Komplex punktrörelse. Tillägg av accelerationer under translationell bärbar rörelse Relativ bärbar

Komplex punktrörelse

Grundläggande koncept

I många problem måste en punkts rörelse betraktas i förhållande till två (eller flera) referenssystem som rör sig i förhållande till varandra.

I det enklaste fallet består den komplexa rörelsen av en punkt av relativ Och bärbar rörelser. Låt oss definiera dessa rörelser.

Låt oss betrakta två referenssystem som rör sig i förhållande till varandra. En referensram O 1 x 1 y 1 z 1 kommer att tas som den huvudsakliga och stationära. Andra referensramen Oxyz kommer att flyttas i förhållande till den första.

Rörelse av en punkt i förhållande till en rörlig referensram Oxyz kallad relativ. Egenskaperna för denna rörelse, såsom bana, hastighet och acceleration, kallas relativ. De anges av indexet r.

Rörelse av en punkt i förhållande till den fasta huvudreferensramen O 1 x 1 y 1 z 1 kallas absolut (eller komplex). Banan, hastigheten och accelerationen för denna rörelse kallas absolut. De är betecknade utan index.

Bärbar En punkts rörelse är den rörelse som den gör tillsammans med en rörlig referensram, som en punkt som är stelt fäst vid detta system vid det aktuella ögonblicket. På grund av den relativa rörelsen sammanfaller den rörliga punkten vid olika tidpunkter med olika punkter på kroppen S, till vilka den rörliga referensramen är fäst. Bärbar hastighet och bärbar acceleration är hastigheten och accelerationen för den punkt i kroppen S från vilken vid det här ögonblicket den rörliga punkten sammanfaller. Bärbar hastighet och acceleration betecknas med ett index e.

Om banorna för alla punkter i kroppen S, fästa vid en rörlig referensram, avbildas i figuren, får vi en familj av linjer - en familj av banor för den bärbara rörelsen av punkt M. På grund av den relativa rörelsen av punkt M vid varje tidpunkt, är den på en av banorna för den bärbara rörelsen.

En och samma absoluta rörelse, som väljer olika rörliga referensramar, kan anses bestå av olika bärbara och följaktligen relativa rörelser.

Hastighetstillägg

Låt oss bestämma hastigheten för den absoluta rörelsen för punkt M om hastigheterna för de absoluta och portabla rörelserna för denna punkt är kända.

Under en kort tidsperiod längs banan kommer punkt M att göra en relativ rörelse som bestäms av vektorn. Själva kurvan, som rör sig tillsammans med de rörliga axlarna, kommer att flyttas till en ny position under samma tidsperiod. Samtidigt kommer den punkt på kurvan som punkten M sammanföll med att utföra en bärbar rörelse. Som ett resultat kommer punkten att flyttas.

Att dela båda sidor av jämlikheten med och passera till gränsen får vi

Tillägg av accelerationer under translationsrörelse.

Låt oss bestämma accelerationen av en punkts absoluta rörelse i det speciella fallet med translationell translationsrörelse.

Teoremet är sant. Om den rörliga referensramen rör sig translationellt i förhållande till den fasta, så har alla punkter på kroppen som är anslutna till detta system samma hastigheter och accelerationer, lika med hastigheten och accelerationen för den rörliga ramen O. Därför, för hastighet och acceleration av den bärbara rörelsen vi har

Låt oss uttrycka den relativa hastigheten i kartesiska koordinater

Genom att ersätta värdena för bärbara och relativa hastigheter i satsen om tillägg av hastigheter får vi

A-priory

Hittills har vi studerat en punkts eller kropps rörelse i förhållande till en given referensram. Men i ett antal fall, när man löser problem med mekanik, visar det sig vara tillrådligt (och ibland nödvändigt) att överväga rörelsen av en punkt (eller kropp) samtidigt i förhållande till två referenssystem, varav det ena anses vara det huvud- eller villkorligt stationär, och den andra rör sig på ett visst sätt i förhållande till den första. Den rörelse som punkten (eller kroppen) utför kallas sammansatt eller komplex. Till exempel kan en boll som rullar längs däcket på ett rörligt ångfartyg anses utföra en komplex rörelse i förhållande till stranden, bestående av att rulla i förhållande till däcket (rörlig referensram) och röra sig tillsammans med ångfartygets däck i förhållande till stranden (fast referensram). På så sätt bryts bollens komplexa rörelse upp i två enklare och mer lättstuderade.

