Rotation - specialfall rörelse där åtminstone en punkt i planet (rymden) förblir orörlig. När ett plan roterar kallas den fasta punkten rotationscentrum när rymden roterar, den fasta räta linjen kallas rotationsaxeln. En rotation av ett plan (utrymme) kallas korrekt (rotation av det första slaget) eller felaktigt (rotation av det andra slaget), beroende på om det bevarar orienteringen av planet (utrymmet).
På ett plan i rektangulärt kartesiska koordinater korrekt rotation uttrycks av formlerna
x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + ycos?,
var är rotationsvinkeln, och rotationscentrum väljs vid origo? Under samma förhållanden uttrycks den felaktiga rotationen av planet med formeln
x" = xcos? + y sin?, y" = x sin? - y cos?.
En rotation av planet runt en punkt S med en riktad vinkel ѓї är en sådan avbildning av planet på sig själv som överför varje punkt M i planet till en punkt M` så att SM = SM` och den riktade vinkeln ЃЪMSM` är lika till ѓї.
Punkt S kallas rotationscentrum och riktningsvinkeln ѓї kallas rotationsvinkel. Kom ihåg att en vinkel kallas riktad om det anges vilken av dess sidor som anses vara den första och vilken som anses vara den andra.
Vi kommer att använda en symbol för att indikera en sväng.
Först och främst bevisar vi att rotation av planet bevarar avståndet mellan punkter. För att göra detta tar vi två olika punkter M och N på planet. Låt oss beteckna med M` och N` deras bilder när de roteras runt punkten S med en riktad vinkel ѓї. Betrakta trianglarna SMN och SM`N`. I dessa trianglar är sidorna SM och SM`, SN respektive SN` lika.
Det är också lätt att verifiera att vinklarna MSN och M`SN` för dessa trianglar också är lika. Det betyder att trianglarna MSN och M`SN` själva är lika. Likheten mellan dessa trianglar innebär likheten mellan segmenten MN och M`N`. Således är rotation av planet runt en given punkt med en given riktningsvinkel rörelse.
På planet, överväg en rotation med centrum i punkt S och vinkel ѓї. Låt oss ställa in PDSC så att punkten S fungerar som dess ursprung, och koordinatvektorerna i, j är enhetliga och inbördes vinkelräta. Vi tar godtyckligt en punkt M (x, y) på planet med koordinaterna x och y relativt PDCS Sxy. Under påverkan av rotation kommer denna punkt att gå till någon punkt M`(x`, y`). Låt oss uttrycka koordinaterna för punkten M` genom koordinaterna för dess inversa bild, vinkeln ѓї och koordinaterna för rotationscentrum. I triangeln SM`Mx` är längden på benet SMx` lika med |x`|, och längden på benet М`Мх` är lika med |y`|, och i triangeln SMMx - SMx = |x |, MMx = |y|. Låt oss med GA beteckna den riktningsvinkel som strålen SM bildar med abskissaxelns positiva riktning (Fig. 2.2). Sedan i orienterad rät triangel Mx`SM` riktningsvinkel ЃЪ Mx`SM` lika med summan riktningsvinklarna ѓї och ѓА, och längden på hypotenusan SM` är lika. Med hänsyn till dessa relationer får vi det
Dessa formler är formler för att rotera planet runt origo med en riktad vinkel ѓї. Med hjälp av dessa formler kan det visas att rotation av ett plan runt en punkt med en given riktningsvinkel har följande egenskaper.
Egenskaper för rotation av ett plan runt en punkt
1. När planet roteras runt en given punkt med en given riktningsvinkel förvandlas den räta linjen till en rät linje som bildar en riktad vinkel med den givna räta linjen, lika med vinkel sväng.
