur den formella logikens synvinkel. I detta avseende, för tydlighetens skull, i fig. 9.17 element U1, U2 - två identiska lika tillförlitliga pumpar med sannolikhet för felfri drift. Element U3, U4 är två lika pålitliga processorer med sannolikhet för felfri drift. Element U5 är en omkopplingsventil som tillhandahåller tvåvägstillförsel av arbetsvätskan (till exempel bränsle) vid objektets utgång.
Objektstrukturen i fig. 1 ser liknande ut. 9.17, där elementen U1, U2 är två identiska, lika tillförlitliga lagringsenheter (lagringsenheter), med sannolikhet för felfri drift. Element U3, U4 är två identiska, lika pålitliga processorer med sannolikhet för felfri drift. Element U5 är ett block som tillhandahåller tvåvägsöverföring av digital data. Sannolikheten för felfri drift av denna enhet.
Med hänsyn till (9.36), (9.37), (9.38) är det möjligt att göra en formell övergång från notationen (9.35) till den algebraiska notationsformen. Så, för att hitta den logiska funktionen av ett objekts prestanda, har de möjliga vägarna för passage av information (arbetsvätska) från ingång till utgång formen:
Ur tillförlitlighetsanalyssynpunkt menar vi med ett strukturellt komplext system ett system som består av ett godtyckligt antal godtyckligt sammankopplade redundanta länkar (parallellserie, brygga). I tidigare föreläsningar övervägdes två metoder för att studera tillförlitligheten hos strukturellt komplexa system: metoden att analysera komplexa serieparallella strukturer, metoden för nedbrytning med avseende på ett speciellt element. Med ett stort antal element och kopplingar mellan element är det en extremt svår uppgift att utföra tillförlitlighetsberäkningar med dessa metoder. Automatisering av beräkningar gör att vi kan lösa problemet med att analysera tillförlitligheten hos strukturellt komplexa system. För att implementera automatisering är det nödvändigt att ha en generell formell beskrivning av det analyserade systemets "tillförlitlighetsbeteende". Logikens algebra valdes som en sådan beskrivning (se bilaga). Metoden för att analysera tillförlitligheten hos komplexa system, där deras struktur beskrivs med hjälp av den matematiska apparaten för binär algebra av logik, och en kvantitativ bedömning av tillförlitligheten utförs med hjälp av sannolikhetsteori, kallas logisk-probabilistisk metod.
Användningen av logisk-probabilistiska metoder för att bestämma värdena för probabilistiska tillförlitlighetsindikatorer vid tidpunkten t för ett system som består av n element utförs i flera steg:
· konstruktion av en logisk funktion av systemprestanda
Konvertera en logisk funktion till övergångsformen till substitution
· få fram en beräknad probabilistisk formel
1. Konstruktion av en logisk funktion för systemets funktionsduglighet (inoperabilitet).
Antagandet görs att både systemet självt och dess beståndsdelar endast kan vara i två tillstånd - funktionsduglighet och fel, och felen i elementen antas vara oberoende. Sedan, baserat på villkoren för driftbarhet (inoperabilitet) för systemet, är det möjligt att konstruera en logisk funktion av dess driftbarhet S( x) (ooperabilitet)
(1)
Argumentet till funktion S är en radvektor x logiska variabler sådana att
(2)
Om vi till exempel tar tillförlitlighetsblockdiagrammen som vi redan har studerat som den initiala beskrivningen av systemet, då för ett system som består av två seriekopplade element vad gäller tillförlitlighet (felet i var och en är ett fel i systemet som en hela) (Fig. 1.a), , en . Funktionsfunktionen för ett duplicerat system, där enstaka fel i element inte leder till dess fel (fig. 1.b), är lika med , inoperabilitet - . För brokonstruktionen (Fig. 1.c), . Dessa funktioner är konstruerade ganska formellt - de återspeglar närvaron av minst en anslutning (väg) mellan ingången och utgången av systemets tillförlitlighetskrets. En väg är funktionell om alla dess element är funktionella. Därför motsvarar varje väg en elementär konjunktion av variabler som motsvarar elementen som ingår i vägen, och S(X) är disjunktionen av alla elementära konjunktioner som motsvarar möjliga vägar från ingång till utgång. För små system är det inte svårt att skriva sådana logiska uttryck för komplexa system som består av ett stort antal komponenter, speciella algoritmer för att passera kretsen och bilda vägar.
