Låt oss överväga svängningarna hos en pendel i närvaro av friktionskrafter. Förutom återställningskraften uppträder här en friktionskraft, som vi kommer att betrakta som proportionell mot hastigheten:

där r är friktionskoefficienten.

I det här fallet tar vibrationsekvationen formen

Låt oss presentera följande notation:

var är dämpningskoefficienten.

Sedan reduceras vibrationsekvationen till formen

Lösning på denna ekvation

var är oscillationsfrekvensen i närvaro av dämpning. Uttryck

kallas amplitud dämpade svängningar. Beroendet x(t) har formen

Relaxationstiden kallas för värdet f=1/d. Vi skriver amplituden för dämpade svängningar i formuläret

Vid t = f minskar amplituden med e gånger.

För att karakterisera dämpade svängningar introduceras olika kvantiteter. Låt oss titta på några av dem.

Den logaritmiska dämpningsminskningen är ett värde lika med logaritmen för förhållandet mellan amplituder för svängningar som skiljer sig med en period.

Period med dämpade svängningar.

Kvantiteten används också ofta

kallas kvalitetsfaktor.

För amplituden av svängningar kan vi skriva

Med tanke på formeln

kan skrivas ner

där är antalet svängningar som utförs av pendeln under den tid då svängningarnas amplitud minskar med en faktor.

Forcerade vibrationer

Låt oss överväga fallet när en yttre kraft verkar på pendeln

Vibrationsekvationen har i detta fall formen

Vi skriver lösningen till ekvationen av forcerade svängningar i formuläret

generell lösning homogen ekvation,

privat lösning inhomogen ekvation. Här

fasvinkel,

amplitud, som beror på frekvensen av den applicerade spänningen.

Funktionen beskriver pendelns naturliga svängningar. Dessa svängningar är inte beroende av yttre krafter, har en dämpad karaktär och försvinner efter ett tag nästan.

Funktionen beskriver påtvingade svängningar skapade av yttre krafter. Dessa är odämpade svängningar med frekvensen av extern excitation.

Det är lätt att visa att den maximala amplituden uppnås vid en frekvens

som kallas resonans, och själva fenomenet att öka amplituden av forcerade svängningar vid en viss frekvens kallas resonans. Resonanskurvan har den form som visas i figuren.

Vid resonansfrekvensen ökar svängningarnas amplitud många gånger. Resonansfenomenet bör beaktas under konstruktionen av byggnader, strukturer och maskiner. Den naturliga frekvensen av vibrationer för dessa föremål bör vara långt ifrån den frekvens av påtvingade vibrationer som dessa föremål kan utsättas för. Annars uppstår vibrationer med stora amplituder, vilket kan orsaka en katastrof. Sådana fall har uppmärksammats många gånger.

Samtidigt kan resonansfenomen vara mycket användbara när multipel förstärkning av de nödvändiga svängningarna krävs. Detta fenomen används i stor utsträckning inom radioteknik, akustik och vid skapandet av ultraexakta instrument.

Självsvängningar spelar en viktig roll i tekniken. Självsvängningar är odämpade svängningar som upprätthålls i ett dissipativt system av en konstant extern energikälla, och egenskaperna hos dessa svängningar bestäms av systemet självt.

Exempel på självsvängningar: klockor, rörgeneratorer, förbränningsmotorer etc. Den strikta teorin om självsvängande system är mycket komplex, eftersom sådana system beskrivs av icke-linjära differentialekvationer, och i de flesta fall är det inte möjligt att erhålla en rigorös analytisk lösning på sådana ekvationer.

Fria svängningar med minskande amplitud kallas dämpade.

Vibrationsrörelsens energi förvandlas gradvis till värme, strålning etc. Det är därför amplituden minskar: vibrationsenergin är proportionell mot kvadraten på amplituden.

I ett mekaniskt oscillerande system är energiförluster oftast förknippade med friktion. Om den är trögflytande är v vid låga hastigheter friktionskraften, där r är friktionskoefficienten, beroende på kroppens form och storlek och mediets viskositet.