Bevis. Låt, i förhållande till Oxy-koordinatsystemet, den räta linjen d definieras av ekvationen ax + by + c = 0, där. Låt oss ställa in rotationen av planet runt punkten O med en riktad vinkel ѓї med hjälp av formler (2.1.). Låt oss hitta ekvationen för bilden av linje d under denna rotation. För att göra detta, från formler (2.1.) uttrycker vi x och y till xЃЊ och yЃЊ får vi formler av formen,
För att få ekvationen för bilden av linje d i ekvationen ax + med + c = 0, ersätter vi x och y med uttrycken (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) och (? xЃЊ sinѓї + yЃЊ cosѓї) . Som ett resultat får vi en ekvation av formen. På vänster sida av denna ekvation, låt oss öppna parenteserna och ta den till formuläret
Eftersom den
då definierar ekvationen (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosї) yЃЊ + c = 0 en rät linje på planet.
- 2. När man vrider runt en given punkt med en given riktningsvinkel förvandlas parallella linjer till parallella linjer.
- 3. Att rotera planet runt en given punkt med en given riktningsvinkel bevarar det enkla förhållandet mellan de tre punkterna.
Bevis. På planet sätter vi PDSC Ox. Låt oss godtyckligt ta två poäng och. Låt punkten M(x, y) dela segmentet M 1 M 2 i relation ѓИ Ѓ‚ ?1. Låt oss betrakta rotationen av planet runt punkten O med en riktad vinkel ѓї med hjälp av formler (2.1.). Låt oss beteckna med och MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) bilderna av punkter, och M (x, y) under denna rotation. Låt oss visa att rotationen bevarar den enkla relationen mellan de tre punkterna och M (x, y) . Eftersom koordinaterna för punkterna och M (x, y) uppfyller följande relationer:
för att bevisa det faktum att punkten MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) delar segmentet i samma relation ГЃЃ‚ ?1 räcker det att visa att
För att göra detta, i formlerna
Låt oss ersätta med, med, med, med, med, med. Som ett resultat får vi relationerna
Låt oss multiplicera den första med cos? , och den andra - på? synd? och lägga ihop det. Som ett resultat får vi jämställdhet. Låt oss nu multiplicera båda sidorna av den första relationen med synd? , och den andra - på cos? och lägga ihop det. Vi får jämställdhet.
Så vi har visat den punkten M? (x?, y?) delar segmentet i samma förhållande? ? ?1, eftersom punkten delar segmentet M 1 M 2 . Detta betyder att rotation av ett plan runt en punkt i en given vinkel bevarar det enkla förhållandet mellan tre punkter.
- 4. När ett plan roteras runt en given punkt med en given riktningsvinkel går ett segment in i ett lika segment, en stråle till en stråle, ett halvplan till ett halvplan.
- 5. När planet roteras runt en given punkt med en given riktningsvinkel, omvandlas den ortonormala ramen R till den ortonormala ramen R`.
I detta fall går punkt M med koordinaterna x och y relativt referenspunkten R till punkt M` med samma koordinater x och y, men relativt referenspunkten R`.
6. Sammansättningen av två rotationer runt punkt O är en rotation med mitten i punkt O.
7. Sammansättningen av två rotationer av ett plan är en rotation genom en riktad vinkel med centrum i punkt C så att, .
- 8. Sammansättningen av två axiella symmetrier i ett plan med icke-parallella axlar m1 och m2 som skär varandra i punkt O och bildar en riktad vinkel är en rotation av planet runt punkt O.
- 9. Varje rotation av planet runt punkten O kan representeras som en sammansättning av två axiella symmetrier, axeln för en av dem kommer att vara den räta linjen p som går genom centrum O, och axeln för den andra kommer att vara den räta linje q som innehåller bisektrisen för den vinkel som bildas av bilden m' av strålen m under rotationen kring punkt O vid en given vinkel och i bilden m`` av strålen m` med axiell symmetri med p-axeln.
Vid lösning av problem relaterade till att hitta bilder och prototyper geometriska former, specificerade av deras analytiska förhållanden i förhållande till det rektangulära Kartesiskt system koordinater Oxy, när man roterar planet runt en punkt i en given riktningsvinkel, är det tillrådligt att använda formler som anger rotationen med centrum i en godtycklig punkt S(x0, y0), som skiljer sig från koordinaternas ursprung. För att härleda dessa formler drar vi fördel av det faktum att rotation av planet omvandlar den ortonormala ramen R till den ortonormala ramen R`, och vilken punkt M som helst med koordinater (x, y) i förhållande till ramen R till punkt M` med samma koordinater, men relativa rapparen R`.
