Händelser som händer i verkligheten eller i vår fantasi kan delas in i 3 grupper. Det är vissa händelser som säkert kommer att hända, omöjliga händelser och slumpmässiga händelser. Sannolikhetsteorin studerar slumpmässiga händelser, d.v.s. händelser som kanske eller inte kan hända. Den här artikeln kommer kortfattat att presentera teorin om sannolikhetsformler och exempel på att lösa problem inom sannolikhetsteorin, som kommer att finnas i uppgift 4 i Unified State Exam i matematik (profilnivå).
Varför behöver vi sannolikhetsteori?
Historiskt har behovet av att studera dessa problem uppstått på 1600-talet i samband med utvecklingen och professionaliseringen spelande och framväxten av kasinon. Detta var ett verkligt fenomen som krävde egna studier och forskning.
Att spela kort, tärningar och roulette skapade situationer där vilken som helst av ett begränsat antal lika möjliga händelser kunde inträffa. Det fanns ett behov av att ge numeriska uppskattningar av möjligheten att en viss händelse inträffade.
På 1900-talet visade det sig att denna till synes oseriösa vetenskap spelar viktig roll i kunskap om grundläggande processer som sker i mikrokosmos. Skapades modern teori sannolikheter.
Grundläggande begrepp inom sannolikhetsteorin
Målet för studien av sannolikhetsteorin är händelser och deras sannolikheter. Om en händelse är komplex kan den delas upp i enkla komponenter, vars sannolikheter är lätta att hitta.
Summan av händelser A och B kallas händelse C, vilket består i att antingen händelse A, eller händelse B, eller händelser A och B inträffade samtidigt.
Produkten av händelse A och B är en händelse C, vilket innebär att både händelse A och händelse B inträffade.
Händelser A och B kallas inkompatibla om de inte kan inträffa samtidigt.
En händelse A kallas omöjlig om den inte kan hända. En sådan händelse indikeras av symbolen.
En händelse A kallas säker om den är säker på att inträffa. En sådan händelse indikeras av symbolen.
Låt varje händelse A associeras med ett nummer P(A). Detta tal P(A) kallas sannolikheten för händelse A om följande villkor är uppfyllda med denna överensstämmelse.
Ett viktigt specialfall är situationen när det finns lika sannolika elementära utfall, och godtyckliga av dessa utfall bildar händelser A. I det här fallet kan sannolikheten anges med formeln. Sannolikhet som introduceras på detta sätt kallas klassisk sannolikhet. Det kan bevisas att i detta fall är egenskaperna 1-4 uppfyllda.
Problem i sannolikhetsteori som dyker upp på Unified State Examination i matematik är främst relaterade till klassisk sannolikhet. Sådana uppgifter kan vara mycket enkla. Särskilt enkla är problem i sannolikhetsteorin i demoalternativ. Det är lätt att beräkna antalet gynnsamma utfall, antalet av alla utfall skrivs rätt i villkoret.
Vi får svaret med hjälp av formeln.
Ett exempel på ett problem från Unified State Examination i matematik om att bestämma sannolikhet
Det finns 20 pajer på bordet - 5 med kål, 7 med äpplen och 8 med ris. Marina vill ta pajen. Vad är sannolikheten att hon tar riskakan?
Lösning.
Det finns 20 lika sannolika elementära utfall, det vill säga Marina kan ta vilken som helst av de 20 pajerna. Men vi måste uppskatta sannolikheten att Marina tar rispajen, det vill säga där A är valet av rispajen. Det betyder att vi bara har 8 gynnsamma utfall (att välja rispajer Sedan kommer sannolikheten att bestämmas av formeln:
Oberoende, motsatta och godtyckliga händelser
Dock i öppen burk Mer komplexa uppgifter började mötas. Låt oss därför uppmärksamma läsaren på andra frågor som studeras i sannolikhetsteorin.
Händelser A och B sägs vara oberoende om sannolikheten för var och en inte beror på om den andra händelsen inträffar.
Händelse B är att händelse A inte inträffade, dvs. händelse B är motsatt händelse A. Sannolikheten för den motsatta händelsen är lika med ett minus sannolikheten för den direkta händelsen, d.v.s. .
Sannolikhetsadditions- och multiplikationssatser, formler
För godtyckliga händelser A och B är sannolikheten för summan av dessa händelser lika med summan av deras sannolikheter utan sannolikheten för deras gemensamt evenemang, dvs. .
För oberoende händelser A och B är sannolikheten för att dessa händelser inträffar lika med produkten av deras sannolikheter, d.v.s. I detta fall .
De två sista påståendena kallas satserna för addition och multiplikation av sannolikheter.
Att räkna antalet utfall är inte alltid så enkelt. I vissa fall är det nödvändigt att använda kombinatoriska formler. Det viktigaste är att räkna antalet evenemang som uppfyller vissa villkor. Ibland kan den här typen av beräkningar bli självständiga uppgifter.
