Grafer över hastigheten för koordinataccelerationen. Enhetlig mekanisk rörelse. Enhetlig rörelse och dess graf. Omedelbar och medelhastighet

3.1. Enhetlig rörelse i en rak linje.

3.1.1. Enhetlig rörelse i en rak linje- rörelse i en rak linje med accelerationskonstant i storlek och riktning:

3.1.2. Acceleration()- en fysisk vektormängd som visar hur mycket hastigheten kommer att förändras på 1 s.

I vektorform:

var är kroppens initiala hastighet, är kroppens hastighet vid tidpunkten t.

I projektion på axeln Oxe:

var är projektionen av den initiala hastigheten på axeln Oxe, - projektion av kroppshastigheten på axeln Oxe vid en tidpunkt t.

Tecken på projektionerna beror på vektorernas riktning och axeln Oxe.

3.1.3. Projektionsgraf av acceleration mot tid.

Med likformigt alternerande rörelse är accelerationen konstant, därför kommer den att visas som räta linjer parallella med tidsaxeln (se figur):

3.1.4. Hastighet under enhetlig rörelse.

I vektorform:

I projektion på axeln Oxe:

För jämnt accelererad rörelse:

För jämn slowmotion:

3.1.5. Projektionsgraf av hastighet kontra tid.

Grafen för projektionen av hastighet kontra tid är en rät linje.

Rörelseriktning: om grafen (eller en del av den) är ovanför tidsaxeln, så rör sig kroppen i axelns positiva riktning Oxe.

Accelerationsvärde: ju större tangenten för lutningsvinkeln (ju brantare den går upp eller ner), desto större accelerationsmodul; var är förändringen i hastighet över tiden

Skärning med tidsaxeln: om grafen skär tidsaxeln, saktade kroppen ner innan skärningspunkten (likformigt långsam rörelse), och efter skärningspunkten började den accelerera i motsatt riktning (likformigt accelererad rörelse).

3.1.6. Geometrisk betydelse för området under grafen i axlarna

Area under grafen på axeln Oj hastigheten är fördröjd, och på axeln Oxe- tiden är den väg som kroppen färdas.

I fig. 3.5 visar fallet med likformigt accelererad rörelse. Banan i detta fall kommer att vara lika med trapetsens yta: (3.9)

3.1.7. Formler för att beräkna väg

Alla formler som presenteras i tabellen fungerar endast när rörelseriktningen bibehålls, det vill säga tills den räta linjen skär tidsaxeln på grafen för hastighetsprojektionen mot tiden.

Om korsningen har inträffat är rörelsen lättare att dela upp i två steg:

före korsning (bromsning):

Efter korsningen (acceleration, rörelse i motsatt riktning)

I formlerna ovan - tiden från början av rörelsen till skärningen med tidsaxeln (tiden före stopp), - den väg som kroppen har färdats från början av rörelsen till skärningen med tidsaxeln, - tiden som förflutit från det ögonblick då man korsar tidsaxeln till detta ögonblick t, - den väg som kroppen har färdats i motsatt riktning under den tid som förflutit från det ögonblick då man korsade tidsaxeln till detta ögonblick t, - förskjutningsvektorns modul under hela rörelsetiden, L- den väg som kroppen färdats under hela rörelsen.

3.1.8. Rörelse i den andra.

Under denna tid kommer kroppen att resa följande sträcka:

Under denna tid kommer kroppen att resa följande sträcka:

Sedan under det e intervallet kommer kroppen att färdas följande sträcka:

Vilken tidsperiod som helst kan tas som ett intervall. Oftast med.

Sedan på 1 sekund färdas kroppen följande sträcka:

Om 2 sekunder:

Om 3 sekunder:

Om vi ​​tittar noga så ser vi att osv.

