Definition 1
Antiderivatan $F(x)$ för funktionen $y=f(x)$ på segmentet $$ är en funktion som är differentierbar vid varje punkt i detta segment och följande likhet gäller för dess derivata:
Definition 2
Mängden av alla antiderivator av en given funktion $y=f(x)$, definierade på ett visst segment, kallas den obestämda integralen av en given funktion $y=f(x)$. Den obestämda integralen betecknas med symbolen $\int f(x)dx $.
Från tabellen över derivator och Definition 2 får vi tabellen över grundläggande integraler.
Exempel 1
Kontrollera giltigheten av formel 7 från tabellen över integraler:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=konst.\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Exempel 2
Kontrollera giltigheten av formel 8 från tabellen över integraler:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=konst.\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 3
Kontrollera giltigheten av formel 11" från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 4
Kontrollera giltigheten av formel 12 från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 5
Kontrollera giltigheten av formel 13" från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=konst.\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 6
Kontrollera giltigheten av formel 14 från tabellen över integraler:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=konst.\]
Låt oss skilja på den högra sidan: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Derivatan visade sig vara lika med integranden. Därför är formeln korrekt.
Exempel 7
Hitta integralen:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Låt oss använda summaintegralsatsen:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Låt oss använda satsen om att placera en konstant faktor utanför integraltecknet:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Enligt tabellen över integraler:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
När vi beräknar den första integralen använder vi regel 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Därför,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]
Rektorintegraler som varje elev bör känna till
De listade integralerna är grunden, grunden för grunderna. Dessa formler bör definitivt komma ihåg. När du beräknar mer komplexa integraler måste du använda dem hela tiden.
Var särskilt uppmärksam på formlerna (5), (7), (9), (12), (13), (17) och (19). Glöm inte att lägga till en godtycklig konstant C till ditt svar när du integrerar!
Integral av en konstant
∫ A d x = A x + C (1)Integrera en Power-funktion
I själva verket var det möjligt att begränsa oss till endast formlerna (5) och (7), men resten av integralerna från denna grupp förekommer så ofta att det är värt att uppmärksamma dem lite.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)
Integraler av exponentialfunktioner och hyperboliska funktioner
Naturligtvis kan formel (8) (kanske den mest bekväma för memorering) betraktas som specialfall formler (9). Formlerna (10) och (11) för integralerna av hyperbolisk sinus och hyperbolisk cosinus härleds lätt från formel (8), men det är bättre att helt enkelt komma ihåg dessa relationer.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Grundläggande integraler av trigonometriska funktioner
Ett misstag som elever ofta gör är att de blandar ihop tecknen i formlerna (12) och (13). Kom ihåg att derivatan av sinus är lika med cosinus, av någon anledning tror många att integralen av funktionen sinx är lika med cosx. Detta är inte sant! Integralen av sinus är lika med "minus cosinus", men integralen av cosx är lika med "bara sinus":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Integraler som reducerar till inversa trigonometriska funktioner
Formel (16), som leder till arctangensen, är naturligtvis ett specialfall av formel (17) för a=1. På samma sätt är (18) ett specialfall av (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = båge x + C = − bågar x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = båge x a + C = − bågar x a + C (a > 0) (19)
Mer komplexa integraler
Det är också lämpligt att komma ihåg dessa formler. De används också ganska ofta, och deras produktion är ganska tråkig.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 båge x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Allmänna regler för integration
3) Konstanten kan tas ut ur heltecknet: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Det är lätt att se att fastighet (26) helt enkelt är en kombination av fastigheter (25) och (27).
4) Integral av komplex funktion, Om intern funktionär linjär: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Här är F(x) en antiderivata för funktionen f(x). Observera: denna formel fungerar bara när den inre funktionen är Ax + B.
Viktigt: det finns ingen universell formel för integralen av produkten av två funktioner, såväl som för integralen av en bråkdel:
∫ f (x) g (x) d x = ?
∫ f (x) g (x) d x = ?
(30)
Detta betyder naturligtvis inte att en fraktion eller produkt inte kan integreras. Det är bara det att varje gång du ser en integral som (30), måste du uppfinna ett sätt att "bekämpa" det. I vissa fall kommer integrering av delar att hjälpa dig, i andra kommer du att behöva göra en förändring av variabel, och ibland kan till och med "skola" algebra eller trigonometriformler hjälpa dig.Ett enkelt exempel på beräkning av den obestämda integralen
Exempel 1. Hitta integralen: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x
Låt oss använda formlerna (25) och (26) (integralen av summan eller skillnaden av funktioner är lika med summan eller skillnaden av motsvarande integraler. Vi får: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Låt oss komma ihåg att konstanten kan tas ut ur integraltecknet (formel (27)). Uttrycket konverteras till formen 3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x Låt oss nu bara använda tabellen över grundläggande integraler. Vi kommer att behöva tillämpa formlerna (3), (12), (8) och (1). Låt oss integrera
kraftfunktion
, sinus, exponentiell och konstant 1. Låt oss inte glömma att lägga till en godtycklig konstant C i slutet: 3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C Efter
elementära transformationer
vi får det slutgiltiga svaret:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
| Testa dig själv genom differentiering: ta derivatan av den resulterande funktionen och se till att den är lika med den ursprungliga integranden. |
| Sammanfattande tabell över integraler |
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | +C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = båge x + C = − bågar x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = båge x a + C = − bågar x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | |
| x + x 2 + a 2 | +C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | |
| x + x 2 − a 2 | +C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 båge x a + C (a > 0) |
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |
x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |
x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) Ladda ner tabellen över integraler (del II) från denna länk Om du studerar vid ett universitet, om du har svårigheter med högre matematik (matematisk analys, linjär algebra, sannolikhetsteori, statistik), om du behöver tjänster från en kvalificerad lärare, gå till sidan för en högre matematiklärare. Vi löser dina problem tillsammans!
