Geometriproblem kräver ofta beräkning av arean av en polygon. Dessutom kan den ha en ganska varierad form - från den välbekanta triangeln till någon n-gon med något ofattbart antal hörn. Dessutom kan dessa polygoner vara konvexa eller konkava. I varje specifika situationär tänkt att utgå från utseende siffror. På så sätt kan du välja det optimala sättet att lösa problemet. Siffran kan visa sig vara korrekt, vilket avsevärt kommer att förenkla lösningen av problemet.
Lite teori om polygoner
Om du ritar tre eller fler skärande linjer bildar de en viss figur. Det är hon som är polygonen. Baserat på antalet skärningspunkter blir det tydligt hur många hörn den kommer att ha. De ger namnet till den resulterande figuren. Det kan vara:
En sådan figur kommer säkert att kännetecknas av två positioner:
- Intilliggande sidor tillhör inte samma räta linje.
- Icke-intilliggande har inga gemensamma punkter, det vill säga att de inte skär varandra.
För att förstå vilka hörn som är angränsande måste du se om de tillhör samma sida. Om ja, då närliggande. Annars kan de kopplas samman med ett segment, som måste kallas en diagonal. De kan endast utföras i polygoner som har fler än tre hörn.
Vilka typer av dem finns?
En polygon med fler än fyra hörn kan vara konvex eller konkav. Skillnaden mellan de senare är att några av dess hörn kan ligga på motsatta sidor av en rät linje som dras genom en godtycklig sida av polygonen. I ett konvext fall ligger alla hörn alltid på samma sida av en sådan rät linje.
I en skolgeometrikurs ägnas den mesta tiden åt konvexa figurer. Därför kräver problemen att hitta arean av en konvex polygon. Sedan finns det en formel i termer av radien för den omskrivna cirkeln, som gör att du kan hitta önskat värde för vilken figur som helst. I andra fall finns det ingen tydlig lösning. För en triangel är formeln en, men för en kvadrat eller trapets är den helt annorlunda. I situationer där figuren är oregelbunden eller det finns många hörn är det vanligt att dela upp dem i enkla och välbekanta.
Vad ska man göra om figuren har tre eller fyra hörn?
I det första fallet kommer det att visa sig vara en triangel, och du kan använda en av formlerna:
- S = 1/2 * a * n, där a är sidan, n är höjden till den;
- S = 1/2 * a * b * sin (A), där a, b är sidorna i triangeln, A är vinkeln mellan de kända sidorna;
- S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), där c är sidan av triangeln, till de två redan indikerade är p halvomkretsen, det vill säga, summan av alla tre sidor dividerat med två.
En figur med fyra hörn kan visa sig vara ett parallellogram:
- S = a * n;
- S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), där d 1 och d 2 är diagonaler, α är vinkeln mellan dem;
- S = a * i * sin(α).
Formel för arean av en trapets: S = n * (a + b) / 2, där a och b är längderna på baserna.
Vad ska man göra med en vanlig polygon som har fler än fyra hörn?
Till att börja med kännetecknas en sådan figur av det faktum att alla sidor är lika. Dessutom har polygonen lika vinklar.
Om du ritar en cirkel runt en sådan figur, kommer dess radie att sammanfalla med segmentet från polygonens mitt till en av hörnen. Därför, för att beräkna arean av en vanlig polygon med ett godtyckligt antal hörn, behöver du följande formel:
S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), där n är antalet hörn i polygonen.
Från den är det lätt att få en som är användbar för speciella fall:
- triangel: S = (3√3)/4 * R2;
- kvadrat: S = 2 * R2;
- hexagon: S = (3√3)/2 * R 2.
Situationen med fel figur
Lösningen på hur man tar reda på arean av en polygon om den inte är regelbunden och inte kan hänföras till någon av de tidigare kända figurerna är algoritmen:
- bryt den i enkla former, till exempel trianglar, så att de inte skär varandra;
- beräkna sina arealer med valfri formel;
- lägga ihop alla resultat.
Vad ska man göra om problemet ger koordinaterna för en polygons hörn?
Det vill säga en uppsättning siffror är kända för varje punkt som begränsar figurens sidor. Vanligtvis skrivs de som (x 1 ; y 1) för den första, (x 2 ; y 2) för den andra, och den n:e vertexen har följande värden (x n ; y n). Då bestäms polygonens area som summan av n termer. Var och en av dem ser ut så här: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). I detta uttryck varierar i från ett till n.
Det är värt att notera att tecknet på resultatet kommer att bero på genomgången av figuren. När du använder formeln ovan och flyttar medurs blir svaret negativt.
Exempel på uppgift
Skick. Koordinaterna för hörnen specificeras av följande värden (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Du måste beräkna arean av en polygon.