På hur många sätt kan 6 elever sitta på 6 tomma platser? Den första studenten tar någon av de 6 platserna. Vart och ett av dessa alternativ motsvarar 5 sätt för den andra eleven att ta plats. Det finns 4 lediga platser kvar för den tredje eleven, 3 för den fjärde, 2 för den femte, och den sjätte tar den enda återstående platsen. För att hitta antalet av alla alternativ måste du hitta produkten, som betecknas med symbolen 6! och läser "sex factorial".
I det allmänna fallet ges svaret på denna fråga av formeln för antalet permutationer av n element.
Låt oss nu överväga ett annat fall med våra elever. På hur många sätt kan 2 elever sitta på 6 tomma platser? Den första studenten kommer att ta någon av de 6 platserna. Vart och ett av dessa alternativ motsvarar 5 sätt för den andra eleven att ta plats. För att hitta antalet av alla alternativ måste du hitta produkten.
I allmänhet ges svaret på denna fråga av formeln för antalet placeringar av n element över k element
I vårat fall .
Och det sista fallet i den här serien. På hur många sätt kan du välja tre elever av 6? Den första studenten kan väljas på 6 sätt, den andra - på 5 sätt, den tredje - på fyra sätt. Men bland dessa alternativ dyker samma tre elever upp 6 gånger. För att hitta antalet av alla alternativ måste du beräkna värdet: . I allmänhet ges svaret på denna fråga av formeln för antalet kombinationer av element efter element:
I vårat fall .
Exempel på att lösa problem från Unified State Exam i matematik för att bestämma sannolikhet
Uppgift 1. Från samlingen redigerad av. Jasjtjenko.
Det finns 30 pajer på tallriken: 3 med kött, 18 med kål och 9 med körsbär. Sasha väljer en paj på måfå. Hitta sannolikheten att han slutar med ett körsbär.
.
Svar: 0,3.
Uppgift 2. Från samlingen redigerad av. Jasjtjenko.
I varje parti med 1000 glödlampor är i genomsnitt 20 defekta. Hitta sannolikheten för att en glödlampa som tagits slumpmässigt från en batch kommer att fungera.
Lösning: Antalet fungerande glödlampor är 1000-20=980. Då är sannolikheten att en glödlampa tagen slumpmässigt från en batch kommer att fungera:
Svar: 0,98.
Sannolikheten att elev U. löser mer än 9 problem korrekt under ett matteprov är 0,67. Sannolikheten att U. löser mer än 8 problem korrekt är 0,73. Hitta sannolikheten att U kommer att lösa exakt 9 problem korrekt.
Om vi föreställer oss en tallinje och markerar punkterna 8 och 9 på den, kommer vi att se att villkoret "U. kommer att lösa exakt 9 problem korrekt" ingår i villkoret "U. kommer att lösa mer än 8 problem korrekt", men gäller inte villkoret "U. kommer att lösa mer än 9 problem korrekt."
Men villkoret "U. kommer att lösa mer än 9 problem korrekt" finns i villkoret "U. kommer att lösa mer än 8 problem korrekt." Således, om vi utser händelser: "U. kommer att lösa exakt 9 problem korrekt" - till och med A, "U. kommer att lösa mer än 8 problem korrekt" - till B, "U. kommer korrekt att lösa mer än 9 problem” genom C. Den lösningen kommer att se ut så här:
Svar: 0,06.
I ett geometriprov svarar en student på en fråga från en lista med tentamensfrågor. Sannolikheten att detta är en trigonometrifråga är 0,2. Sannolikheten att detta är en fråga om externa vinklar är 0,15. Det finns inga frågor som samtidigt relaterar till dessa två ämnen. Ta reda på sannolikheten att en student får en fråga om något av dessa två ämnen i tentamen.
Låt oss fundera på vilka händelser vi har. Vi får två oförenliga händelser. Det vill säga, antingen kommer frågan att relatera till ämnet "Trigonometri" eller till ämnet "Externa vinklar". Enligt sannolikhetssatsen är sannolikheten för inkompatibla händelser lika med summan av sannolikheterna för varje händelse, vi måste hitta summan av sannolikheterna för dessa händelser, det vill säga:
Svar: 0,35.
Rummet är upplyst av en lykta med tre lampor. Sannolikheten för att en lampa brinner ut inom ett år är 0,29. Hitta sannolikheten att minst en lampa inte brinner ut under året.
Låt oss överväga möjliga händelser. Vi har tre glödlampor, som var och en kan brinna ut oberoende av någon annan glödlampa. Dessa är oberoende händelser.