Därmed kommer vi fram till formeln:

Med ord: de vägar som en kropp korsas under på varandra följande tidsperioder är relaterade till varandra som en serie udda tal, och detta beror inte på den acceleration som kroppen rör sig med. Vi betonar att detta förhållande gäller för

3.1.9. Ekvation av kroppskoordinater med likformigt alternerande rörelse

Koordinatekvation

Tecknen på projektionerna för den initiala hastigheten och accelerationen beror på den relativa positionen för motsvarande vektorer och axeln Oxe.

För att lösa problem är det nödvändigt att lägga till ekvationen för att ändra hastighetsprojektionen på axeln till ekvationen:

3.2. Grafer över kinematiska storheter för rätlinjig rörelse

3.3. Fritt fall kropp

Med fritt fall menar vi följande fysiska modell:

1) Fallet sker under påverkan av gravitationen:

2) Det finns inget luftmotstånd (i problem skriver de ibland "försumma luftmotstånd");

3) Alla kroppar, oavsett massa, faller med samma acceleration (ibland lägger de till "oavsett kroppens form", men vi överväger rörelsen av endast en materiell punkt, så kroppens form tas inte längre hänsyn);

4) Tyngdaccelerationen riktas strikt nedåt och är lika på jordens yta (i problem som vi ofta antar för att underlätta beräkningar);

3.3.1. Rörelseekvationer i projektion på axeln Oj

Till skillnad från rörelse längs en horisontell rät linje, när inte alla uppgifter involverar en förändring i rörelseriktningen, är det vid fritt fall bäst att omedelbart använda ekvationerna skrivna i projektioner på axeln Oj.

Kroppskoordinatekvation:

Hastighetsprojektionsekvation:

Som regel är det i problem bekvämt att välja axeln Oj enligt följande:

Axel Oj riktad vertikalt uppåt;

Ursprunget sammanfaller med jordens nivå eller den lägsta punkten på banan.

Med detta val kommer ekvationerna och att skrivas om i följande form:

3.4. Rörelse i ett plan Oxy.

Vi betraktade en kropps rörelse med acceleration längs en rak linje. Den likformigt variabla rörelsen är emellertid inte begränsad till detta. Till exempel en kropp som kastas i en vinkel mot horisontalplanet. I sådana problem är det nödvändigt att ta hänsyn till rörelse längs två axlar samtidigt:

Eller i vektorform:

Och ändra projiceringen av hastighet på båda axlarna:

3.5. Tillämpning av begreppet derivata och integral

Vi kommer inte att ge en detaljerad definition av derivatan och integralen här. För att lösa problem behöver vi bara en liten uppsättning formler.

Derivat:

Där A, B och det vill säga konstanta värden.

Väsentlig:

Låt oss nu se hur begreppen derivata och integral gäller fysiska storheter. I matematik betecknas derivatan med """, i fysik betecknas derivatan med avseende på tid med "∙" ovanför funktionen.

Hastighet:

det vill säga hastigheten är en derivata av radievektorn.

För hastighetsprojektion:

Acceleration:

det vill säga acceleration är en derivata av hastighet.

För accelerationsprojektion:

Således, om rörelselagen är känd, kan vi enkelt hitta både kroppens hastighet och acceleration.

Låt oss nu använda begreppet integral.

Hastighet:

det vill säga hastigheten kan hittas som tidsintegralen för accelerationen.

Radievektor:

det vill säga radievektorn kan hittas genom att ta integralen av hastighetsfunktionen.

Om funktionen är känd kan vi alltså enkelt hitta både kroppens hastighet och rörelselagen.

Konstanterna i formlerna bestäms från de initiala förhållandena - värden och vid tidpunkten

3.6. Hastighetstriangel och förskjutningstriangel

3.6.1. Hastighetstriangel

I vektorform med konstant acceleration har lagen om hastighetsändring formen (3.5):

Denna formel innebär att en vektor är lika med vektorsumman av vektorer och vektorsumman kan alltid avbildas i en figur (se figur).