Kärnan i logisk-probabilistiska metoder ligger i användningen av logiska algebrafunktioner (LPF) för att analytiskt registrera systemets driftsförhållanden och övergången från FAL till probabilistiska funktioner (PF), som objektivt uttrycker systemets tillförlitlighet. Dessa. Med hjälp av den logiskt-probabilistiska metoden är det möjligt att beskriva IC-kretsar för beräkning av tillförlitlighet med hjälp av matematisk logikapparat, följt av användning av sannolikhetsteori för att bestämma tillförlitlighetsindikatorer.
Systemet kan bara vara i två tillstånd: i ett tillstånd med full funktionalitet ( på= 1) och i ett tillstånd av fullständigt misslyckande ( på= 0). Det antas att systemets verkan beror deterministiskt på verkan av dess element, dvs. påär en funktion X 1 , X 2 , … , x i , … , x n. Element kan också bara vara i två inkompatibla tillstånd: full funktionalitet ( x i= 1) och fullständigt misslyckande ( x i = 0).
Logisk algebrafunktion som förbinder elementens tillstånd med systemets tillstånd på (X 1 , X 2 ,…, x n) kallas prestandafunktion system F(y)= 1.
För att bedöma systemets operativa tillstånd används två begrepp:
1) den kortaste vägen till framgångsrik drift (SPUF), som är en sådan sammansättning av dess element, vars komponenter inte kan tas bort utan att störa systemets funktion. En sådan konjunktion skrivs som följande FAL:
Där i– tillhör en uppsättning siffror som motsvarar en given
l- sätt.
Med andra ord beskriver systemets CPUF ett av dess möjliga drifttillstånd, vilket bestäms av den minimala uppsättningen av operationella element som är absolut nödvändiga för att utföra de funktioner som specificeras för systemet.
2) det minsta tvärsnittet av systemfel (MSF), som är en sådan kombination av negationerna av dess element, vars komponenter inte kan tas bort utan att bryta mot villkoren för systemets inoperabilitet. En sådan konjunktion kan skrivas som följande FAL:
där betyder den uppsättning siffror som motsvarar en given sektion.
Med andra ord beskriver MCO för ett system ett av de möjliga sätten att störa systemet genom att använda en minimal uppsättning misslyckade element.
Varje redundant system har ett ändligt antal kortaste vägar ( l= 1, 2,…, m) och minimiavsnitt ( j = 1, 2,..., m).
Med hjälp av dessa koncept kan vi skriva ner systemets driftsförhållanden.
1) i form av en disjunktion av alla tillgängliga kortaste vägar till framgångsrik funktion.
;
2) i form av en konjunktion av negationer av alla MSO:er
;
Sålunda kan driftförhållandena för ett verkligt system representeras i form av driftförhållandena för något ekvivalent (i betydelsen tillförlitlighet) system, vars struktur representerar en parallellkoppling av de kortaste vägarna till framgångsrik drift, eller annan ekvivalent drift system vars struktur representerar en koppling av negationer av minimala sektioner.
Till exempel, för en brygg-IC-struktur, kommer systemoperabilitetsfunktionen som använder CPUF att skrivas enligt följande:
;
prestandafunktionen för samma system genom MSO kan skrivas i följande form:
Med ett litet antal element (högst 20) kan en tabellform för beräkning av tillförlitlighet användas, som är baserad på användningen av teoremet för att addera sannolikheterna för gemensamma händelser.
Sannolikheten för felfri drift av systemet kan beräknas med formeln (via en probabilistisk funktion av formuläret):
Logisk-probabilistiska metoder (metoder: skärning, tabellform, ortogonalisering) används ofta i diagnostiska procedurer vid konstruktion av felträd och bestämning av de grundläggande (initiella) händelserna som orsakar systemfel.
För tillförlitligheten hos ett datorsystem med en komplex redundansstruktur kan en statistisk modelleringsmetod användas.