Sedan kommer vi att ange alternativen för sådana händelser. Låt oss använda följande beteckningar: - glödlampan är på, - glödlampan är utbränd. Och precis bredvid kommer vi att beräkna sannolikheten för händelsen. Till exempel, sannolikheten för en händelse där tre oberoende händelser "glödlampan är utbränd", "glödlampan är på", "glödlampan är på" inträffade: , där sannolikheten för händelsen "glödlampan är på” beräknas som sannolikheten för händelsen motsatt händelsen ”glödlampan är inte på”, nämligen: .
Observera att det bara finns 7 inkompatibla händelser som är gynnsamma för oss. Sannolikheten för sådana händelser är lika med summan av sannolikheterna för var och en av händelserna: .
Svar: 0,975608.
Du kan se ett annat problem i figuren:
Således har vi förstått vad sannolikhetsteorin är, formler och exempel på att lösa problem som du kan stöta på i Unified State Exam-versionen.
Jag är generellt sett väldigt svag i sådana problem, så jag försökte hitta svaret på Internet, men det visade sig att olika svar rapporterades på olika ställen. Låt oss försöka ta reda på vilken som är korrekt. Här är det verkliga problemet:
Denna ovanliga fråga myntades av matematiker Raymond Johnson:
Om du väljer ett svar slumpmässigt, vad är sannolikheten för att det blir rätt?
a) 25 %
b) 50 %
c) 60 %
d) 25 %
Här är förklaringarna och svarsalternativen som finns tillgängliga på Internet:
Alternativ svar - 0 %
Det korrekta svaret är 0 %, dvs det erbjuds inte bland resultaten.
Låt oss förklara: det möjliga antalet korrekta svar är från 0 till 4, vilket betyder att sannolikheten för att slumpmässigt välja det rätta bör vara 0, 25, 50, 75 eller 100%. Detta utesluter automatiskt alternativ c) (det kan inte finnas 60 % sannolikhet).
Dessutom, eftersom a) och d) är samma, är de båda sanna eller båda falska.
Så vi har fyra ömsesidigt uteslutande svarsalternativ:
1: a), b) och d) är de korrekta svaren.
2: a) och d) är de korrekta svaren.
3: b) är rätt svar.
4: Det finns inget rätt svar.
Det första alternativet är omöjligt, eftersom sannolikheten inte kan vara både 25% och 50% samtidigt.
Det andra alternativet är omöjligt eftersom om 2 svar är korrekta bör sannolikheten för urval vara 50 %, inte 25 %.
Samma sak med det tredje alternativet: om bara 1 alternativ är korrekt är sannolikheten att välja det 25%, inte 50% (som anges i svar b)).
Så det lämnar alternativ 4: det finns inget rätt svar. Därför är sannolikheten för att välja rätt svar 0 %.
Alternativsvar 37,5 %:
Det finns 3 möjliga fall när man gissar svaret. 1 - valde 25% och gissade rätt. 2 - valde 50% och gissade rätt. 3 - valde 60% och gissade rätt.
1) Chansen att du väljer 25% = 1/2. Samtidigt är chansen att du gissar dessa 25% också 1/2.
Den slutliga sannolikheten för fallet är 1/2 * 1/2 = 1/4.
2) Chansen att du väljer 50% = 1/4. Samtidigt är chansen att du gissar dessa 50% också 1/4.
3) Chansen att du väljer 60% = 1/4. Samtidigt är chansen att du gissar dessa 60% också 1/4.
Den slutliga sannolikheten för fallet är 1/4 * 1/4 = 1/16.
Vi summerar de slutliga sannolikheterna för alla 3 fall, vi får 3/8, eller 37,5%.
Alternativ svar - 50 %
Det blir ett och två
1) Först bestämmer vi vad sannolikheten för varje svar är. Allt är enkelt här - enligt logiken kommer sannolikheten att vi väljer ett av de fyra svarsalternativen vara 1/4, det vill säga 0,25
2) Låt oss nu beräkna sannolikheten att träffa svarsalternativen med siffran 25%. Om vi tar hänsyn till att händelserna inte är kompatibla, det vill säga förekomsten av den ena utesluter förekomsten av den andra, så kan vi använda summan av sannolikheter (sannolikheten att vi kommer att svara 1 eller 4, eftersom de innehåller 25 % vi behöver), det vill säga 25 % + 25 % = 50 %.
Som ett resultat är det korrekta svaret b)
Möjligt svar: rekursion
Jag förklarar: av 4 alternativ är 1 slumpmässigt, det vill säga 25%, men det finns 2 sådana alternativ, så vi multiplicerar med 2, så det blir 50%, men det här alternativet är 1, så vi dividerar med 2 och vi får 25%, men det finns 2 sådana alternativ, så vi multiplicerar med 2, det blev 50%, men det här alternativet är 1, så vi dividerar med 2 och får 25%, men det finns 2 sådana alternativ, så vi multiplicerar med 2, det blir 50%, men det här alternativet är 1, så vi dividerar med 2 och vi får 25%, men sådana Det finns 2 alternativ, så vi multiplicerar med 2, det blir 50%, men det här alternativet är 1, så vi dividera med 2 och vi får 25%, men det finns 2 sådana alternativ, så vi multiplicerar med 2, det blir 50%, men det här alternativet är 1, så vi dividerar med 2 och vi får 25%, men det finns 2 sådana alternativ , så vi multiplicerar med 2, det blir 50%, men det här alternativet är 1, så vi dividerar med 2 och vi får 25%...
