Den andra ordningens linjära differentialekvationen (LDE) har följande form:

där , , och ges funktioner som är kontinuerliga på det intervall som lösningen söks på. Om vi ​​antar att a 0 (x) ≠ 0 dividerar vi (2.1) med och, efter att ha infört nya notationer för koefficienterna, skriver vi ekvationen i formen:

Låt oss acceptera utan bevis att (2.2) har en unik lösning på något intervall som uppfyller alla initiala villkor , om på det aktuella intervallet funktionerna , och är kontinuerliga. Om , då kallas ekvation (2.2) homogen, och ekvation (2.2) kallas annars inhomogen.

Låt oss överväga egenskaperna hos lösningar till 2:a ordningens lod.

Definition. En linjär kombination av funktioner är uttrycket , där är godtyckliga tal.

Sats. Om och – lösning

då kommer deras linjära kombination också att vara en lösning på denna ekvation.

Bevis.

Låt oss sätta uttrycket i (2.3) och visa att resultatet är identiteten:

Låt oss ordna om termerna:

Eftersom funktionerna är lösningar av ekvation (2.3), så är var och en av parenteserna i den sista ekvationen identiskt lika med noll, vilket är vad som behövde bevisas.

Följd 1. Av den beprövade satsen följer att om är en lösning till ekvation (2.3), så finns det också en lösning till denna ekvation.

Följd 2. Om vi ​​antar att vi ser att summan av två lösningar till Lod också är en lösning på denna ekvation.

Kommentar. Egenskapen för lösningar som bevisats i satsen förblir giltiga för problem av vilken ordning som helst.

§3. Vronskys avgörande.

Definition. Ett system av funktioner sägs vara linjärt oberoende av ett visst intervall om ingen av dessa funktioner kan representeras som en linjär kombination av alla de andra.

I fallet med två funktioner betyder detta att , dvs. . Det sista villkoret kan skrivas om i formen eller . Determinanten i täljaren för detta uttryck är kallas Wronski-determinanten för funktionerna och . Således kan Wronski-determinanten för två linjärt oberoende funktioner inte vara identiskt lika med noll.

Låta är Wronski-determinanten för linjärt oberoende lösningar och ekvation (2.3). Låt oss genom substitution se till att funktionen uppfyller ekvationen. (3.1)

Verkligen,. Eftersom funktionerna och uppfyller ekvationen (2.3), dvs. – lösning av ekvation (3.1). Låt oss hitta den här lösningen: ; . , , .

. Var,

(3.2)

På höger sida av denna formel måste du ta plustecknet, eftersom endast i detta fall erhålls identitet. Således,

Denna formel kallas Liouville-formeln. Det visades ovan att Wronski-determinanten för linjärt oberoende funktioner inte kan vara identiskt lika med noll. Följaktligen finns det en punkt där determinanten för linjärt oberoende lösningar av ekvation (2.3) skiljer sig från noll. Sedan följer det av Liouvilles formel att funktionen kommer att vara icke-noll för alla värden i det aktuella intervallet, eftersom båda faktorerna på höger sida av formeln (3.2) är icke-noll för vilket värde som helst.

Sats.§4. Struktur för den allmänna lösningen till 2:a ordningens lod. Om och är linjärt oberoende lösningar av ekvation (2.3), då deras linjära kombination

Bevis.

, där och är godtyckliga konstanter, kommer att vara den allmänna lösningen av denna ekvation. Vad är en lösning till ekvation (2.3), följer av satsen om egenskaperna hos lösningar till 2:a ordningens Lodo. Vi behöver bara visa att lösningen vilja allmän

, dvs. det är nödvändigt att visa att för alla initiala villkor kan man välja godtyckliga konstanter på ett sådant sätt att de uppfyller dessa villkor. Låt oss skriva de initiala villkoren i formuläret:

,

Konstanterna och från detta system av linjära algebraiska ekvationer bestäms unikt, eftersom determinanten för detta system är värdet av Wronski-determinanten för linjärt oberoende lösningar till Lodu vid:

och en sådan determinant, som vi såg i föregående stycke, är icke-noll. Teoremet har bevisats. Exempel. Bevisa att funktionen

, där och är godtyckliga konstanter, är en generell lösning på Lod.