Tanken med metoden är att generera logiska variabler x i med en given sannolikhet pi för förekomsten av en enhet, som ersätts i den logiska strukturfunktionen för det modellerade systemet i en godtycklig form och sedan beräknas resultatet.
Helhet X 1 , X 2 ,…, x n oberoende slumpmässiga händelser som bildar en komplett grupp, kännetecknad av sannolikheterna för att var och en av händelserna ska inträffa sid(x i), och .
För att modellera denna uppsättning slumpmässiga händelser används en slumptalsgenerator, jämnt fördelad i intervallet
Menande p i väljs lika med sannolikheten för felfri drift i delsystemet. I detta fall upprepas beräkningsprocessen N 0 gånger med nya, oberoende slumpmässiga argumentvärden x i(i detta fall antalet N(t) enstaka värden för den logiska strukturfunktionen). Attityd N(t)/N 0 är en statistisk uppskattning av sannolikheten för felfri drift
Där N(t) – antalet problemfria arbetare fram till tidpunkten t föremål, med deras ursprungliga nummer.
Generera slumpmässiga booleska variabler x i med en given sannolikhet för förekomst av en p i utförs på basis av slumpvariabler jämnt fördelade i intervallet, erhållna med standardprogram som ingår i programvaran för alla moderna datorer.
1. Nämn en metod för att bedöma tillförlitligheten hos en IS, där sannolikheten för felfri drift av systemet definieras som Р n ≤Р с ≤Р in.
2. För att beräkna tillförlitligheten för vilka system används väg- och sektionsmetoden?
3. Med vilken metod kan du utvärdera tillförlitligheten hos enheter av bryggtyp?
4. Vilka metoder är kända för att bestämma tillförlitlighetsindikatorer för återställda system?
5. Strukturellt representera bryggkretsen som en uppsättning minimala banor och sektioner.
6. Definiera minsta bana och minsta sektion.
7. Skriv ner hälsofunktionen för en enhet med grenad struktur?
8. Vad är prestationsfunktionen?
9. Vad är den kortaste vägen till framgångsrik operation (CPF). Skriv ner driftsförhållandena i form av KPUF.
10. Var används den logiskt-probabilistiska metoden för tillförlitlighetsbedömning?
Litteratur: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Ämne: Beräkning av tillförlitlighet för återställda system (metod för differentialekvationer)
1. Allmänna metoder för att beräkna tillförlitligheten hos återställda system.
2. Konstruktion av en graf över möjliga systemtillstånd för att bedöma tillförlitligheten hos återställda system.
3. Metod för system av differentialekvationer (SDE), Kolmogorovs regel för att kompilera SDE
4. Normalisering och initiala villkor för att lösa SDE.
Nyckelord
Återställningsbart system, kvantitativa egenskaper för tillförlitlighet, tillståndsgraf, drifttillstånd, system med differentialekvationer, Kolmogorovs regel, sannolikhet för felfri drift, återställningsfrekvens, felfrekvens, normaliseringsförhållanden, initiala förhållanden, tillförlitlighetsparametrar, icke-redundanta system.
Huvuduppgiften för att beräkna tillförlitligheten hos designade IC:er är att konstruera matematiska modeller som är lämpliga för de probabilistiska processerna för deras funktion. Dessa modeller gör det möjligt att bedöma i vilken grad tillförlitlighetskraven för konstruerade eller drivna system uppfylls.
Typen av matematisk modell avgör möjligheten att erhålla beräkningsformler. För att beräkna tillförlitligheten för återställda redundanta och icke-redundanta system används följande: metoden för integralekvationer, metoden för differentialekvationer, metoden för övergångsintensiteter, metoden för att bedöma tillförlitligheten med hjälp av en graf över möjliga tillstånd, etc.
Metod för integralekvationer. Metoden med integralekvationer är den mest generella den kan användas för att beräkna tillförlitligheten för alla (återställningsbara och icke-återställningsbara) system för alla FBG-distributioner och återställningstid.
I det här fallet, för att bestämma systemets tillförlitlighetsindikatorer, sammanställs och löses integrerade och integrodifferentialekvationer som relaterar egenskaperna hos distributionen av FBG och för återställda system, elementens återhämtningstid.