Låt oss skriva ner rörelseekvationen för en punkt, som uppstår under inverkan av två krafter: F = -khx (återställande kraft eller kvasi-elastisk kraft) och friktionskraft,

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f513- naturlig frekvens för odämpade svängningar), definition-e">differentialekvation för dämpade svängningar

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f516.gif" border="0" align="absmiddle" alt=") har formen:

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f518.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - dämpad frekvens, bestäms av initiala förhållanden, till exempel värdena för förskjutning x och hastighet dx/dt vid tidpunkten t = 0.

def">Amplitud för dämpade svängningar

exempel">r, desto större dämpningskoefficient definieras">Frekvens av dämpade svängningar

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f524.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Period med dämpade svängningar

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f526.gif" border="0" align="absmiddle" alt="perioden blir oändlig T = formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f528.gif" border="0" align="absmiddle" alt="perioden T blir imaginär, och kroppens rörelse blir aperiodisk.

Om vi ​​jämför amplitudvärdena vid två angränsande tidpunkter åtskilda av en period, dvs. gif" border="0" align="absmiddle" alt=", då är deras förhållande lika

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f532.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

kallas logaritmisk dämpningsminskning formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f533.gif" border="0" align="absmiddle" alt="är att den kan användas för att bestämma det totala antalet svängningar i systemet avkopplingstid def-e">dvs. för den tid under vilken amplituden minskar med e-def">2,7 gånger

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f534.gif" border="0" align="absmiddle" alt="det följer det exemplet ">N för avslappningstidsformeln" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f538.gif" border="0" align="absmiddle" alt= " .

Kvalitetsfaktor Q oscillator karakteriserar energiförlusten i det oscillatoriska systemet under perioden:

bestäms av en drivkraft, och de odämpade svängningarna som uppstår under dess verkan framtvingas.

I det enklaste fallet ändras drivkraften enligt sinus- eller cosinuslagen, d.v.s.

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f541.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Om vi ​​introducerar notationen som användes när vi övervägde dämpade svängningar, formeln" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f545.gif" border="0" align="absmiddle " alt= ", Det differentialekvation för forcerade svängningar kommer att ha formen:

urval">inhomogena. Som är känt från den högre matematikens kurs består lösningen av denna ekvation av

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f547.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt="

med amplitud A och fasförskjutning okänd i förväg, formeln" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f552.gif" border="0" align="absmiddle" alt= "(! LANG:

I avsaknad av dämpning (formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f554.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=", då når amplituden ett maximalt värde lika med den definierade ">resonansformeln" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f559.gif" border="0" align=" absmiddle " alt="

En kraftig ökning av amplituden av svängningar vid en viss frekvens av drivkraften kallas resonans ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Vid låg dämpning (formel" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f563.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", dvs. om systemet är avstämt i takt med systemets fria svängningar, ökar svängningarnas amplitud kraftigt. Om så inte är fallet bidrar kraften inte till svajning och svängningarnas amplitud är liten.

Menande resonansamplitud

formula" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f562.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

selektion">systemets kvalitetsfaktor får en annan fysisk betydelse: den visar hur många gånger en kraft som verkar vid en resonansfrekvens orsakar en större förskjutning än en konstant kraft, d.v.s. hur många gånger resonansförskjutningen är större än den statiska.

Testa frågor och uppgifter

1. Skriv ner differentialekvationen för mekaniska dämpade svängningar. Vilken fysisk lag använde du?

2. Enligt vilken lag ändras amplituden för en dämpad svängning?

3. Vad är avkopplingstid?

4. Vilken fysisk betydelse har det logaritmiska dämpningsdekrementet?

5. Amplitud av dämpade svängningar matematisk pendel på 1 minut minskade med 3 gånger. Bestäm hur många gånger det kommer att minska på 4 minuter.

6. Vilka svängningar kallas forcerade?

7. Vad är den fysiska innebörden av kvalitetsfaktorn i ett oscillerande system?

8. Vad bestämmer frekvensen av forcerade svängningar?

9. Vad är skillnaden mellan resonans i ett system med höga och låga kvalitetsfaktorer?

10. Vilket sätt av forcerade svängningar kallas stadiga?

11. Skriv ner den allmänna lösningen differentialekvation påtvingade svängningar. Vilka delar består den av?

12. Vad är fenomenet resonans? Ge exempel på användningen av detta fenomen i natur och teknik?

Datum 21/12/12

№ lektion: 33

Ämne : Dämpade och forcerade svängningar. Resonans.

Syftet med lektionen : förklara varför högre värde har påtvingade vibrationer, inte fria; hur forcerade oscillationer etableras; när det finns en kraftig ökning i amplitud och resonans uppstår;

Uppgifter:

Pedagogiska – ge eleverna kunskap om begreppen fria och påtvingade vibrationer; förklara innebörden av forcerade svängningar; fastställa ursprunget till forcerade svängningar och förekomsten av resonans.