Lösning. Enligt formeln ovan kommer den första termen att vara lika med (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Här behöver du bara ta värdena för Y och X från den andra och första punkten. En enkel beräkning leder till resultatet 1.8.
Den andra termen erhålls på liknande sätt: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. När du löser sådana problem, var inte rädd för negativa kvantiteter. Allt går som det ska. Detta är planerat.
Värdena för den tredje (0,29), fjärde (-6,365) och femte termen (2,96) erhålls på liknande sätt. Då är det slutliga området: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.
Råd för att lösa ett problem där en polygon ritas på rutigt papper
Det som oftast är förbryllande är att data endast innehåller cellstorlek. Men det visar sig att ingen mer information behövs. En rekommendation för att lösa detta problem är att dela upp figuren i många trianglar och rektanglar. Deras ytor är ganska lätta att beräkna genom längderna på sidorna, som sedan enkelt kan läggas ihop.
Men det finns ofta ett enklare tillvägagångssätt. Den består av att rita en figur till en rektangel och beräkna dess area. Beräkna sedan areorna för de element som visade sig vara överflödiga. Subtrahera dem från allmän betydelse. Det här alternativet innebär ibland ett något mindre antal åtgärder.
\[(\Large(\text(Grundläggande fakta om området)))\]
Vi kan säga att arean av en polygon är ett värde som indikerar den del av planet som en given polygon upptar. Enheten för ytmått är arean av en kvadrat med en sida på \(1\) cm, \(1\) mm, etc. (enhet kvadrat). Då kommer arean att mätas i cm\(^2\), mm\(^2\) respektive.
Med andra ord kan vi säga att arean av en figur är en kvantitet vars numeriska värde visar hur många gånger en kvadratenhet passar i en given figur.
Områdesegenskaper
1. Arean av vilken polygon som helst är en positiv kvantitet.
2. Lika polygoner har lika stora ytor.
3. Om en polygon består av flera polygoner är dess area lika med summan av dessa polygoners area.
4. Arean av en kvadrat med sidan \(a\) är lika med \(a^2\) .
\[(\Large(\text(Area av en rektangel och parallellogram)))\]
Sats: Arean av en rektangel
Arean av en rektangel med sidorna \(a\) och \(b\) är lika med \(S=ab\) .
Bevis
Låt oss bygga rektangeln \(ABCD\) till en kvadrat med sidan \(a+b\), som visas i figuren:
Denna kvadrat består av en rektangel \(ABCD\), en annan lika stor rektangel och två kvadrater med sidorna \(a\) och \(b\) . Således,
\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(flera rader*)\)
Definition
Ett parallellograms höjd är vinkelrät draget från parallellogrammets vertex till sidan (eller till förlängningen av sidan) som inte innehåller denna vertex.
Till exempel faller höjden \(BK\) på sidan \(AD\) , och höjden \(BH\) faller på fortsättningen av sidan \(CD\) :
Sats: Arean av ett parallellogram
Arean av ett parallellogram är lika med produkten av höjden och sidan till vilken denna höjd är ritad.
Bevis
Låt oss rita vinkelräta \(AB"\) och \(DC"\) som visas i figuren. Notera att dessa perpendikulära är lika med höjden på parallellogrammet \(ABCD\) .
Då är \(AB"C"D\) en rektangel, därför \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .
Observera att räta trianglar \(ABB"\) och \(DCC"\) är kongruenta. Således,
\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)
\[(\Large(\text(Triangelns area)))\]
Definition
Vi kommer att kalla sidan till vilken höjden i triangeln är ritad för triangelns bas.
Sats
Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av dess bas och höjden till denna bas.
Bevis
Låt \(S\) vara arean av triangeln \(ABC\) . Låt oss ta sidan \(AB\) som bas för triangeln och rita höjden \(CH\) . Låt oss bevisa det \ Låt oss bygga triangeln \(ABC\) till parallellogrammet \(ABDC\) som visas i figuren:
Trianglar \(ABC\) och \(DCB\) är lika på tre sidor (\(BC\) är deras gemensamma sida, \(AB = CD\) och \(AC = BD\) som motsatta sidor av parallellogrammet \ (ABDC\ )), så deras områden är lika. Därför är arean \(S\) av triangeln \(ABC\) lika med halva arean av parallellogrammet \(ABDC\), dvs. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdot CH\).
Sats
Om två trianglar \(\triangel ABC\) och \(\triangel A_1B_1C_1\) har lika höjder, då är deras områden relaterade till de baser som dessa höjder är ritade till.
Följd
En triangels median delar den i två trianglar med lika stor yta.
Sats
Om två trianglar \(\triangel ABC\) och \(\triangel A_2B_2C_2\) var och en har en lika stor vinkel, är deras area relaterade som produkten av sidorna som bildar denna vinkel.