I varje problem, beroende på förhållandena, kommer hastighetstriangeln att ha sin egen form. Denna representation tillåter användning av geometriska överväganden i lösningen, vilket ofta förenklar lösningen av problemet.

3.6.2. Triangel av rörelser

I vektorform har rörelselagen med konstant acceleration formen:

När du löser ett problem kan du välja referenssystemet på det mest bekväma sättet, därför kan vi, utan att förlora allmänheten, välja referenssystemet på ett sådant sätt att vi placerar ursprunget för koordinatsystemet vid den punkt där kroppen är lokaliserad i det första ögonblicket. Sedan

det vill säga vektorn är lika med vektorsumman för vektorerna och Låt oss avbilda den i figuren (se figur).

Som i föregående fall, beroende på förhållandena, kommer förskjutningstriangeln att ha sin egen form. Denna representation tillåter användning av geometriska överväganden i lösningen, vilket ofta förenklar lösningen av problemet.

Frågor.

1. Skriv ner formeln med vilken du kan beräkna projektionen av den momentana hastighetsvektorn för rätlinjig likformigt accelererad rörelse om du vet: a) projektionen av den initiala hastighetsvektorn och projektionen av accelerationsvektorn; b) projektion av accelerationsvektorn givet att initialhastigheten är noll.

2. Vad är projektionsgrafen för hastighetsvektorn för likformigt accelererad rörelse vid en initial hastighet: a) lika med noll; b) inte lika med noll?

3. Hur är rörelserna, vars grafer visas i figurerna 11 och 12, lika och olika från varandra?

I båda fallen sker rörelsen med acceleration, men i det första fallet är accelerationen positiv och i det andra fallet är den negativ.

Övningar.

1. En hockeyspelare slår lätt pucken med sin klubba, vilket ger den en hastighet på 2 m/s. Vad blir hastigheten på pucken 4 s efter kollisionen om den, som ett resultat av friktion med is, rör sig med en acceleration på 0,25 m/s 2?

2. En skidåkare glider nerför ett berg från ett viloläge med en acceleration lika med 0,2 m/s 2 . Efter vilken tidsperiod kommer dess hastighet att öka till 2 m/s?

3. I samma koordinataxlar, konstruera grafer av projektionen av hastighetsvektorn (på X-axeln, i samma riktning med den initiala hastighetsvektorn) för rätlinjig likformigt accelererad rörelse för fallen: a) v ox = 1 m/s, a x = 0,5 m/s2; b) vox = 1 m/s, a x = 1 m/s2; c) v ox = 2 m/s, a x = 1 m/s 2.
Skalan är densamma i alla fall: 1 cm - 1 m/s; 1 cm - 1 s.

4. I samma koordinataxlar, konstruera grafer av projektionen av hastighetsvektorn (på X-axeln, i samma riktning som den initiala hastighetsvektorn) för rätlinjig likformigt accelererad rörelse för fallen: a) v ox = 4,5 m/s, a x = -1,5 m/s2; b) v ox = 3 m/s, a x = -1 m/s 2
Välj skalan själv.

5. Figur 13 visar grafer över hastighetsvektormodulen mot tiden för den rätlinjiga rörelsen av två kroppar. Med vilken absolut acceleration rör jag mig i kroppen? kropp II?

I den här lektionen kommer vi att titta på en viktig egenskap hos ojämn rörelse - acceleration. Dessutom kommer vi att överväga ojämn rörelse med konstant acceleration. Sådan rörelse kallas också likformigt accelererad eller likformigt inbromsad. Slutligen kommer vi att prata om hur man grafiskt visar beroendet av en kropps hastighet i tid under likformigt accelererad rörelse.

Läxa

Efter att ha löst problemen för den här lektionen kommer du att kunna förbereda dig för frågor 1 i State Examination och frågor A1, A2 i Unified State Exam.