Å andra sidan har punkt M` relativt referenspunkten R` också några koordinater. Låt oss beteckna dem med x` och y`. På planet har vi alltså två koordinatsystem: ett av dem bestäms av referenspunkten R och det andra av referenspunkten R`.
Vi kommer att kalla den första av dem "gammal" och den andra "ny". I enlighet med detta kommer de "gamla" koordinaterna för punkten M` att vara ett ordnat talpar (x`, y`), och de "nya" koordinaterna kommer att vara ett ordnat talpar (x, y). Genom att använda formler som uttrycker de "gamla" koordinaterna för en punkt genom dess "nya" när vi flyttar från ett koordinatsystem till ett annat, får vi formlerna:
Eftersom punkten är en invariant vändpunkt, uppfyller dess koordinater följande villkor:
Subtraherar vi från båda sidor av likheter (2.2.) motsvarande delar av motsvarande likheter (2.3.), får vi formler som uttrycker koordinaterna för bilden M` av punkt M genom koordinaterna för själva punkten M:
Formler (2.4) är formler för att rotera ett plan runt en punkt med en given riktningsvinkel.
"Rotation i geometri" - Rita en triangel erhållen från triangel OAB genom att rotera den runt punkt O i en vinkel på 60° moturs. Rita triangeln A'B'C' erhållen från triangeln ABC genom att rotera den runt punkt O i en vinkel på 90° moturs. Triangel A'B'C' erhålls genom att rotera triangel ABC medurs runt punkt O. Hitta rotationsvinkeln.
"Rörelsetyper" - Central symmetri i koordinatsystemet. Kartlägga planet på sig själv. När planet rör sig går punkt A till punkt M. Konstruktion. Parallell överföring. Parallell translation på ett plan i ett koordinatsystem. Uppgift. Konstruera en bild av denna trapets. Konstruktion av symmetriska punkter och segment. Transformation av figur F.
"Rörelse och dess typer" - Utsikt över London. Prickar. Definition. Självständigt arbete. Fungera. Levande symmetri. Symmetriaxel. Sväng. Start av rörelse. Isriket. London Big Ben klocka. Figur. Kartlägga planet på sig själv. Rörelse. Moskva skolbarn. Parallell överföring. Allmän information. Rörelseprocessen. Triangel.
"Typer av rörelser av kroppar" - Octahedron. Vanlig tetraeder. Spegelsymmetri. Kant. Mitten av den skuggade kanten. Central symmetri. Axiell symmetri. Hur många finns olika rörelser. Toppar. Namnge rörelsen. Rörelse. Ena sidan av kuben målades.
"Grundläggande typer av rörelser" - Figurer som innehåller en symmetriaxel. Figurer med två symmetriaxlar. Axiell symmetri. Figurer med central symmetri. Parallell överföring. Spegelsymmetri. Kartlägga rymden på sig själv. Rörelser i rymden. Figurer med fler än två symmetriaxlar. Figurer med central symmetri.
"Begreppet rörelse i geometri" - Forskningsämne. Symmetri är relativt rak. Rörelse i algebrakurs. Symmetri i arkitektur. Följande egenskaper hos rörelse särskiljs. Skönhet och harmoni är nära besläktade med symmetri. Rotation och parallell överföring. Symmetri. Rörelse i geometri, algebra och världen omkring oss. De flesta växter och djur är symmetriska.
Det finns totalt 19 presentationer
Rotation (rotation) - en rörelse där minst en punkt
planet (rymden) förblir orörlig.
Inom fysiken kallas en rotation ofta för en ofullständig rotation, eller omvänt,
rotation betraktas som en speciell typ av rotation. Sista definitionen
mer strikt, eftersom begreppet rotation omfattar ett mycket vidare
kategori av rörelser, inklusive de där rörelsens bana
kroppen i det valda referenssystemet är en öppen kurva.
kallad
är mappad till en punkt M1 så att OM = OM1 och vinkeln MOM1 är lika med
M1
M
O 110
100
120
60
70
100
80
40
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
50
110
130
40
160
M160
120
50
150
70
90
130
140
80
180
0
HANDLA OM
M
20
10
0A1
I 1
A
HANDLA OM
I O Rotera ett segment.
