Faktorisering. Primtal och sammansatta tal Faktoriseringsmetoder

Varje naturligt tal, utom ett, har två eller flera delare. Till exempel är talet 7 delbart utan rest endast med 1 och 7, det vill säga det har två delare. Och talet 8 har divisorer 1, 2, 4, 8, det vill säga så många som 4 divisorer på en gång.

Vad är skillnaden mellan primtal och sammansatta tal?

Tal som har mer än två delare kallas sammansatta tal. Tal som bara har två delare: en och själva talet kallas primtal.

Siffran 1 har bara en division, nämligen själva talet. Det ena är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Till exempel är talet 7 primtal och talet 8 är sammansatt.

De första 10 primtalen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Talet 2 är det enda jämna primtalet, alla andra primtal är udda.

Talet 78 är sammansatt, eftersom det förutom 1 och sig självt också är delbart med 2. När det divideras med 2 får vi 39. Det vill säga 78 = 2*39. I sådana fall säger de att antalet räknades in i faktorerna 2 och 39.

Alla sammansatta tal kan delas upp i två faktorer, som var och en är större än 1. Detta trick fungerar inte med ett primtal. Så går det.

Inkludera ett tal i primtalsfaktorer

Som noterats ovan kan vilket sammansatt tal som helst faktoriseras till två faktorer. Låt oss ta till exempel talet 210. Detta tal kan dekomponeras i två faktorer 21 och 10. Men talen 21 och 10 är också sammansatta, låt oss dekomponera dem i två faktorer. Vi får 10 = 2*5, 21=3*7. Och som ett resultat bröts talet 210 upp i 4 faktorer: 2,3,5,7. Dessa tal är redan primtal och kan inte utökas. Det vill säga vi räknade in talet 210 i primtalsfaktorer.

När man faktoriserar sammansatta tal till primtalsfaktorer skrivs de vanligtvis i stigande ordning.

Man bör komma ihåg att vilket sammansatt tal som helst kan dekomponeras i primtalsfaktorer och på ett unikt sätt, upp till permutation.

Vanligtvis används delbarhetskriterier när man delar upp ett tal i primtal.

Låt oss faktorisera talet 378 i primtalsfaktorer

Vi kommer att skriva ner siffrorna, separera dem med en vertikal linje. Talet 378 är delbart med 2, eftersom det slutar på 8. Vid delning får vi talet 189. Summan av siffrorna i talet 189 är delbart med 3, vilket betyder att talet 189 i sig är delbart med 3. Resultatet är 63.

Talet 63 är också delbart med 3, enligt delbarhet. Vi får 21, talet 21 kan återigen delas med 3, vi får 7. Sju delas bara av sig själv, vi får en. Detta slutför uppdelningen. Till höger efter linjen finns de primtalsfaktorer som talet 378 delas upp i.

378|2
189|3
63|3
21|3

Denna online-kalkylator är utformad för att faktorisera en funktion.

Faktorisera till exempel: x 2 /3-3x+12. Låt oss skriva det som x^2/3-3*x+12. Du kan också använda detta service, där alla beräkningar sparas i Word-format.

Till exempel, dekomponera i termer. Låt oss skriva det som (1-x^2)/(x^3+x) . Klicka på Visa steg för att se lösningens framsteg. Om du behöver få resultatet i Word-format, använd detta service.

Notera: talet "pi" (π) skrivs som pi; kvadratrot som sqrt , till exempel sqrt(3) , tangent tg skrivs tan . För att se svaret, se Alternativ.

Om ett enkelt uttryck ges, till exempel 8*d+12*c*d, betyder faktorisering av uttrycket att uttrycket representeras i form av faktorer. För att göra detta måste du hitta gemensamma faktorer. Låt oss skriva detta uttryck som: 4*d*(2+3*c) .
Presentera produkten i form av två binomialer: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Här behöver du redan hitta flera vanliga faktorer: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Vi tar ut (x+7z) och får: (x+7z)(x + 3y) .

se även Dela polynom med ett hörn(alla delningssteg visas i en kolumn)

Användbart när man studerar reglerna för faktorisering kommer att vara förkortade multiplikationsformler, med hjälp av vilken det blir tydligt hur man öppnar hakparenteser:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2 - b 2
a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoriseringsmetoder

Efter att ha lärt sig några tekniker faktorisering Följande klassificering av lösningar kan göras:

Använda förkortade multiplikationsformler.
Att hitta en gemensam faktor.