När ett mynt kastas kan vi säga att det landar heads up, eller sannolikhet detta är 1/2. Naturligtvis betyder det inte att om ett mynt kastas 10 gånger så kommer det nödvändigtvis att landa på huvuden 5 gånger. Om myntet är "rättvist" och om det kastas många gånger, kommer huvuden att landa väldigt nära halva tiden. Det finns alltså två typer av sannolikheter: experimentell Och teoretisk .
Experimentell och teoretisk sannolikhet
Om du kastar ett mynt Ett stort antal gånger - säg 1000 - och räkna antalet gånger huvuden kastas, kan vi bestämma sannolikheten för att huvuden kastas. Om huvuden kastas 503 gånger kan vi beräkna sannolikheten för att det landar:
503/1000 eller 0,503.
Detta experimentell definition av sannolikhet. Denna definition av sannolikhet kommer från observation och studie av data och är ganska vanlig och mycket användbar. Här är till exempel några sannolikheter som bestämdes experimentellt:
1. Sannolikheten att en kvinna kommer att utveckla bröstcancer är 1/11.
2. Om du kysser någon som är förkyld så är sannolikheten att du också blir förkyld 0,07.
3. En person som just har släppts från fängelset har 80 % chans att återvända till fängelset.
Om vi överväger att kasta ett mynt och ta hänsyn till att det är lika troligt att det kommer upp med huvuden eller svansar, kan vi beräkna sannolikheten för att få huvuden: 1/2 teoretisk definition sannolikheter. Här är några andra sannolikheter som har bestämts teoretiskt med hjälp av matematik:
1. Om det är 30 personer i ett rum är sannolikheten att två av dem har samma födelsedag (exklusive år) 0,706.
2. Under en resa träffar du någon, och under samtalet upptäcker du att ni har en gemensam vän. Typisk reaktion: "Det här kan inte vara!" Faktum är att den här frasen inte är lämplig, eftersom sannolikheten för en sådan händelse är ganska hög - drygt 22%.
Således bestäms experimentella sannolikheter genom observation och datainsamling. Teoretiska sannolikheter bestäms genom matematiska resonemang. Exempel på experimentella och teoretiska sannolikheter, som de som diskuterats ovan, och särskilt de som vi inte förväntar oss, leder oss till vikten av att studera sannolikhet. Du kanske frågar "Vad är sann sannolikhet?" Det finns faktiskt inget sådant. Sannolikheter inom vissa gränser kan bestämmas experimentellt. De kan eller kanske inte sammanfaller med de sannolikheter som vi får teoretiskt. Det finns situationer där det är mycket lättare att avgöra en typ av sannolikhet än en annan. Det skulle till exempel vara tillräckligt att hitta sannolikheten att bli förkyld med hjälp av teoretisk sannolikhet.
Beräkning av experimentella sannolikheter
Låt oss först överväga den experimentella definitionen av sannolikhet. Den grundläggande principen vi använder för att beräkna sådana sannolikheter är följande.
Princip P (experimentell)
Om i ett experiment där n observationer görs en situation eller händelse E inträffar m gånger i n observationer, så sägs den experimentella sannolikheten för händelsen vara P (E) = m/n.
Exempel 1 Sociologisk undersökning. En experimentell studie genomfördes för att fastställa antalet vänsterhänta, högerhänta och personer vars båda händer är lika utvecklade. Resultaten visas i grafen.
a) Bestäm sannolikheten för att personen är högerhänt.
b) Bestäm sannolikheten för att personen är vänsterhänt.
c) Bestäm sannolikheten för att en person är lika flytande i båda händerna.
d) De flesta Professional Bowling Associations turneringar är begränsade till 120 spelare. Baserat på data från detta experiment, hur många spelare kan vara vänsterhänta?
Lösning
a)Antalet personer som är högerhänta är 82, antalet vänsterhänta är 17, och antalet personer som är lika flytande i båda händerna är 1. Det totala antalet observationer är 100. Således är sannolikheten att en person är högerhänt är P
P = 82/100, eller 0,82, eller 82%.
b) Sannolikheten att en person är vänsterhänt är P, där
P = 17/100, eller 0,17, eller 17%.
c) Sannolikheten att en person är lika flytande i båda händerna är P, där
P = 1/100, eller 0,01, eller 1%.
d) 120 bowlare, och från (b) kan vi förvänta oss att 17% är vänsterhänta. Härifrån
17 % av 120 = 0,17,120 = 20,4,
det vill säga vi kan förvänta oss ett 20-tal spelare som är vänsterhänta.