Lösning. Det är lätt att genom substitution verifiera att de fungerar och uppfyller denna ekvation. Dessa funktioner är linjärt oberoende, eftersom . Därför enligt struktursatsen generell lösning 2:a ordningens lod

är en generell lösning på denna ekvation. Linjär differentialekvation andra ordningen

kallas en formekvation"" + y(sid)kallas en formekvation" + x(sid)kallas en formekvation = q(sid) ,

f kallas en formekvation Där y(sid) , x(sidär funktionen som ska hittas, och q(sid) Och ) - kontinuerliga funktioner på ett visst intervall () .

a, b q(sid Om den högra sidan av ekvationen är noll ( ) = 0), då kallas ekvationen linjär homogen ekvation q(sid) ≠ 0), då kallas ekvationen .

I de problem vi är skyldiga att lösa ekvationen för kallas en formekvation"" :

kallas en formekvation"" = −y(sid)kallas en formekvation" − x(sid)kallas en formekvation + q(sid) .

Andra ordningens linjära differentialekvationer har en unik lösning Snygga problem .

Linjär homogen differentialekvation av andra ordningen och dess lösning

Betrakta en linjär homogen differentialekvation av andra ordningen:

kallas en formekvation"" + y(sid)kallas en formekvation" + x(sid)kallas en formekvation = 0 .

Om kallas en formekvation1 (sid) Och kallas en formekvation2 (sid) är specifika lösningar av denna ekvation, då är följande påståenden sanna:

1) kallas en formekvation1 (sid) + kallas en formekvation 2 (sid) - är också en lösning på denna ekvation;

2) Cy1 (sid) , Var C- en godtycklig konstant (konstant), är också en lösning på denna ekvation.

Av dessa två påståenden följer att funktionen

C1 kallas en formekvation 1 (sid) + C 2 kallas en formekvation 2 (sid)

är också en lösning på denna ekvation.

En rättvis fråga uppstår: är denna lösning allmän lösning av en linjär homogen differentialekvation av andra ordningen , det vill säga en sådan lösning där, för olika värden C1 Och C2 Är det möjligt att få alla möjliga lösningar på ekvationen?

Svaret på denna fråga är: kanske, men under vissa förutsättningar. Detta villkor om vilka egenskaper särskilda lösningar ska ha kallas en formekvation1 (sid) Och kallas en formekvation2 (sid) .

Och detta tillstånd kallas tillstånd linjärt oberoende privata lösningar.

Sats. Fungera C1 kallas en formekvation 1 (sid) + C 2 kallas en formekvation 2 (sid) är en generell lösning på en linjär homogen andra ordningens differentialekvation om funktionerna kallas en formekvation1 (sid) Och kallas en formekvation2 (sid) linjärt oberoende.

Definition. Funktioner kallas en formekvation1 (sid) Och kallas en formekvation2 (sid) kallas linjärt oberoende om deras förhållande är en konstant icke-noll:

kallas en formekvation1 (sid)/kallas en formekvation 2 (sid) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .

Att per definition avgöra om dessa funktioner är linjärt oberoende är dock ofta mycket mödosamt. Det finns ett sätt att etablera linjärt oberoende med hjälp av Wronski-determinanten W(sid) :

Om Wronski-determinanten inte är lika med noll, är lösningarna linjärt oberoende . Om Wronski-determinanten är noll, är lösningarna linjärt beroende.

Exempel 1. Hitta den allmänna lösningen av en linjär homogen differentialekvation.

Lösning. Vi integrerar två gånger och, som är lätt att se, för att skillnaden mellan andraderivatan av en funktion och själva funktionen ska vara lika med noll, måste lösningarna associeras med en exponential vars derivata är lika med sig själv. Det vill säga dellösningarna är och .

Sedan Wronski determinant

är inte lika med noll, då är dessa lösningar linjärt oberoende. Därför kan den allmänna lösningen till denna ekvation skrivas som

.

Linjära homogena differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter: teori och praktik

Linjär homogen differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter andra ordningen

kallas en formekvation"" + py" + qy = 0 ,

f y Och x- konstanta värden.

Det faktum att detta är en andra ordningens ekvation indikeras av närvaron av den andra derivatan av den önskade funktionen, och dess homogenitet indikeras med noll på höger sida. Värdena som redan nämnts ovan kallas konstanta koefficienter.

