Formler för de enklaste ekvationerna. Hur man löser trigonometriska ekvationer. Faktorisering

Trigonometriska ekvationer .

De enklaste trigonometriska ekvationerna .

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

Trigonometriska ekvationer. En ekvation som innehåller en okänd under tecknet för den trigonometriska funktionen kallas trigonometrisk.

De enklaste trigonometriska ekvationerna.

Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Att lösa en trigonometrisk ekvation består av två steg: ekvationstransformation för att få det enklast typ (se ovan) och lösningdet enklaste resultatet trigonometrisk ekvation. Det finns sju grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

1. Algebraisk metod. Denna metod är välkänd för oss från algebra.

(metod för variabel ersättning och substitution).

2. Faktorisering. Låt oss titta på denna metod med exempel.

Exempel 1. Lös ekvationen: synd x+cos x = 1 .

Lösning Låt oss flytta alla termer i ekvationen till vänster:

Synd x+cos x – 1 = 0 ,

Låt oss transformera och faktorisera uttrycket i

Vänster sida av ekvationen:

Exempel 2. Lös ekvationen: cos 2 x+ synd x cos x = 1.

Lösning: cos 2 x+ synd x cos x– synd 2 x– för 2 x = 0 ,

Synd x cos x– synd 2 x = 0 ,

Synd x· (cos x– synd x ) = 0 ,

Exempel 3. Lös ekvationen: cos 2 x– för 8 x+ cos 6 x = 1.

Lösning: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 för 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (kostar 2 x– för 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 synd 3 x synd x = 0 ,

1). för 4 x= 0, 2). synd 3 x= 0, 3). synd x = 0 ,

3.

Leder till homogen ekvation. Ekvationen kallad homogen från angående synd Och cos , Om allt av det termer av samma grad i förhållande till synd Och cos samma vinkel. För att lösa en homogen ekvation behöver du: A) flytta alla dess medlemmar till vänster sida; b) placera alla vanliga faktorer utanför parentes; V) likställ alla faktorer och parenteser till noll; G) parentes lika med noll ger homogen ekvation av mindre grad, som bör delas in i cos(eller synd) i högre grad; d) lösa den resulterande algebraiska ekvationen med avseende påsolbränna . EXEMPEL Lös ekvation: 3 synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Lösning: 3sin 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 solbränna x + 3 = 0 , härifrån y 2 + 4y +3 = 0 , Rötterna till denna ekvation är:y 1 = - 1, y 2 = -3, alltså 1) solbränna x= –1, 2) brun x = –3,

4. Övergång till halv vinkel. Låt oss titta på den här metoden med ett exempel:

EXEMPEL Lös ekvation: 3 synd x– 5 cos x = 7.

Lösning: 6 synd ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 synd ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 bruna ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Införande av en hjälpvinkel. Betrakta en formekvation:

a synd x + b cos x = c ,

Var a, b, c– koefficienter.x- okänd.

Nu har ekvationens koefficienter egenskaperna sinus och cosinus, nämligen: modul (absolut värde) för varje

Relationerna mellan de grundläggande trigonometriska funktionerna - sinus, cosinus, tangent och cotangens - anges trigonometriska formler. Och eftersom det finns ganska många kopplingar mellan trigonometriska funktioner, förklarar detta överflödet av trigonometriska formler. Vissa formler förbinder trigonometriska funktioner i samma vinkel, andra - funktioner i en multipel vinkel, andra - låter dig minska graden, fjärde - uttrycker alla funktioner genom tangenten till en halv vinkel, etc.

I den här artikeln kommer vi att lista i ordning alla grundläggande trigonometriska formler, som är tillräckliga för att lösa de allra flesta trigonometriproblem. För att underlätta memorering och användning kommer vi att gruppera dem efter syfte och lägga in dem i tabeller.

Sidnavigering.

Grundläggande trigonometriska identiteter

Grundläggande trigonometriska identiteter definiera förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. De följer av definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens samt begreppet enhetscirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion i form av någon annan.

För en detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras härledning och exempel på tillämpning, se artikeln.

Reduktionsformler

Reduktionsformler följer av egenskaperna för sinus, cosinus, tangens och cotangens, det vill säga de reflekterar egenskapen periodicitet för trigonometriska funktioner, egenskapen symmetri, såväl som egenskapen för skiftning med en given vinkel. Dessa trigonometriska formler låter dig gå från att arbeta med godtyckliga vinklar till att arbeta med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.