Vid sammanställning av integralekvationer identifieras vanligtvis ett eller flera infinitesimala tidsintervall, för vilka komplexa händelser som manifesterar sig under en kombinerad verkan av flera faktorer beaktas.
I allmänhet hittas lösningar med numeriska metoder med hjälp av en dator. Metoden med integralekvationer används inte i stor utsträckning på grund av svårigheten att lösa.
Metod för differentialekvationer. Metoden används för att bedöma tillförlitligheten hos återställda objekt och bygger på antagandet om exponentiella tidsfördelningar mellan fel (drifttid) och återställningstid. I detta fall felflödesparametern w =λ = 1/t cp. och återhämtningsintensitet µ = 1/ t in, Var tcp.– genomsnittlig tid mellan fel, t in– genomsnittlig återhämtningstid.
För att tillämpa metoden är det nödvändigt att ha en matematisk modell för många möjliga tillstånd i systemet S={S 1 , S 2 ,..., S n), där den kan finnas under systemfel och återställning. Då och då systemet S hoppar från ett tillstånd till ett annat under påverkan av misslyckanden och restaureringar av dess individuella element.
När man analyserar beteendet hos ett system över tid under slitage är det bekvämt att använda en tillståndsgraf. En tillståndsgraf är en riktad graf där möjliga tillstånd i systemet representeras av cirklar eller rektanglar. Den innehåller så många hörn som det finns olika möjliga tillstånd för ett objekt eller system. Kanterna på grafen återspeglar möjliga övergångar från ett visst tillstånd till alla andra med parametrar för fel- och återställningshastigheter (övergångshastigheter visas nära pilarna).
Varje kombination av fel och drifttillstånd för delsystem motsvarar ett systemtillstånd. Antal systemtillstånd n= 2k, Var k– Antal delsystem (element).
Sambandet mellan sannolikheterna för att hitta ett system i alla dess möjliga tillstånd uttrycks av ett system av Kolmogorov differentialekvationer (första ordningens ekvationer).
Strukturen för Kolmogorovs ekvationer är byggd enligt följande regler: på vänster sida av varje ekvation skrivs derivatan av sannolikheten att hitta ett objekt i det aktuella tillståndet (grafens hörn) och den högra sidan innehåller lika många termer som antalet kanter på tillståndsgrafen som är associerade med denna vertex. Om en kant är riktad från en given vertex, har motsvarande term ett minustecken om den är riktad till en given vertex, har den ett plustecken. Varje term är lika med produkten av felintensitetsparametern (återhämtning) som är associerad med en given kant och sannolikheten för att vara i spetsen av grafen från vilken kanten kommer.
Kolmogorovs ekvationssystem inkluderar lika många ekvationer som det finns hörn i objektets tillståndsgraf.
Systemet med differentialekvationer kompletteras med normaliseringsvillkoret:
Där Pj(t j-th villkoret;
n– antalet möjliga tillstånd i systemet.
Att lösa ett ekvationssystem under specifika förhållanden ger värdet av de önskade sannolikheterna Pj(t).
Hela uppsättningen av möjliga tillstånd i systemet är uppdelad i två delar: en undergrupp av tillstånd n 1 där systemet är i drift, och en delmängd av tillstånd n 2 där systemet inte fungerar.
System redo funktion:
TILL G 
,
Där Pj(t) – sannolikhet att hitta systemet i j i fungerande skick;
n 1 – antalet tillstånd där systemet är i drift.
När det är nödvändigt att beräkna systemtillgänglighetsfaktorn eller stilleståndsfaktorn (avbrott i systemdriften är acceptabla), överväg driftläget i stationärt tillstånd vid t→∞. I det här fallet förvandlas alla derivator och systemet av differentialekvationer till ett system av algebraiska ekvationer som är lätt att lösa.
Ett exempel på en tillståndsgraf för ett icke-redundant återvinningsbart system med n– element visas i fig. 1.
Ris. 1. Tillståndsdiagram för systemet som återställs (inoperativa tillstånd är markerade med skuggning)
Låt oss överväga de möjliga tillstånden där systemet kan vara. Följande tillstånd är möjliga här:
S 0 – alla element är operativa;
S 1 – det första elementet fungerar inte;
S 2 – det andra elementet är inoperativt;
S n – n Det e elementet är ur funktion, resten fungerar.