Bevis
Låt \(\vinkel A=\vinkel A_2\) . Låt oss kombinera dessa vinklar som visas i figuren (punkt \(A\) i linje med punkt \(A_2\)):
Låt oss hitta höjderna \(BH\) och \(C_2K\) .
Trianglar \(AB_2C_2\) och \(ABC_2\) har samma höjd \(C_2K\) , därför: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]
Trianglar \(ABC_2\) och \(ABC\) har samma höjd \(BH\), därför: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]
Multiplicerar vi de två sista likheterna får vi: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( eller ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]
Pythagoras sats
I rät triangel kvadrat av hypotenusans längd lika med summan fyrkanter av benlängder:
Det omvända är också sant: om kvadraten på en sidas längd i en triangel är lika med summan av kvadraterna på längderna på de andra två sidorna, så är en sådan triangel rätvinklig.
Sats
Arean av en rätvinklig triangel är lika med halva produkten av benen.
Sats: Herons formel
Låt \(p\) vara triangelns halvomkrets, \(a\) , \(b\) , \(c\) vara längden på dess sidor, då är dess area \
\[(\Large(\text(Area av romb och trapets)))\]
Kommentar
Därför att En romb är ett parallellogram, då gäller samma formel för den, d.v.s. Arean av en romb är lika med produkten av höjden och sidan till vilken denna höjd dras.
Sats
Arean av en konvex fyrhörning vars diagonaler är vinkelräta är lika med hälften av produkten av diagonalerna.
Bevis
Betrakta fyrhörningen \(ABCD\) . Låt oss beteckna \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :
Observera att denna fyrhörning består av fyra räta trianglar, därför är dess area lika med summan av dessa trianglars area:
\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(flera rader*)\)
Följd: område av en romb
Arean av en romb är lika med hälften av produkten av dess diagonaler: \
Definition
Höjden på en trapets är en vinkelrät ritad från toppen av en bas till den andra basen.
Sats: Arean av en trapets
Arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av baserna och höjden.
Bevis
Betrakta trapetsen \(ABCD\) med baserna \(BC\) och \(AD\) . Låt oss rita \(CD"\parallel AB\) som visas i figuren:
Då är \(ABCD"\) ett parallellogram.
Låt oss också utföra \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) är trapetsens höjder).
Sedan \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)
Därför att en trapets består av ett parallellogram \(ABCD"\) och en triangel \(CDD"\), då är dess area lika med summan av parallellogrammets och triangelns ytor, det vill säga:
\ \[=\dfrac12 CH\vänster(BC+AD"+D"D\höger)=\dfrac12 CH\vänster(BC+AD\höger)\]
Snälla hjälp mig att lösa geometri och jag fick det bästa svaret
Svar från
1. Om polygonen är godtycklig, rita sedan alla diagonaler från en vertex och hitta arean för varje resulterande triangel. Lägg ihop resultaten. Om polygonen är regelbunden, så finns det formler för varje enskilt fall. Men det går också att utläsa allmän formel, beroende på antalet sidor.
2. Arean av en polygon är en positiv kvantitet med följande egenskaper:
I. Lika polygoner har lika stora ytor.
II. Om en polygon är sammansatt av två polygoner som inte har inre gemensamma punkter, då är dess area lika med summan av areorna för dessa polygoner.
III Arean av en kvadrat med en sida lika med en längdenhet är lika med 1 (areaenhet)
3. Arean av en rektangel är lika med produkten av dess sidor
Dokumentera:
Låt rektangeln ha sidlängderna a och b. Låt oss bygga upp det till en kvadrat med sidan a+b. Det vill säga, dess area (kvadrat) är lika med (a+b)^2. Å andra sidan är denna area lika med summan av en kvadrat med sidan a, en kvadrat med sidan b och två rektanglar med sidorna a och b (vilket vi bevisar). Låt oss beteckna det S och likställa arean av en kvadrat med sidan a+b till summan av arean av "små rektanglar och kvadrater".
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Beprövad
4. Sabcd=a*h (arean av ett parallellogram är lika med produkten av dess bas och höjd)
Om BF och CM är vinkelräta mot linje AD, då är triangel ABF = triangel DCE
(eftersom AB=DC och projektion AF=DM). Därför är arean av dessa trianglar lika. Arean av parallellogrammet ABCD är lika med summan av två siffror: triangel ABF (lika med triangel DCM) och trapetsformad FBCD. Detta betyder att om vi subtraherar arean av triangeln ABF från arean ABCD, får vi arean av trapetsen FBCD. Då är arean av parallellogram ABCD lika med arean av rektangeln FBCM. Och sidorna av denna rektangel är lika med BC=AD=a och BF=h.
S ABCD = AD BF=a h.
