Att producera gemensamma event. Sannolikheten att händelser inträffar. Formel för total sannolikhet

Vi vet redan att sannolikhet är ett numeriskt mått på möjligheten att en slumpmässig händelse inträffar, d.v.s. en händelse som kan eller inte kan inträffa om en viss uppsättning villkor är uppfyllda. När en uppsättning villkor ändras kan sannolikheten för en slumpmässig händelse ändras. Som ytterligare villkor vi kan överväga förekomsten av en annan händelse. Så, om till den uppsättning förhållanden under vilka en slumpmässig händelse inträffar A, lägg till en till, som består i förekomsten av en slumpmässig händelse I, sedan sannolikheten för att händelsen inträffar A kommer att kallas villkorlig.

Villkorlig sannolikhet för händelse A- sannolikheten för att händelse A inträffar, förutsatt att händelse B inträffar. Villkorlig sannolikhet betecknas med (A).

Exempel 16. Det finns 7 vita och 5 svarta bollar i lådan, som endast skiljer sig i färg. Experimentet går ut på att slumpmässigt ta ut en boll och, utan att lägga tillbaka den, ta ut en annan boll. Vad är sannolikheten att den andra dragna bollen är svart om den första dragna bollen är vit?

Lösning.

Före oss är två slumpmässiga händelser: händelse A– den första dragna bollen visade sig vara vit, I– den andra kulan som dras är svart. A och B är inkompatibla händelser, låt oss använda den klassiska definitionen av sannolikhet. Antalet elementära utfall när man drar den första bollen är 12, och antalet gynnsamma utfall för att få den vita bollen är 7. Därför är sannolikheten P(A) = 7/12.

Om den första bollen visar sig vara vit, är den villkorade sannolikheten för händelsen I- utseendet på den andra svarta bollen (förutsatt att den första bollen var vit) är lika med (I)= 5/11, eftersom innan den andra bollen tas ut finns det 11 bollar kvar, varav 5 är svarta.

Observera att sannolikheten för att en svart boll dyker upp vid det andra draget inte skulle bero på färgen på den första bollen som tas ut om vi, efter att ha tagit bort den första bollen, lägger tillbaka den i rutan.

Betrakta två slumpmässiga händelser A och B. Låt sannolikheterna P(A) och (B) vara kända. Låt oss bestämma sannolikheten för att både händelse A och händelse B inträffar, dvs. produkter från dessa evenemang.

Sannolikhetsmultiplikationssats. Sannolikheten för att två händelser inträffar är lika med produkten av sannolikheten för en av dem och den villkorliga sannolikheten för den andra, beräknad under förutsättning att den första händelsen inträffade:

P(A×B) = P(A)×(B) .

Eftersom för att beräkna sannolikheten för en produkt spelar det ingen roll vilken av de övervägda händelserna A Och I vilket var det första och vilket var det andra, kan vi skriva:

P(A×B) = P(A) × (B) = P(B) × (A).

Satsen kan utökas till en produkt av n händelser:

P(AiA2. Ap) = P(Ax) P(A2/A1) .. P(Ap/AiA2 ... A p-1).

Exempel 17. För villkoren i det föregående exemplet, beräkna sannolikheten för att dra två bollar: a) den vita bollen först och den svarta bollen sedan; b) två svarta kulor.

Lösning.

a) Från föregående exempel vet vi sannolikheterna för att få ut den vita bollen ur lådan först och den svarta bollen sedan, förutsatt att den vita bollen drogs ut först. För att beräkna sannolikheten för att båda händelserna ska inträffa samtidigt använder vin: P(A×B) = P(A) × (B)= .

b) På samma sätt beräknar vi sannolikheten att dra två svarta kulor. Sannolikhet att få den svarta bollen först . Sannolikheten att dra en svart boll en andra gång, förutsatt att vi inte lägger tillbaka den första svarta bollen som tas ut i rutan (det finns 4 svarta bollar kvar, och det finns 11 bollar totalt). Den resulterande sannolikheten kan beräknas med hjälp av formeln P(A×B)= P(A) × (B) 0,152.

Shar en enklare form om händelserna A och B är oberoende.

Händelse B sägs vara oberoende av händelse A om sannolikheten för händelse B inte ändras oavsett om händelse A inträffar eller inte. Om händelse B är oberoende av händelse A, är dess villkorade sannolikhet (B) lika med den vanliga sannolikheten P(B):

Det visar sig att om händelsen I kommer att vara oberoende av händelsen A, sedan händelsen A kommer att vara oberoende av I, dvs. (A)= P(A).

Låt oss bevisa det. Låt oss ersätta jämställdheten från definitionen av oberoende av en händelse I från evenemanget A tilln: P(A×B) = P(A)×(B)= P(A)×(B). Men å andra sidan P(A×B)= P(B) × (A). Medel P(A) × (B)= P(B) × (A) Och (A)= P(A).

Således är egenskapen för oberoende (eller beroende) av händelser alltid ömsesidig och följande definition kan ges: två händelser kallas oberoende, om utseendet på en av dem inte ändrar sannolikheten för utseendet på den andra.

Det bör noteras att händelsernas oberoende baseras på oberoendet fysisk natur deras ursprung. Detta innebär att uppsättningarna av slumpmässiga faktorer som leder till ett eller annat utfall av att testa en och annan slumpmässig händelse är olika. Så att till exempel träffa ett mål av en skytt påverkar inte på något sätt (såvida du inte kommer på några exotiska skäl) på sannolikheten att träffa målet av den andra skytten. I praktiken inträffar oberoende händelser mycket ofta, eftersom orsakssambandet mellan fenomen i många fall är frånvarande eller obetydligt.