Fig. 48

Tänk på poängen M, rör sig i förhållande till det rörliga referenssystemet Oxyz, som i sin tur på något sätt rör sig i förhållande till ett annat referenssystem, som vi kallar det huvudsakliga eller villkorligt stationära (fig. 48). Vart och ett av dessa referenssystem är naturligtvis associerat med en specifik kropp, som inte visas på ritningen. Låt oss presentera följande definitioner.

1. Rörelse gjord av en punkt M i förhållande till det rörliga referenssystemet (till axlarna Oxyz), kallas relativ rörelse(en sådan rörelse kommer att ses av en observatör som är associerad med dessa axlar och som rör sig med dem). Bana AB, som beskrivs av en punkt i relativ rörelse, kallas en relativ bana. Punkthastighet M i förhållande till axlarna Oxyz kallas relativ hastighet (betecknas med ), och acceleration kallas relativ acceleration (betecknas med ). Av definitionen följer att vid beräkning och det är möjligt att flytta axlarna Oxyz ta inte hänsyn till (anse dem som orörliga).

2. Rörelse utförd av en rörlig referensram Oxyz(och alla punkter i rummet som alltid är förknippade med det) i förhållande till det fasta systemet, är för punkten M bärbar rörelse.

Hastigheten är alltid förknippad med de rörliga axlarna Oxyz poäng m, med vilken den rörliga punkten sammanfaller vid ett givet ögonblick M, kallas punktens överföringshastighet M i detta ögonblick (betecknad med ), och accelerationen av denna punkt m- Bärbar acceleration av en punkt M(betecknas med ). Således,

Om du föreställer dig det relativ rörelse punkter förekommer på ytan (eller insidan) av en solid kropp, till vilken de rörliga axlarna är fast förbundna Oxyz, sedan den bärbara hastigheten (eller accelerationen) för punkten M vid ett givet ögonblick kommer det att finnas hastigheten (eller accelerationen) för den punkt m i kroppen med vilken punkten sammanfaller i detta ögonblick M.

3. Rörelsen som görs av en punkt i förhållande till en fast referensram kallas absolut eller komplex. Bana CD av denna rörelse kallas den absoluta banan, hastigheten kallas absolut hastighet (betecknad med ) och acceleration kallas absolut acceleration (betecknad med ).

I exemplet ovan kommer bollens rörelse i förhållande till ångfartygets däck att vara relativ, och hastigheten kommer att vara bollens relativa hastighet; ångbåtens rörelse i förhållande till stranden kommer att vara en bärbar rörelse för bollen, och hastigheten för den punkt på däck som bollen vidrör vid ett givet ögonblick i tid kommer att vara dess bärbara hastighet i det ögonblicket; slutligen kommer bollens rörelse i förhållande till stranden att vara dess absoluta rörelse, och hastigheten kommer att vara bollens absoluta hastighet.

När du studerar en punkts komplexa rörelse är det användbart att tillämpa "stoppregeln". För att en stationär observatör ska se den relativa rörelsen av en punkt måste den bärbara rörelsen stoppas.

Då uppstår endast relativ rörelse. Relativ rörelse blir absolut. Och vice versa, om du stoppar den relativa rörelsen, kommer den bärbara att bli absolut och en stationär observatör kommer bara att se denna bärbara rörelse.

I det senare fallet, när man bestämmer den bärbara rörelsen av en punkt, avslöjas en mycket viktig omständighet. Den bärbara rörelsen av en punkt beror på det ögonblick då den relativa rörelsen stoppas, på var punkten befinner sig på mediet i det ögonblicket. Eftersom, generellt sett, alla punkter i mediet rör sig olika. Därför är det mer logiskt att avgöra bärbar rörelse av en punkt som den absoluta rörelsen av den punkt i miljön med vilken den rörliga punkten för närvarande sammanfaller.