5. Arean av en rätvinklig triangel är halva arean av rektangeln, dvs S=ab. sedan Str=ab/2.
eller ch2. för i en rätvinklig triangel är produkten av benen lika med produkten av höjden och hypotenusan
6. Om vinkeln på en triangel lika med vinkel en annan triangel, då är förhållandet mellan dessa trianglars area lika med förhållandet mellan produkterna från de sidor som omsluter lika vinklar.
7. Arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av baserna och höjden som dras till baserna. Om vi ritar två höjder får vi en rektangel med sidorna a och h, och två räta trianglar med sidorna p och q, så att a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. Formuleringar Pythagoras sats: Summan av kvadraternas area baserat på benen (a och b) är lika med arean av kvadraten byggd på hypotenusan (c) Geometrisk formulering: Satsen formulerades ursprungligen som följer: I en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av kvadrater byggda på ben. Algebraisk formulering: I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusans längd lika med summan av kvadraterna på benens längder. Det vill säga att beteckna längden på hypotenusan i en triangel med, och längden på benen med och: Båda formuleringarna av satsen är ekvivalenta, men den andra formuleringen är mer elementär, den kräver inte begreppet area. Det vill säga att det andra påståendet kan verifieras utan att veta något om arean och genom att bara mäta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.
Snälla hjälp mig att lösa geometri och jag fick det bästa svaret
Svar från
1. Om polygonen är godtycklig, rita sedan alla diagonalerna från en vertex och hitta arean för varje resulterande triangel. Lägg ihop resultaten. Om polygonen är regelbunden, så finns det formler för varje enskilt fall. Men du kan också härleda en generell formel beroende på antalet sidor.
2. Arean av en polygon är en positiv kvantitet med följande egenskaper:
I. Lika polygoner har lika stora ytor.
II. Om en polygon är sammansatt av två polygoner som inte har några inre gemensamma punkter, är dess area lika med summan av dessa polygoners area.
III Arean av en kvadrat med en sida lika med en längdenhet är lika med 1 (areaenhet)
3. Arean av en rektangel är lika med produkten av dess sidor
Dokumentera:
Låt rektangeln ha sidlängderna a och b. Låt oss bygga upp det till en kvadrat med sidan a+b. Det vill säga, dess area (kvadrat) är lika med (a+b)^2. Å andra sidan är denna area lika med summan av en kvadrat med sidan a, en kvadrat med sidan b och två rektanglar med sidorna a och b (vilket vi bevisar). Låt oss beteckna det S och likställa arean av en kvadrat med sidan a+b till summan av arean av "små rektanglar och kvadrater".
(a+b)^2=S+S+a^2+b^2
a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2S
2ab=2S
S=ab. Beprövad
4. Sabcd=a*h (arean av ett parallellogram är lika med produkten av dess bas och höjd)
Om BF och CM är vinkelräta mot linje AD, då är triangel ABF = triangel DCE
(eftersom AB=DC och projektion AF=DM). Därför är arean av dessa trianglar lika. Arean av parallellogrammet ABCD är lika med summan av två siffror: triangel ABF (lika med triangel DCM) och trapetsformad FBCD. Detta betyder att om vi subtraherar arean av triangeln ABF från arean ABCD, får vi arean av trapetsen FBCD. Då är arean av parallellogram ABCD lika med arean av rektangeln FBCM. Och sidorna av denna rektangel är lika med BC=AD=a och BF=h.
S ABCD = AD BF=a h.
5. Arean av en rätvinklig triangel är halva arean av rektangeln, dvs S=ab. sedan Str=ab/2.
eller ch2. för i en rätvinklig triangel är produkten av benen lika med produkten av höjden och hypotenusan
6. Om vinkeln för en triangel är lika med vinkeln för en annan triangel, så är förhållandet mellan dessa trianglars area lika med förhållandet mellan produkterna från sidorna som omsluter lika vinklar.
7. Arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av baserna och höjden som dras till baserna. Om vi ritar två höjder får vi en rektangel med sidorna a och h, och två räta trianglar med sidorna p och q, så att a+p+q=b. S=ah+ph/2+qh/2=(2a+p+q)h/2=(a+(a+p+q))h/2=(a+b)h/2. Quod errat demonstrandum
8. Formuleringar Pythagoras sats: Summan av kvadraternas area baserat på benen (a och b) är lika med arean av kvadraten byggd på hypotenusan (c) Geometrisk formulering: Satsen formulerades ursprungligen som följer: I en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av kvadrater byggda på ben. Algebraisk formulering: I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusans längd lika med summan av kvadraterna på benens längder. Det vill säga att beteckna längden på hypotenusan i en triangel med, och längden på benen med och: Båda formuleringarna av satsen är ekvivalenta, men den andra formuleringen är mer elementär, den kräver inte begreppet area. Det vill säga att det andra påståendet kan verifieras utan att veta något om arean och genom att bara mäta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.