Exempel 2 Kvalitetskontroll
. Det är mycket viktigt för en tillverkare att upprätthålla kvaliteten på sina produkter hög nivå. Faktum är att företag anlitar kvalitetskontrollinspektörer för att säkerställa denna process. Målet är att producera minsta möjliga antal defekta produkter. Men eftersom företaget producerar tusentals produkter varje dag har det inte råd att testa varje produkt för att avgöra om den är defekt eller inte. För att ta reda på hur stor andel av produkterna som är defekta testar företaget mycket färre produkter.
Departement Lantbruk USA kräver att 80 % av de frön som säljs av odlare måste gro. För att bestämma kvaliteten på de frön som ett jordbruksföretag producerar planteras 500 frön från de som producerats. Efter detta beräknades det att 417 frön grodde.
a) Vad är sannolikheten att fröet kommer att gro?
b) Uppfyller fröna myndigheternas standarder?
Lösning a) Vi vet att av 500 frön som såddes grodde 417. Sannolikhet för frögroning P, och
P = 417/500 = 0,834 eller 83,4 %.
b) Eftersom andelen grodda frön har överskridit 80 % som krävs, uppfyller fröna myndigheternas standarder.
Exempel 3 TV-betyg. Enligt statistiken finns det 105 500 000 hushåll med tv-apparater i USA. Varje vecka samlas och bearbetas information om visningsprogram. På en vecka tittade 7 815 000 hushåll på succéserien "Everybody Loves Raymond" på CBS och 8 302 000 hushåll tittade på succéserien "Law & Order" på NBC (Källa: Nielsen Media Research). Vad är sannolikheten att ett hushålls TV är inställd på "Everybody Loves Raymond" under en given vecka till "Law & Order"?
Lösning Sannolikheten att TV:n i ett hushåll är inställd på "Everybody Loves Raymond" är P, och
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Chansen att ett hushålls TV var inställd på Law & Order är P, och
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Dessa procentsatser kallas betyg.
Teoretisk sannolikhet
Anta att vi genomför ett experiment, som att kasta ett mynt eller pil, dra ett kort från en kortlek eller testa produkter för kvalitet på löpande band. Varje möjlig resultat av ett sådant experiment kallas Exodus . Uppsättningen av alla möjliga utfall kallas resultatutrymme . Händelse det är en uppsättning resultat, det vill säga en delmängd av utrymmet för utfall.
Exempel 4 Kasta pilar. Antag att i ett pilkastningsexperiment träffar en pil ett mål. Hitta vart och ett av följande:
b) Resultatutrymme
Lösning
a) Resultaten är: slå svart (B), slå rött (R) och slå vitt (B).
b) Utrymmet för utfall är (slå svart, slå rött, slå vitt), vilket enkelt kan skrivas som (H, K, B).
Exempel 5 Kasta tärningar.
En tärning är en kub med sex sidor, var och en med en till sex prickar på. 
Anta att vi kastar en tärning. Hitta
a) Resultat
b) Resultatutrymme
Lösning
a) Resultat: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Resultatutrymme (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Vi betecknar sannolikheten för att en händelse E inträffar som P(E). Till exempel kan "myntet landa på huvuden" betecknas med H. Då representerar P(H) sannolikheten att myntet kommer att landa på huvuden. När alla utfall av ett experiment har samma sannolikhet att inträffa, sägs de vara lika sannolika. För att se skillnaderna mellan händelser som är lika sannolika och händelser som inte är det, överväg målet som visas nedan. 
För mål A är händelserna att träffa svart, rött och vitt lika sannolika, eftersom de svarta, röda och vita sektorerna är desamma. Men för mål B är zonerna med dessa färger inte desamma, det vill säga att träffa dem är inte lika troligt.
Princip P (teoretisk)
Om en händelse E kan inträffa på m sätt av n möjliga lika sannolika utfall från utfallsutrymmet S, då teoretisk sannolikhet
händelser, P(E) är
P(E) = m/n.
Exempel 6 Vad är sannolikheten att slå en tärning för att få en 3:a?
Lösning Det finns 6 lika sannolika utfall på en tärning och det finns bara en möjlighet att kasta siffran 3. Då blir sannolikheten P P(3) = 1/6.
Exempel 7 Vad är sannolikheten att kasta ett jämnt tal på en tärning?
Lösning Händelsen är att kasta ett jämnt tal. Detta kan ske på 3 sätt (om du slår en 2, 4 eller 6). Antalet lika sannolika utfall är 6. Då är sannolikheten P(jämn) = 3/6, eller 1/2.
Vi kommer att använda ett antal exempel som involverar en standardlek med 52 kort. Denna kortlek består av korten som visas i figuren nedan. 