1. Problem 48, 50, 52, 54 sb. problem A.P. Rymkevich, red. 10.

2. Skriv ner hastighetens beroende av tid och rita grafer över beroendet av kroppens hastighet i tid för de fall som visas i fig. 1, fall b) och d). Markera eventuella vändpunkter på graferna.

3. Fundera över följande frågor och deras svar:

Fråga.Är tyngdaccelerationen en acceleration enligt definitionen ovan?

Svar. Självklart är det det. Tyngdaccelerationen är accelerationen av en kropp som faller fritt från en viss höjd (luftmotståndet måste försummas).

Fråga. Vad händer om kroppens acceleration riktas vinkelrätt mot kroppens hastighet?

Svar. Kroppen kommer att röra sig jämnt runt cirkeln.

Fråga.Är det möjligt att beräkna tangenten för en vinkel med hjälp av en gradskiva och en miniräknare?

Svar. Inga! Eftersom accelerationen som erhålls på detta sätt kommer att vara dimensionslös, och accelerationsdimensionen, som vi visade tidigare, bör ha dimensionen m/s 2.

Fråga. Vad kan man säga om rörelse om grafen över hastighet kontra tid inte är rak?

Svar. Vi kan säga att accelerationen av denna kropp förändras med tiden. En sådan rörelse kommer inte att accelereras jämnt.

Om banan för en punkts rörelse är känd, ger beroendet av den väg som punkten korsas av den förflutna tidsperioden en fullständig beskrivning av denna rörelse. Vi har sett att för enhetlig rörelse kan ett sådant beroende ges i form av formel (9.2). Förhållandet mellan och för enskilda tidpunkter kan också specificeras i form av en tabell som innehåller motsvarande värden för tidsperioden och tillryggalagd sträcka. Låt oss ges att hastigheten för någon enhetlig rörelse är 2 m/s. Formel (9.2) har i detta fall formen . Låt oss göra en tabell över vägen och tiden för en sådan rörelse:

Beroendet av en storhet av en annan är ofta bekvämt att skildra inte med formler eller tabeller, utan med grafer, som tydligare visar bilden av förändringar i variabla kvantiteter och kan underlätta beräkningar. Låt oss plotta beroendet av den tillryggalagda sträckan i tid för rörelsen i fråga. För att göra detta, ta två ömsesidigt vinkelräta räta linjer - koordinataxlar; Vi kommer att kalla en av dem (abskissaxeln) tidsaxeln och den andra (ordinataxeln) banaxeln. Låt oss välja skalor för att avbilda tidsintervall och banor och ta axlarnas skärningspunkt som startmoment och som startpunkt på banan. Låt oss plotta på axlarna värdena för tid och tillryggalagd sträcka för den aktuella rörelsen (Fig. 18). För att "binda" värdena för avståndet till ögonblick i tid, ritar vi vinkelräta till axlarna från motsvarande punkter på axlarna (till exempel punkterna 3 s och 6 m). Skärningspunkten för perpendikulära motsvarar båda storheterna samtidigt: väg och moment, och på så sätt uppnås "bindningen". Samma konstruktion kan utföras för alla andra tidpunkter och motsvarande vägar, och för varje sådant tidspar erhålls - vägvärden en punkt på grafen. I fig. 18 en sådan konstruktion är gjord, som ersätter båda raderna av bordet med en rad med punkter. Om en sådan konstruktion utfördes för alla tidpunkter, skulle en heldragen linje erhållas istället för enskilda punkter (visas också i figuren). Denna linje kallas en väg mot tid-graf eller, kort sagt, en väg-graf.

Ris. 18. Graf över banan för likformig rörelse med en hastighet av 2 m/s

Ris. 19. För övning 12.1

I vårt fall visade sig kurvan vara en rak linje. Det kan visas att grafen för den likformiga rörelsens bana alltid är en rät linje; och vice versa: om grafen för vägen mot tiden är en rät linje, så är rörelsen enhetlig.