Sannolikhetsmultiplikationssats för oberoende händelser. Sannolikheten för produkten av två oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheten för dessa händelser: P(A×B) = P(A) × P(B).

Följande följd följer av sför oberoende händelser.

Om händelserna A och B är inkompatibla och P(A)¹0, P(B)¹0, så är de beroende.

Låt oss bevisa detta genom motsägelse. Låt oss anta att oförenliga händelser A Och I oberoende. Sedan P(A×B) = P(A)×P(B). Och sedan P(A)10, P(B)110, dvs. händelser A Och Iär alltså inte omöjligt P(A×B)¹0. Men å andra sidan händelsen Až Iär omöjligt som ett verk inte gemensamma evenemang(detta diskuterades ovan). Medel P(A×B)=0. fick en motsägelse. Därför är vårt ursprungliga antagande felaktigt. Händelser A Och I– beroende.

Exempel 18. Låt oss nu återgå till det olösta problemet med två skyttar som skjuter mot samma mål. Låt oss komma ihåg att om sannolikheten att träffa målet av den första skytten är 0,8 och den andra är 0,7, är det nödvändigt att hitta sannolikheten att träffa målet.

Händelser A Och I– att träffa målet av den första respektive andra skytten är därför gemensamma för att hitta sannolikheten för summan av händelser A + I– träffa målet med minst en skytt – du måste använda formeln: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(Až I). Händelser A Och I oberoende alltså P(A×B) = P(A) × P(B).

Så, P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B).

P(A+B)= 0,8 + 0,7 – 0,8×0,7 = 0,94.

Exempel 19.

Två oberoende skott avlossas mot samma mål. Sannolikheten för en träff på det första skottet är 0,6 och på det andra - 0,8. Hitta sannolikheten att träffa målet med två skott.

1) Låt oss beteckna en träff på det första skottet som en händelse
A 1, med den andra - som händelsen A 2.

Att träffa målet kräver minst en träff: antingen endast med det första skottet, eller bara med det andra, eller med både det första och andra skottet. Därför kräver problemet att bestämma sannolikheten för summan av två gemensamma händelser A 1 och A 2:

P(Ai + A2) = P(Ai) + P(A2) - P(AiA2).

2) Eftersom händelserna är oberoende, så är P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2).

3) Vi får: P(A 1 + A 2) = 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 = 0,92.
Om händelserna är inkompatibla, då P(A B) = 0 och P(A + B) = = P(A) + P(B).

Exempel 20.

Urnan innehåller 2 vita, 3 röda och 5 blå bollar av samma storlek. Vad är sannolikheten för att en boll som slumpmässigt dragits från en urna kommer att färgas (inte vit)?

1) Låt händelse A vara borttagandet av en röd boll från urnan,
händelse B - rita den blå bollen. Sedan händelse (A + B)
det är utvinning av en färgad kula från en urna.

2) P(A) = 3/10, P(B) = 5/10.

3) Händelser A och B är inkompatibla, eftersom endast
en boll. Då: P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Exempel 21.

Urnan innehåller 7 vita och 3 svarta kulor. Vad är sannolikheten att: 1) dra en vit boll från urnan (händelse A); 2) ta bort en vit kula från urnan efter att ha tagit bort en kula från den, som är vit (händelse B); 3) ta bort en vit kula från urnan efter att ha tagit bort en kula från den, vilken är svart (händelse C)?

1) P(A) = = 0,7 (se klassisk sannolikhet).

2)P B(A) = = 0,(6).

3) RS (A) = | = 0,(7).

Exempel 22.

Mekanismen är sammansatt av tre identiska delar och anses inte fungera om alla tre delarna misslyckas. Det finns 15 delar kvar i monteringsverkstaden, varav 5 är icke-standardiserade (defekta). Vad är sannolikheten för att en mekanism som är sammansatt av de återstående delarna tagna slumpmässigt inte fungerar?

1) Låt oss beteckna den önskade händelsen med A, valet av den första icke-standardiserade delen med A 1, den andra med A 2, den tredje med A 3

2) Händelse A kommer att inträffa om både händelse A 1, händelse A 2 och händelse A 3 inträffar, dvs.

A = A 1 A 2 A 3,

eftersom det logiska "och" motsvarar en produkt (se avsnittet "Propositionalgebra. Logiska operationer").

3) Händelser A 1, A 2, A 3 är beroende, därför P(A 1 A 2 A 3) =
= P(Ai) P(A2/A1) P(A3/A1A2).

4)P(Ai) = ,P(A2/A1) = ,P(A3/AiA2)=. Sedan

P(AiA2A3) = 0,022.

För oberoende händelser: P(A B) = P(A) P(B).

Baserat på ovanstående är kriteriet för oberoende av två händelser A och B:

P(A) = P B (A) = P (A), P (B) = P A (B) = P (B).

Exempel 23.

Sannolikheten att träffa målet av den första skytten (händelse A) är 0,9, och sannolikheten att träffa målet av den andra skytten (händelse B) är 0,8. Vad är sannolikheten att målet kommer att träffas av minst en skytt?

1) Låt C vara händelsen av intresse för oss; den motsatta händelsen är att båda skyttarna missar.

3) Eftersom när man skjuter en skytt inte stör den andra, är händelserna oberoende.