Exempel 8 Vad är sannolikheten att dra ett ess från en väl blandad kortlek?
Lösning Det finns 52 utfall (antalet kort i kortleken), de är lika sannolika (om kortleken är väl blandad), och det finns fyra sätt att dra ett ess, så enligt P-principen är sannolikheten
P(dra ett ess) = 4/52, eller 1/13.
Exempel 9 Anta att vi väljer, utan att titta, en boll från en påse med 3 röda bollar och 4 gröna bollar. Vad är sannolikheten att välja en röd boll?
Lösning Det finns 7 lika sannolika resultat av att dra en boll, och eftersom antalet sätt att dra en röd boll är 3, får vi
P(röd bollval) = 3/7.
Följande påståenden är resultat från princip P.
Egenskaper för sannolikhet
a) Om händelse E inte kan inträffa är P(E) = 0.
b) Om händelse E säkert kommer att inträffa är P(E) = 1.
c) Sannolikheten för att händelse E ska inträffa är ett tal från 0 till 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Till exempel, i en myntkastning har händelsen att myntet landar på kanten noll sannolikhet. Sannolikheten att ett mynt är antingen huvuden eller svansar har sannolikheten 1.
Exempel 10 Låt oss anta att 2 kort dras från en kortlek med 52 kort. Vad är sannolikheten att båda är toppar?
Lösning Antalet n sätt att dra 2 kort från en väl blandad kortlek med 52 kort är 52 C 2 . Eftersom 13 av de 52 korten är spader, är antalet sätt m att dra 2 spader 13 C 2 . Sedan,
P(drar 2 toppar)= m/n = 13 C2 / 52 C2 = 78/1326 = 1/17.
Exempel 11 Anta att 3 personer väljs slumpmässigt ut från en grupp på 6 män och 4 kvinnor. Vad är sannolikheten att 1 man och 2 kvinnor kommer att väljas ut?
Lösning Antalet sätt att välja ut tre personer från en grupp på 10 personer är 10 C 3. En man kan väljas på 6 C 1 sätt och 2 kvinnor kan väljas på 4 C 2 sätt. Enligt den grundläggande principen för räkning är antalet sätt att välja 1 man och 2 kvinnor på 6 C 1. 4 C2. Då är sannolikheten att 1 man och 2 kvinnor kommer att väljas ut
P = 6 Ci. 4 C2/10 C3 = 3/10.
Exempel 12 Kasta tärningar. Vad är sannolikheten att kasta totalt 8 på två tärningar?
Lösning Varje tärning har 6 möjliga utfall. Resultaten fördubblas, vilket innebär att det finns 6,6 eller 36 möjliga sätt på vilka siffrorna på de två tärningarna kan visas. (Det är bättre om kuberna är olika, säg att den ena är röd och den andra är blå - detta hjälper till att visualisera resultatet.) 
De talpar som summerar till 8 visas i figuren nedan. Det finns 5 möjliga sätt att få en summa lika med 8, därför är sannolikheten 5/36.
Sannolikheten för en händelse karakteriserar kvantitativt möjligheten (chansen) att denna händelse inträffar under ett slumpmässigt experiment. I det här avsnittet börjar vi studera de möjligheter som sannolikhetsteorin ger för jämförande analys av situationer som uppstår från olika kombinationer av lika sannolika händelser.
Låt oss föreställa oss att vi genomför ett experiment med utrymme från n elementära resultat som lika troligt. De elementära resultaten är oförenlig händelser (kom ihåg att inkompatibla händelser är de som inte kan inträffa samtidigt), så sannolikheten för var och en av dem är 1/n. Låt oss säga att vi är intresserade av händelse A, som inträffar först när gynnsam elementära resultat, antal sista m(m< n). Тогда, согласно klassisk definition, sannolikheten för en sådan händelse:
R( A)=m/n.
För varje händelse A gäller följande ojämlikhet: 0 < P(A) <1.
Exempel 1.Lotteriet består av 1000 lotter, inklusive 200 vinnande. En lott av 1000 dras slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att denna lott vinner?
Lösning: Det finns 1000 olika utfall i detta exempel (n=1000). Eventet A vi är intresserade av inkluderar 200 utfall (m=200). Således,
Exempel 2. En låda innehåller 200 vita, 100 röda och 50 gröna bollar. En boll dras slumpmässigt. Varför lika med sannolikheten att fåÄr bollen vit, röd eller grön?
Lösning: Låt oss överväga händelserna:
A = (de tog fram en vit boll),
B = (de tog ut en röd boll),
C = (de tog ut en grön boll).
N=350, då
Exempel 3. Tärningarna kastas. Vad är sannolikheten för följande händelser:
A = (sidan med 6 poäng föll ut),
B=(sidan med ett jämnt antal poäng föll),
C=(sidan med antalet poäng delbart med 3 föll)?