Du kanske också är intresserad av
Att lösa integraler är en enkel uppgift, men bara för ett fåtal utvalda. Den här artikeln är till för dig som vill lära dig att förstå integraler, men som ingenting eller nästan ingenting vet om dem. Integral... Varför behövs det? Hur räknar man ut det? Vad är säkert och « obestämd integral »
s? Om den enda användningen du känner till för en integral är att använda en virknål formad som en integrerad ikon för att få ut något användbart från svåråtkomliga platser, så välkommen! Ta reda på hur du löser de enklaste och andra integralerna och varför du inte kan klara dig utan den i matematik. Vi studerar konceptet väsentlig Integration var känt sedan tidigare Forntida Egypten . Naturligtvis inte i sin moderna form, men ändå. Sedan dess har matematiker skrivit många böcker om detta ämne. Särskilt utmärkt sig
Newton Och Leibniz
, men sakens essens har inte förändrats.
Hur förstår man integraler från början? Inget sätt! För att förstå detta ämne behöver du fortfarande en grundläggande förståelse för grunderna. matematisk analys .
. Vi har redan information om , nödvändig för att förstå integraler, på vår blogg. matematisk analys Obestämd integral Låt oss ha en funktion f(x) matematisk analys .
Obestämd integralfunktion
denna funktion kallas F(x). Dessutom läggs ofta ett konstant tecken till antiderivatan, eftersom derivatorna av funktioner som skiljer sig med en konstant sammanfaller. Processen att hitta integralen kallas integration.
Enkelt exempel:
För att inte ständigt beräkna antiderivat elementära funktioner, är det bekvämt att sammanfatta dem i en tabell och använda färdiga värden.
Komplett tabell över integraler för studenter
Definitiv integral
När vi har att göra med begreppet en integral har vi att göra med oändligt små storheter. Integralen hjälper till att beräkna arean av figuren, massan av den inhomogena kroppen, avståndet tillryggalagt vid ojämn rörelse väg och mycket mer. Man bör komma ihåg att en integral är en oändlig summa stor mängd oändliga termer.
Som ett exempel, föreställ dig en graf över någon funktion.
Hur hittar man arean av en figur som begränsas av grafen för en funktion? Använder en integral! Låt oss dela upp den krökta trapetsen, begränsad av koordinataxlarna och grafen för funktionen, i infinitesimala segment. På så sätt kommer figuren att delas upp i tunna kolumner. Summan av kolonnernas ytor kommer att vara trapetsens yta. Men kom ihåg att en sådan beräkning kommer att ge ett ungefärligt resultat. Men ju mindre och smalare segmenten är, desto mer exakt blir beräkningen. Om vi minskar dem till en sådan grad att längden tenderar till noll, kommer summan av segmentens area att tendera mot figurens yta. Detta är en bestämd integral, som är skriven så här:
Punkterna a och b kallas integrationsgränser.
« Väsentlig »
Förresten! För våra läsare finns nu 10% rabatt på
Regler för beräkning av integraler för dummies
Egenskaper hos den obestämda integralen
Hur löser man en obestämd integral? Här kommer vi att titta på egenskaperna hos den obestämda integralen, vilket kommer att vara användbart när du löser exempel.
- Integralens derivata är lika med integranden:
- Konstanten kan tas ut under integraltecknet:
- Summans integral är lika med summan av integralerna. Detta gäller även för skillnaden:
Egenskaper hos en bestämd integral
- Linjäritet:
- Integralens tecken ändras om integrationens gränser byts om:
- På några poäng a, b Integration var känt sedan tidigare Med:
Vi har redan upptäckt att en bestämd integral är gränsen för en summa. Men hur får man ett specifikt värde när man löser ett exempel? För detta finns Newton-Leibniz formel:
Exempel på att lösa integraler
Nedan kommer vi att överväga den obestämda integralen och exempel med lösningar. Vi föreslår att du själv tar reda på krångligheterna i lösningen, och om något är oklart, ställ frågor i kommentarerna.
För att förstärka materialet, se en video om hur integraler löses i praktiken. Misströsta inte om integralen inte ges direkt. Kontakta en professionell service för studenter, och eventuell trippel eller böjd integral över en stängd yta kommer att vara inom din makt.