Genom att upprepa konstruktionen för en annan hastighet finner vi att grafpunkterna för högre hastigheter ligger högre än motsvarande grafpunkter för lägre hastigheter (fig. 20). Således, ju högre hastighet en enhetlig rörelse är, desto brantare är grafen för den rätlinjiga vägen, d.v.s. desto större vinkel gör den med tidsaxeln.

Ris. 20. Grafer över banan för enhetliga rörelser med hastigheter på 2 och 3 m/s

Ris. 21. Graf över samma rörelse som i fig. 18, ritad i en annan skala

Grafens lutning beror naturligtvis inte bara på hastighetens numeriska värde utan också på valet av tids- och längdskalor. Till exempel, grafen som visas i fig. 21 visar vägen mot tiden för samma rörelse som grafen i fig. 18, även om den har en annan lutning. Härifrån är det tydligt att det är möjligt att jämföra rörelser med grafernas lutning endast om de är ritade i samma skala.

Med hjälp av kurvdiagram kan du enkelt lösa olika rörelseproblem. Till exempel i fig. 18 streckade linjer visar de konstruktioner som är nödvändiga för att lösa följande problem för en given rörelse: a) hitta vägen som färdats på 3,5 s; b) hitta den tid det tar att resa 9 m. I figuren finns svaren grafiskt (streckade linjer): a) 7 m; b) 4,5 s.

På grafer som beskriver enhetlig rätlinjig rörelse kan koordinaten för den rörliga punkten plottas längs ordinataaxeln istället för banan. Denna beskrivning öppnar stora möjligheter. I synnerhet gör det det möjligt att särskilja rörelseriktningen i förhållande till axeln. Dessutom, genom att ta tidens ursprung till noll, är det möjligt att visa punktens rörelse vid tidigare tidpunkter, vilket bör anses vara negativt.

Ris. 22. Grafer över rörelser med samma hastighet, men vid olika initiala positioner för den rörliga punkten

Ris. 23. Grafer över flera rörelser med negativa hastigheter

Till exempel, i fig. 22 rät linje I är en graf av rörelse som inträffar med en positiv hastighet av 4 m/s (dvs i axelns riktning), och i det första ögonblicket var den rörliga punkten i en punkt med koordinaten m. För jämförelse, densamma figuren visar en graf över rörelsen som sker med samma hastighet, men vid vilken den rörliga punkten i det initiala ögonblicket är i punkten med koordinaten (linje II). Rakt. III motsvarar fallet då den rörliga punkten var i en punkt med koordinat m. Slutligen beskriver rät linje IV rörelsen i fallet då den rörliga punkten hade en koordinat i ögonblicket c.

Vi ser att lutningarna för alla fyra graferna är desamma: lutningen beror bara på hastigheten på den rörliga punkten och inte på dess initiala position. När du ändrar utgångspositionen överförs hela grafen helt enkelt parallellt med sig själv längs axeln uppåt eller nedåt på lämpligt avstånd.

Grafer över rörelser som sker vid negativa hastigheter (dvs i motsatt riktning mot axelns riktning) visas i fig. 23. De är raka, lutande nedåt. För sådana rörelser minskar punktens koordinater med tiden., hade koordinater

Bandiagram kan också konstrueras för de fall då en kropp rör sig likformigt under en viss tid, sedan rör sig jämnt men med en annan hastighet under en annan tidsperiod, sedan ändrar hastighet igen etc. T.ex. 26 visar ett rörelsediagram där kroppen rörde sig under den första timmen med en hastighet av 20 km/h, under den andra timmen med en hastighet av 40 km/h och under den tredje timmen med en hastighet av 15 km/h.

Utöva: 12.8. Konstruera en graf över rörelsebanan där kroppen hade hastigheter på 10, -5, 0, 2, -7 km/h över successiva timintervall. Vad är kroppens totala förskjutning?