Sannolikheten för att två inoperativa element uppträder samtidigt är försumbar. Symboler λ 1 , λ 2 ,…, λ n felfrekvenser anges, µ 1 , µ 2 ,…, µ n intensiteten av restaurering av motsvarande element;
Med hjälp av tillståndsgrafen (fig. 1) sammanställs ett system av differentialekvationer (ekvationen för tillståndet) S 0 utelämnas på grund av krånglighet):
Med normaliseringstillstånd: .
Inledande villkor:
Under stationära driftsförhållanden (kl t→∞) vi har:
Efter att ha löst det resulterande systemet med algebraiska ekvationer med hänsyn till normaliseringsvillkoret, hittar vi tillförlitlighetsindikatorer.
När du löser ett ekvationssystem kan du använda Laplace-transformen för tillståndssannolikheter eller numeriska metoder.
Testa frågor och uppgifter
1. Vilka metoder är kända för att bestämma tillförlitlighetsindikatorer för återställda system?
2. Hur bestäms tillstånden för IC-element och enheter?
3. Hur bestämmer man områdena för systemets drifttillstånd?
4. Varför har metoden med differentialekvationer blivit utbredd vid bedömning av tillförlitligheten hos återställda system?
5. Vad är ett nödvändigt villkor när man löser system av differentialekvationer?
6. Hur sammanställs differentialekvationer för att bestämma tillförlitlighetsparametrarna för en IS?
7. Vilket villkor bör kompletteras med differentialekvationssystemet (SDE) för en mer effektiv lösning.
8. Skriv ner driftsförhållandena för systemet, bestående av tre element.
9. Hur många tillstånd har en enhet som består av fyra element?
10. Vilken regel används vid kompilering av en CDS?
Litteratur: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Ämne: Markovmodeller för bedömning av tillförlitligheten hos redundanta, återställningsbara informationssystem
1. Begreppet Markov-egendomen, definition av systemets tillstånd.
2. Metod och algoritm för att konstruera en Markov-modell.
3. Beräkningsformler för beräkning av fordons tillförlitlighetsindikatorer
4. Övergångsintensitetsmatris för att bedöma tillförlitlighetsindikatorerna för redundanta, återvinningsbara IC:er.
Nyckelord
Markov-modell, systemtillstånd, funktionsduglighet, övergångsintensitetsmatris, tillståndsgraf, återställt system, redundans, sekventiell krets, konstant reserv, system av differentialekvationer, Kolmogorovs regel, tillförlitlighetsberäkningsschema, ungefärlig metod, algoritmer för att konstruera SDE, normaliseringsvillkor, initial förhållanden, sannolikhet för felfri drift, felfrekvens.
Informationssystemens funktion och deras komponenter kan representeras som en uppsättning övergångsprocesser från ett tillstånd till ett annat under påverkan av alla skäl.
Ur tillförlitligheten hos återställda IC:er kännetecknas deras tillstånd vid varje ögonblick av vilket av elementen som är i drift och vilka som återställs.
Om varje möjlig uppsättning operativa (ooperativa) element är associerad med en uppsättning objekttillstånd, kommer fel och återställningar av element att återspeglas av objektets övergång från ett tillstånd till ett annat:
Låt till exempel ett objekt bestå av två element. Då kan det vara i ett av fyra tillstånd: n = 2k = 2 2 = 4.
S 1 – båda delarna är operativa;
S 2 – endast det första elementet är ur funktion;
S 3 – endast det andra elementet är ur funktion;
S 4 – båda delarna fungerar inte.
Uppsättning möjliga objekttillstånd: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.
Den kompletta uppsättningen av tillstånd i systemet som studeras kan vara diskreta eller kontinuerliga (fyll kontinuerligt ett eller flera intervall av den numeriska axeln).
I det följande kommer vi att överväga system med ett diskret tillståndsutrymme. Sekvensen av tillstånd i ett sådant system och processen för övergångar från ett tillstånd till ett annat kallas en kedja.
Beroende på den tid systemet förblir i varje tillstånd, särskiljs processer med kontinuerlig tid och processer med diskret tid. I kontinuerliga processer övergår systemet från ett tillstånd till ett annat när som helst. I det andra fallet är tiden som systemet förblir i varje tillstånd fixerad så att övergångarna placeras på tidsaxeln med lika intervall.