O
O Form rotationscentrum
kanske i det inre
områden av figuren och
extern...
O Vid vändning
polygon behövs
rotera var och en
topp.
O
10.
Parallell överföring är ett specialfall av rörelse där alltpunkter i rymden rör sig i samma riktning
samma avstånd. Annars, om M är initial och M" är
förskjuten position för punkten, då är vektorn MM" densamma för alla
par av punkter som motsvarar varandra i en given transformation.
Parallell översättning flyttar varje punkt i en figur eller
utrymme på samma avstånd i samma
riktning.
11.
aParallell överföring till vektor
kallad
kartläggning av planet på sig själv, där varje punkt M
är mappad till en punkt Ml så att vektorn MM1 är lika med vektorn
M
"Parallellöverföring
och vänd"
9:e klass (geometri)
förberett och genomfört:
Megerya Larisa Ivanovna – matematiklärare
Silantievskaya gymnasium
LEKTION, 9:e klass. "Rörelser."
.
Blaise PASCAL
Lektionens ämne: "Parallell översättning och rotation"
Lektionens mål: pedagogisk – introducera eleverna till begreppet translationell och rotationssymmetri;
utvecklande – introducera eleverna för designers tekniker när de konstruerar tesselleringar;
pedagogisk - med hjälp av exemplet med Eschers arbete, leda barn till idén om behovet av harmonisk och proportionell utveckling av både figurativt och logiskt tänkande.
Ingjuta en kärlek till geometri genom målningarna av konstnären Moritz Escher.
Utrustning: multimediaprojektor, interaktiv whiteboard, PC, referensnoteringar.
Planen.
Org. ögonblick.
N.t.
etc
N.t.
etc
Idrottsminut
etc
d/z
resultat.
Under lektionerna:
1. (PRESENTATION 1)
BILD 1.
En gång tillfrågades den store grekiske filosofen Sokrates vad som enligt hans åsikt var lättast i livet. Han svarade att det enklaste är att lära andra, men det svåraste är att känna sig själv. I klassen och utanför skolan lär vi oss om världen omkring oss. Men låt oss nu titta in i oss själva. Hur vi uppfattar världen? Som konstnärer eller som tänkare?
Testa.
1) Flät ihop fingrarna. Är din högra eller vänstra tumme på toppen? Skriv resultatet med bokstäverna "L" eller "P".
2) Korsa armarna över bröstet (Napoleons ställning). Vilken hand var överst? Skriv ner resultatet.
3) Låtsas som "stormiga applåder." Palm, vilken hand ligger ovanpå dig? Skriv ner det.
BILD 2.
Låt oss sammanfatta, med tanke på att resultatet "LLL" motsvarar den konstnärliga typen av personlighet och "PPP" motsvarar typen av tänkare.
(Dessa skillnader är förknippade med den mänskliga hjärnans funktionella asymmetri: "konstnärer" har en mer utvecklad höger hjärnhalva och fantasifullt tänkande dominerar; "tänkare" har den vänstra hjärnhalvan respektive den vänstra hjärnhalvan och logiskt tänkande).
Vilken typ av tänkande råder hos dig? Höj händerna om du har "PPP", "LLL" enligt testresultaten.
Flera ”tänkare”, flera ”konstnärer”, majoriteten är individer som präglas av både logiskt och fantasifullt tänkande. Så vi lärde känna varandra bättre: du med dig själv, jag med dig. Låt oss nu gå vidare till ämnet för lektionen.
2. SLID 3 .
Så, ämnet för lektionen: "Parallell translation och rotation».
BILD 4.
Vi är övertygade om att de flesta har både fantasifullt och logiskt tänkande. En av ljusa exempelär den berömda holländska grafikern Moritz Cornelius Eschers personlighet. Matematiska idéer spelar central roll i de flesta av hans målningar. Det är märkligt att Escher själv inte kunde skryta med en avslutad matematisk utbildning.