Utvecklingsmässigt – utveckling av begreppet tillämpning och skada orsakad av resonans i naturen; utveckling av fantasifullt tänkande om oscillerande processer i naturen; utveckla förmågan att arbeta med en bok.

Utbilda – främja en medveten och seriös inställning till akademisk disciplin. Bildande av synpunkter på utvecklingen av karaktären hos oscillerande processer och förbindelser med omvärlden. Odla intresset för ämnet

Lektionstyp: lektionsbildning av ny kunskap

Metoder: verbalt, föreläsning, demonstration, förklarande och illustrativt

Typer av studentaktiviteter: arbeta med en lärobok, självständigt arbete med en lärobok.

Lektionsplan:

Studerar ett nytt ämne.

Hemuppgift 28 §, ex. 23

Lektionssammanfattning. Organisation av reflektion.

Lektionens framsteg:

Org. ögonblick (hälsning, kontroll av beredskap för lektionen, motivation utbildningsverksamhet, elevernas humör).

Uppdatering av nödvändig kunskap.

Undersökning läxa efter individuell undersökningsmetod.

Vad kallas mekaniska vibrationer? (Mekaniska vibrationer är kroppsrörelser som upprepas exakt eller ungefär med samma tidsintervall.)

Vilka är de viktigaste egenskaperna hos mekaniska vibrationer (De huvudsakliga egenskaperna hos mekaniska vibrationer är: förskjutning, amplitud, frekvens, period.)

Vad är offset? (Förskjutning är en kropps avvikelse från dess jämviktsposition.)

Vad kallas svängningarnas amplitud? (Amplitud är modulen för den maximala avvikelsen från jämviktspositionen.)

Vad är svängningsfrekvensen? (Frekvens är antalet kompletta svängningar som utförs per tidsenhet.)

Vad är svängningsperioden? ? (Period är tiden för en fullständig svängning, d.v.s. den minsta tidsperiod efter vilken processen upprepas.)

Hur är svängningsperioden och frekvensen relaterade? (Period och frekvens är relaterade av relationen: ν = 1/T)

Hur sker energiomvandling i oscillerande system utan friktion?

Hur verkar resistiva krafter på en oscillerande kropp?

Vilka svängningar dämpas?

Studerar ett nytt ämne.

Forcerade svängningar av en fjäderpendel.

Låt oss överväga hur forcerade svängningar uppstår och bibehålls i ett oscillerande system med sin egen frekvens. Om du vrider installationshandtaget kommer en periodisk yttre kraft att börja verka på kroppen. Kroppen kommer att svaja med ökande amplitud. Efter en tid kommer svängningarna att ha en steady-state karaktär, och amplituden kommer att sluta öka. Vibrationsfrekvensen för lasten kommer att vara lika med handtagets rotationsfrekvens (frekvensen av förändring i den yttre kraften).

Energiomvandling vid mekaniska vibrationer.

Låt oss överväga processen för energiomvandling med hjälp av exemplet på oscillationer av en belastning på en tråd (fig. 10).

När pendeln avviker från jämviktspositionen stiger den till en höjd h i förhållande till nollnivån,

därför har pendeln vid punkt A potentiell energi mgh. När man flyttar till jämviktsläget, till punkt O, minskar höjden till noll, och lastens hastighet ökar, och vid punkt O hela potentiell energi mgh omvandlas till kinetisk energi mυ 2 /2. Vid jämvikt är kinetisk energi på sitt maximum och potentiell energi på sitt minimum. Efter att ha passerat genom jämviktspositionen sker transformationen kinetisk energi till potential minskar pendelns hastighet och vid maximal avvikelse från jämviktspositionen blir den lika med noll. Med oscillerande rörelser sker alltid periodiska transformationer av dess kinetiska och potentiella energi.

Med fria mekaniska vibrationer oundvikligen finns det en förlust av energi för att övervinna motståndskrafterna. Om svängningar uppstår under påverkan av en periodisk yttre kraft, kallas sådana svängningar forcerade. Till exempel, föräldrar svänger sitt barn på en gunga, kolven rör sig i cylindern på en bilmotor, kniven på en elektrisk rakhyvel och nålen på en symaskin svänger.