Vi har: P() = P() P() = =(1 - 0,9) (1 - 0,8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) P(C) = 1 -P() = 1 -0,02 = 0,98.

Total sannolikhetsformel

Låt händelse A inträffa som ett resultat av manifestationen av en och endast en händelse H i (i = 1,2,... n) från någon komplett grupp av oförenliga händelser H 1, H 2,... H n. Händelser i denna grupp brukar kallas hypoteser.

Formel för total sannolikhet. Sannolikheten för händelse A är lika med summan av parade produkter av sannolikheterna för alla hypoteser som bildar en komplett grupp med motsvarande betingade sannolikheter för en given händelse A:

P(A) = , där = 1.

Exempel 24.

Det finns 3 identiska urnor. Den första urnan innehåller 2 vita och 1 svarta bollar, den andra urnan innehåller 3 vita och 1 svarta bollar, och den tredje urnan innehåller 2 vita och 2 svarta bollar. 1 boll väljs från en slumpmässigt vald urna. Vad är sannolikheten att han blir vit?

Alla urnor anses vara lika, därför är sannolikheten för att välja den i:te urnan

Р(Hi) = 1/3, där i = 1, 2, 3.

2) Sannolikhet att dra en vit boll från den första urnan: (A) = .

Sannolikhet att dra en vit boll från den andra urnan: (A) = .

Sannolikhet att dra en vit boll från den tredje urnan: (A) = .

3) Den nödvändiga sannolikheten:

P(A) = =0.63(8)

Exempel 25.

Butiken tar emot produkter till försäljning från tre fabriker, vars relativa andelar är: I - 50%, II - 30%, III - 20%. För fabriksprodukter är defekterna: I - 2%, P - 2%, III - 5%. Vad är sannolikheten för att en produkt av denna produkt, som av misstag köpts i en butik, visar sig vara av god kvalitet (händelse A)?

1) Följande tre hypoteser är möjliga här: H 1, H 2, H 3 -
den köpta varan tillverkades i respektive fabriker I, II, III; systemet med dessa hypoteser är komplett.

Sannolikheter: P(H 1) = 0,5; P(H2) = 0,3; P(H3) = 0,2.

2) Motsvarande villkorade sannolikheter för händelse A är: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (A) = = 1-0,05 = 0,95.

3) Enligt totalsannolikhetsformeln har vi: P(A) = 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 = 0,971.

Posterior sannolikhetsformel (Bayes formel)

Låt oss överväga situationen.

Det finns en komplett grupp av inkonsekventa hypoteser H 1, H 2, ... H n, vars sannolikheter (i = 1, 2, ... n) är kända före experimentet (a priori sannolikheter). Ett experiment (test) utförs, som ett resultat av vilket förekomsten av händelse A registreras, och det är känt att våra hypoteser tilldelade denna händelse vissa sannolikheter (i = 1, 2, ... n). Vilka är sannolikheterna för dessa hypoteser efter experimentet (a posteriori sannolikheter)?

Svaret på en liknande fråga ges av den bakre sannolikhetsformeln (Bayes formel):

, där i=1,2, ...s.

Exempel 26.

Sannolikheten att träffa ett flygplan med ett enda skott för det första missilsystemet (händelse A) är 0,2 och för det andra (händelse B) - 0,1. Vart och ett av komplexen skjuter ett skott och en träff registreras på planet (händelse C). Vad är sannolikheten att det lyckade skottet tillhör det första missilsystemet?

Lösning.

1) Före experimentet är fyra hypoteser möjliga:

H 1 = A B - planet träffas av det första komplexet och planet träffas av det andra komplexet (produkten motsvarar det logiska "och"),

H 2 = A B - planet träffas av det första komplexet och planet träffas inte av det andra komplexet,

H 3 = A B - planet träffas inte av det första komplexet och planet träffas av det andra komplexet,

H 4 = A B - planet träffas inte av 1:a komplexet och planet träffas inte av 2:a komplexet.

Dessa hypoteser bildar en komplett grupp av händelser.

2) Motsvarande sannolikheter (med oberoende verkan av komplex):

P(Hi) = 0,2 0,1 = 0,02;

P(H2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

P(H3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;

P(H4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.

3) Eftersom hypoteserna utgör en komplett grupp av händelser måste likheten = 1 vara uppfylld.

Vi kontrollerar: P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) + P(H 4) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, alltså är den aktuella gruppens hypotes korrekt.

4) Villkorliga sannolikheter för den observerade händelsen C under dessa hypoteser kommer att vara: (C) = 0, eftersom enligt villkoren för problemet registrerades en träff, och hypotesen H 1 antar två träffar:

(C) = 0, eftersom en träff enligt villkoren för problemet registrerades, och hypotes H 4 antar frånvaron av träffar. Därför elimineras hypoteserna H 1 och H 4.

5) Sannolikheterna för hypoteserna H 2 och H 3 beräknas med Bayes formel:

0,7, 0,3.

Sålunda kan man med en sannolikhet på cirka 70 % (0,7) konstatera att det lyckade skottet tillhör det första missilsystemet.

5.4. Slumpvariabler. Fördelningslag för en diskret stokastisk variabel

Ganska ofta i praktiken övervägs sådana tester, som ett resultat av vilket ett visst antal erhålls slumpmässigt. Till exempel, när du kastar en tärning får du ett antal poäng från 1 till 6 när du tar 6 kort från en kortlek, får du från 0 till 4 ess. Under en viss tid (säg en dag eller en månad) registreras ett visst antal brott i staden, ett visst antal trafikolyckor inträffar. En pistol avfyras. Projektilens flygräckvidd får också ett slumpmässigt värde.