22.Teorem om addition av hastigheter.

Låt lite poäng M gör en rörelse i förhållande till referenssystemet Oxyz, som själv rör sig på ett godtyckligt sätt med avseende på den stationära referensramen, (fig. 49).

Naturligtvis den absoluta rörelsen av en punkt M bestäms av ekvationerna

Relativ rörelse - i rörliga axlar genom ekvationer

Ris. 10.3.

Det kan inte finnas några ekvationer som bestämmer den bärbara rörelsen för en punkt. Eftersom, per definition, den bärbara rörelsen av en punkt M– detta är rörelsen i förhållande till de fasta axlarna för den punkt i systemet som punkten sammanfaller med för tillfället. Men alla punkter i det rörliga systemet rör sig olika.

Positionen för den rörliga referensramen kan också bestämmas genom att specificera punktens position HANDLA OM radievektor ritad från origo för det fasta referenssystemet och riktningen för enhetsvektorerna för de rörliga axlarna Ox, oj, Oz.

Fig. 49

Godtycklig bärbar rörelse av en rörlig referensram består av translationsrörelse med hastigheten för en punkt HANDLA OM och rörelser runt den momentana rotationsaxeln ELLER passerar genom punkten HANDLA OM, med momentan vinkelhastighet. På grund av den bärbara rörelsen hos den rörliga referensramen ändras radievektorn och enhetsvektorernas riktningar. Om vektorerna ges som en funktion av tiden, är den bärbara rörelsen för den rörliga referensramen fullständigt definierad.

Punktposition M med avseende på den rörliga referensramen kan bestämmas av radievektorn

var är koordinaterna x, y, z poäng M förändras över tiden på grund av en punkts rörelse M i förhållande till den rörliga referensramen. Om radievektorn är specificerad som en funktion av tiden, då punktens relativa rörelse M, dvs. rörelsen av denna punkt i förhållande till den rörliga referensramen ges.

Positionen för punkten M relativt ett fast referenssystem kan bestämmas av radievektorn. Av fig. 49 framgår att

Om den relativa koordinerar x,y,z poäng M och vektorerna definieras som en funktion av tiden, sedan punktens sammansatta rörelse, bestående av relativa och translationella rörelser M, dvs. rörelsen av denna punkt i förhållande till en fast referensram måste också betraktas som given.

Hastighet för sammansatt punktrörelse M, eller den absoluta hastigheten för denna punkt, är uppenbarligen lika med derivatan av punktens radievektor M efter tid t

Därför differentiera jämlikhet (1) med avseende på tid t, vi får

Låt oss dela in termerna på höger sida av denna jämlikhet i två grupper enligt följande kriterium. Den första gruppen inkluderar de termer som endast innehåller derivator av relativa koordinater x,y,z, och till den andra - de termer som innehåller derivat av vektorer, dvs. från kvantiteter som endast ändras på grund av den bärbara rörelsen av den rörliga referensramen

Var och en av grupperna av termer, betecknade med och , representerar, åtminstone i dimension, en viss hastighet. Låt oss ta reda på den fysiska betydelsen av hastigheterna och .

Hastighet, som följer av likhet (3), beräknas under antagandet att endast de relativa koordinaterna ändras x,y,z poäng M, men vektorerna förblir konstanta, dvs. rörlig referensram Oxyz som om den konventionellt anses orörlig. Så hastighet är den relativa hastigheten för en punkt M.

Hastigheten beräknas som en punkt M rörde sig inte i förhållande till den rörliga referensramen, eftersom derivatorna x,y,z ingår inte i jämställdhet (4). Därför är hastigheten punktens portabla hastighet M.