Typen av forcerade svängningar beror på på arten av den yttre kraftens verkan, på dess storlek, riktning, verkansfrekvens och beror inte på storleken och egenskaperna hos den oscillerande kroppen. Till exempel, grunden för motorn som den är fäst på utför forcerade svängningar med en frekvens som endast bestäms av antalet varv på motorn och beror inte på fundamentets storlek.

När frekvensen av den yttre kraften och frekvensen sammanfaller naturliga vibrationer kroppen ökar amplituden av forcerade svängningar kraftigt. Detta fenomen kallas mekaniskt resonans. Grafiskt visas beroendet av amplituden för forcerade svängningar på frekvensen av den externa kraften i figur 11.

I frånvaro av friktion bör amplituden av forcerade oscillationer under resonans öka med tiden utan begränsning. I verkliga system bestäms amplituden i det stabila resonanstillståndet av tillståndet för energiförlust under perioden och den yttre kraftens arbete under samma tid. Ju mindre friktion, desto större amplitud vid resonans.

Resonans (från det latinska ordet resonans - ger ett eko)

P Med hjälp av samma inställning, låt oss kontrollera hur amplituden av stabila oscillationer beror på frekvensen av den externa kraften. Amplituden börjar öka med en ytterligare ökning av frekvensen av den yttre kraften. Den når sitt maximum om lastens fria vibrationer verkar i takt med den yttre kraften. Amplituden tenderar till noll om frekvensen av den yttre kraften är mycket hög.

Som ett resultat av tröghet har kroppen inte tid att röra sig och "darrar på plats."

Amplitudens beroende av den externa frekvensen visas i figurerna.

R
resonans kallas en kraftig ökning av amplituden av forcerade svängningar när frekvensen av fria svängningar sammanfaller med frekvensen av förändring i den yttre kraften.

Tillämpning av resonans och bekämpning av den . Fenomen resonansspel stor roll i en rad naturliga, vetenskapliga och industriella processer. Till exempel är det nödvändigt att ta hänsyn till fenomenet resonans vid design av broar, byggnader och andra strukturer som upplever vibrationer under belastning, annars kan dessa strukturer under vissa förhållanden förstöras. Resonansfenomenet kan orsaka förstörelse av bilar, byggnader, broar om deras naturliga frekvenser sammanfaller med frekvensen av en periodiskt verkande kraft. Därför är till exempel motorer i bilar installerade på speciella stötdämpare, och militära enheter är förbjudna att hålla jämna steg när de rör sig över bron.

Konsolidering. Självständigt arbete med en lärobok.

"Användningen av resonans och kampen mot den"

Förbered svar på frågor.

1. Vilka kroppar, strukturer, maskiner utgör ett oscillerande system?

2. Hur mycket kan amplituden för en fungerande maskin öka?

3. Vilka åtgärder vidtas för att förhindra att resonans uppstår eller åtminstone försvaga den?

4. Varför kan en militär enhets marsch leda till förstörelse av bron som enheten passerar genom?

5. Ge exempel på de gynnsamma effekterna av resonans.

Frågor för konsolidering.

Vilka oscillationer kallas forcerade? (Oscillationer som sker under påverkan av en yttre periodisk kraft).

Hur uppstår forcerade vibrationer, under vilka krafter? (En extern periodisk kraft, kallad en drivkraft, ger extra energi till det oscillerande systemet, som går till att fylla på energiförlusterna som uppstår på grund av friktion.)

Hur skiljer sig forcerade oscillationer från fria svängningar? (Till skillnad från fria svängningar, när systemet bara tar emot energi en gång (när systemet förs ur jämvikt), absorberar systemet i fallet med forcerade svängningar denna energi från en källa till extern periodisk kraft kontinuerligt.)

Vad är den totala energin i det oscillerande systemet? (Denna energi kompenserar för förlusterna som spenderas på att övervinna friktion, och därför förblir den totala energin i det oscillerande systemet fortfarande oförändrad.)

Hur beror frekvensen av forcerade svängningar på frekvensen av drivkraften? (Frekvensen av forcerade svängningar är lika med frekvensen för drivkraften.)

Vad kallar vi fenomenet resonans? (I fallet när frekvensen för drivkraften υ sammanfaller med den naturliga frekvensen för det oscillerande systemet υ 0, finns det en kraftig ökning av amplituden för de tvingade svängningarna - resonans.)