Till lösa en linjär homogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter , måste du först lösa formens så kallade karakteristiska ekvation

k² + pq + x = 0 ,

som, som kan ses, är en vanlig andragradsekvation.

Beroende på lösningen av den karakteristiska ekvationen är tre olika alternativ möjliga lösningar till en linjär homogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter , som vi nu ska analysera. För fullständighetens skull kommer vi att anta att alla specifika lösningar har testats av Wronski-determinanten och att den inte är lika med noll i alla fall. Tvivlare kan dock kontrollera detta själva.

Rötterna till den karakteristiska ekvationen är verkliga och distinkta

Med andra ord. I detta fall har lösningen till en linjär homogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter formen

.

Exempel 2. Lös en linjär homogen differentialekvation

.

Exempel 3. Lös en linjär homogen differentialekvation

.

Lösning. Den karakteristiska ekvationen har formen, dess rötter och är verkliga och distinkta. Motsvarande partiella lösningar av ekvationen är: och . Den allmänna lösningen av denna differentialekvation har formen

.

Rötterna till den karakteristiska ekvationen är reella och lika

Det vill säga. I detta fall har lösningen till en linjär homogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter formen

.

Exempel 4. Lös en linjär homogen differentialekvation

.

Lösning. Karakteristisk ekvation har lika rötter. Motsvarande partiella lösningar av ekvationen är: och . Den allmänna lösningen av denna differentialekvation har formen

Exempel 5. Lös en linjär homogen differentialekvation

.

Lösning. Den karakteristiska ekvationen har lika rötter. Motsvarande partiella lösningar av ekvationen är: och . Den allmänna lösningen av denna differentialekvation har formen

§ 9. Linjära homogena differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter

Definition av en andra ordningens LODE med konstanta koefficienter

Karakteristisk ekvation:

Fall 1. Diskriminerande större än noll

Fall 2. Diskriminerande är noll

Fall 3. Diskriminerande mindre än noll

Algoritm för att hitta en generell lösning på en andra ordningens LODE med konstanta koefficienter

§ 10. Linjära inhomogena differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter

Bestämning av andra ordningens LPDE med konstanta koefficienter

Metod för variation av konstanter

Metod för att lösa LNDDE med en speciell högersida

Sats om strukturen för den allmänna lösningen av LNDE

1. Funktion r (sid) – gradpolynom T

2. Funktion r (sid) – produkt av ett tal med exponentiell funktion

3. Funktion r (sid) - summa trigonometriska funktioner

Algoritm för att hitta en generell lösning på en LPDE med en speciell högersida

Ansökan

9 §. Linjära homogena differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter

Andra ordningens differentialekvation kallas linjär homogen differentialekvation (LODE) med konstanta koefficienter, om det ser ut så här:

f y Och x

För att hitta en generell lösning på en LODE räcker det att hitta dess två olika dellösningar och . Då kommer den allmänna lösningen av LODE att ha formen

f MED 1 och MED

Leonard Euler föreslog att leta efter särskilda lösningar för LDE i formen

f k– ett visst antal.

Differentiera denna funktion två gånger och ersätta uttryck för på, y" Och y" i ekvationen får vi:

Den resulterande ekvationen kallas karakteristisk ekvation LODU. För att kompilera det räcker det att ersätta i den ursprungliga ekvationen y", y" Och på i enlighet med k 2 , k och 1:

Efter att ha löst den karakteristiska ekvationen, dvs. hitta rötterna k 1 och k 2, kommer vi också att hitta särskilda lösningar på den ursprungliga LODE.

Den karakteristiska ekvationen är andragradsekvation, dess rötter hittas genom diskriminanten

I det här fallet är följande tre fall möjliga.

Fall 1. Diskriminerande större än noll alltså rötterna k 1 och k 2 giltiga och distinkta:

k 1¹ k 2

f MED 1 och MED 2 – godtyckliga oberoende konstanter.

Fall 2. Diskriminerande är noll alltså rötterna k 1 och k 2 verkliga och lika:

k 1 = k 2 = k

I detta fall har den allmänna lösningen av LODE formen

f MED 1 och MED 2 – godtyckliga oberoende konstanter.

Fall 3. Diskriminerande mindre än noll . I det här fallet har ekvationen inga riktiga rötter:

Det finns inga rötter.