För närvarande är de mest studerade kedjorna de med Markov-fastigheten. Övergångssannolikheter indikeras med symboler P ij(t), och processen P ijövergångar kallas en Markov-kedja eller Markov-kedja.
Markov-egendomen är förknippad med frånvaron av efterverkningar. Detta innebär att systemets beteende i framtiden endast beror på dess tillstånd vid ett givet ögonblick och inte beror på hur det kom till detta tillstånd.
Markov-processer gör det möjligt att beskriva sekvenser av fel och återställning i system som beskrivs med hjälp av en tillståndsgraf.
Oftast används metoden för kontinuerliga Markov-kedjor för att beräkna tillförlitlighet, baserat på ett system av differentialekvationer, som i matrisform kan skrivas som:
,
Där P(t)= P 0 – initiala villkor;
,
och Λ är övergångsintensitetsmatrisen (koefficientmatris för tillståndssannolikheter):
där λ ij– intensiteten av systemets övergång från det i:te tillståndet till det j:te;
Pjär sannolikheten att systemet är i det j:te tillståndet.
Vid bedömning av tillförlitligheten hos komplexa redundanta och återvinningsbara system leder Markov-kedjemetoden till komplexa lösningar på grund av det stora antalet tillstånd. När det gäller delsystem av samma typ som arbetar under samma förhållanden, används utvidgningsmetoden för att minska antalet stater. Stater med samma antal delsystem kombineras. Då minskar dimensionen på ekvationerna.
Sekvensen för metodiken för att bedöma tillförlitligheten hos redundanta återvinningsbara system med hjälp av Markov-kedjemetoden är som följer:
1. Anordningens sammansättning analyseras och ett tillförlitlighetsblockdiagram upprättas. Enligt schemat konstrueras en graf som tar hänsyn till alla möjliga tillstånd;
2. Som ett resultat av att analysera strukturdiagrammet delas alla hörn i grafen in i två delmängder: hörn som motsvarar systemets drifttillstånd och hörn som motsvarar systemets inoperativa tillstånd.
3. Med hjälp av tillståndsgrafen sammanställs ett system med differentialekvationer (Kolmogorovs regel används);
4. De initiala förutsättningarna för att lösa problemet väljs;
5. Sannolikheterna för att systemet är i ett funktionstillstånd vid en godtycklig tidpunkt bestäms;
6. Sannolikheten för felfri drift av systemet bestäms;
7. Vid behov bestäms andra indikatorer.
Testa frågor och uppgifter
1. Vad menas med en Markov-kedja?
2. Ge en algoritm för att bedöma tillförlitligheten hos en IS med hjälp av Markov-modeller.
3. Hur sammanställs differentialekvationer för att bestämma tillförlitlighetsparametrarna för en IS?
4. Vilka tillförlitlighetsindikatorer kan erhållas med Markovmetoden?
5. Lista huvudstegen för att konstruera en Markov-modell av tillförlitligheten hos ett komplext system.
6. Vad är ett nödvändigt villkor när man löser system av differentialekvationer?
7. Hur bestäms tillstånden för elementen och enheterna i kompressorstationen?
8. Definiera begreppet återvinningsbara system.
9. Vad är en Markov-kedja?
10. För att utvärdera vilka system används Markovs tillförlitlighetsmodeller?
Litteratur: 1, 2, 3, 10, 11.
Ämne: Ungefärliga metoder för att beräkna tillförlitligheten hos tekniska informationssystem
1. Grundläggande antaganden och begränsningar vid bedömning av tillförlitligheten av serieparallella strukturer.
2. Ungefärliga metoder för att beräkna tillförlitligheten hos återställda IC med seriell och parallell anslutning av IC-delsystem.
3. Blockdiagram för beräkning av IS-tillförlitlighet.
Nyckelord
Tillförlitlighet, serieparallell struktur, ungefärliga metoder för beräkning av tillförlitlighet, blockschema för tillförlitlighetsberäkning, felfrekvens, återhämtningsgrad, tillgänglighetsfaktor, återhämtningstid, datorsystem.