Vad orsakar fenomenet resonans? (Resonans uppstår på grund av det faktum att vid υ = υ 0 är den yttre kraften, som verkar i tid med fria svängningar, alltid i linje med hastigheten på den oscillerande kroppen och gör positivt arbete: den oscillerande kroppens energi ökar och amplituden av dess svängningar blir stora.)

Vilken roll spelar fenomenet? resonans?. (Fenomen resonans spelar en viktig roll i ett antal naturliga, vetenskapliga och industriella processer.)

Ge exempel på fenomenet resonans. (Till exempel är det nödvändigt att ta hänsyn till fenomenet resonans när man designar broar, byggnader och andra strukturer som upplever vibrationer under belastning, annars kan dessa strukturer under vissa förhållanden förstöras.)

Läxa: 28 §, ex. 23

Lektionssammanfattning.

« Fysik - 11:e klass"

I modern fysik det finns ett speciellt avsnitt - oscillationers fysik, som studerar vibrationer hos maskiner och mekanismer.

Mekaniska vibrationer

Mekaniska vibrationer är rörelser som upprepas exakt eller ungefär med vissa intervall.
Exempel på vibrationer: kolvarnas rörelse i en bilmotor, en flottör på en våg, en trädgren i vinden.

Oscillerande rörelser, eller helt enkelt fluktuationer– Det här är upprepade rörelser av kroppar.

Om rörelsen upprepas exakt, kallas en sådan rörelse periodisk.

Vad är karakteristiskt för oscillerande rörelser?
När kroppens rörelser svänger upprepas.
Sålunda, en pendel, efter att ha genomfört en svängningscykel, avslutar återigen samma cykel, etc.

Pendel kallas en kropp upphängd i en tråd eller fixerad på en axel, som kan svänga under påverkan av jordens gravitation.

Exempel på pendlar:

1. Fjäderpendel- en last upphängd på en fjäder.
I jämvikt sträcks fjädern, och den elastiska kraften balanserar tyngdkraften som verkar på bollen.

2. Om du tar bort bollen från dess jämviktsläge genom att dra ner den lätt och släppa den kommer den att börja göra oscillerande rörelser. Gäng pendel
- en vikt upphängd på en tråd. I jämviktsläget är tråden vertikal och tyngdkraften som verkar på kulan balanseras av trådens elastiska kraft.

Om bollen avböjes och sedan släpps, kommer den att börja svänga (svinga) från sida till sida.

Oscillationer kan vara fria, dämpade eller forcerade.

Fria vibrationer. Inom mekaniken kallas en grupp kroppar vars rörelse studeras.
system av kroppar Inre krafter
- dessa är krafterna som verkar mellan systemets kroppar. Yttre krafter

- dessa är krafter som verkar på systemets kroppar från kroppar som inte ingår i det.

Den enklaste typen av vibration är fri vibration. Fria vibrationer kallas svängningar i ett system under påverkan inre krafter

, efter att systemet har tagits ur jämvikt och sedan lämnats åt sina egna enheter.

Exempel på fria vibrationer: vibrationer av en vikt fäst vid en fjäder, eller en vikt upphängd i en gänga.

Dämpade svängningar.
Efter att systemet har tagits bort från jämviktsläget skapas förhållanden under vilka lasten svänger utan påverkan av yttre krafter.
Men med tiden dör svängningarna ut, eftersom motståndskrafter alltid verkar på systemets kroppar. Under påverkan av inre krafter och motståndskrafter presterar systemet.

dämpade svängningar

Forcerade vibrationer.
För att svängningarna inte ska dö ut måste en periodiskt växlande kraft verka på systemets kroppar.

En konstant kraft kan inte stödja svängningar, eftersom under påverkan av denna kraft endast jämviktspositionen i förhållande till vilken svängningarna uppstår kan förändras. Forcerade vibrationer

vibrationer av kroppar under påverkan av yttre periodiskt föränderliga krafter kallas.