I detta fall har den allmänna lösningen av LODE formen

f MED 1 och MED 2 – godtyckliga oberoende konstanter,

Att hitta en generell lösning till en andra ordningens LODE med konstanta koefficienter handlar alltså om att hitta rötterna till den karakteristiska ekvationen och använda formler för den allmänna lösningen av ekvationen (utan att tillgripa att beräkna integraler).

Algoritm för att hitta en generell lösning på en andra ordningens LODE med konstanta koefficienter:

1. Reducera ekvationen till formen där y Och x– några reella siffror.

2. Skapa en karakteristisk ekvation.

3. Hitta diskriminanten för den karakteristiska ekvationen.

4. Använd formler (se tabell 1), beroende på tecknet på diskriminanten, skriv ner den allmänna lösningen.

Tabell 1

Tabell över möjliga allmänna lösningar

Sats. Om och är linjärt oberoende lösningar av ekvation (2.3), så kommer deras linjära kombination, där och är godtyckliga konstanter, att vara en generell lösning på denna ekvation.

Bevis. Att det finns en lösning till ekvation (2.3) följer av satsen om egenskaperna hos lösningar till 2:a ordningens Lodo. Vi behöver bara visa att lösningen blir det vilja, dvs. det är nödvändigt att visa att för alla initiala villkor kan man välja godtyckliga konstanter på ett sådant sätt att de uppfyller dessa villkor. Låt oss skriva de initiala villkoren i formuläret:

Konstanter och från detta linjära system algebraiska ekvationer bestäms unikt, eftersom determinanten för detta system är värdet av Wronski-determinanten för linjärt oberoende lösningar till Loda vid: ,

och en sådan determinant, som vi såg i föregående stycke, är icke-noll. Teoremet har bevisats.

Konstruktion av en generell lösning på en andra ordningens LODE med konstanta koefficienter i fallet

13. enkla rötter till den karakteristiska ekvationen (fall D>0) (med dokumentation).

14. multipla rötter av den karakteristiska ekvationen (fall D=0) (med dokument).

15. komplexa konjugerade rötter av den karakteristiska ekvationen (fall D<0) (c док-вом).

Givet en 2:a ordningens lod med konstanta koefficienter (5.1), där , . Enligt föregående stycke är den allmänna lösningen till en 2:a ordningens lod lätt att bestämma om två linjärt oberoende partiella lösningar av denna ekvation är kända. En enkel metod för att hitta partiella lösningar till en ekvation med konstanta koefficienter föreslogs av L. Euler. Denna metod, som kallas Eulers metod, består i att dellösningar söks i formen.

Genom att ersätta denna funktion i ekvation (5.1), efter att ha reducerat med , får vi en algebraisk ekvation, som kallas karakteristik: (5.2)

Funktionen kommer att vara en lösning på ekvation (5.1) endast för de värden på k som är rötterna till den karakteristiska ekvationen (5.2). Beroende på diskriminantens värde är tre fall möjliga.

1. . Då är rötterna till den karakteristiska ekvationen olika: . Lösningarna kommer att vara linjärt oberoende, eftersom och den allmänna lösningen (5.1) kan skrivas som .

2. . I det här fallet och . Som en andra linjärt oberoende lösning kan vi ta funktionen . Låt oss kontrollera att denna funktion uppfyller ekvation (5.1). Verkligen, , . Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (5.1) får vi

Eller, därför att Och .

Särskilda lösningar är linjärt oberoende, eftersom . Därför har den allmänna lösningen (5.1) formen:

3. . I det här fallet är rötterna till den karakteristiska ekvationen komplexa konjugat: , där , . Det kan verifieras att linjärt oberoende lösningar av ekvation (5.1) kommer att vara funktionerna och . Låt oss se till att ekvation (5.1) är uppfylld, till exempel av funktionen y 1 . Verkligen, , . Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (5.1) får vi

Båda parenteserna på vänster sida av denna likhet är identiskt lika med noll. Verkligen,,

Funktionen uppfyller således ekvation (5.1). På samma sätt är det inte svårt att verifiera att det finns en lösning på ekvation (5.1). Sedan , då kommer den allmänna lösningen att se ut så här: .