Allt börjar med geometrisk progression. Vid den första föreläsningen om rader (se avsnitt 18.1. Grundläggande definitioner) har vi bevisat att denna funktion är summan av serien , och serien konvergerar till funktionen vid
. Så,

Låt oss lista flera varianter av denna serie. Byter ut X på - X , vi får

vid byte X på
vi får

etc.; Konvergensregionen för alla dessa serier är densamma:
.

2.
.

Alla derivator av denna funktion vid punkten X =0 är lika
, så ser serien ut

Konvergensområdet för denna serie är hela den numeriska axeln (exempel 6 i avsnittet 18.2.4.3. Konvergensradie, konvergensintervall och konvergensområde för en potensserie), Det är därför
på
. Som en konsekvens återstoden av Taylor-formeln
. Därför konvergerar serien till
När som helst X .

3.
.

Denna serie konvergerar absolut kl

, och dess summa är verkligen lika
. Den återstående termen av Taylor-formeln har formen
, Var
eller
- begränsad funktion, och
(detta är den allmänna termen för den tidigare expansionen).

4.
.

Denna expansion kan erhållas, liksom de tidigare, genom att sekventiellt beräkna derivator, men vi kommer att gå tillväga på ett annat sätt. Låt oss skilja den föregående seriens term för term:

Konvergens till en funktion på hela axeln följer av satsen om term-för-term differentiering av en potensserie.

5. Bevisa självständigt att på hela den numeriska axeln, .

6.
.

Serien för denna funktion kallas binomial serie. Här kommer vi att beräkna derivator.

... Maclaurin-serien har formen

Vi letar efter konvergensintervallet: därför är konvergensintervallet
. Vi kommer inte att studera den återstående termen och seriens beteende vid ändarna av konvergensintervallet; det visar sig att när
Serien konvergerar absolut på båda punkterna
, kl
serien konvergerar villkorligt vid en punkt
och divergerar vid en punkt
, kl
avviker på båda punkter.

7.
.

Här kommer vi att använda det faktum att
. Sedan, efter terminsvis integration,

Konvergensområdet för denna serie är halvintervallet
, konvergens till en funktion vid inre punkter följer av satsen om term-för-term integration av en potensserie, vid punkten X =1 - från kontinuiteten av både funktionen och summan av potensserien vid alla punkter, godtyckligt nära X =1 kvar. Observera att ta X =1, vi hittar summan av serien .

8. Genom att integrera serien term för term får vi en expansion för funktionen
. Utför alla beräkningar själv, skriv ut konvergensregionen.

9. Låt oss skriva ner funktionens expansion
enligt binomialserieformeln med
: . Nämnare
representeras som , dubbelfaktorial
betyder produkten av alla naturliga tal med samma paritet som , inte överstigande . Utbyggnaden konvergerar till funktionen vid
. Att integrera det term för term från 0 till X , vi kommer att ta emot . Det visar sig att denna serie konvergerar till funktionen på hela intervallet
; på X =1 får vi ytterligare en vacker representation av talet :
.

18.2.6.2. Lösa problem som innebär serieutbyggnad av funktioner. De flesta problem där du behöver utöka en elementär funktion till en potensserie
, löses genom att använda standardutvidgningar. Lyckligtvis har varje grundläggande elementär funktion en egenskap som gör att du kan göra detta. Låt oss titta på ett antal exempel.

1. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning. . Serien konvergerar kl
.

2. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning.
. Konvergensområde:
.

3. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning. . Serien konvergerar kl
.

4. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning. . Serien konvergerar kl
.

5. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning. . Konvergensregion
.

6. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning. Expansionen till en serie enkla rationella fraktioner av den andra typen erhålls genom term-för-term differentiering av motsvarande expansioner av fraktioner av den första typen. I det här exemplet. Vidare, genom term-för-term differentiering, kan vi erhålla expansioner av funktionerna
,
etc.

7. Expandera funktionen
gradvis
.

Lösning. Om ett rationellt bråk inte är ett enkelt bråk, representeras det först som summan av enkla bråk:
, och fortsätt sedan som i exempel 5: där
.

Naturligtvis är detta tillvägagångssätt inte tillämpbart, till exempel för att dekomponera funktionen gradvis X . Här, om du behöver få de första termerna i Taylor-serien, är det enklaste sättet att hitta värdena vid punkten X =0 erforderligt antal förstaderivator.