Så, . (5)

Denna likhet uttrycker satsen för att addera hastigheter i fallet när den bärbara rörelsen är godtycklig: den absoluta hastigheten för en punkt M lika med den geometriska summan av de bärbara och relativa hastigheterna för denna punkt.

Exempel 13. ringa M rör sig längs en roterande stång så att (cm) och (rad).

Fig. 50

Det har tidigare fastställts att den relativa rörelsens bana är en rät linje som sammanfaller med staven, och denna rörelse bestäms av ekvationen. Bana för bärbar punktrörelse M vid en tidpunkt t– cirkel med radie .

Därför är den relativa hastigheten . Och den är riktad tangentiellt till banan längs stången (fig. 50). Ringens överföringshastighet, som när den roterar runt en axel, är . Vektorn för denna hastighet är riktad tangentiellt mot den bärbara rörelsens bana, vinkelrätt mot stången.

Ringens absoluta hastighet. Dess storlek, eftersom

23.Accelerationsadditionsteorem. Coriolis acceleration.

Acceleration av en punkts sammansatta rörelse M, eller den absoluta accelerationen av denna punkt, är uppenbarligen lika med derivatan av punktens absoluta hastighet M efter tid t

Därför får vi differentiera jämlikheten med avseende på tid

Låt oss dela in termerna på höger sida av denna jämlikhet i tre grupper.

Den första gruppen inkluderar termer som endast innehåller derivator av relativa koordinater x,y Och z, men som inte innehåller derivat av vektorer:

Den andra gruppen inkluderar termer som endast innehåller derivator av vektorer, men inte derivator av relativa koordinater x,y,z:

Det återstod ytterligare en grupp termer som inte kunde klassificeras som varken den första eller den andra, eftersom de innehåller derivator av alla variabler x,y,z, . Låt oss beteckna denna grupp av termer med:

Var och en av de valda grupperna representerar, åtminstone i dimension, viss acceleration. Låt oss ta reda på den fysiska innebörden av alla tre accelerationerna: .

Acceleration, som framgår av jämlikheten, beräknas som om de relativa koordinaterna x,y,z förändrats över tiden, men vektorerna förblev oförändrade, dvs. rörlig referensram Oxyz verkade vara i vila, men punkt M rörd. Därför är accelerationen punktens relativa acceleration M. Eftersom accelerationen (och hastigheten) för relativ rörelse beräknas under antagandet att den rörliga referensramen är i vila, kan du för att bestämma den relativa accelerationen (och hastigheten) använda alla regler som angivits tidigare i kinematiken för en punkt .

Acceleration, som kan ses av jämlikheten, beräknas under antagandet att själva punkten Mär i vila med avseende på den rörliga referensramen Oxyz(x=konst, y=konst, z=const) och rör sig tillsammans med detta referenssystem i förhållande till det stationära referenssystemet. Därför är acceleration punktens bärbara acceleration M.

Den tredje gruppen termer bestämmer acceleration, som inte kan hänföras till relativ acceleration, eftersom den innehåller i sitt uttryck derivator inte till bärbar acceleration, eftersom den innehåller i sitt uttryck derivator

Låt oss förvandla den högra sidan av jämlikheten, och påminna om det

Att ersätta dessa värden av derivaten med likheterna får vi

Här är vektorn punktens relativa hastighet M, Det är därför

Acceleration kallas Coriolis acceleration. På grund av det faktum att Coriolis-acceleration uppträder vid rotation av en rörlig referensram, kallas det också rotationsacceleration.

Ur fysisk synvinkel förklaras utseendet av rotationsacceleration av en punkt av den ömsesidiga påverkan av bärbara och relativa rörelser.

Så Coriolis-accelerationen för en punkt är lika stor i storlek och riktning med två gånger vektorprodukten vinkelhastighet bärbar rörelse till punktens relativa hastighet.

En jämställdhet som nu kan förkortas som

presenterar satsen för addition av accelerationer i fallet när translationsrörelsen är godtycklig: den absoluta accelerationen för en punkt är lika med vektorsumman av translations-, relativ- och rotationsaccelerationerna. Denna sats kallas ofta för Coriolis-satsen.