16. Sats om strukturen för den allmänna lösningen av andra ordningens LNDDE (med bevis).

Sats 1. Den allmänna lösningen till 2:a ordningens lndu f(x) (6.1) representeras som summan av den allmänna lösningen av motsvarande homogena ekvation (6.2) och varje särskild lösning till lndu (6.1).

Bevis. Låt oss först bevisa vad lösningen till ekvation (6.1) blir. För att göra detta, låt oss ersätta f(x) i ekvation (6.1). Denna jämlikhet är en identitet, eftersom och f(x). Följaktligen finns det en lösning till ekvation (6.1).

Låt oss nu bevisa att denna lösning är generell, dvs. du kan välja de godtyckliga konstanterna som ingår i den på ett sådant sätt att alla initiala villkor för formen: , (6.3) kommer att vara uppfyllda. Enligt satsen om strukturen för den allmänna lösningen av en linjär homogen differentialekvation (Lod), kan den allmänna lösningen av ekvationen (6.2) representeras i formen , där och är linjärt oberoende lösningar av denna ekvation. Alltså: och därför kan initialvillkoren (6.3) skrivas som: eller (6.4)

Godtyckliga konstanter och bestäms från detta system av linjära algebraiska ekvationer unikt för vilken höger sida som helst, eftersom determinanten för detta system = är värdet av Wronski-determinanten för linjärt oberoende lösningar av ekvation (6.2) för , och en sådan determinant, som vi såg ovan, är icke-noll. Genom att bestämma konstanterna och från ekvationssystemet (6.4) och ersätta dem med uttrycket får vi en speciell lösning på ekvation (6.1) som uppfyller de givna initialvillkoren. Teoremet har bevisats.

17. Konstruktion av en speciell lösning av en andra ordningens LNDDE när det gäller den högra sidan av formuläret

Låt koefficienterna i ekvation (6.1) vara konstanta, d.v.s. ekvationen har formen: f(x) (7.1) där .

Låt oss överväga en metod för att hitta en speciell lösning till ekvation (7.1) i fallet då högersidan f(x) har en speciell form. Denna metod kallas metoden för obestämda koefficienter och består av att välja en viss lösning beroende på typen av höger sida f(x). Betrakta den högra sidan av följande formulär:

1. f(x) , där är ett polynom av grad , och vissa koefficienter, förutom , kan vara lika med noll. Låt oss ange i vilken form en viss lösning måste tas i detta fall.

a) Om talet inte är roten till den karakteristiska ekvationen för ekvation (5.1), så skriver vi den specifika lösningen i formen: , där finns de obestämda koefficienterna, som måste bestämmas med metoden för obestämda koefficienter.

b) Om är roten till multipliciteten av motsvarande karakteristiska ekvation, så letar vi efter en speciell lösning i formen: , där är de obestämda koefficienterna.

18. f(x) , där och är polynom av grad respektive, och ett av dessa polynom kan vara lika med noll. Låt oss ange typen av speciell lösning i detta allmänna fall.

A) Om talet inte är roten till den karakteristiska ekvationen för ekvation (5.1), så kommer formen för den specifika lösningen att vara: , (7.2) var är de obestämda koefficienterna, och .

B) Om talet är roten av den karakteristiska ekvationen för ekvation (5.1) av multiplicitet , så kommer en viss lösning till lndu att ha formen: , (7.3) d.v.s. en viss lösning av formen (7.2) måste multipliceras med . I uttryck (7.3) - polynom med obestämda koefficienter, och deras grad .

19. Variationsmetod för att lösa andra ordningens LDDE (Lagrange-metoden).

Att direkt hitta en speciell lösning på en ekvation, förutom i fallet med en ekvation med konstanta koefficienter och med speciella fria termer, är mycket svårt. För att hitta en generell lösning till ekvationen används vanligtvis metoden för variation av godtyckliga konstanter, vilket alltid gör det möjligt att hitta den allmänna lösningen till ekvationen i kvadraturer om det fundamentala systemet av lösningar till motsvarande homogena ekvation är känt . Denna metod är som följer.