Vad betyder factoring? Hur man gör det? Vad kan du lära dig av att faktorisera ett tal i primfaktorer? Svaren på dessa frågor illustreras med specifika exempel.

Definitioner:

Ett tal som har exakt två olika delare kallas primtal.

Ett tal som har mer än två delare kallas sammansatt.

Att faktorisera ett naturligt tal betyder att representera det som en produkt av naturliga tal.

Att faktorisera ett naturligt tal till primtal betyder att representera det som en produkt av primtal.

Anmärkningar:

Vid sönderdelningen av ett primtal är en av faktorerna lika med en och den andra är lika med själva talet.
Det är meningslöst att tala om att faktorisera enhet.
Ett sammansatt tal kan faktoriseras i faktorer, som var och en skiljer sig från 1.

	Låt oss faktorisera siffran 150. Till exempel är 150 15 gånger 10. 15 är ett sammansatt tal. Det kan inkluderas i primfaktorerna 5 och 3. 10 är ett sammansatt tal. Det kan inkluderas i primfaktorerna 5 och 2. Genom att skriva deras sönderdelning i primtalsfaktorer istället för 15 och 10 fick vi sönderdelningen av talet 150.
	Siffran 150 kan faktoriseras på annat sätt. Till exempel är 150 produkten av siffrorna 5 och 30. 5 är ett primtal. 30 är ett sammansatt tal. Det kan ses som produkten av 10 och 3. 10 är ett sammansatt tal. Det kan inkluderas i primfaktorerna 5 och 2. Vi fick faktoriseringen av 150 till primfaktorer på ett annat sätt.
	Observera att den första och andra expansionen är samma. De skiljer sig endast i ordningen av faktorerna. Det är vanligt att skriva faktorer i stigande ordning.
Varje sammansatt tal kan faktoriseras till primfaktorer på ett unikt sätt, upp till faktorernas ordning.

Använd kolumnnotation när du räknar in stora tal till primtalsfaktorer:

Det minsta primtal som är delbart med 216 är 2.

Dividera 216 med 2. Vi får 108.

Det resulterande talet 108 delas med 2.

Låt oss göra uppdelningen. Resultatet är 54.

Enligt testet av delbarhet med 2 är talet 54 delbart med 2.

Efter att ha dividerat får vi 27.

Siffran 27 slutar med den udda siffran 7. Det

Ej delbart med 2. Nästa primtal är 3.

Dividera 27 med 3. Vi får 9. Minsta primtal

Talet som 9 är delbart med är 3. Tre är i sig ett primtal det är delbart med sig självt och ett. Låt oss dela 3 med oss själva. Till slut fick vi 1.

Ett tal är endast delbart med de primtal som är en del av dess nedbrytning.
Ett tal är bara delbart i de sammansatta tal vars sönderdelning i primtal är helt innesluten i det.

Låt oss titta på exempel:

4900 är delbart med primtalen 2, 5 och 7 (de ingår i expansionen av talet 4900), men är inte delbart med till exempel 13.

11 550 75. Detta beror på att sönderdelningen av siffran 75 är helt innesluten i sönderdelningen av siffran 11550.

Resultatet av divisionen blir produkten av faktorerna 2, 7 och 11.

11550 är inte delbart med 4 eftersom det finns ytterligare två i expansionen av fyra.

Hitta kvoten för att dividera talet a med talet b, om dessa tal delas upp i primtalsfaktorer enligt följande: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Nedbrytningen av talet b är helt innesluten i nedbrytningen av talet a.

Resultatet av att dividera a med b är produkten av de tre talen som finns kvar i expansionen av a.

Så svaret är: 30.

Bibliografi

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6:e klass. - Gymnastiksal. 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bakom sidorna i en lärobok i matematik. - M.: Utbildning, 1989.
Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Inlämningsuppgifter till matematikkursen, årskurs 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. En manual för 6:e klass elever på MEPhI korrespondensskolan. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Lärobok-samtalare för 5-6 årskurser i gymnasiet. - M.: Utbildning, Matematiklärarbiblioteket, 1989.

Internetportal Matematika-na.ru ().
Internetportal Math-portal.ru ().

Läxa

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr 127, nr 129, nr 141.
Övriga arbetsuppgifter: nr 133, nr 144.