Lösning: n = 6. Händelse A gynnas av ett utfall, händelse B av tre utfall, händelse C av två utfall. Således,
Ibland i problem är antalet elementära utfall så stort att det inte går att skriva ner alla. Därför används formler från kombinatorik (se §2).
Exempel 4. Tre dras från en kortlek med 36 kort. Vad är sannolikheten att det inte finns några tior bland de kort som dras?
Lösning: I det här exemplet är det elementära resultatet en slumpmässig uppsättning av tre kort. Det totala antalet elementära utfall är N=C 36 3 vi anser att de elementära utfallen är lika möjliga. Gynnsamt resultat (antalet möjliga uppsättningar med tre kort från samma kortlek, men utan tiotal)
m=C323. Således är sannolikheten för händelse A (3 kort av 36 dras och det finns inga tior bland dem):
Självtestuppgifter
1. Två tärningar kastas samtidigt. Hitta sannolikheterna för följande händelser: A-summan av dragna poäng är 8; B-produkten av de rullade punkterna är 8.
Totalt antal utfall: n=6x6=36, antal gynnsamma utfall av händelse A ,, , , m=5, önskad sannolikhet p=m/n=5/36. För händelse B, gynnsamma utfall: , , dvs. m=2 och den önskade sannolikheten p=m/n=2/36=1/18.
2. I kuvertet, bland 100 fotografier, finns en önskad. 10 kort dras slumpmässigt från kuvertet. Hitta sannolikheten att den önskade kommer att finnas bland dem.
Låt oss dela upp alla 100 foton lika i 10 kuvert. Sannolikheten att ta ett kuvert med önskat foto är p=1/10.
3. När abonnenten slog ett telefonnummer glömde abonnenten de tre sista siffrorna och kom bara ihåg att dessa siffror var olika och slog dem slumpmässigt. Hitta sannolikheten för att numret är korrekt uppringt.
I första hand av detta tresiffriga nummer kan det finnas någon av de 10 siffrorna från 0 till 9, i andra hand bara 9, eftersom talen upprepas inte på den tredje 8:an, totalt n=10x9x8=720, detta är det totala antalet utfall, det finns ett gynnsamt utfall m=1, så p=m/n=1/720.
Ur praktisk synvinkel, sannolikheten för en händelseär förhållandet mellan antalet observationer där händelsen i fråga inträffade och det totala antalet observationer. Denna tolkning är acceptabel vid ett tillräckligt stort antal observationer eller experiment. Om till exempel ungefär hälften av människorna du möter på gatan är kvinnor, så kan du säga att sannolikheten att personen du möter på gatan kommer att vara en kvinna är 1/2. Med andra ord kan en uppskattning av sannolikheten för en händelse vara frekvensen av dess förekomst i en lång rad oberoende upprepningar av ett slumpmässigt experiment.
Sannolikhet i matematik
I det moderna matematiska tillvägagångssättet ges klassisk (det vill säga inte kvant) sannolikhet av Kolmogorovs axiomatik. Sannolikhet är ett mått P, som definieras på setet X, kallat sannolikhetsutrymme. Denna åtgärd måste ha följande egenskaper:
Av dessa förhållanden följer att sannolikhetsmåttet P har även fastigheten additivitet: om ställer in A 1 och A 2 skär inte, då . För att bevisa måste du lägga allt A 3 , A 4 , ... lika med den tomma uppsättningen och tillämpa egenskapen räknebar additivitet.
Sannolikhetsmåttet kanske inte definieras för alla delmängder av mängden X. Det räcker att definiera det på en sigma-algebra, som består av några delmängder av mängden X. I detta fall definieras slumpmässiga händelser som mätbara delmängder av rymden X, det vill säga som delar av sigma algebra.
Sannolikhetskänsla
När vi finner att orsakerna till att något möjligt faktum faktiskt inträffar överväger de motsatta skälen, överväger vi det faktumet sannolik, annars - otrolig. Denna övervikt av positiva baser över negativa, och vice versa, kan representera en obestämd uppsättning grader, som ett resultat av vilket sannolikhet(Och osannolikhet) Det händer Mer eller mindre .
Komplexa individuella fakta tillåter inte en exakt beräkning av graden av deras sannolikhet, men även här är det viktigt att fastställa några stora underavdelningar. Så, till exempel, inom det juridiska området, när ett personligt faktum som är föremål för rättegång fastställs på grundval av vittnesmål, förblir det strängt taget alltid bara sannolikt, och det är nödvändigt att veta hur betydande denna sannolikhet är; i romersk rätt antogs en fyrdubbling här: probatio plena(där sannolikheten praktiskt taget övergår till pålitlighet), Ytterligare - probatio minus plena, då - probatio semiplena major och slutligen probatio semiplena minor .
