Begreppen linjärt beroende och oberoende av ett vektorsystem är mycket viktiga när man studerar vektoralgebra, eftersom begreppen dimension och rymdbas är baserade på dem. I den här artikeln kommer vi att ge definitioner, överväga egenskaperna hos linjärt beroende och oberoende, få en algoritm för att studera ett vektorsystem för linjärt beroende och analysera i detalj exempellösningarna.
Sidnavigering.
Bestämning av linjärt beroende och linjärt oberoende av ett vektorsystem.
Låt oss betrakta en uppsättning p n-dimensionella vektorer, beteckna dem enligt följande. Låt oss göra en linjär kombination av dessa vektorer och godtyckliga tal 
(verklig eller komplex): . Baserat på definitionen av operationer på n-dimensionella vektorer, såväl som egenskaperna för operationerna att addera vektorer och multiplicera en vektor med ett tal, kan man hävda att den skrivna linjära kombinationen representerar någon n-dimensionell vektor, det vill säga, .
Så här närmade vi oss definitionen av det linjära beroendet av ett vektorsystem.
Definition.
Om en linjär kombination kan representera en nollvektor då bland talen 
det finns minst en icke-noll, då kallas vektorsystemet linjärt beroende.
Definition.
Om en linjär kombination är en nollvektor endast när alla tal är lika med noll, då kallas vektorsystemet linjärt oberoende.
Egenskaper för linjärt beroende och oberoende.
Utifrån dessa definitioner formulerar och bevisar vi egenskaper för linjärt beroende och linjärt oberoende hos ett vektorsystem.
Om flera vektorer adderas till ett linjärt beroende system av vektorer kommer det resulterande systemet att vara linjärt beroende.
Bevis.
Eftersom vektorsystemet är linjärt beroende, är likhet möjlig om det finns minst ett icke-nolltal från talen . Låt .
Låt oss lägga till fler vektorer till det ursprungliga systemet av vektorer 
, och vi skaffar systemet. Eftersom och , då är den linjära kombinationen av vektorer i detta system av formen
representerar nollvektorn och . Följaktligen är det resulterande systemet av vektorer linjärt beroende.
Om flera vektorer exkluderas från ett linjärt oberoende system av vektorer, kommer det resulterande systemet att vara linjärt oberoende.
Bevis.
Låt oss anta att det resulterande systemet är linjärt beroende. Genom att lägga till alla kasserade vektorer till detta system av vektorer får vi det ursprungliga systemet av vektorer. Tillståndet är linjärt oberoende, men på grund av den tidigare egenskapen linjärt beroende måste det vara linjärt beroende. Vi har kommit fram till en motsägelse, därför är vårt antagande felaktigt.
Om ett system av vektorer har minst en nollvektor, så är ett sådant system linjärt beroende.
Bevis.
Låt vektorn i detta vektorsystem vara noll. Låt oss anta att det ursprungliga systemet av vektorer är linjärt oberoende. Då är vektorlikhet endast möjlig när . Men om vi tar någon , som skiljer sig från noll, kommer likheten fortfarande att vara sann, eftersom . Följaktligen är vårt antagande felaktigt, och det ursprungliga systemet av vektorer är linjärt beroende.
Om ett system av vektorer är linjärt beroende, så uttrycks åtminstone en av dess vektorer linjärt i termer av de andra. Om ett system av vektorer är linjärt oberoende, kan ingen av vektorerna uttryckas i termer av de andra.
Bevis.
Låt oss först bevisa det första påståendet.
Låt vektorsystemet vara linjärt beroende, då finns det åtminstone ett tal som inte är noll och likheten är sann. Denna jämlikhet kan lösas med avseende på , eftersom vi i det här fallet har 
Följaktligen uttrycks vektorn linjärt genom de återstående vektorerna i systemet, vilket är vad som behövde bevisas.
Låt oss nu bevisa det andra påståendet.
Eftersom systemet av vektorer är linjärt oberoende, är likhet endast möjlig för .
Låt oss anta att någon vektor i systemet uttrycks linjärt i termer av de andra. Låt då denna vektor vara . Denna likhet kan skrivas om som , på dess vänstra sida finns en linjär kombination av systemvektorer, och koefficienten framför vektorn skiljer sig från noll, vilket indikerar ett linjärt beroende av det ursprungliga vektorsystemet. Så vi kom till en motsägelse, vilket innebär att egenskapen är bevisad.