Enligt ovanstående är den allmänna lösningen till en linjär homogen ekvation:

där är linjärt oberoende Lodu-lösningar på ett visst intervall X, och är godtyckliga konstanter. Vi kommer att leta efter en speciell lösning för att hitta i formen (8.1), förutsatt att de inte är konstanta, utan några, ännu okända, funktioner av: . (8.2) Låt oss skilja på jämlikhet (8.2): . (8.3)

Låt oss välja funktionerna så att likheten håller: . Då har vi istället för (8.3):

Låt oss återigen skilja detta uttryck med avseende på . Som ett resultat får vi: . (8.5) Låt oss ersätta (8.2), (8.4), (8.5) i andra ordningens lnd f(x):

Eller f(x). (8,6)

Eftersom - lösningar till Lod har den sista likheten (8.6) formen: f(x).

Således kommer funktion (8.2) att vara en lösning på lndu om funktionerna och uppfyller ekvationssystemet:

(8.7)

Eftersom determinanten för detta system är Wronski-determinanten för två lösningar som motsvarar lodet linjärt oberoende av X, försvinner den inte vid någon punkt i intervallet X. Därför, lösningssystem (8.7), finner vi och : och . Integrering får du , , var är prod. snabb.

För att återgå till likhet (8.2), får vi en generell lösning på den inhomogena ekvationen: .

Rader

1. Nummerserie. Grundläggande begrepp, egenskaper hos konvergenta serier. Nödvändigt tecken på konvergens (med bevis).

Grundläggande definitioner. Låt oss ges en oändlig talföljd . Nummerserie en post som består av medlemmarna i denna sekvens kallas. Eller .Siffror kallad medlemmar i serien;, kallas seriens vanliga term. Som ett resultat av att beräkna värdena för denna funktion vid n =1, n =2,n =3, ... villkoren för serien bör erhållas.

Låt serien (18.1.1) ges. Låt oss från dess medlemmar sammanställa ändliga summor som kallas delsummor av en serie:

Definition. Om det finns en ändlig gräns S sekvenser av delsummor av serien (18.1.1) för , då sägs serien konvergera; antal S kallas summan av serien och skrivs eller .

Om det inte finns (inklusive oändligt) kallas serien divergerande.

Egenskaper för konvergerande serier. Ett nödvändigt tecken på konvergens av en serie. Vanlig term för en konvergent serie tenderar till noll som : Bevis. Om , då och , men , därför .

Vi måste börja lösa alla problem för att studera konvergensen av en serie genom att kontrollera uppfyllandet av villkoret: om detta villkor inte är uppfyllt, så divergerar serien uppenbarligen. Detta villkor är nödvändigt, men inte tillräckligt för seriens konvergens: den allmänna termen för övertonsserien är (18.1.2), men denna serie divergerar.

Definition. Resten av raden efter n den e termen kallas serien .

Utbildningsinstitution "Vitryska staten

Lantbruksakademin"

Institutionen för högre matematik

Riktlinjer

att studera ämnet "Linjära differentialekvationer av andra ordningen" av studenter vid redovisningsfakulteten för korrespondensutbildning (NISPO)

Gorki, 2013

Linjära differentialekvationer

andra ordningen med konstanterkoefficienter

1. Linjära homogena differentialekvationer

Linjär differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter kallas en formekvation

dessa. en ekvation som innehåller den önskade funktionen och dess derivator endast i första graden och inte innehåller deras produkter. I denna ekvation Och
- några siffror och en funktion
ges med ett visst intervall
.

Om
på intervallet
, då kommer ekvation (1) att ta formen

, (2)

och kallas linjär homogen . Annars kallas ekvation (1). linjär inhomogen .

Tänk på den komplexa funktionen

, (3)

Där
Och
- riktiga funktioner. Om funktion (3) är en komplex lösning till ekvation (2), så är den reella delen
, och den imaginära delen
lösningar
separat är lösningar av samma homogena ekvation. Sålunda genererar varje komplex lösning till ekvation (2) två reella lösningar till denna ekvation.

Lösningar av en homogen linjär ekvation har följande egenskaper:

Om är en lösning till ekvation (2), sedan funktionen
, Var MED– en godtycklig konstant kommer också att vara en lösning på ekvation (2);

Om Och det finns lösningar till ekvation (2), sedan funktionen
kommer också att vara en lösning på ekvation (2);

Om Och det finns lösningar till ekvation (2), sedan deras linjära kombination
kommer också att vara en lösning på ekvation (2), där Och
– godtyckliga konstanter.