Utöver frågan om fallets sannolikhet kan frågan uppkomma, såväl inom rättsområdet som på det moraliska området (med viss etisk synpunkt), hur troligt det är att ett visst visst faktum utgör en brott mot den allmänna lagen. Denna fråga, som fungerar som huvudmotivet i Talmuds religiösa rättspraxis, gav också upphov till mycket komplexa systematiska konstruktioner och en enorm litteratur, dogmatisk och polemisk, inom romersk-katolsk moralteologi (särskilt från slutet av 1500-talet) ( se sannolikhet).
Sannolikhetsbegreppet tillåter ett visst numeriskt uttryck när det endast tillämpas på sådana fakta som ingår i vissa homogena serier. Så (i det enklaste exemplet), när någon kastar ett mynt hundra gånger i rad, finner vi här en generell eller stor serie (summan av alla myntfall), bestående av två privata eller mindre, i detta fall numeriskt lika, serie (faller "huvuden" och faller "svansar"); Sannolikheten att den här gången kommer myntet att landa huvuden, det vill säga att denna nya medlem av den allmänna serien kommer att tillhöra denna av de två mindre serierna, är lika med bråkdelen som uttrycker det numeriska förhållandet mellan denna lilla serie och den större, nämligen 1/2, det vill säga samma sannolikhet tillhör den ena eller den andra av två speciella serier. I mindre enkla exempel kan slutsatsen inte härledas direkt från uppgifterna om själva problemet, utan kräver tidigare induktion. Så till exempel är frågan: vad är sannolikheten för en given nyfödd att leva till 80 år? Här måste det finnas en allmän, eller stor, serie av ett visst antal personer födda under liknande förhållanden och dör i olika åldrar (detta måste vara tillräckligt stort för att eliminera slumpmässiga avvikelser, och tillräckligt litet för att bibehålla seriens homogenitet, för för en person, född till exempel i S:t Petersburg i en rik, odlad familj, hela stadens miljonbefolkning, varav en betydande del består av människor från olika grupper som kan dö i förtid - soldater, journalister, arbetare i farliga yrken - representerar en grupp som är för heterogen för en verklig bestämning av sannolikhet) ; låt denna allmänna serie bestå av tiotusen människoliv; den inkluderar mindre serier som representerar antalet personer som överlever till en viss ålder; en av dessa mindre serier representerar antalet personer som lever till 80 års ålder. Men det är omöjligt att bestämma antalet av denna mindre serie (som alla andra) a priori; detta görs rent induktivt, genom statistik. Antag att statistiska studier har fastställt att av 10 000 medelklassinvånare i S:t Petersburg lever endast 45 till 80 år; Således är denna mindre serie relaterad till den större eftersom 45 är till 10 000, och sannolikheten för en given person att tillhöra denna mindre serie, det vill säga att leva till 80 år, uttrycks som en bråkdel av 0,0045. Studiet av sannolikhet ur en matematisk synvinkel utgör en speciell disciplin - sannolikhetsteori.
se även
Anteckningar
Litteratur
Wikimedia Foundation. 2010.
Synonymer:Antonymer:
Se vad "Probability" är i andra ordböcker:
Allmänt vetenskapligt och filosofiskt. en kategori som anger den kvantitativa graden av möjlighet för förekomsten av slumpmässiga masshändelser under fasta observationsförhållanden, som kännetecknar stabiliteten hos deras relativa frekvenser. I logik, semantisk grad... ... Filosofisk uppslagsverk
PROBABILITY, ett tal i intervallet från noll till och med ett, som representerar möjligheten att en given händelse inträffar. Sannolikheten för en händelse definieras som förhållandet mellan antalet chanser att en händelse kan inträffa och det totala antalet möjliga... ... Vetenskaplig och teknisk encyklopedisk ordbok
Med all sannolikhet.. Ordbok över ryska synonymer och liknande uttryck. under. ed. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. sannolikhet möjlighet, sannolikhet, chans, objektiv möjlighet, maza, tillåtlighet, risk. Myra. omöjlighet... ... Synonym ordbok
sannolikhet– Ett mått på att en händelse sannolikt kommer att inträffa. Notera Den matematiska definitionen av sannolikhet är: "ett reellt tal mellan 0 och 1 som är associerat med en slumpmässig händelse." Siffran kan återspegla den relativa frekvensen i en serie observationer... ... Teknisk översättarguide
Sannolikhet- "ett matematiskt, numeriskt kännetecken för graden av möjlighet att inträffa en händelse under vissa specifika förhållanden som kan upprepas ett obegränsat antal gånger." Baserad på denna klassiker... ... Ekonomisk och matematisk ordbok
- (sannolikhet) Möjligheten att en händelse eller ett visst resultat inträffar. Det kan presenteras i form av en skala med divisioner från 0 till 1. Om sannolikheten för en händelse är noll är dess förekomst omöjlig. Med en sannolikhet lika med 1, börjar... Ordbok över affärstermer