Ett viktigt uttalande följer av de två sista egenskaperna:
om ett system av vektorer innehåller vektorer och , där är ett godtyckligt tal, då är det linjärt beroende.
Studie av ett vektorsystem för linjärt beroende.
Låt oss ställa ett problem: vi måste etablera ett linjärt beroende eller linjärt oberoende av ett vektorsystem.
Den logiska frågan är: "hur man löser det?"
Något användbart ur praktisk synvinkel kan man lära sig av definitionerna och egenskaperna för linjärt beroende och oberoende hos ett vektorsystem som diskuterats ovan. Dessa definitioner och egenskaper tillåter oss att fastställa ett linjärt beroende av ett vektorsystem i följande fall:
Vad ska man göra i andra fall, vilka är majoriteten?
Låt oss ta reda på det här.
Låt oss komma ihåg formuleringen av satsen om rangordningen av en matris, som vi presenterade i artikeln.
Sats.
Låta r – rangordningen för matris A av ordningen p efter n, 
. Låt M vara grundmoll i matrisen A. Alla rader (alla kolumner) i matrisen A som inte deltar i bildandet av basmoll M uttrycks linjärt genom raderna (kolumnerna) i matrisen som genererar basmoll M.
Låt oss nu förklara sambandet mellan satsen om rangordningen av en matris och studiet av ett vektorsystem för linjärt beroende.
Låt oss komponera en matris A, vars rader kommer att vara vektorerna för systemet som studeras: 
Vad skulle linjärt oberoende av ett vektorsystem innebära?
Från den fjärde egenskapen för linjärt oberoende av ett vektorsystem vet vi att ingen av systemets vektorer kan uttryckas i termer av de andra. Med andra ord, ingen rad i matris A kommer att uttryckas linjärt i termer av andra rader, därför linjärt oberoende av vektorsystemet kommer att vara ekvivalent med villkoret Rank(A)=p.
Vad betyder ett linjärt beroende av ett vektorsystem?
Allt är väldigt enkelt: åtminstone en rad i matrisen A kommer att uttryckas linjärt i termer av de andra, därför, linjärt beroende av vektorsystemet kommer att vara ekvivalent med villkoret Rank(A)
.
Så problemet med att studera ett vektorsystem för linjärt beroende reduceras till problemet med att hitta rangordningen för en matris som består av vektorer i detta system.
Det bör noteras att för p>n kommer systemet av vektorer att vara linjärt beroende.
Kommentar: vid kompilering av matris A kan systemets vektorer inte tas som rader utan som kolumner.
Algoritm för att studera ett vektorsystem för linjärt beroende.
Låt oss titta på algoritmen med hjälp av exempel.
Exempel på att studera ett vektorsystem för linjärt beroende.
Exempel.
Ett system av vektorer ges. Undersök det för linjärt beroende.
Lösning.
Eftersom vektorn c är noll, är det ursprungliga systemet av vektorer linjärt beroende på grund av den tredje egenskapen.
Svar:
Vektorsystemet är linjärt beroende.
Exempel.
Undersök ett system av vektorer för linjärt beroende.
Lösning.
Det är inte svårt att lägga märke till att koordinaterna för vektorn c är lika motsvarande koordinater vektor multiplicerad med 3, det vill säga . Därför är det ursprungliga systemet av vektorer linjärt beroende.
Linjärt beroende och vektoroberoende
Definitioner av linjärt beroende och oberoende vektorsystem
Definition 22
Låt oss ha ett system med n-vektorer och en uppsättning tal 
, Då
(11)
kallas en linjär kombination av ett givet system av vektorer med en given uppsättning koefficienter.
Definition 23
Vektorsystem 
kallas linjärt beroende om det finns en sådan uppsättning koefficienter 
, varav minst en inte är lika med noll, så att den linjära kombinationen av ett givet system av vektorer med denna uppsättning koefficienter är lika med nollvektorn:
Låta 
, Då
Definition 24 ( genom representationen av en vektor i systemet som en linjär kombination av de andra)
Vektorsystem 
kallas linjärt beroende om åtminstone en av vektorerna i detta system kan representeras som en linjär kombination av de återstående vektorerna i detta system.
Uttalande 3
Definitionerna 23 och 24 är likvärdiga.