I alla ovan listade tester står vi inför så kallade slumpvariabler.

Numeriskt värde, som tar ett eller annat värde som ett resultat av genomförandet av testet slumpmässigt, kallas slumpmässig variabel.

Konceptet med en slumpvariabel spelar en mycket viktig roll viktig roll i sannolikhetsteorin. Om den "klassiska" sannolikhetsteorin studerade främst slumpmässiga händelser, Det modern teori Sannolikheter handlar i första hand om slumpvariabler.

I det följande kommer vi att beteckna slumpvariabler med stora latinska bokstäver X, Y, Z, etc., och deras möjliga värden med motsvarande gemener x, y, z. Till exempel om slumpmässig variabel har tre möjliga betydelser, kommer vi att beteckna dem på följande sätt: , , .

Så exempel på slumpvariabler kan vara:

1) antalet poäng rullade på tärningens översida:

2) antalet ess när man tar 6 kort från leken;

3) antalet registrerade brott per dag eller månad;

4) antalet träffar på målet med fyra skott från en pistol;

5) avståndet som en projektil kommer att färdas när den avfyras från en pistol;

6) längden på en slumpmässig person.

Du kan märka att i det första exemplet kan den slumpmässiga variabeln ta ett av sex möjliga värden: 1, 2, 3, 4, 5 och 6. I det andra och fjärde exemplet är antalet möjliga värden för den slumpmässiga variabeln fem: 0, 1, 2, 3, 4 I det tredje exemplet kan värdet på den slumpmässiga variabeln vara vilket som helst (teoretiskt) naturligt tal eller 0. I det femte och sjätte exemplet kan den slumpmässiga variabeln ta vilket reellt värde som helst från ett visst intervall ( A, b).

Om en slumpvariabel kan ta en ändlig eller räknebar uppsättning värden, så kallas den separat(diskret fördelat).

Kontinuerlig En slumpvariabel är en slumpvariabel som kan ta alla värden från ett visst ändligt eller oändligt intervall.

För att ange en slumpvariabel räcker det inte att lista dess möjliga värden. Till exempel, i det andra och tredje exemplet kan de slumpmässiga variablerna ta samma värden: 0, 1, 2, 3 och 4. Sannolikheterna med vilka dessa slumpvariabler tar sina värden kommer dock att vara helt olika. Därför, för att ange en diskret slumpmässig variabel, förutom listan över alla möjliga värden, måste du också ange deras sannolikheter.

Överensstämmelsen mellan möjliga värden för en slumpvariabel och deras sannolikheter kallas distributionslag diskret slumpvariabel. , …, X=

Fördelningspolygonen, liksom fördelningsserien, kännetecknar helt den slumpmässiga variabeln. Det är en av formerna för distributionslagen.

Exempel 27. Ett mynt kastas slumpmässigt. Konstruera en rad och polygon för fördelningen av antalet tappade vapen.

En slumpvariabel lika med antalet tappade vapensköldar kan ha två värden: 0 och 1. Värde 1 motsvarar händelsen - förlusten av ett vapen, värde 0 - förlusten av huvuden. Sannolikheterna att få ett vapen och få en svans är lika och lika. Dessa. sannolikheterna med vilka en slumpvariabel tar värdena 0 och 1 är lika. Distributionsserien ser ut så här:

X
sid

Definition. Produkt eller korsning händelser A och B är en händelse som består av att händelser A och B inträffar samtidigt. Produktens beteckning: AB eller A B.

Exempel. Att träffa målet två gånger är resultatet av två händelser. Svaret på båda frågorna på examensbiljetten är resultatet av två evenemang.

Händelser A och B kallas oförenlig, om deras produkt är en omöjlig händelse, dvs. AB = V.

Händelser A - förlusten av ett vapen och B - förlusten av ett nummer under en enda kast av ett mynt kan inte inträffa samtidigt, deras skapelse är en omöjlig händelse, händelser A och B är oförenliga.

Begreppen summa och produkt av händelser har en tydlig geometrisk tolkning.

Ris. 6.4. Geometrisk tolkning av produkten (a) och summan (b) av två gemensamma händelser

Låt händelse A vara en uppsättning punkter i område A; händelse B är en uppsättning punkter i område B. Det skuggade området motsvarar händelse AB i fig. 6.4,a; händelse i fig. 6.4, b.

För inkompatibla händelser A och B har vi: AB = V (Fig. 6.5, a). Händelse A+B motsvarar det skuggade området i Fig. 6.5, b.

Ris. 6.5. Geometrisk tolkning av produkten (a) och summan (b) av två oförenliga händelser

Evenemang kallas motsatt, om de är oförenliga och totalt sett utgör de en tillförlitlig händelse, dvs.

Låt oss till exempel skjuta ett skott mot ett mål: händelse - skytten träffade målet, missade; ett mynt kastas: händelse – huvuden faller, − antalet faller; skolbarn skriver ett test: händelse - inte ett enda misstag i provarbete, − det finns fel i testarbetet; eleven kom för att göra provet: händelse A - klarade provet, - klarade inte provet.