Så här skrev konstnären själv om detta: ”Jag har aldrig kunnat få ett bra betyg i matematik. Det är roligt att jag plötsligt fann mig själv involverad i den här vetenskapen. Tro mig, jag var en väldigt dålig elev i skolan. Och nu använder matematiker mina teckningar för att illustrera sina böcker... De verkar inte misstänka att jag rent matematiskt är helt analfabet.” Det finns nog en viss överdrift i dessa ord, särskilt eftersom han under arbetets gång hämtade idéer från olika matematiska artiklar.Senare erkänner han: "Fast jag är helt okunnig om exakta vetenskaper, ibland förefaller det mig som om jag är närmare matematiker än mina konstnärskollegor.” Och matematiker uppskattade hans målningar, och nuSedan 50-talet av förra seklet har Escher hållit föreläsningar vid internationella kongresser för matematiker och kristallografer.
GLIDA 5 .
Under hela sitt liv skapade Escher många gravyrer och litografier av olika ämnen. Jag har valt att visa några av skisserna för graveringarna, kombinerade allmän uppfattning. Titta noga på dem och svara på frågan: "Vilken idé finns i dessa skisser? Hur kan du kalla dessa teckningar i ett ord? (mosaik, återkommande element, symmetrisk).
Symmetri är inte bara ett matematiskt begrepp. Den var lånad från naturen. Och eftersom människan är en del av naturen, tenderar mänsklig kreativitet i alla dess yttringar mot symmetri.
GLIDA 6 .
The Concise Oxford Dictionary definierar "symmetri" som "skönhet på grund av proportionaliteten hos kroppens delar eller någon helhet, balans, likhet, harmoni, konsistens"
Vilka typer av symmetri känner du till? (central, axiell).
3. BILD 7.
Vad är axiell symmetri? (karta planet på sig själv, därnågon punkt M i detta plan är associerad med punkt M 1 , symmetrisk till den i förhållande till rät linje a.Linje a är den vinkelräta bisektrisen av segmentet MM 1 )
BILD 8.
Tavlan visar verkliga fysiska föremål som har axiell symmetri. Håller du med? (Nr 2 – det finns ingen axiell symmetri).
BILD 9.
Vad är central symmetri? (karta planet på sig själv, därvilken punkt M som helst är associerad med en sådan punkt M 1 den punkten O är mittpunkten av segmentet MM 1 )
BILD10.
Till exempel objekt med central symmetri. (Nr 3 – det finns ingen central symmetri).
BILD 11.
Du vet att axiella och centrala symmetrier är rörelser av planet, dvs de bevarar alla avstånd mellan punkter, vilket innebär att de omvandlar figurerna till lika stora. Hur rör sig föremål i livet? Vilken bana? (i en rak linje, i en cirkel).
4. BILD 12.
Var uppmärksam på skissen för gravyren "Möte". Hur rör sig folket? (i en rak linje).
BILD 13.
Och på bilden "Path of Life 2"? (runda). Om materiell punkt rör sig i en rak linje talar de om parallell translation eller planförskjutning. Om en materialpunkt rör sig i en cirkel sägs planet rotera runt en viss punkt.
GLIDA 14 .
Rörelse i en rak linje kännetecknas av rörelseriktningen och det tillryggalagda avståndet, därför är det tillräckligt att införa en överföringsvektor, som tar hänsyn till dessa två egenskaper.
PARALLELL TRANSFER - kartlägga planet på sig själv, där alla punkter förskjuts i samma riktning med samma avstånd (translationsvektor).
BILD 15.
1 B 1 C 1 , som erhålls från triangel ABC parallell överföring till en vektor .
BILD 16.
När du rör dig runt en cirkel måste du veta var cirkelns mittpunkt är, rörelseriktningen (medurs eller moturs) och rotationsvinkeln.
ROTATION - kartlägga planet på sig själv, där alla punkter skiftas runt given poäng(rotationscentrum) med en given vinkel (rotationsvinkel) i en riktning (medurs eller moturs).
BILD 17.
Till exempel, konstruera triangel A 1 B 1 C 1 , som erhålls från triangeln ABC genom att rotera runt punkt O medurs med 90 O .
BILD 18.