Forcerade vibrationer är av största betydelse inom tekniken. Fysik svar (Semyonov)

.docx

10. Oscillerande rörelse. Fria, forcerade och dämpade svängningar. 1) Svängningar kallas gratis (eller), om de uppstår på grund av den initialt tillförda energin i efterföljande frånvaro av yttre påverkan på det oscillerande systemet (systemet som oscillerar). Differentialekvation 2) Tillgänglig Under påverkan av inre krafter och motståndskrafter presterar systemet– svängningar, vars amplituder minskar med tiden på grund av energiförluster från det verkliga svängningssystemet. Den enklaste mekanismen för att reducera vibrationsenergi är dess omvandling till värme på grund av friktion i mekaniska oscillerande system, såväl som ohmska förluster och strålning av elektromagnetisk energi i elektriska oscillerande system. 3) Differentialekvation Svängningar som uppstår under inverkan av en extern periodiskt varierande kraft eller en extern periodiskt varierande emk kallas resp. påtvingad mekanisk OchDen enklaste mekanismen för att reducera vibrationsenergi är dess omvandling till värme på grund av friktion i mekaniska oscillerande system, såväl som ohmska förluster och strålning av elektromagnetisk energi i elektriska oscillerande system.

påtvingade elektromagnetiska svängningar 11. Tillägg harmoniska vibrationer samma riktning och samma frekvens.

En oscillerande kropp kan delta i flera oscillerande processer, då är det nödvändigt att hitta den resulterande oscillationen, med andra ord måste svängningarna läggas till.

Låt oss lägga ihop harmoniska vibrationer i samma riktning och samma frekvens

Ekvationen för den resulterande svängningen blir I uttrycket amplitud A  och inledande fas  2 -  En kropp, som deltar i två övertonssvängningar i samma riktning och samma frekvens, utför alltså en övertonssvängning i samma riktning och med samma frekvens som de adderade oscillationerna. Amplituden för den resulterande svängningen beror på fasskillnaden (

1) vikta svängningar.

12. Tillägg av ömsesidigt vinkelräta vibrationer. Lissajous siffror Resultatet av tillägget av två övertonssvängningar med samma frekvens , som uppträder i ömsesidigt vinkelräta riktningar längs axlarna påtvingad mekanisk X u. För enkelhetens skull väljer vi ursprunget så att den första fasen av den första svängningen är lika med noll, och skriver  Där I uttrycket amplitud påtvingad mekanisk - fasskillnad för båda svängningarna, IN - amplituder av vikta svängningar.. Ekvationen för banan för den resulterande oscillationen hittas genom att eliminera parameteruttrycken

t  amplituder av vikta svängningar. Skriva de vikta vibrationerna i formuläret och ersätter cos i den andra ekvationen på  amplituder av vikta svängningar. Skriva de vikta vibrationerna i formuläret , Ha andsin vi kommer efter enkla transformationer ellipsekvation,vars axlar är orienterade i förhållande till koordinataxlarna godtyckligt:

Eftersom banan för den resulterande vibrationen har formen av en ellips kallas sådana vibrationer

Slutna banor ritade av en punkt som samtidigt utför två ömsesidigt vinkelräta svängningar kallas Lissajous siffror.* Utseendet på dessa kurvor beror på förhållandet mellan amplituder, frekvenser och fasskillnader för de tillagda svängningarna.

13. Lagar för idealgaser. Clapeyron-Mendeleev ekvation.

Boyle-Mariottes lag*: för en given gasmassa vid konstant temperatur är produkten av gastrycket och dess volym ett konstant värde: pV=konstat T=konst,m=konst

Gay-Lussacs lagar*:1) volymen av en given gasmassa vid konstant tryck ändras linjärt med temperaturen: V=Vo(1+t) Vid V=konst

2) trycket för en given gasmassa vid konstant volym ändras linjärt med temperaturen: p=po(1+t) vid V=const,m=const

Daltons lag*: trycket för en blandning av idealgaser är lika med summan av partialtrycken sid 1 , sid 2 ,..., sid n gaser som ingår i det:

Tillståndet för en viss gasmassa bestäms av tre termodynamiska parametrar: tryck p, volym V och temperatur T. Det finns ett visst samband mellan dessa parametrar, kallad tillståndsekvationen, som i allmän syn ges av uttrycket

Uttrycket är Clapeyrons ekvation, i vilken - fasskillnad för båda svängningarna, gaskonstant, olika för olika gaser.

Ekvation uppfyller endast en idealgas, och det är tillståndsekvationen för en idealgas, även kallad Clapeyron-Mendeleev-ekvationen.

Clapeyron-Mendeleev ekvation för massa T gas

Där  = m/ M - mängd ämne var N A / V m = n - koncentration av molekyler (antal molekyler per volymenhet). Alltså från ekv.