Det finns killar och tjejer i klassen, utmärkta elever, duktiga elever och C-elever, studerar engelska och tyska. Låt evenemanget M vara en pojke, O vara en utmärkt student, A vara en student engelska språket. Kan en slumpmässig elev som går ut ur klassen vara en pojke, en utmärkt elev och en engelsklärare? Detta kommer att vara produkten eller skärningspunkten för MOA-händelser.

Exempel. De kastar en tärning - en kub gjord av ett homogent material, vars sidor är numrerade. Observera antalet (antal punkter) som visas på den övre kanten. Låt händelse A vara utseendet på ett udda tal, och händelse B vara utseendet på ett tal som är en multipel av tre. Hitta resultaten som utgör varje händelse: U, A, A+B, AB och ange deras betydelse.

Lösning. Utfall – utseendet på den övre kanten av någon av siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6. Uppsättningen av alla utfall utgör utrymmet för elementära händelser. Det är tydligt att händelse , händelse

En händelse är förekomsten av antingen ett udda tal eller en multipel av tre. När man listar utfallen tar man hänsyn till att varje utfall endast kan ingå i uppsättningen en gång.

Händelsen är uppkomsten av både ett udda tal och en multipel av tre.

Exempel. Verifierad läxa tre elever. Låt händelsen vara slutförandet av en uppgift av eleven. Vad är meningen med händelserna: och ?

Lösning. Händelse – slutförande av en uppgift av minst en elev, d.v.s. eller vilken elev som helst (eller den första, eller den andra eller den tredje), eller vilken som helst två eller alla tre.

Händelse - uppgiften slutfördes inte av någon elev: varken den första, den andra eller den tredje. Händelse – slutförande av en uppgift av tre elever: den första, den andra och den tredje.

När man överväger att flera händelser gemensamt inträffar kan det finnas fall där inträffandet av en av dem påverkar möjligheten att en annan inträffar. Till exempel, om dagen är solig på hösten, är det mindre troligt att vädret blir dåligt (det kommer att börja regna). Om solen inte syns så är chansen större att det regnar.

Definition. Händelse A kallas oberoende från händelse B, om sannolikheten för händelse A inte ändras beroende på om händelse B inträffade eller inte. Annars kallas händelse A beroende av händelse B. Två händelser A och B anropas oberoende, om sannolikheten för en av dem inte beror på förekomsten eller icke-förekomsten av den andra, beroende - annars. Händelser kallas parvis oberoende om varannan av dem är oberoende av varandra.

Sats. (Sannolikhetsmultiplikation) Sannolikheten för produkten av två oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser:

P(A·B)=P(A)·P(B)

Detta teorem är giltigt för vilket ändligt antal händelser som helst, förutsatt att de är kollektivt oberoende, dvs. sannolikheten för någon av dem beror inte på om den andra av dessa händelser inträffade eller inte.

Exempel. Studenten gör tre prov. Sannolikhet framgångsrikt slutförande det första provet är 0,9, det andra är 0,65, det tredje är 0,35. Hitta sannolikheten att han kommer att misslyckas på minst ett prov.

Lösning: Låt oss beteckna händelsen som en student som inte klarade minst ett prov. Då P(A) = 1- P(ùA), där ùA är den motsatta händelsen: studenten klarade alla prov. Eftersom godkänt på varje prov inte är beroende av andra prov, då P(A)=1-P(ùA)= 1- 0,9*0,65*0,35=0,7953.

Definition. Sannolikheten för händelse A, beräknad givet att händelse B inträffar, kallas betingad sannolikhet händelse A är föremål för förekomsten av B och betecknas med P B (A) eller P (A/B).

Sats Sannolikheten för förekomsten av en produkt av två händelser är lika med produkten av sannolikheten för en av dem och den villkorade sannolikheten för den andra, beräknad under förutsättning att den första händelsen inträffade:

Р(А·В)=Р(А)·Р А (В)=Р(В)·Р В (А).(*)

Exempel. En elev drar en lott av 34 två gånger. Hur stor är sannolikheten att han klarar provet om han har förberett 30 lotter och drar en misslyckad lott första gången?

Lösning: Låt händelse A vara att en misslyckad lott drogs första gången, och händelse B vara att en lyckad lott drogs andra gången. Därefter A·B – studenten klarar provet (under angivna omständigheter). Händelser A och B är beroende, eftersom sannolikheten för att välja en lyckad biljett vid det andra försöket beror på resultatet av det första valet. Därför använder vi formel (6):

P(A·B) = P(A)·RA(B) = (4/34)*(30/33)= 20/187

Observera att sannolikheten som erhålls i lösningen är ≈0,107. Varför är sannolikheten att klara provet så låg om du lär dig 30 av 34 biljetter och får två försök?!

Sats. (Utökad additionssats) Sannolikheten för summan av två händelser är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser utan sannolikheten för att de inträffar gemensamt (produkt):

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B).

Exempel. Två elever löser ett problem. Sannolikheten att den första eleven löser problemet (händelse A) är 0,9; sannolikheten att den andra eleven löser problemet (händelse B) är 0,8. Vad är sannolikheten att problemet löses?

När vi hittade sannolikheterna för händelser använde vi klassisk definition sannolikheter.

Låt oss börja med uppgiften.

Låt oss säga att sannolikheten för att du får ett A på ett test är 0,5 och ett B är 0,3. Vad är sannolikheten att du får en 4:a eller en 5:a på provet?

Vissa kommer omedelbart att utbrista: "0,8", men varför exakt? Varför till exempel inte 0,15 (multiplicerat, inte tillagt)? Låt oss ta reda på det.