Eftersom symmetri i vid bemärkelse betyder oföränderligheten hos ett materialobjekts egenskaper och form i förhållande till dess transformationer, klassificeras även parallell translation och rotation som typer av symmetri - translationell och rotationssymmetri.
5. (INTERAKTIV STYRELSE)
Låt oss nu återgå till Eschers målningar (enligt varianterna på tryckta ark).
1) Hitta i bilderna olika sorter symmetrier: (visa exempel)
Kontrollera med den interaktiva skrivtavlan (blädderblock, s. 11, 12 verktyg, gardiner på en halv sida, täcker rätt svar).
Så vi har upptäckt att det finns symmetri i många av Eschers målningar.
6. Fysisk träningsminut
7. (PRESENTATION 2)
BILD 1. Nu är Eschers målningar extremt populära och moderiktiga.Hans arbete var efterfrågat populärkultur. Stor mängd grafiska verk, särskilt mosaiker, finns på telefonkort, frimärken, paketering av diverse varor, tapeter, kläder och så vidare.
BILD 2. En gång Mick JaggerSångaren i det populära rockbandet "Rolling Stones" och samtidigt en ivrig beundrare av Eschers talang, bad hans tillåtelse att placera "Verboom"-gravyren på omslaget till hans skiva. Men Asher vägrade Mick Jagger i den mest avgörande och till och med hårda formen.
(INTERAKTIV STYRELSE)
För att inte bryta mot någons upphovsrätt kommer vi att lära oss hur vi själva skapar tesselleringar -mosaiker av absolut identiska former som gränsar till varandra utan luckor, utan att överlappa varandra, och du kommer att kunna glädja andra med dina designfynd.
Konstruktionsalgoritm:
Välja ett rutnät för att konstruera ett platt mönster (fyrkantigt, triangulärt, hexagonalt, rektangulärt, från parallellogram).
Rita ett motiv baserat på en nätverkscell med hjälp av symmetriska transformationer.
Konstruktion av en prydnad med det resulterande motivet baserat på det valda rutnätet.
Färgning av prydnaden.
(blädderblock, s. 18, 19 verktygsgardiner på halva sidan, täcker rätt svar)
8. D/z,
n.u p 4.4, p 4.5, kort
s.u s. 79-80, kort
uppgiftsskillnad
Sammanfattningsvis vill jag komma ihåg resultaten av testet som gjordes i början av lektionen. Blaise Pascal sa: "Storhet ligger inte i att gå till ytterligheter, utan i att vidröra två ytterligheter samtidigt och fylla gapet mellan dem. ». Konstnärer och tänkare, fantasifullt och logiskt tänkande. Balans och harmoni mellan dessa ytterligheter kan uppnås endast genom att jämnt utveckla båda egenskaperna hos sig själv. Och bli inte upprörd för dem som hade "PPP" eller "LLL" enligt testresultaten. Kom ihåg att Maurice Escher också till en början var en ensidig personlighet. Du är bara i början av din resa nu. Lycka till!
I trigonometri viktigt konceptär rotationsvinkel. Nedan kommer vi konsekvent att ge en uppfattning om svängen och introducera alla relaterade koncept. Låt oss börja med allmän uppfattning om en sväng, låt oss säga om en hel revolution. Låt oss sedan gå vidare till begreppet rotationsvinkel och överväga dess huvudsakliga egenskaper, såsom rotationsriktningen och storleken på rotationen. Slutligen ger vi definitionen av rotation av en figur runt en punkt. Vi kommer att förse hela teorin i texten med förklarande exempel och grafiska illustrationer.
Sidnavigering.
Vad kallas rotationen av en punkt runt en punkt?
Låt oss omedelbart notera att, tillsammans med frasen "rotation runt en punkt", kommer vi också att använda fraserna "rotation kring en punkt" och "rotation kring en punkt", som betyder samma sak.
Låt oss presentera konceptet att vända en punkt runt en punkt.
Låt oss först definiera rotationscentrum.
Definition.
Den punkt kring vilken rotationen görs kallas rotationscentrum.
Låt oss nu säga vad som händer som ett resultat av att rotera punkten.