Av formeln följer att rotationsaccelerationsmodulen blir

var är vinkeln mellan vektor och vektor. För att bestämma riktningen för rotationsaccelerationen måste du mentalt överföra vektorn till punkten M och vägledas av regeln för vektoralgebra. Enligt denna regel måste vektorn riktas vinkelrätt mot det plan som definieras av vektorerna och , och så att betraktaren från slutet av vektorn kan se den kortaste svängen från att inträffa moturs (fig. 30). vid ett givet ögonblick blir noll.

Dessutom kan rotationsaccelerationen för en punkt uppenbarligen försvinna om:

a) vektorn för punktens relativa hastighet är parallell med vektorn för vinkelhastigheten för den bärbara rotationen, dvs. den relativa rörelsen av punkten sker i en riktning parallell med den bärbara rotationsaxeln;

b) punkten har ingen rörelse i förhållande till den rörliga referensramen eller den relativa hastigheten för punkten vid en given tidpunkt är noll ().

Exempel 14. Låt kroppen snurra runt fast axel z. En punkt rör sig över dess yta M(Fig. 52). Naturligtvis är hastigheten för denna punkts rörelse den relativa hastigheten, och kroppens rotationshastighet är den bärbara rörelsens vinkelhastighet.

Coriolis-accelerationen är riktad vinkelrätt mot dessa två vektorer, enligt riktningsregeln för vektorn för korsprodukten. Så, som visas i fig. 52.

Fig. 52

Det är inte svårt att formulera en mer bekväm regel för att bestämma vektorns riktning: du måste projicera den relativa hastighetsvektorn på ett plan vinkelrätt mot den bärbara rotationsaxeln och sedan rotera denna projektion 90 grader i planet i riktningen av den bärbara rotationen. Den slutliga positionen för vektorprojektionen kommer att indikera riktningen för Coriolis-accelerationen. (Denna regel föreslogs av N.E. Zhukovsky).

Exempel 15.(Låt oss gå tillbaka till exempel 13). Låt oss hitta ringens absoluta acceleration M

Det rör sig i förhållande till något referenssystem, och det i sin tur rör sig i förhållande till ett annat referenssystem. I detta fall uppstår frågan om sambandet mellan punktens rörelser i dessa två referenspunkter.

Vanligtvis väljs en av referenspunkterna som basen ("absolut"), den andra kallas "rörlig" och följande termer introduceras:

absolut rörelse- detta är rörelsen av en punkt/kropp i basen SO.
relativ rörelse- detta är rörelsen av en punkt/kropp i förhållande till ett rörligt referenssystem.
bärbar rörelse- detta är rörelsen av den andra CO i förhållande till den första.

Begreppen motsvarande hastigheter och accelerationer introduceras också. Till exempel är portabel hastighet hastigheten för en punkt på grund av rörelsen av en rörlig referensram i förhållande till den absoluta. Detta är med andra ord hastigheten för en punkt i ett rörligt referenssystem som vid ett givet ögonblick sammanfaller med en materialpunkt.

Det visar sig att när man skaffar en koppling mellan accelerationer i olika system referens, det finns ett behov av att införa ytterligare en acceleration på grund av rotationen av det rörliga referenssystemet:

Vid ytterligare övervägande antas basen CO vara trög, och inga restriktioner åläggs den rörliga.

Klassisk mekanik

Kinematik för komplex punktrörelse

Fart

Huvuduppgifterna för kinematiken för komplex rörelse är att fastställa beroenden mellan de kinematiska egenskaperna för de absoluta och relativa rörelserna hos en punkt (eller kropp) och egenskaperna för rörelsen hos ett rörligt referenssystem, det vill säga bärbar rörelse. För en punkt är dessa beroenden följande: punktens absoluta hastighet är lika med den geometriska summan av de relativa och bärbara hastigheterna, dvs.

Acceleration

Sambandet mellan accelerationer kan hittas genom att differentiera kopplingen för hastigheter, inte att förglömma att koordinatvektorerna för det rörliga koordinatsystemet också kan bero på tid.