Anta att det finns någon erfarenhet som har resultat. Av dessa är förekomsten av händelser gynnsam, och händelsen är gynnsam. Det är inte svårt att använda formeln för att hitta sannolikheterna för förekomsten av var och en av händelserna - dessa är respektive och . Men vad är sannolikheten att antingen den första händelsen eller den andra inträffar? Med andra ord letar vi efter sannolikheten för att kombinera dessa händelser. För att göra detta måste vi ta reda på hur många gynnsamma resultat vi har. ? Inte riktigt. Det kan trots allt hända att dessa händelser exekveras samtidigt.

Antag sedan att händelserna är osammanhängande, det vill säga att de inte kan utföras samtidigt. Då får vi att gynnsamma resultat för enande - . Detta innebär att sannolikheten för enande kommer att vara lika med:

Sannolikheten för att kombinera inkompatibla händelser är lika med summan av deras sannolikheter.

Observera: här vi pratar om om ETT experiment, som ett resultat av vilket antingen den första händelsen eller den andra kan inträffa, men inte båda samtidigt.

Speciellt i exemplet med provet förstår vi att en elev inte samtidigt kan få både 5 och 4 för provet (vi pratar om ett betyg på samma prov), vilket betyder att sannolikheten att han får 4 eller 5 är lika med summan av sannolikheterna, det vill säga trots allt 0,8.

Svar: 0,8.

Men vad händer om händelserna skär varandra, det vill säga det finns utfall som är gynnsamma för dem båda? Denna situation kommer att diskuteras i slutet av lektionen.

2. Matematiskt forum Math Help Planet ()

3. Webbplats "Matematik som jag gillar" ()

Läxa

1. Två skyttar skjuter mot ett mål. Den första skytten träffar målet med en sannolikhet på 0,9. Den andra skytten träffar målet med en sannolikhet på 0,8. Hitta sannolikheten att målet kommer att träffas.

2. Ett slumpmässigt experiment består av att kasta två tärningar. En av tärningarna är färgad blå, den andra är röd. Hitta sannolikheten att den blå tärningen slår siffran 3 och den röda tärningen slår siffran 4.

Sats.(Sannolikhetsmultiplikation) Sannolikheten för att två händelser inträffar (den gemensamma förekomsten av dessa händelser) är lika med produkten av sannolikheten för en av dem med den villkorliga sannolikheten för den andra, beräknad under förutsättning att den första händelsen redan har inträffat.

Du kan också skriva:

Beviset för denna sats följer direkt av definitionen av betingad sannolikhet.

Om händelserna är oberoende, alltså , och shar formen:

I fallet med förekomsten av flera beroende händelser är sannolikheten lika med produkten av en av dem med de villkorade sannolikheterna för alla de andra, förutsatt att sannolikheten för varje efterföljande beräknas under antagandet att alla andra händelser redan har inträffade.

Från produkten av sannolikhetssatsen kan vi dra slutsatsen att sannolikheter utseende minst en händelse .

Om testet kan resultera i n händelser som är oberoende i aggregatet, då är sannolikheten för att minst en av dem inträffar lika med

Event här A anger förekomsten av minst en av händelserna Ai, A q i– sannolikheten för motsatta händelser.

Exempel 1. Från en full kortlek (52 st) tas fyra kort ut samtidigt. Hitta sannolikheten att det bland dessa fyra kort kommer att finnas minst en ruter eller ett rött kort.

Lösning.

Låt oss beteckna utseendet på minst ett diamantkort som en händelse A , är uppkomsten av minst ett rött kort en händelse I . Därför måste vi bestämma sannolikheten för händelsen MED = A + I .

Dessutom evenemang A Och I – led, d.v.s. utseendet på en av dem utesluter inte utseendet på den andra.

Det finns totalt 13 hjärtan och 13 diamanter i kortleken.

Låt oss ta reda på sannolikheten för en händelse som är motsatt händelsen MED (det finns inga diamanter eller hjärtan bland korten som tas bort):

när man drar ut det första kortet är sannolikheten att varken ett rött eller en rutert kort kommer att visas , när man drar ut det andra kortet - , det tredje - , det fjärde - .

Då är sannolikheten att det bland de utdragna korten varken kommer att finnas ruter eller hjärtan lika med .

Obligatorisk sannolikhet

Exempel 2. Vad är sannolikheten att när man kastar tre tärningar kommer 6 poäng att dyka upp på minst en av tärningarna?

Lösning.

Sannolikheten att få 6 poäng på ett tärningskast är . Sannolikheten att inte få 6 poäng är . Sannolikheten att ett kast med tre tärningar inte kommer att resultera i en 6a är .

Då är sannolikheten att 6 poäng dyker upp minst en gång lika med .

Exempel 3. Revolvercylindern innehåller 4 patroner av sex i slumpmässig ordning. Trumman snurras och sedan trycks avtryckaren två gånger. Hitta sannolikheterna för: a) minst ett skott, b) två skott, c) två fellossningar.

Lösning.

Sannolikhet att avfyra första gången avtryckaren trycks in (händelse A ) är lika med , sannolikheten för en felskjutning - Sannolikheten för ett skott när avtryckaren trycks in för andra gången beror på resultatet av det första draget.

Så om det i det första fallet var ett skott, var det bara 3 patroner kvar i trumman, och de var fördelade över 5 platser, eftersom när avtryckaren trycks in för andra gången, kan öppningen där patronen var placerad när avtryckaren trycktes in för första gången inte vara mittemot cylindern.