Definition 25(via noll linjär kombination)
Vektorsystem 
kallas linjärt oberoende om en linjär nollkombination av detta system endast är möjlig för alla 
lika med noll.
Definition 26(på grund av omöjligheten att representera en vektor i systemet som en linjär kombination av de andra)
Vektorsystem 
kallas linjärt oberoende om inte en av vektorerna i detta system inte kan representeras som en linjär kombination av andra vektorer i detta system.
Egenskaper för linjärt beroende och oberoende vektorsystem
Sats 2 (noll vektor i vektorsystemet)
Om ett vektorsystem har en nollvektor så är systemet linjärt beroende.
Låt 
, Sedan .
Vi får 
, därför per definition av ett linjärt beroende system av vektorer genom en linjär nollkombination (12)
systemet är linjärt beroende.
Sats 3 (beroende delsystem i ett vektorsystem)
Om ett system av vektorer har ett linjärt beroende delsystem, så är hela systemet linjärt beroende.
Låt 
- linjärt beroende delsystem 
, bland vilka minst en inte är lika med noll:
Detta betyder, per definition 23, att systemet är linjärt beroende.
Sats 4
Varje delsystem i ett linjärt oberoende system är linjärt oberoende.
Från motsatsen. Låt systemet vara linjärt oberoende och ha ett linjärt beroende delsystem. Men då, enligt sats 3, kommer hela systemet också att vara linjärt beroende. Motsägelse. Följaktligen kan ett delsystem i ett linjärt oberoende system inte vara linjärt beroende.
Geometrisk betydelse av linjärt beroende och oberoende av ett system av vektorer
Sats 5
Två vektorer 
Och 
är linjärt beroende om och endast om 
.
Nödvändighet.
Och 
- linjärt beroende 
att villkoret är uppfyllt 
. Sedan 
, dvs. 
.
Lämplighet.
Linjärt beroende.
Följd 5.1
Nollvektorn är kolinjär med vilken vektor som helst
Följd 5.2
För att två vektorer ska vara linjärt oberoende är det nödvändigt och tillräckligt att 
var inte kolinjär 
.
Sats 6
För att ett system med tre vektorer ska vara linjärt beroende är det nödvändigt och tillräckligt att dessa vektorer är koplanära .
Nödvändighet.
- är linjärt beroende, därför kan en vektor representeras som en linjär kombination av de andra två.
,
(13)
Där 
Och 
. Enligt parallellogramregeln 
det finns en diagonal av ett parallellogram med sidor 
, men ett parallellogram är en platt figur 
i samma plan 
- är också koplanära.
Lämplighet.
- i samma plan. Låt oss tillämpa tre vektorer på punkt O:
C
B'
– linjärt beroende
Följd 6.1
Nollvektorn är i samma plan som vilket vektorpar som helst.
Följd 6.2
För vektorer 
var linjärt oberoende är det nödvändigt och tillräckligt att de inte är i samma plan.
Följd 6.3
Vilken vektor som helst i ett plan kan representeras som en linjär kombination av två icke-kollinjära vektorer i samma plan.
Sats 7
Alla fyra vektorer i rymden är linjärt beroende .
Låt oss överväga fyra fall:
Låt oss rita ett plan genom vektorer, sedan ett plan genom vektorer och ett plan genom vektorer. Sedan ritar vi plan som går genom punkt D, parallella med vektorparen ; ; respektive. Vi bygger en parallellepiped längs skärningslinjerna för plan 1 O.B. 1 C 1 D.
ABDC ; respektive. Vi bygger en parallellepiped längs skärningslinjerna för plan 1
O.B. 1
C 1
Låt oss överväga 
.
– parallellogram genom konstruktion enligt parallellogramregeln 
Betrakta OADD 1 - ett parallellogram (från egenskapen hos en parallellepiped)
, Då
EMBED Equation.3 . 
Genom sats 1 
sådan att. Sedan
, och per definition 24 är vektorsystemet linjärt beroende.
Följd 7.1
Summan av tre icke-samplanära vektorer i rymden är en vektor som sammanfaller med diagonalen för en parallellepiped byggd på dessa tre vektorer applicerad på ett gemensamt ursprung, och ursprunget för summavektorn sammanfaller med det gemensamma ursprunget för dessa tre vektorer.
Följd 7.2
Om vi tar 3 icke-samplanära vektorer i rymden, så kan vilken vektor som helst i detta rymden dekomponeras till en linjär kombination av dessa tre vektorer.