Skälet för dessa formler, en mnemonisk regel för att memorera dem och exempel på deras tillämpning kan studeras i artikeln.

Tilläggsformler

Trigonometriska additionsformler visa hur trigonometriska funktioner av summan eller skillnaden mellan två vinklar uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för dessa vinklar. Dessa formler tjänar som grund för att härleda följande trigonometriska formler.

Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel

Formler för dubbel, trippel osv. vinkel (de kallas även formler för multipla vinkel) visar hur trigonometriska funktioner av dubbel, trippel, etc. vinklar () uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för en enda vinkel. Deras härledning är baserad på additionsformler.

Mer detaljerad information samlas i artikelformlerna för dubbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler visa hur trigonometriska funktioner för en halv vinkel uttrycks i termer av cosinus för en hel vinkel. Dessa trigonometriska formler följer av dubbelvinkelformlerna.

Deras slutsats och exempel på tillämpning finns i artikeln.

Formler för gradminskning

Trigonometriska formler för att minska graderär utformade för att underlätta övergången från naturliga krafter av trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men flera vinklar. Med andra ord låter de dig reducera styrkorna hos trigonometriska funktioner till den första.

Formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktioner

Det huvudsakliga syftet formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktionerär att gå till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också ofta för att lösa trigonometriska ekvationer, eftersom de låter dig faktorisera summan och skillnaden mellan sinus och cosinus.

Formler för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus

Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till en summa eller skillnad utförs med hjälp av formlerna för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus.

Universell trigonometrisk substitution

Vi avslutar vår genomgång av trigonometrins grundläggande formler med formler som uttrycker trigonometriska funktioner i termer av tangenten för en halv vinkel. Denna ersättare kallades universell trigonometrisk substitution. Dess bekvämlighet ligger i det faktum att alla trigonometriska funktioner uttrycks i termer av tangenten för en halv vinkel rationellt utan rötter.

Bibliografi.

• Algebra: Lärobok för 9:e klass. snitt skola/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utbildning, 1990. - 272 s.: ill
• Bashmakov M.I. Algebra och analysens början: Lärobok. för 10-11 årskurser. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 årskurser. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorov - 14:e upplagan - M.: Utbildning, 2004. - 384 s.: ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Upphovsrätt av smartstudenter

Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av webbplatsen, inklusive internt material och utseende, får reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.

Begreppet att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att lösa en trigonometrisk ekvation, omvandla den till en eller flera grundläggande trigonometriska ekvationer. Att lösa en trigonometrisk ekvation handlar i slutändan om att lösa de fyra grundläggande trigonometriska ekvationerna.

Lösa grundläggande trigonometriska ekvationer.

• Det finns 4 typer av grundläggande trigonometriska ekvationer:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Att lösa grundläggande trigonometriska ekvationer innebär att titta på olika x-positioner på enhetscirkeln, samt att använda en omvandlingstabell (eller miniräknare).
• Exempel 1. sin x = 0,866. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: 2π/3. Kom ihåg: alla trigonometriska funktioner är periodiska, vilket betyder att deras värden upprepas. Till exempel är periodiciteten för sin x och cos x 2πn, och periodiciteten för tg x och ctg x är πn. Därför är svaret skrivet så här:
• xl = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exempel 2. cos x = -1/2. Med hjälp av en omvandlingstabell (eller kalkylator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetscirkeln ger ett annat svar: -2π/3.
• xl = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exempel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Svar: x = π/4 + πn.
• Exempel 4. ctg 2x = 1,732.
• Svar: x = π/12 + πn.

Transformationer som används för att lösa trigonometriska ekvationer.

• För att transformera trigonometriska ekvationer används algebraiska transformationer (faktorisering, reduktion av homogena termer etc.) och trigonometriska identiteter.
• Exempel 5: Med hjälp av trigonometriska identiteter omvandlas ekvationen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 till ekvationen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Följande grundläggande trigonometriska ekvationer måste lösas: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hitta vinklar med hjälp av kända funktionsvärden.