Villkorlig sannolikhet för ett skott vid det andra försöket - om det var ett skott första gången - om det första gången det var ett felskott.

Den villkorade sannolikheten för en felavlossning andra gången - om ett skott inträffade första gången - om det inträffade ett felslag första gången.

Låt oss överväga sannolikheten för att ett skott i det andra fallet kommer att inträffa (händelse I ) eller en felavfyrning kommer att inträffa (händelse ) förutsatt att i det första fallet inträffade ett skott (händelse A ) eller feltändning (händelse).

Två skott i rad

Första felskottet, andra skottet

Första skottet, andra felskottet

Två felskott i rad

Dessa fyra fall bildar en komplett grupp av händelser (summan av deras sannolikheter är lika med en)

Genom att analysera de erhållna resultaten ser vi att sannolikheten för minst ett skott är lika med summan

Exempel 4. Två skyttar skjuter mot ett mål. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,7 för den första skytten och 0,8 för den andra. Hitta sannolikheten att under en volley bara en av skyttarna träffar målet.

Lösning.

Låt oss beteckna den första skytten som träffar målet som händelse A, den andra som händelse B, den första skyttens miss som händelse och den andra skyttens miss som händelse .

Sannolikheten att den första skytten kommer att träffa målet och den andra inte är lika med

Sannolikheten att den andra skytten kommer att träffa målet och den första inte är lika med

Då är sannolikheten att träffa målet med endast en skytt

Samma resultat kan erhållas på ett annat sätt - vi hittar sannolikheterna för att båda skyttarna träffade målet och båda missade. Dessa sannolikheter är respektive lika:

Då är sannolikheten att endast en skytt träffar målet:

Exempel 5. Sannolikheten att en del som tas slumpmässigt från ett visst parti delar kommer att vara defekt är 0,2. Hitta sannolikheten för att 2 av tre delar som tagits inte kommer att vara defekta.

Lösning.

Låt oss beteckna en defekt del som händelse A och en icke-defekt del som händelse .

Om det bland tre delar bara finns en defekt, är detta möjligt i ett av tre fall: den defekta delen kommer att vara den första, andra eller tredje.

Exempel 6. Sannolikheten för att den önskade delen finns i den första, andra, tredje eller fjärde rutan är 0,6, 0,7, 0,8, 0,9 respektive. Hitta sannolikheten att denna del finns: a) i högst tre rutor; b) i minst två lådor.

Lösning.

a) Sannolikheten att en given del finns i alla fyra rutor är lika med

Sannolikheten att den önskade delen inte finns i fler än tre rutor är lika med sannolikheten att den inte finns i alla fyra rutor.

b) Sannolikheten att den nödvändiga delen finns i minst två lådor är summan av sannolikheterna för att delen bara finns i två lådor, bara tre lådor, bara fyra lådor. Naturligtvis kan dessa sannolikheter räknas ut och sedan läggas ihop, däremot är det lättare att göra på annat sätt. Samma sannolikhet är lika med sannolikheten att delen inte bara finns i en låda och är tillgänglig alls.

Sannolikhetsadditionssats

Låt oss överväga inkompatibla slumpmässiga händelser.

Det är känt att inkompatibla slumpmässiga händelser $A$ och $B$ i samma försök har sannolikheter för att inträffa $P\left(A\right)$ respektive $P\left(B\right)$. Låt oss hitta sannolikheten för summan $A+B$ av dessa händelser, det vill säga sannolikheten för att minst en av dem ska inträffa.

Sats 1

Sannolikheten för summan av två oförenliga händelser är lika med summan av deras sannolikheter.

Anmärkning 1

Följd 1. Sannolikheten för summan av ett valfritt antal inkompatibla händelser är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser.

Följd 2. Summan av sannolikheterna för en komplett grupp av inkompatibla händelser (summan av sannolikheterna för alla elementära händelser) är lika med en.

Följd 3. Summan av sannolikheterna för motsatta händelser är lika med en, eftersom de utgör en komplett grupp av inkompatibla händelser.

Exempel 1

Sannolikheten att det aldrig kommer att regna i staden på en tid är $p=0,7$. Hitta sannolikheten $q$ att det under samma tid kommer att regna i staden minst en gång.

Händelserna "en tid regnade det aldrig i staden" och "en tid regnade det i staden minst en gång" är motsatta. Därför $p+q=1$, varav $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Låt oss överväga gemensamma slumpmässiga händelser.

Det är känt att gemensamma slumpmässiga händelser $A$ och $B$ i samma försök har sannolikheter för att inträffa $P\left(A\right)$ respektive $P\left(B\right)$. Låt oss hitta sannolikheten för summan $A+B$ av dessa händelser, det vill säga sannolikheten för att minst en av dem ska inträffa.

Låt oss anta att i ett givet test är antalet av alla lika möjliga elementära händelser $n$. Av dessa är händelser $A$ och $B$ gynnade av $m_(A) $ respektive $m_(B) $ elementära händelser. Eftersom händelserna $A$ och $B$ är kompatibla, så av det totala antalet $m_(A) +m_(B) $ elementära händelser, gynnar ett visst antal $m_(AB) $ både händelsen $A $ och händelsen $B$, det vill säga deras gemensamma förekomst (produkten av händelser $A\cdot B$). Denna kvantitet $m_(AB) $ skrevs in samtidigt både $m_(A) $ och $m_(B) $ Så händelsen $A+B$ gynnas av $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ elementära evenemang. Vi har: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\vänster(A\höger)+P\vänster(B\höger)-P\vänster(A\cdot B\ höger )$.