Med andra ord betyder det linjära beroendet av en grupp vektorer att det finns en vektor bland dem som kan representeras av en linjär kombination av andra vektorer i denna grupp.
Låt oss säga. Sedan Därför vektorn x
linjärt beroende av vektorerna i denna grupp. Därför vektorn, Vektorer, ..., y z kallas linjära oberoende vektorer
α=β= ...= γ=0.
, om det följer av jämlikhet (0) att
Det vill säga grupper av vektorer är linjärt oberoende om ingen vektor kan representeras av en linjär kombination av andra vektorer i denna grupp.
Bestämning av linjärt beroende av vektorer
Efter att ha gjort ett Gaussiskt undantag reducerar vi matrisen (2) till övre triangulär form. Elementen i den sista kolumnen ändras endast när raderna ordnas om. Efter m elimineringssteg får vi:
Där i 1 , i 2 , ..., i m - radindex erhållna genom eventuell permutation av rader. Med tanke på de resulterande raderna från radindexen utesluter vi de som motsvarar nollradsvektorn. De återstående linjerna bildar linjärt oberoende vektorer. Observera att när du komponerar matris (2), genom att ändra sekvensen av radvektorer, kan du få en annan grupp av linjärt oberoende vektorer. Men underrummet som båda dessa grupper av vektorer bildar sammanfaller.
Definition. Linjär kombination av vektorer a 1 , ..., a n med koefficienter x 1 , ..., x n kallas en vektor
x 1 a 1 + ... + x n a n .
trivial, om alla koefficienter x 1 , ..., x n är lika med noll.
Definition. Den linjära kombinationen x 1 a 1 + ... + x n a n kallas icke-trivialt, om åtminstone en av koefficienterna x 1, ..., x n inte är lika med noll.
linjärt oberoende, om det inte finns någon icke-trivial kombination av dessa vektorer lika med nollvektorn.
Det vill säga att vektorerna a 1, ..., a n är linjärt oberoende om x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 om och endast om x 1 = 0, ..., x n = 0.
Definition. Vektorerna a 1, ..., a n kallas linjärt beroende, om det finns en icke-trivial kombination av dessa vektorer lika med nollvektorn.
Egenskaper för linjärt beroende vektorer:
För n-dimensionella vektorer.
n + 1 vektorer är alltid linjärt beroende.
För 2- och 3-dimensionella vektorer.
Två linjärt beroende vektorer är kolinjära. (Kolinjära vektorer är linjärt beroende.)
För 3-dimensionella vektorer.
Tre linjärt beroende vektorer är koplanära. (Tre koplanära vektorer är linjärt beroende.)
Exempel på problem med linjärt beroende och linjärt oberoende av vektorer:
Exempel 1. Kontrollera om vektorerna a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) är linjärt oberoende .
Lösning:
Vektorerna kommer att vara linjärt beroende, eftersom dimensionen på vektorerna är mindre än antalet vektorer.
Exempel 2. Kontrollera om vektorerna a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) är linjärt oberoende.
Lösning:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
subtrahera den andra från den första raden; lägg till en andra rad till den tredje raden:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Denna lösning visar att systemet har många lösningar, det vill säga att det finns en kombination av värden som inte är noll av talen x 1, x 2, x 3 så att den linjära kombinationen av vektorerna a, b, c är lika med nollvektorn, till exempel:
A + b + c = 0
vilket betyder att vektorerna a, b, c är linjärt beroende.
Svar: vektorerna a, b, c är linjärt beroende.
Exempel 3. Kontrollera om vektorerna a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) är linjärt oberoende.
Lösning: Låt oss hitta värdena för koefficienterna vid vilka den linjära kombinationen av dessa vektorer kommer att vara lika med nollvektorn.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Denna vektorekvation kan skrivas som ett system linjära ekvationer
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Låt oss lösa detta system med Gauss-metoden
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
subtrahera den första från den andra raden; subtrahera den första från den tredje raden:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
subtrahera den andra från den första raden; lägg till en andra till den tredje raden.
Uppgift 1. Ta reda på om systemet av vektorer är linjärt oberoende. Systemet av vektorer kommer att specificeras av systemets matris, vars kolumner består av vektorernas koordinater.
.