  • Innan du lär dig hur du löser trigonometriska ekvationer måste du lära dig hur du hittar vinklar med hjälp av kända funktionsvärden. Detta kan göras med hjälp av en omvandlingstabell eller kalkylator.
  • Exempel: cos x = 0,732. Kalkylatorn ger svaret x = 42,95 grader. Enhetscirkeln kommer att ge ytterligare vinklar, vars cosinus också är 0,732.

• Lägg undan lösningen på enhetscirkeln.

  • Du kan rita lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln. Lösningar till en trigonometrisk ekvation på enhetscirkeln är hörnen på en vanlig polygon.
  • Exempel: Lösningarna x = π/3 + πn/2 på enhetscirkeln representerar kvadratens hörn.
  • Exempel: Lösningarna x = π/4 + πn/3 på enhetscirkeln representerar hörnen på en regelbunden hexagon.

• Metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.

  • Om en given trigonometrisk ekvation bara innehåller en trigonometrisk funktion, lös den ekvationen som en grundläggande trigonometrisk ekvation. Om en given ekvation innehåller två eller flera trigonometriska funktioner, så finns det två metoder för att lösa en sådan ekvation (beroende på möjligheten till dess transformation).
    • Metod 1.
  • Omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, där f(x), g(x), h(x) är de grundläggande trigonometriska ekvationerna.
  • Exempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning. Använd dubbelvinkelformeln sin 2x = 2*sin x*cos x, ersätt sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos x = 0 och (sin x + 1) = 0.
  • Exempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och omvandla denna ekvation till en ekvation av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2cos x + 1) = 0.
  • Exempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösning: Använd trigonometriska identiteter och transformera denna ekvation till en ekvation av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lös nu de två grundläggande trigonometriska ekvationerna: cos 2x = 0 och (2sin x + 1) = 0 .
    • Metod 2.
  • Konvertera den givna trigonometriska ekvationen till en ekvation som bara innehåller en trigonometrisk funktion. Byt sedan ut denna trigonometriska funktion med någon okänd, till exempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lösning. I denna ekvation, ersätt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (enligt identiteten). Den transformerade ekvationen är:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersätt sin x med t. Nu ser ekvationen ut så här: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Detta är en andragradsekvation som har två rötter: t1 = -1 och t2 = 9/5. Den andra roten t2 uppfyller inte funktionsområdet (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lösning. Byt ut tg x med t. Skriv om den ursprungliga ekvationen enligt följande: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Hitta nu t och hitta sedan x för t = tan x.

Exempel:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Hur man löser trigonometriska ekvationer:

Alla trigonometriska ekvationer bör reduceras till en av följande typer:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

där \(t\) är ett uttryck med ett x, är \(a\) ett tal. Sådana trigonometriska ekvationer kallas det enklaste. De kan enkelt lösas med () eller speciella formler:

Se infografik för att lösa enkla trigonometriska ekvationer här:, och.

Exempel . Lös den trigonometriska ekvationen \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Lösning:

Svar: \(\vänster[ \begin(samlad)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(samlad)\höger.\) \(k,n∈Z\)

Vad varje symbol betyder i formeln för rötterna till trigonometriska ekvationer, se.

Uppmärksamhet! Ekvationerna \(\sin⁡x=a\) och \(\cos⁡x=a\) har inga lösningar om \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Eftersom sinus och cosinus för alla x är större än eller lika med \(-1\) och mindre än eller lika med \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Exempel . Lös ekvationen \(\cos⁡x=-1,1\).
Lösning: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Svar : inga lösningar.

Exempel . Lös den trigonometriska ekvationen tg\(⁡x=1\).
Lösning:

Låt oss lösa ekvationen med hjälp av talcirkeln. För detta: 1) Konstruera en cirkel) 2) Konstruera axlarna \(x\) och \(y\) och tangentaxeln (den går genom punkten \((0;1)\) parallellt med axeln \(y\)). 3) Markera punkten \(1\) på tangentaxeln. 4) Anslut denna punkt och koordinaternas ursprung - en rak linje. 5) Markera skärningspunkterna för denna linje och talcirkeln. 6) Låt oss signera värdena för dessa punkter: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Skriv ner alla värden för dessa punkter. Eftersom de är belägna på ett avstånd av exakt \(π\) från varandra, kan alla värden skrivas i en formel:

Svar: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Exempel . Lös den trigonometriska ekvationen \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Lösning:

Låt oss använda siffercirkeln igen. 1) Konstruera en cirkel, axlarna \(x\) och \(y\). 2) Markera \(0\) på cosinusaxeln (\(x\)-axeln). 3) Rita en vinkelrät mot cosinusaxeln genom denna punkt. 4) Markera skärningspunkterna för vinkelrät och cirkeln. 5) Låt oss signera värdena för dessa punkter: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Vi skriver ner hela värdet av dessa punkter och likställer dem med cosinus (med vad som finns inuti cosinus). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Som vanligt kommer vi att uttrycka \(x\) i ekvationer. Glöm inte att behandla siffror med \(π\), såväl som \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), etc. Det är samma siffror som alla andra. Ingen numerisk diskriminering! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Svar: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Att reducera trigonometriska ekvationer till det enklaste är en kreativ uppgift här måste du använda både och speciella metoder för att lösa ekvationer:
- Metod (den mest populära i Unified State Examination).
- Metod.
- Metod för hjälpargument.

Låt oss överväga ett exempel på att lösa den kvadratiska trigonometriska ekvationen

Exempel . Lös den trigonometriska ekvationen \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Lösning:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Låt oss byta ut \(t=\cos⁡x\).
	Vår ekvation har blivit typisk. Du kan lösa det med .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Vi gör en omvänd ersättning.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Vi löser den första ekvationen med hjälp av talcirkeln. Den andra ekvationen har inga lösningar eftersom \(\cos⁡x∈[-1;1]\) och kan inte vara lika med två för något x.
	Låt oss skriva ner alla siffror som ligger på dessa punkter.

Svar: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Ett exempel på att lösa en trigonometrisk ekvation med studiet av ODZ:

Exempel (USE) . Lös den trigonometriska ekvationen \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Det finns en bråkdel och det finns en cotangens - det betyder att vi måste skriva ner det. Låt mig påminna dig om att en cotangens faktiskt är en bråkdel: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Därför ODZ för ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Låt oss markera "icke-lösningarna" på talcirkeln.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Låt oss bli av med nämnaren i ekvationen genom att multiplicera den med ctg\(x\). Vi kan göra detta, eftersom vi skrev ovan att ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Låt oss tillämpa dubbelvinkelformeln för sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Om dina händer sträcker ut för att dela med cosinus, dra tillbaka dem! Du kan dividera med ett uttryck med en variabel om den definitivt inte är lika med noll (till exempel dessa: \(x^2+1,5^x\)). Låt oss istället sätta \(\cos⁡x\) utanför parentes.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Låt oss "dela upp" ekvationen i två.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Låt oss lösa den första ekvationen med hjälp av talcirkeln. Dividera den andra ekvationen med \(2\) och flytta \(\sin⁡x\) till höger sida.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	De resulterande rötterna ingår inte i ODZ. Därför kommer vi inte att skriva ner dem som svar. Den andra ekvationen är typisk. Låt oss dividera det med \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) kan inte vara en lösning på ekvationen eftersom i det här fallet \(\cos⁡x=1\) eller \(\cos⁡ x=-1\)).
	Vi använder en cirkel igen.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Dessa rötter är inte uteslutna av ODZ, så du kan skriva dem i svaret.

Svar: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som krävs för att klara Unified State Exam i matematik med 60-65 poäng. Fullständigt alla uppgifter 1-13 i Profile Unified State Exam i matematik. Även lämplig för att klara Basic Unified State Examination i matematik. Om du vill klara Unified State Exam med 90-100 poäng måste du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!

Förberedelsekurs för Unified State Exam för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av Unified State Exam i matematik (de första 12 problemen) och Problem 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Exam, och varken en 100-poängsstudent eller en humaniorastudent kan klara sig utan dem.

All nödvändig teori. Snabba lösningar, fallgropar och hemligheter med Unified State Exam. Alla aktuella uppgifter i del 1 från FIPI Task Bank har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven för Unified State Exam 2018.

Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.

Hundratals Unified State Exam-uppgifter. Ordproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg algoritmer för att lösa problem. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av Unified State Examination uppgifter. Stereometri. Knepiga lösningar, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från början till problem 13. Förstå istället för att proppa. Tydliga förklaringar av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. En grund för att lösa komplexa problem i del 2 av Unified State Exam.