Funktioner
Och
kallas linjärt beroende på intervallet
, om sådana siffror finns Och
, inte lika med noll samtidigt, att på detta intervall är likheten

Om jämlikhet (4) inträffar endast när
Och
, sedan funktionerna
Och
kallas linjärt oberoende på intervallet
.

Exempel 1 . Funktioner
Och
är linjärt beroende, eftersom
på hela talraden. I det här exemplet
.

Exempel 2 . Funktioner
Och
är linjärt oberoende av vilket intervall som helst, eftersom likheten
är endast möjligt i det fall då
, Och
.

1. Konstruktion av en generell lösning till en linjär homogen

ekvationer

För att hitta en generell lösning till ekvation (2) måste du hitta två linjärt oberoende lösningar av den Och . Linjär kombination av dessa lösningar
, Var Och
är godtyckliga konstanter, och kommer att ge en generell lösning till en linjär homogen ekvation.

Vi kommer att leta efter linjärt oberoende lösningar till ekvation (2) i formuläret

, (5)

Där – ett visst antal. Sedan
,
. Låt oss ersätta dessa uttryck i ekvation (2):

Eller
.

Därför att
, Det
. Funktionen alltså
kommer att vara en lösning på ekvation (2) if kommer att uppfylla ekvationen

. (6)

Ekvation (6) kallas karakteristisk ekvation för ekvation (2). Denna ekvation är en algebraisk andragradsekvation.

Låta Och det finns rötter till denna ekvation. De kan vara antingen verkliga och olika, eller komplexa, eller verkliga och lika. Låt oss överväga dessa fall.

Låt rötterna Och karakteristiska ekvationer är verkliga och distinkta. Då blir lösningarna till ekvation (2) funktionerna
Och
. Dessa lösningar är linjärt oberoende, eftersom jämlikheten
kan endast utföras när
, Och
. Därför har den allmänna lösningen till ekvation (2) formen

,

Där Och
- godtyckliga konstanter.

Exempel 3
.

Lösning . Den karakteristiska ekvationen för denna differential kommer att vara
. Efter att ha löst denna andragradsekvation hittar vi dess rötter
Och
. Funktioner
Och
är lösningar på differentialekvationen. Den allmänna lösningen på denna ekvation är
.

Komplext tal kallas uttryck för formen
, Var Och är reella tal, och
kallas den imaginära enheten. Om
, sedan numret
kallas rent imaginärt. Om
, sedan numret
identifieras med ett reellt tal .

Antal kallas den reella delen av ett komplext tal, och - imaginär del. Om två komplexa tal skiljer sig från varandra endast genom tecknet för den imaginära delen, kallas de konjugat:
,
.

Exempel 4 . Lös andragradsekvationen
.

Lösning . Diskriminerande ekvation
. Sedan . Likaledes,
. Således har denna andragradsekvation konjugerade komplexa rötter.

Låt rötterna till den karakteristiska ekvationen vara komplexa, d.v.s.
,
, Var
.
,
Lösningar av ekvation (2) kan skrivas i formen
,
eller

,
.

.
Och
Enligt Eulers formler

Sedan, . Som bekant, om en komplex funktion är en lösning på en linjär homogen ekvation, så är lösningarna till denna ekvation både de verkliga och imaginära delarna av denna funktion. Lösningarna till ekvation (2) kommer alltså att vara funktionerna
Och
. Sedan jämställdhet

Där Och
- godtyckliga konstanter.

kan endast utföras om , då är dessa lösningar linjärt oberoende. Därför har den allmänna lösningen till ekvation (2) formen
.

Lösning Exempel 5
. Hitta den allmänna lösningen till differentialekvationen
,
. Funktioner
Och
. Ekvation

är karakteristisk för en given differential. Låt oss lösa det och få komplexa rötter
är linjärt oberoende lösningar av differentialekvationen. Den allmänna lösningen på denna ekvation har formen .
Och
Låt rötterna till den karakteristiska ekvationen vara reella och lika, d.v.s.
Och
. Då är lösningarna till ekvation (2) funktionerna
.

. Dessa lösningar är linjärt oberoende, eftersom uttrycket kan vara identiskt lika med noll endast när , då är dessa lösningar linjärt oberoende. Därför har den allmänna lösningen till ekvation (2) formen
.

Lösning . Därför har den allmänna lösningen till ekvation (2) formen
Exempel 6
. Karakteristisk ekvation
Och
har lika rötter
.