Som ett resultat av att vrida en viss punkt A i förhållande till rotationscentrum O, erhålls en punkt A 1 (som, vid ett visst antal, kan sammanfalla med A), och punkt A 1 ligger på en cirkel med en centrum vid punkt O med radien OA. Med andra ord, när den roteras i förhållande till punkt O, går punkt A till punkt A 1 som ligger på en cirkel med centrum i punkt O med radien OA.
Man tror att punkt O, när den vänder sig om sig själv, förvandlas till sig själv. Det vill säga, som ett resultat av rotation runt rotationscentrum O, förvandlas punkt O till sig själv.
Det är också värt att notera att rotationen av punkt A runt punkt O bör betraktas som en förskjutning som ett resultat av rörelsen av punkt A i en cirkel med centrum i punkt O med radien OA.
För tydlighetens skull kommer vi att ge en illustration av rotationen av punkt A runt punkt O i figurerna nedan, vi kommer att visa rörelsen av punkt A till punkt A 1 med hjälp av en pil.
Full tur
Det är möjligt att rotera punkt A i förhållande till rotationscentrum O, så att punkt A, efter att ha passerat alla punkter i cirkeln, kommer att vara på samma plats. I det här fallet säger de att punkt A har flyttat runt punkt O.
Låt oss ge en grafisk illustration av en fullständig revolution.
Om du inte stannar vid ett varv, utan fortsätter att flytta punkten runt cirkeln, kan du utföra två, tre och så vidare hela varv. Ritningen nedan visar hur två hela varv kan göras till höger och tre varv till vänster.
Rotationsvinkel koncept
Av konceptet att rotera en punkt som introducerats i första stycket är det tydligt att det finns ett oändligt antal alternativ för att rotera punkt A runt punkt O. Faktum är att vilken punkt som helst på en cirkel med ett centrum i punkt O med radien OA kan betraktas som punkt A 1 som erhålls som ett resultat av roterande punkt A. Därför, för att skilja en sväng från en annan, introducerar vi begreppet rotationsvinkel.
En av egenskaperna hos rotationsvinkeln är rotationsriktning. Rotationsriktningen avgör om punkten roteras medurs eller moturs.
En annan egenskap hos rotationsvinkeln är dess magnitud. Rotationsvinklar mäts i samma enheter som: grader och radianer är de vanligaste. Det är värt att notera här att rotationsvinkeln kan uttryckas i grader i vilken som helst riktigt nummer från intervallet från minus oändlighet till plus oändlighet, i motsats till vinkeln i geometri, vars värde i grader är positivt och inte överstiger 180.
Används vanligtvis för att indikera rotationsvinklar små bokstäver Grekiska alfabetet: etc. Att indikera stor kvantitet rotationsvinklar, används ofta en bokstav med sänkta, t.ex. 
.
Låt oss nu prata om egenskaperna hos rotationsvinkeln mer detaljerat och i ordning.
Svängriktning
Låt punkterna A och A 1 markeras på en cirkel med centrum i punkt O. Du kan komma till punkt A 1 från punkt A genom att vrida runt mitten O antingen medurs eller moturs. Det är logiskt att betrakta dessa svängar olika.
Låt oss illustrera rotationer i positiv och negativ riktning. Ritningen nedan visar rotation i positiv riktning till vänster och i negativ riktning till höger.
Rotationsvinkelvärde, vinkel av godtyckligt värde
Rotationsvinkeln för en annan punkt än rotationscentrum bestäms helt genom att ange dess storlek, å andra sidan kan man av storleken på rotationsvinkeln bedöma hur denna rotation utfördes.
Som vi nämnde ovan uttrycks rotationsvinkeln i grader som ett tal från −∞ till +∞. I det här fallet motsvarar plustecknet en rotation medurs, och minustecknet motsvarar en rotation moturs.
Nu återstår att fastställa en överensstämmelse mellan värdet på rotationsvinkeln och den rotation den motsvarar.
Låt oss börja med en rotationsvinkel på noll grader. Denna rotationsvinkel motsvarar rörelsen av punkt A mot sig själv. Med andra ord, när den roteras 0 grader runt punkt O, förblir punkt A på plats.