Den absoluta accelerationen för en punkt är lika med den geometriska summan av tre accelerationer - relativ, bärbar och Coriolis, det vill säga

Kinematik av komplexa kroppsrörelser

För fast, när alla sammansatta (det vill säga relativa och translationella) rörelser är translationella, är den absoluta rörelsen också translationell med en hastighet lika med den geometriska summan av hastigheterna för de ingående rörelserna. Om komponentrörelserna i en kropp är roterande kring axlar som skär varandra i en punkt (som till exempel i ett gyroskop), så är den resulterande rörelsen också roterande kring denna punkt med en momentan vinkelhastighet lika med den geometriska summan av vinkeln hastigheterna för komponentrörelserna. Om kroppens komponentrörelser är både translationella och roterande, kommer den resulterande rörelsen i det allmänna fallet att bestå av en serie momentana skruvrörelser.

Du kan beräkna förhållandet mellan hastigheterna för olika punkter på en stel kropp i olika referenssystem genom att kombinera formeln för att addera hastigheter och Eulers formel för att relatera hastigheterna för punkter i en stel kropp. Sambandet mellan accelerationerna hittas genom att helt enkelt differentiera den resulterande vektorlikheten med avseende på tid.

Dynamik i komplexa punktrörelser

När man överväger rörelse i en icke-tröghetsreferensram överträds de första 2 Newtonlagarna. För att säkerställa deras formella genomförande introduceras vanligtvis ytterligare, fiktiva (inte faktiskt existerande) tröghetskrafter: centrifugalkraft och Corioliskraft. Uttryck för dessa krafter erhålls från sambandet mellan accelerationer (föregående avsnitt).

Relativistisk mekanik

Fart

Vid hastigheter nära ljusets hastighet är de galileiska transformationerna inte exakt oföränderliga och den klassiska formeln för att lägga till hastigheter upphör att gälla. Istället är Lorentz-transformationerna invarianta, och förhållandet mellan hastigheterna i två tröghetsreferensramar är som följer:

under antagandet att hastigheten är riktad längs x-axeln i systemet S. Det är lätt att se att i gränsen för icke-relativistiska hastigheter reduceras Lorentz-transformationerna till de galileiska transformationerna.

Litteratur

N.G. Chetaev. " Teoretisk mekanik" M.: Vetenskap. 1987. 368 sid.

KOMPLEXA PUNKTENS RÖRELSER

§ 1. Absolut, relativ och portabel rörelse av en punkt

I ett antal fall är det nödvändigt att beakta rörelsen av en punkt i förhållande till koordinatsystemet O 1 ξηζ, som i sin tur rör sig i förhållande till ett annat koordinatsystem Oxy, konventionellt accepterat som stationärt. Inom mekaniken är vart och ett av dessa koordinatsystem associerat med en viss kropp. Överväg till exempel att rulla utan att ett bilhjul glider på en skena. Vi kommer att koppla ihop det fasta koordinatsystemet Ax med skenan, och vi kommer att koppla ihop det rörliga systemet Oξη med mitten av hjulet och anta att det rör sig translationellt. Rörelsen av en punkt på kanten av ett hjul är sammansatt eller komplex.

Låt oss presentera följande definitioner:

1. En punkts rörelse i förhållande till koordinatsystemet Oxyz (fig. 53) kallas absolut.

2. Förflyttning av en punkt i förhållande till ett rörligt koordinatsystem O 1 ξηζ kallas bebodd.

3. En punkts translationella rörelse är rörelsen av den punkten hos en kropp som är associerad med ett rörligt koordinatsystem Oi ξηζ, i förhållande till ett fast koordinatsystem med vilket den aktuella rörliga punkten för närvarande sammanfaller.

Således orsakas bärbar rörelse av rörelsen av ett rörligt koordinatsystem i förhållande till ett fast. I det givna exemplet med ett hjul beror den bärbara rörelsen av en punkt på hjulets kant på koordinatsystemets translationella rörelse Oi ξηζ i förhållande till det fasta koordinatsystemet Axy.