Sats 2

Sannolikheten för summan av två gemensamma händelser är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser minus sannolikheten för deras produkt.

Kommentar. Om händelser $A$ och $B$ är inkonsekventa, så är deras produkt $A\cdot B$ en omöjlig händelse, vars sannolikhet $P\left(A\cdot B\right)=0$. Följaktligen är formeln för att addera sannolikheterna för inkompatibla händelser ett specialfall av formeln för att addera sannolikheterna för gemensamma händelser.

Exempel 2

Hitta sannolikheten att om två kastas samtidigt tärningar Siffran 5 kommer att visas minst en gång.

När du kastar två tärningar samtidigt är antalet lika möjliga elementära händelser $n=36$, eftersom för varje nummer av den första tärningen kan sex nummer av den andra tärningen visas. Av dessa genomförs händelsen $A$ - siffran 5 som faller ut på den första tärningen - 6 gånger, händelsen $B$ - siffran 5 som faller ut på den andra tärningen - genomförs också 6 gånger. Av alla tolv gånger visas siffran 5 en gång på båda tärningarna. Således, $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Sannolikhetsmultiplikationssats

Låt oss överväga oberoende händelser.

Händelser $A$ och $B$ som inträffar i två på varandra följande försök kallas oberoende om sannolikheten för att händelsen $B$ inträffar inte beror på om händelsen $A$ inträffade eller inte.

Låt det till exempel vara 2 vita och 2 svarta kulor i en urna. Testet är att hämta bollen. Event $A$ är "den vita bollen dras i första försöket." Sannolikhet $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Efter det första testet sattes bollen tillbaka och ett andra test utfördes. Event $B$ -- ``den vita bollen dras i det andra försöket''. Sannolikhet $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Sannolikheten $P\left(B\right)$ beror inte på om händelsen $A$ ägde rum eller inte, därför är händelserna $A$ och $B$ oberoende.

Det är känt att oberoende slumpmässiga händelser $A$ och $B$ av två på varandra följande försök har sannolikheter för att inträffa $P\left(A\right)$ respektive $P\left(B\right)$. Låt oss ta reda på sannolikheten för produkten $A\cdot B$ för dessa händelser, det vill säga sannolikheten för att de inträffar gemensamt.

Låt oss anta att i det första testet är antalet lika möjliga elementära händelser $n_(1) $. Av dessa gynnas evenemanget $A$ av elementära evenemang $m_(1)$. Låt oss också anta att i det andra testet är antalet lika möjliga elementära händelser $n_(2) $. Av dessa gynnas event $B$ av $m_(2)$ elementära händelser. Tänk nu på en ny elementär händelse, som består av den sekventiella förekomsten av händelser från det första och andra testet. Det totala antalet sådana lika möjliga elementära händelser är lika med $n_(1) \cdot n_(2) $. Eftersom händelser $A$ och $B$ är oberoende, så gynnas från detta nummer den gemensamma förekomsten av händelse $A$ och händelse $B$ (produkten av händelser $A\cdot B$) av $m_(1) \ cdot m_(2) $ händelser . Vi har: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\vänster(A\höger)\cdot P\vänster(B\höger)$.

Sats 3

Sannolikheten för produkten av två oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser.

Låt oss titta på beroende händelser.

I två på varandra följande försök inträffar händelser $A$ och $B$. En händelse $B$ kallas beroende av en händelse $A$ om sannolikheten för att en händelse $B$ inträffar beror på om händelsen $A$ ägde rum eller inte ägde rum. Då kallas sannolikheten för händelse $B$, som beräknades förutsatt att händelse $A$ ägde rum, den villkorade sannolikheten för händelse $B$ givet $A$ och betecknas med $P\left(B/A\right) $.

Låt det till exempel vara 2 vita och 2 svarta kulor i en urna. Testet är att ta bort bollen. Event $A$ är "den vita bollen dras i första försöket." Sannolikhet $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Efter det första testet sätts inte bollen tillbaka och det andra testet utförs. Event $B$ -- ``den vita bollen dras i det andra försöket''. Om en vit boll drogs i det första försöket är sannolikheten $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Om en svart boll drogs i det första försöket, är sannolikheten $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Sannolikheten för händelse $B$ beror alltså på om händelse $A$ inträffade eller inte, därför beror händelse $B$ på händelse $A$.

Antag att händelser $A$ och $B$ inträffar i två på varandra följande försök. Det är känt att händelsen $A$ har en sannolikhet att inträffa $P\left(A\right)$. Det är också känt att händelse $B$ är beroende av händelse $A$ och dess villkorade sannolikhet givet $A$ är lika med $P\left(B/A\right)$.

Sats 4

Sannolikheten för produkten av en händelse $A$ och en beroende händelse $B$, det vill säga sannolikheten för att de ska inträffa tillsammans, kan hittas med formeln $P\left(A\cdot B\right)=P\ vänster(A\höger)\cdot P\vänster(B/A\höger)$.

Den symmetriska formeln $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ är också giltig, där händelsen $A$ antas vara vara beroende av händelsen $ B$.

För villkoren i det sista exemplet finner vi sannolikheten att den vita bollen kommer att dras i båda försöken. En sådan händelse är produkten av händelser $A$ och $B$. Dess sannolikhet är lika med $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.