Vi fortsätter till rotationen av punkt A runt punkt O, där rotationen sker inom ett halvt varv. Vi antar att punkt A går till punkt A 1. I detta fall absolutvärde vinkel AOA 1 i grader inte överstiger 180. Om rotationen inträffade i en positiv riktning, anses värdet på rotationsvinkeln vara lika med värdet på vinkeln AOA 1, och om rotationen inträffade i en negativ riktning, anses dess värde vara lika med värdet på vinkeln AOA 1 med ett minustecken. Som ett exempel, här är en ritning som visar rotationsvinklar på 30, 180 och −150 grader.
Rotationsvinklar större än 180 grader och mindre än -180 grader bestäms baserat på följande ganska uppenbara egenskaper hos successiva varv: flera på varandra följande rotationer av punkt A runt centrum O är ekvivalenta med en rotation, vars storlek är lika med summan av dessa rotationer.
Låt oss ge ett exempel som illustrerar denna egenskap. Låt oss rotera punkt A i förhållande till punkt O med 45 grader, och sedan rotera denna punkt med 60 grader, varefter vi roterar denna punkt med -35 grader. Låt oss beteckna de mellanliggande punkterna under dessa svängar som A 1, A 2 och A 3. Vi skulle kunna komma till samma punkt A 3 genom att utföra en rotation av punkt A i en vinkel på 45+60+(−35)=70 grader.
Så vi kommer att representera rotationsvinklar större än 180 grader som flera på varandra följande vinklar, vars summa ger värdet av den ursprungliga rotationsvinkeln. Till exempel motsvarar en rotationsvinkel på 279 grader på varandra följande rotationer på 180 och 99 grader, eller 90, 90, 90 och 9 grader, eller 180, 180 och -81 grader, eller 279 på varandra följande rotationer på 1 grad.
Rotationsvinklar mindre än -180 grader bestäms på liknande sätt. Till exempel kan en rotationsvinkel på -520 grader tolkas som successiva rotationer av punkten med -180, -180 och -160 grader.
Sammanfatta. Vi har bestämt rotationsvinkeln, vars värde i grader uttrycks med något reellt tal från intervallet från −∞ till +∞. Inom trigonometri kommer vi att arbeta specifikt med rotationsvinklar, även om ordet "rotation" ofta utelämnas och de helt enkelt sägs "vinkel". I trigonometri kommer vi alltså att arbeta med vinklar av godtycklig storlek, med vilket vi menar rotationsvinklar.
För att avsluta denna punkt, noterar vi att en hel rotation i positiv riktning motsvarar en rotationsvinkel på 360 grader (eller 2 π radianer), och i en negativ riktning - en rotationsvinkel på -360 grader (eller -2 π rad) . I det här fallet är det lämpligt att representera stora rotationsvinklar som ett visst antal hela varv och en annan rotation i en vinkel som sträcker sig från -180 till 180 grader. Låt oss till exempel ta en rotationsvinkel på 1 340 grader. Det är lätt att föreställa sig 1 340 som 360·4+(−100) . Det vill säga att den initiala rotationsvinkeln motsvarar 4 hela varv i positiv riktning och en efterföljande rotation på -100 grader. Ett annat exempel: en rotationsvinkel på −745 grader kan tolkas som två varv moturs följt av en rotation på −25 grader, eftersom −745=(−360) 2+(−25) .
Rotera en form runt en punkt med en vinkel
Konceptet med att vända en punkt kan lätt utvidgas till rotera vilken form som helst runt en punkt med en vinkel (vi pratar om om en sådan rotation att både den punkt kring vilken rotationen utförs och figuren som roteras ligger i samma plan).
Med att rotera en figur menar vi rotationen av alla punkter i figuren runt en given punkt med en given vinkel.
Som ett exempel, låt oss illustrera följande åtgärd: rotera segmentet AB med en vinkel i förhållande till punkten O detta segment kommer, när det roteras, att gå in i segmentet A 1 B 1.
Bibliografi.
- Algebra: Lärobok för 9:e klass. snitt skola/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Utbildning, 1990.- 272 s.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra och analysens början: Lärobok. för 10-11 årskurser. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Utbildning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 årskurser. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorov - 14:e upplagan - M.: Utbildning, 2004. - 384 s.: ill.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.