Vi får ekvationerna för en punkts absoluta rörelse genom att uttrycka koordinaterna för punkten x, y, z som en funktion av tiden:

x=x(t), y = y(t), z = z(t).

Ekvationerna för en punkts relativa rörelse har formen

ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).

I parametrisk form uttrycker ekvationerna (11.76) ekvationerna för den absoluta banan och ekvationerna (11.77) - respektive den relativa banans ekvationer.

Det finns också absoluta, portabla och relativa hastigheter och följaktligen absoluta, portabla och relativa accelerationer för en punkt. Absolut hastighet betecknas med υ a, relativ - υ r, bärbar - υ e Följaktligen betecknas accelerationer med: ω a, ω r Och ω e.

Huvuduppgiften för kinematiken för en punkts komplexa rörelse är att fastställa förhållandet mellan en punkts hastigheter och accelerationer i två koordinatsystem: stationär och rörlig.

För att bevisa satser om addition av hastigheter och accelerationer i en punkts komplexa rörelse introducerar vi begreppet lokal eller relativ derivata.

Hastighetsadditionsteorem

Sats . Med komplex (sammansatt) rörelse av en punkt, dess absoluta hastighet υ a lika med vektorsumman av relativen υ r och bärbar υ e hastigheter

Låt punkt M göra samtidiga rörelser i förhållande till de fasta och rörliga koordinatsystemen (Fig. 56). Låt oss beteckna koordinatsystemets vinkelhastighet Оξηζ med ω . Positionen för punkten M bestäms av radievektorn r.

Låt oss fastställa förhållandet mellan hastigheterna för punkt M i förhållande till två koordinatsystem - stationära och rörliga. Baserat på satsen bevisad i föregående stycke

Från kinematiken för en punkt är det känt att den första derivatan av radievektorn för en rörlig punkt i förhållande till tiden uttrycker hastigheten för denna punkt. Därför = r = υ a- absolut hastighet, = υ r- relativ hastighet,

A ω x r = υ e- bärbar hastighet för punkt M. Därför,

υ a= υ r+υ e

Formel (11.79) uttrycker regeln för parallellogram av hastigheter. Vi hittar den absoluta hastighetsmodulen med hjälp av cosinussatsen:

I vissa kinematikproblem är det nödvändigt att bestämma den relativa hastigheten υ r. Från (11.79) följer

υ r= υ a +(- υ e).

För att konstruera en relativ hastighetsvektor måste du alltså geometriskt addera den absoluta hastigheten med en vektor lika med absolutvärde, men motsatt riktningen för överföringshastigheten.

En punkts portabla rörelse är dess rörelse vid det aktuella ögonblicket tillsammans med det rörliga koordinatsystemet i förhållande till ett fast koordinatsystem.

Den portabla hastigheten och portabla accelerationen för en punkt indikeras av indexet e: ,.

Bärbar hastighet (acceleration ) punkt M vid en given tidpunkt kallas en vektor lika med hastigheten
(acceleration
) den punktenmrörligt koordinatsystem med vilket den rörliga punkten M för närvarande sammanfaller(Fig. 8.1).

Låt oss rita radievektorn för koordinaternas ursprung (Fig. 8.1). Av figuren framgår det tydligt

För att hitta den portabla hastigheten för en punkt vid en given tidpunkt är det nödvändigt att differentiera radievektorn förutsatt att punktens koordinater x, y, zändra inte vid en given tidpunkt:

Överföringsaccelerationen är på motsvarande sätt lika med

Således för att bestämma överföringshastigheten och bärbar acceleration vid ett givet ögonblick är det nödvändigt att mentalt stoppa punktens relativa rörelse vid detta ögonblick, bestämma punkten m en kropp som alltid är associerad med ett rörligt koordinatsystem där punkten är belägen i ett stoppat ögonblick M, och beräkna hastigheten och accelerationen för punkten m en kropp som genomgår bärbar rörelse i förhållande till ett fast koordinatsystem.