Lösning. Låt den linjära kombinationen 
lika med noll. Att skriva denna jämlikhet i koordinater får vi följande system ekvationer:
.
Ett sådant ekvationssystem kallas triangulärt. Hon har bara en lösning 
. Därför vektorerna 
linjärt oberoende.
Uppgift 2. Ta reda på om systemet av vektorer är linjärt oberoende.
.
Lösning. linjärt beroende av vektorerna i denna grupp. 
är linjärt oberoende (se uppgift 1). Låt oss bevisa att vektorn är en linjär kombination av vektorer 
. Vektor expansionskoefficienter 
bestäms utifrån ekvationssystemet
.
Detta system, som ett triangulärt, har en unik lösning.
Därför systemet av vektorer 
linjärt beroende.
Kommentar. Matriser av samma typ som i uppgift 1 kallas triangulär , och i problem 2 – steg triangulär . Frågan om det linjära beroendet av ett vektorsystem är lätt att lösa om matrisen som består av koordinaterna för dessa vektorer är stegtriangulär. Om matrisen inte har en speciell form, använd sedan elementära strängkonverteringar , för att bevara linjära relationer mellan kolumnerna, kan den reduceras till en stegtriangulär form.
Elementära transformationer rader matriser (EPS) följande operationer på en matris kallas:
1) omarrangering av linjer;
2) multiplicera en sträng med ett tal som inte är noll;
3) lägga till ytterligare en sträng till en sträng, multiplicerad med ett godtyckligt tal.
Uppgift 3. Hitta det maximala linjärt oberoende delsystemet och beräkna rangordningen för vektorsystemet
.
Lösning. Låt oss reducera systemets matris med hjälp av EPS till en stegtriangulär form. För att förklara proceduren betecknar vi linjen med numret på matrisen som ska transformeras med symbolen. Kolumnen efter pilen indikerar de åtgärder på raderna i matrisen som konverteras som måste utföras för att erhålla raderna i den nya matrisen.
.
Uppenbarligen är de två första kolumnerna i den resulterande matrisen linjärt oberoende, den tredje kolumnen är deras linjära kombination och den fjärde beror inte på de två första. Vektorer 
kallas grundläggande. De bildar ett maximalt linjärt oberoende delsystem av systemet , och systemets rangordning är tre.
Grund, koordinater
Uppgift 4. Hitta basen och koordinaterna för vektorerna i denna bas på den uppsättning geometriska vektorer vars koordinater uppfyller villkoret 
.
Lösning. Uppsättningen är ett plan som passerar genom origo. En godtycklig grund på ett plan består av två icke-kollinjära vektorer. Koordinaterna för vektorerna i den valda basen bestäms genom att lösa motsvarande system av linjära ekvationer.
Det finns ett annat sätt att lösa detta problem, när du kan hitta grunden med hjälp av koordinaterna.
Koordinater 
rum är inte koordinater på planet, eftersom de är relaterade av relationen 
, det vill säga de är inte oberoende. De oberoende variablerna och (de kallas fria) definierar unikt en vektor på planet och därför kan de väljas som koordinater i . Sedan grunden 
består av vektorer som ligger i och motsvarar uppsättningar av fria variabler 
Och 
, det vill säga .
Uppgift 5. Hitta basen och koordinaterna för vektorerna i denna bas på mängden av alla vektorer i rymden vars udda koordinater är lika med varandra.
Lösning. Låt oss välja, som i föregående problem, koordinater i rymden.
Därför att 
, sedan fria variabler 
bestämmer unikt vektorn från och är därför koordinater. Motsvarande bas består av vektorer.
Uppgift 6. Hitta basen och koordinaterna för vektorerna i denna bas på mängden av alla matriser i formen 
, Var 
– godtyckliga siffror.
Lösning. Varje matris från är unikt representerad i formen:
Denna relation är expansionen av vektorn från med avseende på basen 
med koordinater 
.
Uppgift 7. Hitta dimensionen och grunden för det linjära skrovet i ett vektorsystem
.
Lösning. Med hjälp av EPS transformerar vi matrisen från systemvektorernas koordinater till en stegtriangulär form.
.
Kolumner 
de sista matriserna är linjärt oberoende och kolumnerna 
linjärt uttryckt genom dem. Därför vektorerna 
utgöra en grund 
, Och 
.
Kommentar. Grund i väljs tvetydigt. Till exempel vektorer 
också utgöra en grund 
.