Ställa in uppgifter för komplexa punktrörelser

1.Direkt uppgift:

Baserat på de givna bärbara och relativa rörelserna för punkten, hitta de kinematiska egenskaperna för punktens absoluta rörelse.

2. Omvänt problem:

Att representera en viss rörelse av en punkt på ett komplext sätt, sönderdela den till relativ och bärbar, och att bestämma de kinematiska egenskaperna hos dessa rörelser. För att lösa detta problem entydigt krävs ytterligare villkor.

Hastighetsadditionsteorem

Absolut punkthastighet bestäms av satsen om tillägg av hastigheter, enligt vilken den absoluta hastigheten för en punkt som utför en komplex rörelse är lika med den geometriska summan av de bärbara och relativa hastigheterna:

Bevis:

För att bestämma den absoluta hastigheten för en punkt, differentierar vi uttrycket till höger (8.4) med avseende på tid, med hjälp av egenskaperna för derivatan av en vektor med avseende på ett skalärt argument:

(8.8)

I det sista uttrycket till vänster representerar de fyra första termerna i formel (8.5) överföringshastigheten , de tre sista termerna i formel (8.1) är den relativa hastigheten . Teoremet är bevisat.

Teorem för addition av accelerationer i bärbar translationsrörelse

Den absoluta accelerationen för en punkt som utför en komplex rörelse under bärbar translationsrörelse är lika med den geometriska summan av den relativa och bärbara accelerationen:

. (8.9)

Bevis:

Låt oss återgå till fig. 8.1. Med bärbar translationell rörelse av orta
ändra inte bara i storlek, utan också i riktning, d.v.s. dessa är konstanta vektorer, och sedan derivator av konstanta vektorer, och sedan derivator av konstanta vektorer är lika med noll, då enligt formel (8.6)

. (8.10)

För att bestämma den absoluta accelerationen för en punkt, differentierar vi radievektorn två gånger (8.4) i tid, med hänsyn till enhetsvektorernas konstantitet
:

I det sista uttrycket representerar den första termen i formeln (8.10) den bärbara accelerationen , och de tre sista enligt formel (8.2) är den relativa accelerationen . Teoremet är bevisat.

Satsen för addition av accelerationer för godtycklig translationsrörelse (Coriolis sats)

Den absoluta accelerationen för en punkt bestäms av Coriolis sats, enligt vilken den absoluta accelerationen för en punkt som utför en komplex rörelse är lika med den geometriska summan av de bärbara, relativa och Coriolisaccelerationerna:

. (8.11)

Coriolis acceleration beräknas med formeln:

, (8.12)

där är vektorn för den bärbara rörelsens vinkelhastighet, är vektorn för punktens relativa hastighet. Riktningen för Coriolis accelerationsvektor bestäms av regeln vektor produkt: Coriolisaccelerationen kommer att riktas vinkelrätt mot det plan som vektorerna ligger i (fig. 8.2), i den riktning från vilken den kortaste svängen från vektorn till vektorn ses ske moturs.

Modulen för Coriolis acceleration är lika med .

Låt oss bevisa giltigheten av satsen för bärbar rotationsrörelse.

Låt det rörliga koordinatsystemet Oxyz roterar runt en axel l med vinkelhastighet
(Fig. 8.3). Under hela rörelsen är punktens radievektorer fortfarande sammankopplade av beroendet

Sedan per definition
, låt oss differentiera uttryck (8.8) med avseende på tid, med hänsyn till egenskaperna hos derivatan av en vektor med avseende på det skalära argumentet:

I det sista uttrycket representerar de första fyra termerna den bärbara accelerationen , representerar de följande tre termerna den relativa hastigheten . Vi betecknar de återstående termerna (*). I uttryck (*) representerar derivatan av varje enhetsvektor med avseende på tid den linjära hastigheten för den punkt för vilken denna enhetsenhet är en radievektor. Till exempel för Orta (Fig. 8.3) hastighet
poäng A dess slut är lika